专项 正比例和反比例-北师大版六年级下册期中、期末专项（小学数学）

1 专项 正比例和反比例 答案解析 1．C 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是 对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这 两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】由（长＋宽）×2＝长方形的周长，可得：长＋宽＝长方形的周长÷2（一定） 和一定，那么长与宽不成比例。故答案为：C 2．A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的 乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。本题在拉的过程中， 平行四边形的面积和高在发生变化，但底的大小不变；根据平行四边形的面积＝底×高得：平 行四边形的面积÷高＝平行四边形的底（一定），平行四边形的面积和高的比值一定，所以它 们成正比例。 【详解】平行四边形的面积÷高＝平行四边形的底（一定） 在这个变化的过程中，平行四边形的面积和高成正比例。故答案为：A 3．正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的 乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果 2 5 x y ，那么 x÷y＝ 2 5 ，比值一定，所以 y和 x成正比例。 4．× 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还 是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。如果是其 它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】正方形的周长÷边长＝4（一定），比值一定， 正方形面积＝边长×边长；边长＝面积÷边长，比值不一定， 所以正方形的周长和边长成正比例，正方形边长和面积不成正比例，原题说法错误。 2 故答案为：× 5．× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的 乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据路程÷时间＝ 速度，速度不变，也就是路程和时间的比值不变，则路程和时间成正比例。 【详解】根据分析可知，如果高铁行驶速度保持不变，则它所行驶的路程与所用时间成正比例。 原题干说法错误。故答案为：× 【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。 6． 3 10 正 【分析】根据比例的基本性质可知，两内项之积等于两外项之积，把 2和 A看作比例的两个外 项，B和 3 5 看作比例的两个内项，可列出比例，据此求解即可； 当 A与 B的比值一定时，这两数成正比例；当 A与 B的积一定时，这两数成反比例；据此判断。 【详解】根据比例的基本性质可知： 32A B 5  ，则有：A∶B＝ 3 5 ∶2＝（ 3 5 ×5）∶（2×5）＝3∶10 A÷B＝ 3 5 ÷2＝ 3 5 × 1 2 ＝ 3 10 （一定），A和 B的比值一定。 所以，如果 32A B 5  ，那么 A∶B＝3∶10，A 和 B 成正比例。 7． 16 25 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个 数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果 A和 B成正比例，则 A∶B＝ 1 4 ∶ 20；把 A＝ 1 5 代入比例式，解比例求出 B的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积 一定，这两种量成反比例关系。如果 A和 B成反比例，则 AB＝ 1 4 ×20；把 A＝ 1 5 代入比例式， 解比例求出 B的值。 3 【详解】如果 A与 B成正比例，那么： 1 5 ∶ x ＝ 1 4 ∶20 解： 1 4 x ＝20× 1 5 1 4 x ＝4 x ＝4÷ 1 4 x ＝4×4 x ＝16 如果 A与 B成反比例，那么： 1 5 x ＝ 1 4 ×20 1 5 x ＝5 1 5 x ＝5÷ 1 5 x ＝5×5 x ＝25 8．C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的 乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．华华的年龄与他的体重不是相关联的量，所以华华的年龄与他的体重不成比例； B．已经看的页数＋未看的页数＝这本书的总页数（一定），和一定，所以已经看的页数和未 看的页数不成比例； C．平行四边形的面积÷高＝底（一定），商一定，所以平行四边形的高与面积成正比例； D．平均每分钟打的字数×完成稿件需要的时间＝稿件的总字数（一定），乘积一定，所以平 均每分钟打的字数和完成稿件需要的时间成反比例。故答案为：C 9． 75 27 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个 4 数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果 a与 b成正比例，则 a∶b＝3∶ 45；把 a＝5代入比例式，解比例求出 b的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积 一定，这两种量成反比例关系。如果 a与 b成反比例，则 ab＝3×45；把 a＝5代入比例式， 解比例求出 b的值。 【详解】如果 a与 b成正比例，则 a∶b＝3∶45； 当 a＝5时 5∶b＝3∶45 解：3b＝5×45 3b＝225 b＝225÷3 b＝75 如果 a与 b成反比例，则 ab＝3×45； 当 a＝5时 5b＝3×45 解：5b＝135 b＝135÷5 b＝27 填空如下：如果 a与 b成正比例，可以填（75）；如果 a与 b成反比例，可以填（27）。 10． 正 120 80 甲 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；由图 上可以看出，甲骑行的路程÷时间＝速度（一定），因此，甲骑自行车行驶的路程和时间正比 例。 （2）由图上可以看出，乙骑自行车的速度＝路程÷时间，通过第（1）求得甲的骑行速度，甲 乙骑自行车的路程＝速速×时间 （3）从图上看，甲和乙谁行驶得快，只要比较谁的图象斜率（倾斜程度）大，谁就行驶的快。 【详解】（1）甲骑自行车的速度： 72÷3＝24（千米）（一定），所以甲骑自行车行驶的路程和时间正比例； （2）乙骑自行车的速度： 48÷3＝16（千米） 5 经过 5小时，甲骑自行车行了：24×5＝120（千米）；甲骑自行车行了：16×5＝80（千米） （3）从图上可以看出：甲的斜率（倾斜程度）大，所以甲骑自行车行驶得快。 【点睛】此题主要考查正比例的意义，以及路程、速度、和时间的关系。 11．A 【分析】两个相关联的量，两个量对应的值的比值相等，则这两个量成正比例。在同一时间， 同一地点，竹竿的影子和竹竿高之间的比值一定，即成正比例关系。据此可得出答案。 【详解】在同一时间，同一地点，竹竿的影长和竿高的比值一定，则竹竿的影长和竿高成正比 例关系。例：同一时间，同一地点，2米的竹竿，影长是 1米；而 1米的竹竿，影长是 0.5 米， 成正比例关系：2∶1＝1∶0.5。 故答案为：A 12．0.6 小时 【分析】根据题意可知，甲地到乙地的距离不变，即路程一定，速度与时间成反比例；设若每 小时行驶 100 千米，李老师 x小时到达乙地，列比例，100x＝90×6，求出若每小时行驶 100 千米，李老师多少小时到达乙地，再用 6－每小时行驶 100 千米到达乙地的时间，即可解答。 【详解】解：设若每小时行驶 100 千米，李老师 x小时到达乙地。 100x＝90×6 100x＝540 x＝540÷100 x＝5.4 6－5.4＝0.6（小时） 答：李老师可以提前 0.6 小时到达。 13．A 【分析】①正方体、长方体、圆柱的体积都可以用“底面积×高”来计算，圆锥的体积＝底面 积×高× 1 3 ，据此解答； ②两种相关联的量，如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。圆的面积＝πr 2 ，据此 解答； ③含盐率＝盐的质量÷盐水的质量×100%，盐与水的比是 3∶7，可以把盐的质量看作 3克， 水的质量看作 7克，加进 2克盐和 3克水后，这杯盐水的含盐率＝（3＋2）÷（3＋7＋2＋3） ×100%； 6 ④在数轴上，正数在 0的右边，负数在 0的左边，正数大于负数； ⑤如果甲数比乙数多 1 4 ，根据分数的意义，把乙数看作 4，则甲数是 4＋1＝5，求一个数比另 一个数多（或少）百分之几，先求出多（或少）的具体数量，再除以单位“1”数量即可解答， 据此用甲数与乙数的差，除以甲数，即可求出乙数比甲数少百分之几，据此判断。 【详解】①通过分析可得：等底等高的正方体、长方体、圆柱和圆锥体积不相等，原题说法错 误； ②圆的面积＝πr 2 ，圆的面积一定，π的值一定，则半径的平方也一定，所以半径的平方与π 不成比例，原题说法错误； ③（3＋2）÷（3＋7＋2＋3）×100% ＝5÷15×100% ≈0.333×100% ＝33.3% 这杯盐水的含盐率大约为 33.3%，原题说法错误； ④在数轴上﹢3和﹣3所对应的点与 0所对应的点的距离都是 3个单位长度，即距离相等，但 ﹢3＞﹣3，两个数不相等，此说法正确； ⑤4＋1＝5 （5－4）÷4 ＝1÷4 ＝0.25 ＝25% 则乙数比甲数少 25%，原题说法错误。 说法正确的只有④。 故答案为：A 14．（1）320 元（2）4件 【分析】（1）根据题意，所有服装都打同样的折扣销售，则 现价 原价 ＝折扣（一定），比值一 定，那么现价与原价成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 （2）先根据上一题的一件风衣原价 480 元，现价 360 元，计算出折扣；再根据题意，李阿姨 手里的现金一定，则单价×数量＝总价（一定），积一定，那么单价和数量成反比例关系，据 7 此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）解：设这条裤子原价 x 元。 360 480 ＝ 240 x 360 x ＝240×480 x ＝ 240 480 360  x ＝320 答：这条裙子原价 320 元。 （2）360÷480×100% ＝0.75×100% ＝75% 75%＝七五折 解：设能买 x 件。 200×75% x ＝120×5 150 x ＝600 x ＝600÷150 x ＝4 答：如果用这些钱来买原价 200 元一件的衬衫，能买 4件。 【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 15．（1）90 （2）正 （3）904.32 立方厘米 【分析】（1）因为 C点（ x ，45）也在 l这条直线上，可以与 A点或 B点组成比例方程，并 求解，求出 x 的值。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数 的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （3）根据“等腰三角形的两条腰相等”以及点 D的位置是（z，4），根据数对的知识可知， 点 D与点 A在同一行，由此得出点 D在图中的位置； 因为这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形是圆锥；由点 A、点 B的数对，得出横轴、纵轴每格表示的长度，进而得出圆锥的底面半径和高，然后根据圆锥的 8 体积公式 V＝ 1 3 πr 2 h，求出这个圆锥的体积。 【详解】（1） 8 4 ＝ 45 x 解：4 x ＝8×45 4 x ＝360 x ＝360÷4 x ＝90 如果 C点（ x ，45）也在 l这条直线上，则 x ＝90。 （2） 8 4 ＝ 20 10 ＝…＝2（一定） 那么直线 l上的点 P（ x ， y ）， x y ＝2，比值一定， x 和 y 成正比例。 （3）如下图，点 A、B和 D（z，4）构成一个等腰三角形 ABD。 横轴的每格表示： （20－8）÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 纵轴的每格表示： （10－4）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 圆锥的底面半径：3×4＝12（厘米） 圆锥的高：3×2＝6（厘米） 9 1 3 ×3.14×12 2 ×6 ＝ 1 3 ×3.14×144×6 ＝904.32（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是 904.32 立方厘米。 【点睛】（1）列出比例方程，并解比例。 （2）本题考查正比例的意义及辨识方法，也可以通过图象判断两种量是否成正比例。 （3）先根据等腰三角形的特征以及数对的知识找到 D点的位置，再判断旋转而成的立体图形 是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式解答。 16．（1）反比例关系，见详解 （2）160 个 【分析】（1）利用打字的速度乘打字用的时间求出这份稿件的字数，因为是同一份稿件，所 以乘积一定，据此可知打字速度和打字时间成反比例关系； （2）利用这份稿件的总数除以时间即可解答。 【详解】（1）因为 40×60＝80×30＝120×20＝2400，打字的速度乘打字用的时间求出这份 稿件的字数，又因为是同一份稿件，所以乘积一定，据此可知打字速度和打字时间成反比例关 系； （2）2400÷15＝160（个） 答：他每分打 160 个字。 1 专项 正比例和反比例 1．长方形的周长一定，长与宽（ ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 2．用四根木条制作一个长方形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，在这个变化的过 程中，平行四边形的面积和高（ ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 3．x、y是两个相关联的量，如果 2 5 x y ，则 x和 y成( )比例。 4.（判断题）正方形的周长与边长，面积与边长都成正比例。( ) 5．（判断题）如果高铁行驶速度保持不变，则它所行驶的路程与所用时间成反比例。( ) 6．如果 32 5 A B ，那么 A∶B＝( )∶( )，A 和 B 成( )比例。 7．下图中，如果 A与 B成正比例，则 x ＝( )；如果 A与 B成反比例，则 x ＝( )。 A 1 4 1 5 B 20 x 8．下面各题中的两种量，成正比例的是（ ）。 A．华华的年龄与他的体重 B．看一本书，已经看的页数和未看的页数 C．平行四边形的底一定，平行四边形的高与面积 D．打一份稿件，平均每分钟打的字数和完成稿件需要的时间 2 9．如图，如果 a与 b成正比例，可以填( )；如果 a与 b成反比例，可以填( )。 a 3 5 b 45 ？ 10．甲、乙两人骑自行车行驶的路程与时间的关系如图所示。 （1）甲骑自行车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 （2）如果甲、乙两人骑自行车从 A、B两地同时出发，相向而行，那么经过 5小时，甲骑自行 车行了( )km，乙骑自行车行了( )km。 （3）从图上看，( )骑自行车行驶得快。 11．成语“立竿见影”是指在阳光下竖起竹竿，立刻就能看到竹竿的影子。在同一时间，同一 地点，竹竿的影长和竿高（ ）的关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 12．李老师开车从甲地到乙地，若每小时行驶 90 千米，6小时可以到达。若每小时行驶 100 千米，则李老师可以提前几小时到达？（用比例的方法解答） 13．下列说法正确的有（ ）句。 ①等底等高的正方体、长方体、圆柱和圆锥体积相等。 ②圆的面积一定，半径的平方与π成反比例关系。 ③一杯盐水，盐与水的比是 3∶7，加进 2克盐和 3克水后，这杯盐水的含盐率为 50%。 3 ④在数轴上﹢3和﹣3所对应的点与 0所对应的点的距离相等，但﹢3和﹣3不相等。 ⑤如果甲数比乙数多 1 4 ，那么乙数比甲数少 20%。 A．1 B．2 C．3 D．4 14．某大型商场正逢周年庆典，所有服装都打同样的折扣销售。 （1）妈妈买了一件风衣，原价 480 元，现价 360 元。妈妈又选中一条裙子，现价 240 元，这 条裙子原价多少钱？ （2）李阿姨手里的现金如果买现价 120 元一条的裤子，正好可以买 5条。如果用这些钱来买 原价 200 元一件的衬衫，能买多少件？ 15．如图 A（8，4）、B（20，10）是直线 l上的两个点。（单位：厘米） （1）如果 C点（ x ，45）也在 l这条直线上，则 x ＝（ ）。 （2）直线 l上的点 P（ x ， y ）， x 和 y 成（ ）比例。 （3）用点 A、B和 D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称 轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？ 16．4 个人要录入同一份稿件，下面是每个人打字的速度和所用的时间。 4 姓名 张丽 李琦 张晓 刘宇 打字速度（字/分） 40 80 120 打字时间（分） 60 30 20 （1）每个人的打字速度和打字时间成什么比例？为什么？ （2）如果刘宇打这份稿件用了 15 分，他每分打多少字？