精品解析：湖北省十堰市丹江口市2024-2025学年上学期期末考试七年级数学试题

2024年教育质量冬季监测 七 年 级 数 学 试 题 (本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟) ★ 祝 考 试 顺 利 ★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置; 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效; 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔; 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分． 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分．) 1. 中国是最早用正负数表示相反意义的量的国家．若将节约度电记作度，则浪费度电记作：（ ）度 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，正负数代表意义相反的两个量，节约记为正，浪费记为负．据此可得结果． 【详解】解：若将节约度电记作度，则浪费度电记作度， 故选：C． 2. 下列几何图形中，不是立体图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形判定即可． 【详解】解：利用几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形，可判定三角形不是立体图形． 故选D． 【点睛】本题考查认识立体图形，解题关键是熟记立体图形的定义． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据整式的加减运算法则和去括号法则即可求出答案． 【详解】解：、，选项不符合题意． 、，选项符合题意． 、，选项不符合题意． 、与不是同类项，选项不符合题意． 故选：B． 4. 毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（ ） A. 过一点可以画多条直线 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，明确两点之间线段最短是解题关键，根据两点之间线段最短解答本题即可． 【详解】解：把弯曲的路径改直，就能缩短路程，用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C 5. 下列方程变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由去括号得： C. 由，得 D. 由，去分母得： 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质、去括号法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，得，故A错误； B．由去括号得：，故B错误； C．由，得，故C正确； D．由，去分母得：，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等式性质，去括号法则，解题的关键是熟记等式性质，注意括号前面是负号的将括号和负号去掉后，括号内各项的符号要发生改变． 6. 如果，那么是（ ） A. 正数 B. 非负数 C. 负数 D. 非正数 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握若，则；若，则；若，则．直接根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 是非负数， 故选：B． 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 进位制是人们在计数和运算时约定的计数系统，十进制就是逢十进一，逢二进一就是二进制，为了区分不同基数的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制通常不标基数），例如：十进制数 ；又如：二进制数和其中；，把十进制数转换成二进制等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二进制位值原则， 有理数混合运算法则，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键； 首先理解二进制的含义，再结合四则运算的顺序和计算法则计算，运用题例逆用二进制换算十进制的方法计算即可． 【详解】解：， 故选：A 9. 如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平角为180度，直角为90度，计算角度差即可； 【详解】解：∵，，， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查了平角，直角，角度的计算；掌握相关概念是解题关键． 10. 如图，已知线段，延长至C，使得．若D是中点，E是的中点，则的长为：（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，利用中点分别求出，，再利用线段和差即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，本大题满分15分．将每小题的最后正确答案填在答题卡中对应题号的横线上．） 11. ﹣1的绝对值是_____． 【答案】1 【解析】 【详解】【分析】根据绝对值的意义“数轴上表示数a的点到原点的距离就是a的绝对值，记作|a|”进行求解即可得. 【详解】∵数轴上表示数-1的点到原点的距离是1，即|﹣1|=1， ∴﹣1的绝对值是1， 故答案为1. 【点睛】本题考查了绝对值的定义与性质，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键. 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 12. 某公司一年的销售利润是亿元．亿用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故答案为：． 13. 某中学为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生．如果表示“2015年入学的班号的同学，是位女生”，那么今年入学的班号男生的编号是 ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用数字表示事件知识．根据各位数字表示的含义，结合题意即可作出回答． 【详解】解：根据题意可得：今年入学的1班37号男生的编号是． 故答案为：． 14. 已知，，，三点在一条直线上，且，，则长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当在线段上时，当在的延长线上时，根据线段的和差求解即可． 【详解】解：当在线段上时，； 当在的延长线上时，． 故答案为：或． 15. 如图，于点O，是内的一条射线，是同一平面内的一条射线，且与互余，若，则____，的度数为__________． 【答案】 ①. 60 ②. 或 【解析】 【分析】考查了余角和垂线的定义，掌握分类思想的运用，以及数形结合思想的运用是解题关键．先由垂直得，再根据角的和差得，再根据互余的定义得，射线存在两种情况，射线在上面；射线在下面，分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵与互余， ∴； 射线分以下两种情况： 当射线在上面时，如图， 此时； 当射线在下面时，如图， 此时； 综上，的度数为或． 故答案为：60；或． 三、解答题（应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果你觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．本大题共9小题，满分75分．） 16. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键；先去括号，再合并同类项，化简后将a，b的值代入即可． 【详解】解：原式 ． ∵，， ∴原式． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据去分母，去括号，合并同类项，，化系数为１，即可求解． 【详解】解： 19. 如图，直线，交于点O，，平分，已知，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了邻补角、对顶角、垂线、余角和角平分线的定义，先根据邻补角的性质得，再由角平分线的定义得，再由对顶角相等得，由垂直的定义得，最后由余角的定义可得答案． 【详解】解：∵（已知）， ∴（邻补角的性质）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴(对顶角相等）， ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（余角的定义）． 20. 若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， （1）按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； （2）按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； （3）设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【答案】（1）， （2）， （3）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中“△”和“★”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）①令解得，再代入即可得值； ②用消去n，即可得与之间的数量关系． 【小问1详解】 解：按上图所示规律得： 图4中“△”的个数为，“★”的个数为； 图5中“△”的个数为，“★”的个数为； 图6中“△”的个数为，“★”的个数为； 故答案为：16，33； 【小问2详解】 解：按上图所示规律，图中“△”的个数为，“★”的个数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：①当时，， 解得，， 此时，， ②∵，， ∴， ∴． 21. 当地时间10月30日，国家地区奥委会协会（间称“国际奥协”第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕，在当次的颁奖典礼上，中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖，乒乓球一直是中国的“国球”，这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现，还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关，某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球，市场调查情况如下：甲、乙两家体育用品商店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店乒乓球拍标价均为每副80元，乒乓球的标价均为每盒20元，甲商店每卖一副球拍免费赠送一盒乒乓球，乙商店全部按标价打9折出售，现该班需购买球拍5副，乒乓球盒（不少于5盒）． （1）去甲商店购买总费用为 元；去乙商店购买总费用为 元．（请用含的代数式表示） （2）当购买多少盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样？ （3）当购买40盒乒乓球时，怎样购买最划算？ 【答案】（1）， （2）当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样 （3）在甲店购买5副球拍，乙店购买35盒乒乓球，最划算，所需费用为1030元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两家店给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出去甲、乙两家店购买所需总费用； （2）根据甲、乙两家店所需费用一样，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）结合两店给出的优惠方案，找出更省钱的方案，再求出该方案所需总费用即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 去甲店购买总费用为元； 去乙店购买总费用为元． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， 答：当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样； 【小问3详解】 解：当时， 方案1：去甲商店购买，需要元钱； 方案2：去乙商店购买，需要元钱； 方案3：在甲商店购买5副球拍，在乙商店购买35盒乒乓球，需要元钱； ∵， ∴方案3最划算． 答：在甲店购买5副球拍，乙店购买35盒乒乓球，最划算，所需费用为1030元． 22. 综合与实践．从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务． 项目 设计合适的盒子 材料 一个长为，宽为的长方形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）． 项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子 方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍． 示意图 示意图 任务1 确定无盖盒子的高． 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2研究有盖盒子的体积 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积． 【答案】任务1：长方体盒子的高为；任务2：减掉的正方形的边长，长方体盒子的体积为 【解析】 【分析】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用： 任务1：先设长方体盒子的高为a，根据线段的和差运算，以及周长公式列式计算，即可作答； 任务2：设减掉的正方形的边长，即盒子的高为，则盒子的宽为，长为，根据题意列式，计算即可作答． 【详解】解：任务1 设长方体盒子的高为a， 则底面长为，则底面宽为， 由题意得， ∴． 故长方体盒子的高为； 任务2： 设减掉的正方形的边长，即盒子的高为，则盒子的宽为，长为． 由素材3可得方程，， 解得，， ∴盒子的高为，盒子的宽为，长为． 故盒子的体积． 23. 探究题：如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    （1）若，求的长； （2）试利用“字母代替数”的方法，设，试说明不论取何值，的长不变； （3）知识探究，如图②，已知，过角的内部任一点画射线．若、分别平分和，试说明与射线的位置无关． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理． （1）由，，可得，根据中点的定义可得：，，最后根据，即可求解； （2）设，然后通过点、分别是和的中点，即可得到，，最后根据，即可推出结论； （3）由、分别平分和，可得，，结合角的和差可推出，即可推出的度数与射线的位置无关． 【小问1详解】 解：，， ， 点、分别是和的中点， ，， ； 【小问2详解】 点、分别是和的中点，， ，， ， 不论取何值（不超过），的长不变； 【小问3详解】 、分别平分和， ，， ， , 与射线的位置无关． 24. 如图1，已知，有公共顶点O的两个，，且α，β满足，． （1）若α，β满足，则 ， ，与的特殊关系是 ； （2）将图1中的绕点O逆时针旋转至图2与图3时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请分别予以说明理由； （3）在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请求出的度数，并画出相对应的示意图． 【答案】（1）120，60，互补 （2）仍具有．理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了角度的和差计算，互补、互余的定义，非负数的性质，分类讨论的思想． （1）先由非负数的性质得出，，进而得，再由圆周角的性质得，再根据互补的定义即可得出结论； （2）分图2、图3两种情况，分别用α，β表示出与，再将两角相加，即可得出结论； （3）根据和是否在内部分情况讨论，分别画出图形，结合（1）中条件，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与的特殊关系是互补， 故答案为：120，60，互补； 【小问2详解】 解：仍具有．理由如下： 将图1中的绕点O逆时针旋转至图2时， ， ， ∵， ∴， 即将图1中的绕点O逆时针旋转至图2时，与的特殊关系是互补； 将图1中的绕点O逆时针旋转至图3时， ， ， ∵， ∴， 即将图1中的绕点O逆时针旋转至图3时，与的特殊关系是互补； 综上，将图1中的绕点O逆时针旋转至图2与图3时，与是否还具有（1）中的特殊关系； 【小问3详解】 解：在（1）的条件下，，， 当和都在外部时，如图1，此时，不可能与互余； 当和都在外部时，如图， 此时，不可能与互余； 当和都在内部时，如图， ∴，不满足与互余； 当在内部，在外部时，如图， ∴，， ∵与互余， ∴，即， ∴， ∴； 当在外部，在内部时，如图， ∴，， ∵与互余， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年教育质量冬季监测 七 年 级 数 学 试 题 (本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟) ★ 祝 考 试 顺 利 ★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置; 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效; 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔; 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分． 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分．) 1. 中国是最早用正负数表示相反意义的量的国家．若将节约度电记作度，则浪费度电记作：（ ）度 A. B. C. D. 2. 下列几何图形中，不是立体图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（ ） A. 过一点可以画多条直线 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 连接两点间线段的长度是两点间的距离 5. 下列方程变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由去括号得： C. 由，得 D. 由，去分母得： 6. 如果，那么（ ） A. 正数 B. 非负数 C. 负数 D. 非正数 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 8. 进位制是人们在计数和运算时约定的计数系统，十进制就是逢十进一，逢二进一就是二进制，为了区分不同基数的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制通常不标基数），例如：十进制数 ；又如：二进制数和其中；，把十进制数转换成二进制等于（ ） A B. C. D. 9. 如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知线段，延长至C，使得．若D是的中点，E是的中点，则的长为：（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共5小题，每小题3分，本大题满分15分．将每小题的最后正确答案填在答题卡中对应题号的横线上．） 11. ﹣1的绝对值是_____． 12. 某公司一年的销售利润是亿元．亿用科学记数法表示为___________． 13. 某中学为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生．如果表示“2015年入学的班号的同学，是位女生”，那么今年入学的班号男生的编号是 ______________． 14. 已知，，，三点在一条直线上，且，，则长为________． 15. 如图，于点O，是内一条射线，是同一平面内的一条射线，且与互余，若，则____，的度数为__________． 三、解答题（应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果你觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．本大题共9小题，满分75分．） 16 计算： 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 解方程： 19. 如图，直线，交于点O，，平分，已知，，求的度数． 20. 若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， （1）按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； （2）按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； （3）设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 21. 当地时间10月30日，国家地区奥委会协会（间称“国际奥协”第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕，在当次的颁奖典礼上，中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖，乒乓球一直是中国的“国球”，这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现，还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关，某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球，市场调查情况如下：甲、乙两家体育用品商店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店乒乓球拍标价均为每副80元，乒乓球的标价均为每盒20元，甲商店每卖一副球拍免费赠送一盒乒乓球，乙商店全部按标价打9折出售，现该班需购买球拍5副，乒乓球盒（不少于5盒）． （1）去甲商店购买总费用为 元；去乙商店购买总费用为 元．（请用含的代数式表示） （2）当购买多少盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样？ （3）当购买40盒乒乓球时，怎样购买最划算？ 22. 综合与实践．从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务． 项目 设计合适的盒子 材料 一个长为，宽为的长方形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）． 项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子 方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍． 示意图 示意图 任务1 确定无盖盒子的高． 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2研究有盖盒子的体积 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积． 23. 探究题：如图①，已知线段，点为线段上一个动点，点、分别是和的中点．    （1）若，求的长； （2）试利用“字母代替数”的方法，设，试说明不论取何值，的长不变； （3）知识探究，如图②，已知，过角的内部任一点画射线．若、分别平分和，试说明与射线的位置无关． 24. 如图1，已知，有公共顶点O的两个，，且α，β满足，． （1）若α，β满足，则 ， ，与的特殊关系是 ； （2）将图1中的绕点O逆时针旋转至图2与图3时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请分别予以说明理由； （3）在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请求出的度数，并画出相对应的示意图． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$