18.2.3正方形同步练习 　 2024—2025学年人教版数学八年级下册

18.2.3正方形 一、单选题 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 （　 　） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 2.如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( ) A.(3,-3)　　B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) 3.如图，已知点E，点F为正方形ABCD内两点，C，E，F三点共线且满足∠BEC＝∠CFD＝90°，连接DE并延长交BC于点G，若EG平分∠BEC，AB，则DE的长为（　　） A．1 B． C．2 D．2 4.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是( ) A.20 B.25 C.30 D.35 5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为（　 　） A.3 B.12 C.18 D.36 6.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　） A．（，1） B．（﹣1，） C．（﹣1，） D．（1，） 7.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为 （　 　） A.15° B.75° C.20° D.12.5° 8.如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论： ①BE＝EF； ②矩形DEFG是正方形； ③CG＝AE； ④CG平分∠DCF． 其中结论正确的序号有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 9.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是　　. 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是　　. 11.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为　 　dm2.  12．如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　　．（仅填序号） 13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 　.  3、 解答题 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，BF． （1）判断四边形AEBF的形状，并说明理由． （2）当Rt△ABC满足条件　 　时，四边形AEBF是正方形． 15.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF. （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积. 16.如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD; (2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由; (3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由. 17.如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 参考答案： 1．B 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D 9.90° 10.（－2，－1） 11.2 12. ② 13. 14.解：（1）四边形AEBF是菱形， 理由：∵AF∥BE， ∴∠FAD＝∠EBD， ∵D为AB中点， ∴AD＝BD， 在△ADF和△BDE中， ， ∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴AF＝BE， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵DE⊥AB，AF∥BE，交ED的延长线于点F， ∴EF⊥AB， ∴四边形AEBF是菱形． （2）∵四边形AEBF是菱形， ∴当∠AEB＝90°时，四边形AEBF是正方形， ∵∠C＝∠AEB＝90°， ∴点C与点E重合， ∴AC＝AE＝BE＝BC， ∴当AC＝BC时，四边形AEBF是正方形， 故答案为：AC＝BC． 注：答案不唯一，如：∠ABC＝45°． 15.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°. 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）. （2）解：如图，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO. 又∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF. ∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝3. ∴AC＝BD＝＝＝6. ∵BE＝DF＝2， ∴EF＝BD－BE－DF＝6－2－2＝2. ∴S四边形AECF＝AC·EF＝×6×2＝6. 16.【解析】(1)∵DE⊥BC, ∴∠DFB=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠DFB, ∴AC∥DE, ∵MN∥AB,即CE∥AD, ∴四边形ADEC是平行四边形, ∴CE=AD; 【解析】(2)四边形BECD是菱形,理由: ∵D为AB中点,∴AD=BD, ∵CE=AD,∴BD=CE, ∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形, ∵∠ACB=90°,D为AB中点, ∴CD=BD, ∴平行四边形BECD是菱形; 【解析】(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由: ∵∠ACB=90°,∠A=45°, ∴∠ABC=∠A=45°, ∴AC=BC, ∵D为AB中点,∴CD⊥AB, ∴∠CDB=90°, ∵四边形BECD是菱形, ∴菱形BECD是正方形,即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形. 17.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 学科网（北京）股份有限公司 $$