6.3.1平面向量的基本定理-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.3.1 平面向量 基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.(重点) 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(难点) 学习目标 在物理学中，我们已经学习过力的合成与分解，并且通过平行四边形法则，可以将一个合力分解为不同的分力。从本质上讲，力是一种向量。那么，是否所有的向量都可以像力一样进行分解呢？如果可以，我们又该如何进行向量的分解呢？今天，我们将通过学习平面向量基本定理来解答这些问题，学完之后，我们就能找到答案。 导 语 目 录 1 2 3 4 平面向量基本定理 用基底表示向量 平面向量基本定理的应用 CONTENTS 书读百遍 其义自现 平面向量基本定理 1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上 的向量. 问题1 提示　=e1，=λ1e1，=e2，=λ2e2，=a=+=λ1e1+λ2e2. 上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 问题2 提示　从作图的过程来看，向量e1，e2的方向是确定的，所以平行四边形的两条邻边的方向也是确定的，我们以OC为对角线，过点C所作的两条边的平行线也是唯一确定的，因此交点M，N可以确定，所以在线段OA，OB上，线段OM与OA，ON与OB的长度关系及是否同向也是确定的，根据向量共线定理，我们所找的λ1和λ2也是确定的，所以分解方法唯一. 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底：若e1，e2 ，我们把｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 不共线 任一 有且只有一对 不共线 知识梳理 注意： (1)同一平面内的基底有无数多个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任意向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的. 知识梳理 9 题型一　基底的判定与理解 √ √ 探究1 用基底表示向量 2 1.用基底表示向量的注意事项： ①根据平面向量基本定理，平面内的任意向量都可以用该平面内的一个基底来表示，而且表示方式是唯一的.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算. ②基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. 2.A，B，P三点共线的充要条件是存在唯一实数组λ，μ，满足=λ+μ，且λ+μ=1.(O为平面内任意一点) 知识梳理 题型二　用基底表示向量 √ √ √ 探究2 a＋b 2a＋c 平面向量基本定理的应用 3 (1)用向量的方法证明垂直问题常转化为向量的数量积是否为0. (2)用向量解决平面几何问题的一般步骤 ①选取不共线的两个平面向量作为基底. ②将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题. ③利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解. ④再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 知识梳理 题型三　用已知向量表示未知向量 探究3 书读百遍 其义自现 4 不共线 且只有 {e1，e2} 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ √ √ 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　【多选题】如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基底的一对向量是(　　) A.eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))　　　　 B.eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→)) C.eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(CF,\s\up12(→)) D.eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(DE,\s\up12(→)) 【解析】　由题图可知，eq \o(OA,\s\up12(→))与eq \o(BC,\s\up12(→))共线，eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(CF,\s\up12(→))共线，不能作为基底向量，eq \o(OA,\s\up12(→))与eq \o(CD,\s\up12(→))不共线，eq \o(BC,\s\up12(→))与eq \o(DE,\s\up12(→))不共线，可作为基底向量． 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 思考题1　设a，b不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底． 【解析】　设存在λ使得c＝λd(λ∈R)， 则2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. ∵a，b不共线，由平面向量基本定理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－3λ＝0，,2λ－1＝0，)) 这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，所以c，d能作为基底． 例2　(1)【多选题】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M.设eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，则下列结论正确的是(　　) A.eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)a＋b　　　 B.eq \o(BC,\s\up12(→))＝－eq \f(1,2)a＋b C.eq \o(BM,\s\up12(→))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D.eq \o(EF,\s\up12(→))＝－eq \f(1,4)a＋b 【解析】　由题意可得，eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝b＋eq \f(1,2)a，故A正确；eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝b－eq \f(1,2)a，故B正确；eq \o(BM,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→))＋eq \o(AM,\s\up12(→))＝－a＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up12(→))＝－a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)a＝eq \f(2,3)b－eq \f(2,3)a，故C错误；eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(EA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DF,\s\up12(→))＝－eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,4)a＝b－eq \f(1,4)a，故D正确．故选ABD. (2)如图，平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知eq \o(AM,\s\up12(→))＝c，eq \o(AN,\s\up12(→))＝d，试用c，d表示eq \o(AB,\s\up12(→))和eq \o(AD,\s\up12(→)). 【思路】　本题可将c，d看作基底，即用基底表示eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AD,\s\up12(→)). 【解析】　设eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，则由M，N分别为DC，BC的中点可得eq \o(BN,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)b，eq \o(DM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)a. 从△ABN和△ADM中可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b＝d①，,b＋\f(1,2)a＝c②，)) ①×2－②，得a＝eq \f(2,3)(2d－c)．②×2－①，得b＝eq \f(2,3)(2c－d)． 即eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \f(4,3)d－eq \f(2,3)c，eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(4,3)c－eq \f(2,3)d. 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算适当选择向量所在的三角形或平行四边形，对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 思考题2　如图，在正方形ABCD中，设eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，eq \o(BD,\s\up12(→))＝c，则以{a，b}为基底时，eq \o(AC,\s\up12(→))可表示为eq \o(AC,\s\up12(→))＝________，以{a，c}为基底时，eq \o(AC,\s\up12(→))可表示为eq \o(AC,\s\up12(→))＝________． 【解析】　以{a，b}为基底时，eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将eq \o(BD,\s\up12(→))平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得eq \o(AC,\s\up12(→))＝2a＋c. 例3　设{e1，e2}是平面内一个基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以用另一个基底{a，b}线性表示，即e1＋e2＝________． eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b 【解析】　因为a＝e1＋2e2①， b＝－e1＋e2②， 显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2， 所以e2＝eq \f(a＋b,3)，代入②得e1＝e2－b＝eq \f(a＋b,3)－b＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b，故有e1＋e2＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b. 用已知不共线的向量表示未知向量主要是找到已知向量与未知向量的关系，结合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量． 思考题3　向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，λ，μ为实数，则λ＝________，μ＝________． eq \f(5,2) －eq \f(1,2) 【解析】　由条件得2e1＋3e2＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,2)，,μ＝－\f(1,2).)) 要点1　平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有_______一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 要点2　基底 若e1，e2不共线，我们把_______叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底，对吗？ 答：不对，只有不共线的两个向量才可以作为基底． 注意：零向量不能作为基底中的向量． 2．基底有哪两个特性？ 答：①不共线；②不唯一．不共线的两个向量都可作为基底． 5．平面向量基本定理的实质是什么？ 答：平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示. 3．若λ1e1＋λ2e2＝0，则实数λ1，λ2一定都为0吗？ 答：不一定，只有当e1与e2不共线时，才有λ1＝λ2＝0. 4．当基底{e1，e2}给定时，向量a＝λ1e1＋λ2e2的分解形式是唯一的吗？ 答：是，λ1，λ2是唯一确定的． 1．【多选题】下列有关平面向量基本定理的四个命题中，正确命题是(　　) A.一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B.一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 C.平面的基底中的两个向量可能互相垂直 D.一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个不共线向量的线性组合 解析　根据平面向量基本定理知一个平面内任何一对不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，故A错误； 一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底，故B正确； 平面的基底中的两个向量只要不共线即可，可能互相垂直，故C正确； 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个不共线向量的线性组合，故D正确． 2．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，可作为该平面内所有向量的一个基底的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(DC,\s\up12(→))　　　 B.eq \o(AD,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→)) C.eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(CB,\s\up12(→)) D.eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→)) 解析　由于eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(DA,\s\up12(→))不共线，所以可作为一个基底． 3．(高考真题·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq \o(BC,\s\up12(→))＝3eq \o(CD,\s\up12(→))，则(　　) A.eq \o(AD,\s\up12(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up12(→)) B.eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up12(→)) C.eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(4,3) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up12(→)) D.eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(4,3) eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up12(→)) 解析　方法一：由题意得eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up12(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up12(→)). 方法二：根据题意作图如图， ∵B，C，D三点共线， ∴排除B、C(系数之和不是1)，又由图知eq \o(AB,\s\up12(→))系数应为负数．故选A. 4．△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是(　　) A.eq \o(BG,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BE,\s\up12(→)) 　　　 B.eq \o(CG,\s\up12(→))＝2eq \o(GF,\s\up12(→)) C.eq \o(DG,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AG,\s\up12(→)) D.eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up12(→)) 解析　A中，∵G是△ABC的重心，∴BG＝eq \f(2,3)BE，∴eq \o(BG,\s\up12(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BE,\s\up12(→))；B中，CG＝2GF，∴eq \o(CG,\s\up12(→))＝2eq \o(GF,\s\up12(→))；C中，DG＝eq \f(1,2)AG，∴eq \o(DG,\s\up12(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AG,\s\up12(→))，∴C不正确；D中，eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up12(→))＝eq \o(DG,\s\up12(→))＋eq \o(GC,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up12(→)). 5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC，若eq \o(DE,\s\up12(→))＝λ1eq \o(AB,\s\up12(→))＋λ2eq \o(AC,\s\up12(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． eq \f(1,2) 解析　eq \o(DE,\s\up12(→))＝eq \o(DB,\s\up12(→))＋eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up12(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→)))＝－eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up12(→))， 又∵eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(AC,\s\up12(→))不共线，∴λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，λ1＋λ2＝－eq \f(1,6)＋eq \f(2,3)＝eq \f(1,2). $$