6.2.4第2课时 向量的数量积-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.2.4第2课时 向量的数量积 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.(重点) 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.(难点) 3.通过数量积的运算提高数学运算能力和对数学的学习兴趣. 学习目标 上节课，我们深入研究了两个向量的数量积，并且通过定义进行了一些基本的计算。我们已经知道，数乘向量满足三个基本的运算律，分别是交换律、结合律和分配律。那么，向量的数量积是否也满足类似的运算律呢？具体来说，向量的数量积是否满足交换律，即两个向量相乘的顺序是否可以互换？它是否满足结合律，即三个向量相乘时，不同的分组方式是否得到相同的结果？此外，向量的数量积是否满足分配律，即向量与向量和的乘积是否等于向量分别与这些向量乘积的和？这些问题都是我们今天需要探讨和验证的。通过这些探讨，我们将更加深入地理解向量的数量积及其运算性质。 导 语 目 录 1 2 3 4 数量积的运算律 向量的模的计算 向量的夹角的计算 CONTENTS 书读百遍 其义自现 数量积的运算律 1 阅读课本第20-21页，请利用向量数量积的定义证明(1)a·b=b·a； 思考1 提示　证明如下： 设a，b的夹角为θ，则b，a的夹角也为θ， ∵a·b=|a||b|cos θ，b·a=|b||a|cos θ，∴a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 提示　当λ>0时，(λa)·b=λ|a||b|cos θ，λ(a·b)=λ|a||b|cos θ，a·(λb)=λ|a||b|cos θ； 当λ<0时，(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ) =-λ|a||b|(-cos θ)=λ|a||b|cos θ， λ(a·b)=λ|a||b|cos θ，a(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cos θ)=λ|a||b|cos θ； 当λ=0时，(λa)·b=0·b=0，λ(a·b)=0， a·(λb)=a·0=0. ∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 思考1 对于任意向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？ 思考2 提示　不一定成立.因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，即使c与a共线，式子的两边也未必相等，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立. 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 知识梳理 注意： (1)a·b=b·c推不出a=c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量. 题型一　求数量积 探究1 －6 向量的模的计算 2 求解向量模的思考主要有两种方法，一是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=求解；二是在平面图形中求向量的模时，需要利用图形性质对向量的数量积或夹角进行适当的转化. 知识梳理 题型二　向量的模 √ 探究2 2 向量的夹角的计算 3 知识梳理 求向量的夹角，主要是利用公式cos θ=求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 题型三　向量的夹角 探究3 √ 探究4 √ 书读百遍 其义自现 4 a2＋2a·b＋b2 a2－b2 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ 45° 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)． 【解析】　(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7×cos 120°－6×72＝－268. 计算(λa＋μb)·(λa＋μb)，可以类比多项式乘法运算律，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同． 思考题1　已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________． 【解析】　由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝eq \f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12－2e1·e2－8e22＝3－2×eq \f(1,2)－8＝－6. 例2　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 2eq \r(3) 【解析】　方法一(公式法)：|a＋2b|＝eq \r(（a＋2b）2)＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2) ＝eq \r(22＋4×2×1×cos 60°＋4×12)＝eq \r(12)＝2eq \r(3). 方法二(数形结合法)： 由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，连接OC，则|a＋2b|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|. 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq \r(3). (2)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　) A．2 　　　　　　　 B.eq \r(2) C．1 D.eq \f(\r(2),2) 【解析】　依题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋b）·a＝0，,（2a＋b）·b＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·b＝－a2，,2a·b＋b2＝0，))解得b2＝2，所以|b|＝eq \r(2). 求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq \r(a2)，勿忘记开方． 思考题2　(1)(2020·课标全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________． eq \r(3) 【解析】　∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－eq \f(1,2)，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3，∴|a－b|＝eq \r(3). (2)已知平面向量a，b满足|a－2b|＝eq \r(19)，|a|＝3，若cos〈a，b〉＝eq \f(1,4)，则|b|＝________． 【解析】　由题知，|a－2b|＝eq \r(19)，|a|＝3，cos〈a，b〉＝eq \f(1,4)， 则|a－2b|＝eq \r(（a－2b）2)＝eq \r(a2＋4b2－4a·b) ＝eq \r(|a|2＋4|b|2－4|a|·|b|·cos〈a，b〉)＝eq \r(19)， 整理可得4|b|2－3|b|－10＝0，解得|b|＝2或－eq \f(5,4)(舍去)，故|b|＝2. 例3　已知|a|＝1，a·b＝eq \f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq \f(1,2)，求： (1)a与b的夹角； 【解析】　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝eq \f(1,2)，又∵|a|＝1，∴|b|＝eq \f(\r(2),2).设a与b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2).∴θ＝45°. (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值． 【解析】　(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，∴|a－b|＝eq \f(\r(2),2).∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，∴|a＋b|＝eq \f(\r(10),2). 设a－b与a＋b的夹角为φ,则cos φ=eq \f(（a－b）·（a＋b）,|a－b||a＋b|)=eq \f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))＝eq \f(\r(5),5). ∴cos φ＝eq \f(\r(5),5). 求两向量夹角的方法： (1)一般是利用夹角公式：cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|). (2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时，两向量的夹角为钝角． 思考题3　设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq \r(7)，则a，b的夹角为(　　) A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(2π,3) 【解析】　设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴cos θ＝eq \f(1,2).又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为eq \f(π,3). 用数量积求解垂直问题 例　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？ 【解析】　(ka－b)·(a＋2b)＝ka2－a·b＋2ka·b－2b2＝k|a|2－2|b|2－(1－2k)a·b＝25k－32－(1－2k)×5×4×cos 60°＝45k－42， 当k＝eq \f(14,15)时，45k－42＝0，即(ka－b)·(a＋2b)＝0. ∴当k＝eq \f(14,15)时，(ka－b)⊥(a＋2b)． 涉及两向量垂直问题，常转化为两向量的数量积为0求解． 思考题　已知平面向量a，b满足|a|＝2eq \r(3)，|b|＝4，且a，b的夹角为30°，则(　　) A．a⊥(a＋b)　　　 B．b⊥(a＋b) C．b⊥(a－b) D．a⊥(a－b) 【解析】　∵平面向量a，b满足|a|＝2eq \r(3)，|b|＝4，且a，b的夹角为30°， ∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝(2eq \r(3))2＋2eq \r(3)×4×cos 30°＝24≠0； b·(a＋b)＝b2＋a·b＝42＋4×2eq \r(3)×cos 30°＝28≠0； b·(a－b)＝a·b－b2＝4×2eq \r(3)×cos 30°－42＝－4≠0； a·(a－b)＝a2－a·b＝(2eq \r(3))2－2eq \r(3)×4×cos 30°＝0，∴a⊥(a－b)．故选D. 要点1　平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 要点2　平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质． 多项式乘法 向量形式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝_____________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝______ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 1．向量的数量积满足消去律吗？ 答：不满足．即由a·b＝a·c，不一定能得到b＝c. 2．向量的数量积满足乘法结合律吗？ 答：不满足．一般地，(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线． 1．已知向量a，b，c，实数λ，下列命题中，真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析　若a·b＝0，表明a，b垂直，或者是a＝0或b＝0；若a2＝b2，表明|a|2＝|b|2，并不是a＝b或a＝－b；若a·b＝a·c，则有|a||b|cos α＝|a||c|cos β，α，β分别是向量a，b和c，a的夹角，不一定会是b＝c.故选B. 2．已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝(　　) A．2　　　　　 B．3 C．5 D．－5 解析　因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5. 3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0⇒cos〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，所以a，b的夹角为120°.故选C. 4．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么|a－b|2＝(　　) A．2 B．2eq \r(3) C．3 D．6 解析　|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×2×1×cos 60°＋12＝3. 5．若|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________． 解析　设a与b的夹角为θ， ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0， 即a2－b·a＝0，∴a·b＝a2＝|a|2＝1， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a与b的夹角为45°. $$