6.2.4第1课时 向量的数量积-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.2.4 第1课时 向量的数量积 1.通过物理中功等实例的抽象，理解平面向量数量积的概念及其物理意义. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量.(重点) 3.会计算平面向量的数量积.(难点) 学习目标 同学们，前面我们已经学习了向量的线性运算，包括向量的加法、减法以及数乘运算。通过这些学习，我们对向量的基本运算有了初步的认识。那么，当我们进一步类比实数的运算时，不禁会思考：向量之间能否像实数一样进行乘法运算呢？如果可以，那么向量的乘法又该如何定义呢？它与实数乘法有哪些相同点和不同点呢？这些疑问都值得我们深入探讨。今天，就让我们带着这些问题，共同开启一段新的探索之旅，去揭开向量乘法的神秘面纱，探索其中的奥秘吧！ 导 语 目 录 1 2 3 4 数量积的运算 向量的夹角 投影向量 CONTENTS 书读百遍 其义自现 数量积的运算 1 初中物理课中我们学习过功的概念，请大家写出物理中功的计算公式，并用文字语言表述功的计算公式. 思考 提示　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cos θ.文字叙述为功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 1.两向量的夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则 =θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，如图所示. 非零向量 ∠AOB 当θ=0时，a与b ；当θ=π时，a与b . 2.两向量垂直：如果a与b的夹角是___，我们说 a与b垂直，记作 . 同向 反向 a⊥b 知识梳理 3.两向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 .  规定：零向量与任一向量的数量积为 . 知识梳理 题型一　数量积的运算 －25 探究1 3 向量的夹角 2 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a∥b时，a·b= 特别地，a·a=|a|2或|a|=________. (4)|a·b| |a||b|. ≤ 知识梳理 1.按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，这一点在平面图形中找向量夹角时更需注意.如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. 2.数量积运算中间是“·”，而且此处的“·”不能省略，也不能写成“×”. 3.向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 4.设两向量a，b的夹角为θ，则cos θ=. 知识梳理 15 题型二　向量的夹角 探究2 √ 投影向量 3 1.如图，设a，b是两个非零向量，=a，=b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 . 投影 投影向量 知识梳理 2.如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为=|a|cos θe=b. 知识梳理 向量a在向量b上的投影向量是一个向量，它与向量b共线，其大小为||a|cos θ|，其中θ为向量a与b的夹角. 知识梳理 22 题型三　投影向量 探究3 √ 书读百遍 其义自现 4 0 π [0，π] |a||b|cos θ |a|cos θ e a·b＝0 |a||b| －|a||b| ≤ 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ 等边三角形 －8 4 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为30°，分别求a·b. 【思路】　根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ. 【解析】　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. ③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝2×5×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3). (2)已知点A，B，C满足|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝3，|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝4，|eq \o(CA,\s\up12(→))|＝5，则eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))·eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))·eq \o(AB,\s\up12(→))的值是________． 【解析】　如图，根据题意可得△ABC为直角三角形， 且B＝eq \f(π,2)，cos A＝eq \f(3,5)，cos C＝eq \f(4,5)， ∴eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))·eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))·eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))·eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))·eq \o(AB,\s\up12(→))＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×eq \f(4,5)－15×eq \f(3,5)＝－25. 向量数量积的运算方法： (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)注意向量共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况． 思考题1　已知|a|＝1，a与b的夹角为60°，且a·b＝eq \f(3,2)，则|b|＝________． 【解析】　由a·b＝|a||b|cos 60°＝1×|b|×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)可知|b|＝3. 例2　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 【解析】　如图所示，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，且∠AOB＝60°. 以eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))为邻边作平行四边形OACB， 则eq \o(OC,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(BA,\s\up12(→))＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°， 所以eq \o(OC,\s\up12(→))与eq \o(OA,\s\up12(→))的夹角为30°，eq \o(BA,\s\up12(→))与eq \o(OA,\s\up12(→))的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 思考题2　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq \f(1,2)AB，则eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(BC,\s\up12(→))的夹角是(　　) A．30°　　　　 B．60° C．120° D．150° 【解析】　如图，作向量eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))，则∠BAD是eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(BC,\s\up12(→))的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝eq \f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°. 例3　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： (1)向量a在向量b上的投影向量； 【解析】　(1)∵|b|＝1，∴b为单位向量． ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))b＝－eq \f(3,2)b. (2)向量b在向量a上的投影向量． 【解析】　(2)∵|a|＝3，∴eq \f(a,|a|)＝eq \f(1,3)a， ∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°eq \f(a,|a|)＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \f(1,3)a＝－eq \f(1,6)a. (1)投影向量的求法： 方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量． 方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ·eq \f(b,|b|)(θ为a与b的夹角)． (2)应注意一个向量在另一个向量上的投影向量与投影向量的数量是不同的，例如向量a在向量b上的投影向量的数量为|a|cos θ. 思考题3　(1)已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量． 【解析】　设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(24,12×8)＝eq \f(1,4)， ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·eq \f(b,|b|)＝12×eq \f(1,4)×eq \f(1,8)b＝eq \f(3,8)b. (2)已知|a|＝3，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，则a在b上的投影向量的数量为(　　) A.eq \f(3\r(3),2) B.eq \f(3\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2) 【解析】　向量a在b上的投影向量的数量为|a|cos〈a，b〉＝3×coseq \f(π,3)＝eq \f(3,2).故选D. 要点1　向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)当θ＝_____时，a与b同向；当θ＝_____时，a与b反向；如果a与b 的夹角是______，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 特别注意，两向量夹角的范围是________． eq \f(π,2) 要点2　向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 本质：数量积是两个向量之间的一种运算，其运算结果是一个数量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定． 要点3　投影向量 (1)变换 变换 图示 设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up10(→))＝a，eq \o(CD,\s\up10(→))＝b，过eq \o(AB,\s\up10(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up10(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up10(→)) (2)定义：称上述变换为向量a向向量b投影，______叫做向量a在向量b上的投影向量． (3)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为__________. eq \o(A1B1,\s\up12(→)) 要点4　平面向量数量积的性质 (1)若两非零向量的夹角为θ， 当0≤θ＜eq \f(π,2)时，非零向量的数量积为正数； 当θ＝eq \f(π,2)时，非零向量的数量积为零； 当eq \f(π,2)＜θ≤π时，非零向量的数量积为负数． (2)若a，b是非零向量，它们的夹角是θ，则 ①a⊥b⇔________； ②若a与b同向，则a·b＝______；若a与b反向，则a·b＝________． ③a·a＝|a|2或|a|＝______．常用此性质进行实数与向量的转化． ④cos θ＝______． ⑤|a·b|____|a||b|. eq \r(a·a) eq \f(a·b,|a||b|) 1．零向量与任一非零向量有没有夹角？ 答：在向量夹角定义中强调了“非零向量”，而向量又不能避开零向量．事实上，由于零向量的方向不定，故零向量与任一向量的夹角就没有什么意义．教材中只是规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．下列五种情况下，如何作出向量a与b的夹角？ 答： 5．在等边△ABC中，向量eq \o(AB,\s\up12(→))与向量eq \o(BC,\s\up12(→))夹角为eq \f(π,3)，对吗？ 答：不对，向量eq \o(AB,\s\up12(→))与向量eq \o(BC,\s\up12(→))夹角为eq \f(2π,3). 3．实数与向量的积与数量积有何区别？ 答：实数与向量的积仍是向量；向量的数量积是实数，而不是向量． 4．若a·b＝0，则a⊥b对吗？ 答：不对，也可能a＝0或b＝0. 6．两个非零向量的数量积a·b的几何意义是什么？ 答：两个非零向量a，b的数量积a·b等于向量a在向量b上的投影向量的数量与b的模的乘积或向量b在向量a上的投影向量的数量与a的模的乘积． 1.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　) A．100 J　　　　 B．50 J C．50eq \r(3) J D．200 J 解析　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J)．故选B. 2.如图，在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，则eq \o(CA,\s\up12(→))，eq \o(AB,\s\up12(→))的夹角为________． eq \f(2π,3) 解析　根据向量夹角定义可知向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))夹角为∠BAC＝eq \f(π,3)，而向量eq \o(CA,\s\up12(→))，eq \o(AB,\s\up12(→))夹角为π－∠BAC＝eq \f(2π,3). 3．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(AC,\s\up12(→))＝8，则△ABC的形状是____________，eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(BC,\s\up12(→))＝________． 解析　eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(AC,\s\up12(→))＝|eq \o(AB,\s\up12(→))||eq \o(AC,\s\up12(→))|cos∠BAC， 即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq \f(1,2)， 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 此时eq \o(AB,\s\up12(→))·eq \o(BC,\s\up12(→))＝|eq \o(AB,\s\up12(→))||eq \o(BC,\s\up12(→))|cos 120°＝－8. 4．已知a·b＝16，e是与b方向相同的单位向量．若向量a在向量b上的投影向量为4e，则|b|＝________. 解析　设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16，∴|a||b|cos θ＝16.又∵向量a在向量b上的投影向量为4e，∴|a|cos θ＝4，∴|b|＝4. 5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点． (1)求向量eq \o(BA,\s\up12(→))在向量eq \o(CD,\s\up12(→))上的投影向量； 解析　如图，连接AD. 因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°，所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝eq \r(3). 由图可知eq \o(BA,\s\up12(→))与eq \o(CD,\s\up12(→))的夹角为∠ABC的补角，所以eq \o(BA,\s\up12(→))与eq \o(CD,\s\up12(→))的夹角为150°. (1)向量eq \o(BA,\s\up12(→))在向量eq \o(CD,\s\up12(→))上的投影向量为|eq \o(BA,\s\up12(→))|cos 150°eq \f(\o(CD,\s\up12(→)),|\o(CD,\s\up12(→))|)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(\o(CD,\s\up12(→)),\r(3))＝－eq \o(CD,\s\up12(→)). (2)求向量eq \o(CD,\s\up12(→))在向量eq \o(BA,\s\up12(→))上的投影向量． 解析　(2)向量eq \o(CD,\s\up12(→))在向量eq \o(BA,\s\up12(→))上的投影向量为|eq \o(CD,\s\up12(→))|cos 150°eq \f(\o(BA,\s\up12(→)),|\o(BA,\s\up12(→))|)＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(\o(BA,\s\up12(→)),2)＝－eq \f(3,4) eq \o(BA,\s\up12(→)). $$