专题 与平行四边形有关的折叠问题（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 专题 与平行四边形有关的折叠问题 题型一 平行四边形中的折叠问题 【例题1】（2024•临高县二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝56°，∠2＝40°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．70° C．110° D．112° 【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠ABE＝56°，由折叠的性质可得∠ABD＝∠EBD∠ABE＝28°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠ABE＝56°， 由折叠的性质可得，∠ABD＝∠EBD∠ABE＝28°， ∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠2＝180°﹣28°﹣40°＝112°． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，熟知折叠的性质是解题关键． 【变式1-1】（2024春•萧县期末）如图，▱ABCD中，∠BAD＝150°，E，F分别为AB，CD的中点，将▱ABCD沿直线EF折叠，A′E与DC交于点G，则∠A′EB的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】根据平行四边形的性质与判定可得AD∥EF∥BC，再根据平行线的性质可得∠A＝∠FEB＝150°，∠A+∠FEA＝180°，从而求得∠FEA＝30°，再由折叠的性质得∠FEA＝∠FEA'＝30°，利用∠AEB＝∠FEB﹣∠FEA求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，DC∥AB，AD∥BC， ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴DF∥AE，DF＝AE， ∴平行四边形DAEF是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴AD∥EF∥BC， ∴∠A＝∠FEB＝150°，∠A+∠FEA＝180°， ∴∠FEA＝180°﹣150°＝30°， 由折叠的性质得∠FEA＝∠FEA'＝30°， ∴∠AEB＝∠FEB﹣∠FEA'＝150°﹣30°＝120°， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质与判定、平行线的性 质、折叠的性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． 【变式1-2】（2024•庐阳区校级三模）如图，在▱ABCD中，∠B＝40°，AB＝AC，将△ADC沿对角线AC翻折，AF交BC于点E，点D的对应点为点F，则∠AEC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】易知AD∥BC，∠B＝∠ACB＝40°，由平行线的性质得∠DAC＝∠ACB＝40°，由折叠的性质得∠DAC＝∠FAC＝40°，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠B＝40°，AB＝AC，且AD∥BC， ∴∠B＝∠ACB＝40°，∠BAD＝140°， ∴∠DAC＝∠ACB＝40°， 由折叠的性质可知，∠DAC＝∠FAC＝40°， ∴∠AEC＝180°﹣（∠ACB+∠FAC）＝180°﹣（40°+40°）＝100°． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、折叠的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 【变式1-3】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 【分析】由折叠可得∠CED＝90°＝∠BCE，即可得到∠DCE＝15°，由折叠可得∠DCF＝2×15°＝30°，即可得到∠BCF＝60°． 【解答】解：由折叠可得，∠CED＝90°＝∠BCE， 又∵∠D＝∠B＝75°， ∴∠DCE＝15°， 由折叠可得，∠DCF＝2×15°＝30°， ∴∠BCF＝60°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A恰好落在CD上的点F，若△BCF的周长为14，CF的长为3，则△DEF的周长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】由折叠的性质得出BF＝AB，EF＝AE，由△BCF的周长得出BC+DC＝11，即可求出△DEF的周长． 【解答】解：由折叠的性质得：△FBE≌△ABE， ∴BF＝AB，EF＝AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD＝BC， ∵△BCF的周长为14， ∴BC+BF+CF＝14， ∴BC+DC＝14﹣3＝11， ∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝DE+AE+DC﹣CF＝AD+DC﹣CF＝11﹣3＝8； 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【变式1-5】如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝8，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于点G，则△GEF的高是（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【分析】根据折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝60°，再利用平行四边形的性质得到∠GFE＝∠DEF＝60°，则可判断△GEF为等边三角形，作EH⊥GF于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH即可． 【解答】解：∵四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′， ∴∠GEF＝∠DEF＝60°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠GFE＝∠DEF＝60°， ∴△GEF为等边三角形， 作EH⊥GF于H，如图， 在Rt△EFH中，HFEF＝4， EHHF＝4， 即△GEF的高是4． 故选：B． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了平行四边形的性质． 【变式1-6】在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1，若BD1＝2，则AD的长为 　 　． 【分析】分两种情况讨论：①当点D在线段AB上时，②当点D在线段AB延长线上时，再根据30度角直角三角形的性质求出AD长． 【解答】解：①当点D在线段AB上时， ∵BD1＝2， ∴AD1＝4﹣2＝2， ∵∠A＝60°， ∴∠ADD1＝30°， ∴AD＝2AD1＝2×2＝4； ②当点D在线段AB延长线上时， ∵BD1＝2， ∴AD1＝4+2＝6， ∵∠A＝60°， ∴∠ADD1＝30°， ∴AD＝2AD1＝2×6＝12； 故答案为4或12． 【点评】本题考查了轴对称，熟练运用30度角直角三角形的性质是解题的关键． 【变式1-7】（2024春•相城区校级月考）如图，菱形纸片ABCD，AB＝16，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B′处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N．则CM的长为 　 ． 【分析】过点B′作B′E⊥BC与BC的延长线交于点E，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出CE和B′E，设BM＝x，则B′M＝x，用x表示出ME，然后在Rt△B′ME中，利用勾股定理得出方程进行解答． 【解答】解：过点B′作B′E⊥BC与BC的延长线交于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，AB∥CD， ∵B′是CD的中点， ∴B′C＝8， ∵∠B＝60°， ∴∠B′CE＝∠B＝60°，∠CB′E＝30°， ∴CE＝4， ∴， 设BM＝x，则ME＝BC+CE﹣BM＝16+4﹣x＝20﹣x， 由折叠的性质知：B′M＝BM＝x， 在Rt△B′ME中，B′M2＝B′E2+ME2， ∴， 解得：x＝11.2，16﹣x＝4.8， 即CM的长为4.8， 故答案为：4.8． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，三角形三边关系，解答本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 【变式1-8】如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处， （1）求证：AE＝AF； （2）求证：△ABE≌△AGF． 【分析】（1）根据折叠的性质可得∠CEF＝∠AEF，根据平行线的性质可得∠CEF＝∠EFA，根据等量关系可得∠AEF＝∠EFA，根据等角对等边即可求解； （2）根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，根据折叠的性质，可得AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，所以AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，由等量代换可得∠BAE＝∠GAF，得到AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，得到∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，AAS可证△ABE≌△AGF． 【解答】（1）证明：由折叠的性质可得∠CEF＝∠AEF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CEF＝∠EFA， ∴∠AEF＝∠EFA， ∴AE＝AF； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD， 又根据题意得：AG＝CD，∠EAG＝∠BCD， ∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG， ∴∠BAE＝∠GAF， 又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC， ∴∠BEA＝∠EAF＝∠GFA， 在△ABE与△AGF中， ， ∴△ABE≌△AGF（AAS）． 【点评】此题是折叠问题，是中考中的常见题目．解此题首先要注意折叠前后的部分全等，即对应角与对应边都相等．解此题还要注意平行四边形的性质的求解方法． 【变式1-9】（2024春•惠济区期末）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D'，折痕为EF，连接CF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6，求线段D'F的长． 【分析】（1）结合平行四边形的性质可证明AF＝EC，再由AF∥EC可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）作AG⊥BE于点G，因为D′F＝DF，又易证DF＝BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可． 【解答】（1）证明：如图1，∵点C与点A重合，折痕为EF， ∴∠1＝∠2，AE＝EC． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠3＝∠2． ∴∠1＝∠3． ∴AE＝AF． ∴AF＝EC． 又∵AF∥EC， ∴四边形AFCE是平行四边形． （2）解：如图2，作AG⊥BE于点G，则∠AGB＝∠AGE＝90°， ∵点D的落点为点D′，折痕为EF， ∴D'F＝DF． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC， 又∵AF＝EC， ∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE． 在Rt△AGB中，∠AGB＝90°，∠B＝45°，AB， ∴AG＝GB＝6． ∵四边形AFCE为平行四边形， ∴AE∥FC． ∴∠4＝∠5＝60°． 在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠4＝60°， ∴GE． ∴BE＝BG+GE＝6． ∴D'F＝6． 【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F＝BE是解决第2小题的关键． 题型二 矩形中的折叠问题 【例题2】（2024春•东坡区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形沿BD折叠，点A落在点A'处，则重叠部分△DEB的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【分析】由折叠的性质可得∠ABD＝∠A'BD，AD＝A'D＝4，由题意可证∠ABD＝∠BDC，则可得∠BDC＝∠A'BD，即BE＝DE，在Rt△BEC中，根据勾股定理可列方程，解得BE的长度，即可求△BDE的面积． 【解答】解：∵将矩形沿BD折叠，点A落在点A'处， ∴∠ABD＝∠A'BD，AD＝A'D＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AD＝BC＝4，CD＝AB＝8， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠A'BD， ∴BE＝DE， 在Rt△BEC中，BE2＝EC2+CB2， ∴BE2＝（8﹣BE）2+16， ∴BE＝DE＝5， ∴S△BDEDE×BC＝10． 故选：A． 【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，关键是根据勾股定理列出方程． 【变式2-1】（2024春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 【分析】利用折叠的性质得到BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，再利用勾股定理得到FH＝5，即可求解BC． 【解答】解：∵矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处， ∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3， ∵∠FPH＝90°， ∴FH5， ∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12， 故选：C． 【点评】本题考查折叠的性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理和折叠的性质求出FH，BF，CH． 【变式2-2】（2024秋•锦江区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝5，AD＝25，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．13 【分析】根据折叠可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理可以即可求出BE． 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴BE＝ED． ∵AD＝25cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴AE＝25﹣BE， 根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2． ∴52+（25﹣BE）2＝BE2， 解得BE＝13， 故选：D． 【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及方程思想的应用是解此题的关键． 【变式2-3】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AD，则菱形AECF的面积为（　　） A． B． C．4 D．8 【分析】根据翻折的性质可得∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得∠OAF＝∠OAE，然后求出∠OAE＝30°，再利用勾股定理求出OE，可得AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD， 在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE， ∴∠OAE90°＝30°， ∴AE＝2OE， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+OE2＝AE2， ∴3+OE2＝4OE2， ∴OE＝1或OE＝﹣1（舍去）， ∴AE＝2OE＝2， ∴菱形AECF的面积＝AE•AD． 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握翻折变换的性质并求出∠OAE＝30°是解题的关键． 【变式2-4】（2024春•越秀区校级期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　） A．12 B．24 C．12 D．16 【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由折叠的性质可得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝60°．根据直角三角形的性质得出A′B′＝AB＝2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：在矩形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠B′EF＝∠EFB＝60°， 由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°， ∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°． 在Rt△A′EB′中， ∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°， ∴B′E＝2A′E，而A′E＝2， ∴B′E＝4， ∴A′B′＝2，即AB＝2， ∵AE＝2，DE＝6， ∴AD＝AE+DE＝2+6＝8， ∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝28＝16． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键． 【变式2-5】如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　） A．3cm B．cm C．5cm D．2cm 【分析】设AF＝x cm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可． 【解答】解：设AF＝x cm，则DF＝（8﹣x）cm， ∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合， ∴DF＝D′F， 在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， 解得：x＝5（cm）． ∴AF＝5cm， 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式2-6】如图，折叠矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，折痕为BM，BM与EF相交于点N，直线BA′交CD于点G，若BC＝5，EN＝1，则DG的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由N是BM中点，推出BN＝NA′，∠NBA′＝∠NA′B，再根据∠ABN＝∠A′BN，所以∠ABN＝∠NBA′＝∠A′BN＝30°，推出AM＝A′M＝2＝A′N，BE，AB＝DC＝2，推出GC，进而求出DO的值． 【解答】解：∵N是BM中点， ∴BN＝NA′， ∴∠NBA′＝∠NA′B， 又∵∠ABN＝∠A′BN， 又∵∠BEN＝90°， ∴∠ABN＝∠NBA′＝∠A′BN＝30°， 又∵EN＝1， ∴AM＝A′M＝2＝A′N， ∴BE，AB＝DC＝2， ∠OBC＝30°，BC＝5， ∴GC， ∴DG＝2． 故选：A． 【点评】考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是得到矩形的宽和A′E的长． 【变式2-7】（2024春•大观区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　） A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 【分析】注意题目表述为射线DC，所以分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一种是点E在DC的延长线上，利用勾股定理分别求解即可． 【解答】解：①如图1，当点E在线段DC上时， ∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°， ∴B，D′，E三点共线， ∵S△ABEAB×ADBE×AD′， ∴BE＝AB＝5， ∵BD′4， ∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1； ②如图2，当点E在DC的延长线上时， ∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5， ∴BD′＝4， 设CE＝x，则： D′E＝DE＝x+5， ∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1， ∵CE2+BC2＝BE2， ∴x2+32＝（x+1）2， 解得：x＝4， ∴DE＝CD+DE＝5+4＝9， 综上，DE的值为1或9． 故选：C． 【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论，特别时第二种比较容易遗漏． 【变式2-8】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G． （1）求证：GF＝GC； （2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长． 【分析】（1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）设GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 【解答】解：（1）连接GE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC， ∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE＝EF， ∴EF＝EC， ∵在矩形ABCD中， ∴∠C＝90°， ∴∠EFG＝90°， ∵在Rt△GFE和Rt△GCE中， ， ∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL）， ∴GF＝GC； （2）设GC＝x＝FG，则DG＝3﹣x， ∵AF＝AB＝3， ∴AG＝3+x， 在Rt△ADG中，由勾股定理得，42+（3﹣x）2＝（3+x）2， 解得x， 即线段GC的长为； 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件EF＝EC是解题的关键．解题时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形． 【变式2-9】（2024秋•行唐县校级月考）情境：如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F． 操作：（1）当α＝90°时，四边形ABFE的形状为　 　； （2）在旋转过程中，存在使点F，E，D在同一直线上的位置，嘉嘉画出了如图2的情形． ①求证：DE＝FC； ②求出EF的长； 探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，EF还应有另一个不同的值．”请在图3中画出淇淇所说的情形，并直接写出此时EF的长． 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得AE＝AB，∠BAE＝∠AEF＝∠B＝90°，即可判定四边形的形状； （2）①证明△ADE≌△DFC，即可得出DE＝FC； ②根据△ADE≌△DFC，可得DF＝AD＝6，根据勾股定理求得DE，即可求解； （3）根据题意补全图形即可；由AAS证明△ADE≌△DFC，得DF＝AD＝6，由勾股定理求出DE，即可求解． 【解答】（1）解：在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，如图1， ∴∠A＝∠B＝90°，AE＝AB，∠AEF＝90°， ∴∠B＝∠EAB＝∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∵AE＝AB， ∴四边形ABFE是正方形； 故答案为：正方形； （2）①证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，CD＝AB，AD∥BC， ∴∠AED＝∠C＝90°，AE＝AB＝CD＝5，∠ADE＝∠DFC， 在△ADE和△DFC中， ， ∴△ADE≌△DFC（AAS）， ∴DE＝FC； ②解：∵△ADE≌△DFC， ∴DF＝AD＝6； 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：．理由如下： 当旋转角大于直角则小于平角大于直角时，补全图形如图3； 同理，△ADE≌△DFC（AAS）， ∴DF＝AD＝6， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， ∴， 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握分类讨论思想． 题型三 菱形中的折叠问题 【例题3】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°， ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°， ∴∠PDC＝90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，∠DEC＝∠DEC′， 在△DEC中，∠DEC＝∠DEC′＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°， ∴∠BEC'＝180°﹣∠DEC﹣∠DEC′＝30°， 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 【变式3-1】（2024春•海沧区期末）如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝4，由折叠的性质可得BE＝EC＝2，AE⊥BC，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝4， ∵将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合， ∴BE＝EC＝2，AE⊥BC， ∴AE2， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式3-2】（2024•平顶山二模）如图，菱形OABC的顶点A在x轴上．CD⊥AB于点D，将菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B′．若∠AOC＝45°，点B′的横坐标为2，则点B的坐标为（　　） A． B．（4，2） C． D． 【分析】根据点B′的横坐标为2，可得OE＝2，则可求得，即可得到点B坐标． 【解答】解：∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝45°， ∴∠B＝∠AOC＝45°，OC＝CB， ∵CD⊥AB，菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B′， ∴∠B′＝45°， ∵∠OAB＝135°， ∴∠EAB＝45°， ∴OA⊥CB′， ∵点B′的横坐标为2， ∴OE＝2， ∴CE＝OE＝2， ∴， ∴， 则点B的坐标为， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，熟练利用相关性质得到菱形的边长是解题的关键． 【变式3-3】如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，将菱形ABCD折叠，使得点B与点A重合，折痕与AB交于点E，与CD交于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据菱形的性质和勾股定理可求出BD，再根据菱形的面积可求出答案． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝6，OB＝OD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， OD8， ∴BD＝2OD＝16， ∴S菱形ABCDAC•BD＝AB•EF， 即12×16＝10EF， ∴EF， 故选：D． 【点评】本题考查菱形的性质，翻折变换，求出菱形的对角线BD的长是解决问题的前提，掌握菱形的面积的计算方法是得出答案的关键． 【变式3-4】如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为（　　） A．3 B．6 C．3 D．3 【分析】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H．只要证明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解决问题． 【解答】解：如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC、△ACD是等边三角形， ∴∠CAD＝∠B＝60°， ∵EG⊥AC， ∴∠GOH＝90°， ∵∠EGF＝∠B＝60°， ∴∠OHG＝30°， ∴∠AGH＝90°， ∴FG⊥AD， ∴FG是菱形的高，即等边△ABC的高6＝3． 故选：C． 【点评】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明线段FG是菱形的高，记住等边三角形的高a（a是等边三角形的边长），属于中考常考题型． 【变式3-5】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝4，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF．则五边形AEFCD的周长是（　　） A．14 B．16 C．4+4 D．8+8 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝2，由勾股定理可求AB＝4，由折叠的性质可求OF＝CF＝BF＝2，由三角形中位线定理可求EF＝2，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝2， ∴AB4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵折叠， ∴BF＝OF， ∴∠FOB＝∠FBO， ∴∠FCO＝∠FOC， ∴OF＝CF， ∴OF＝CF＝BF＝2， 同理可得BE＝OE＝AE＝2， ∴EFAC＝2， ∴五边形AEFCD的周长＝4+4+2+2+2＝14， 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式3-6】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处（不与点B，D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则△BEG的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，设BE＝x根据勾股定理列出方程，即可解决问题． 【解答】解：作EH⊥BD于H， 由折叠的性质可知，EG＝EA， 由题意得，BD＝DG+BG＝8， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD∠ABC＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB＝BD＝8， 设BE＝x，则EG＝AE＝8﹣x， 在Rt△EHB中，BHx，EHx， 在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（8﹣x）2＝（x）2+（6x）2， 解得，x，即BE， ∴EH， ∴△BEG的面积为． 故选：B． 【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 【变式3-7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，若AE＝4，则B′F的长为 　 　． 【分析】根据菱形的性质，由AC＝16，BD＝12，即可计算出BC的长，易证△AOE≌△COF，可得AE＝CF＝4，再根据翻折的性质即可得出答案． 【解答】解：∵AC＝16，BD＝12， ∴BO8，CO， ∴BC＝10， ∵四边形ABCD是菱形， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF＝4， 根据折叠的性质可得， B′F＝BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）及菱形的性质，熟练掌握翻折变换（折叠问题）及菱形的性质进行求解是解决本题的关键． 【变式3-8】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，求∠DEC的度数． 【分析】设DC′交AB于点F，由DC′是AB的垂直平分线，得∠AFD＝90°，由菱形的性质得CD∥AB，∠C＝∠A＝60°，∠ADF＝90°﹣∠A＝30°，则∠ADC＝120°，求得∠CDC′＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C′DE＝45°，则∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝75°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设DC′交AB于点F， ∵DC′是AB的垂直平分线， ∴∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴CD∥AB，∠C＝∠A＝60°，∠ADF＝90°﹣∠A＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠CDC′＝∠ADC﹣∠ADF＝120°﹣30°＝90°， 由折叠得∠CDE＝∠C′DE∠CDC°＝45°， ∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 【点评】此题重点考查菱形的性质、翻折变换的性质、线段的垂直平分线等知识，求得∠CDE＝45°是解题的关键． 【变式3-9】如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF．若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长． 【分析】连接BD、AC，则两条线交于点O．分析题意，首先根据菱形的性质得出AC⊥BD、AC平分∠BAD，结合已知可得∠ABO＝30°；在Rt△AOB中，根据30°所对的直角边为斜边的一半可得AOAB，再由勾股定理可得到BO的长度，进而可得BD的长；接下来，根据折叠的性质得出EF垂直平分AO，推出EF∥BD，则有EF为△ABD的中位线，然后根据三角形中位线的性质即可求解． 【解答】解：连接BD、AC，则两条线交于点O． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD． ∵∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°． ∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°， ∴AOAB2＝1， ∴BO＝DO， ∴BD＝2． ∵A沿EF折叠与O重合， ∴EF垂直平分AO． ∵AO⊥BD，AO⊥EF， ∴EF∥BD． ∵EF∥BD，EF平分AO， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EFBD． 【点评】此题考查的是菱形的性质、翻折性质、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 题型四 正方形中的折叠问题 【例题4】（2024•大冶市三模）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】由折叠的性质可得DN＝NE，由中点的性质可得EC＝4cm，结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为x cm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm，接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度． 【解答】解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的， ∴DN＝NE． ∵E是BC的中点且BC＝8cm， ∴EC＝4cm． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°． 设CN的长度为x cm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm， 由勾股定理NC2+EC2＝NE2，得x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3． 故选：A． 【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 【变式4-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【解答】解：由折叠可得DF＝EF，设AF＝x，则EF＝8﹣x， ∵AF2+AE2＝EF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3． 故选：A． 【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 【变式4-2】如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B． C．1 D．2 【分析】由折叠的性质得DH＝EH，设CH＝x，则DH＝EH＝4﹣x，再由BE：EC＝3：1得CE＝2，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，BC＝CD＝4， 由折叠的性质得：EH＝DH， 设CH＝x，则DH＝EH＝4﹣x， ∵BE：EC＝3：1， ∴CEBC＝1， 在Rt△ECH中，由勾股定理得：EH2＝EC2+CH2， 即（4﹣x）2＝12+x2， 解得：x， 即CH． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式4-3】（2024秋•青岛期中）如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处，折痕CF交AD于点F，连接EB，若EB＝4，则FD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由四边形ABCD是正方形，M，N分别是AD，BC的中点，证明四边形CDMN是矩形，则MN垂直平分BC，所以EC＝EB＝4，由折叠得EC＝DC＝4，FE＝FD，则AD＝BC＝DC＝MN＝4，所以DM＝AM＝2，CN＝BN＝2，则FM＝2﹣FD，EN2，所以EM＝4﹣2，于是得（4﹣2）2+（2﹣FD）2＝FD2，求得FD＝8﹣4，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AD＝AB＝BC＝DC，AD∥BC， ∵M，N分别是AD，BC的中点， ∴DM＝AMAD，CN＝BNBC， ∴DM∥CN，且DM＝CN， ∴四边形CDMN是平行四边形， ∵∠D＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴∠CNE＝∠FME＝90°， ∴MN垂直平分BC， ∴EC＝EB＝4， 由折叠得EC＝DC＝4，FE＝FD， ∴AD＝BC＝DC＝MN＝4， ∴DM＝AMAD＝2，CN＝BNBC＝2， ∴FM＝2﹣FD，EN2， ∴EM＝4﹣2， ∵EM2+FM2＝FE2， ∴（4﹣2）2+（2﹣FD）2＝FD2， 解得FD＝8﹣4， 故选：D． 【点评】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出AD＝BC＝DC＝MN＝4是解题的关键． 【变式4-4】（2023秋•泗县期中）如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，则AE＝　 　；EF＝　 　 ． 【分析】设点B、点D的对应点分别是点G、点H，EG交AC于点O，由正方形的性质得AB＝CB＝AD＝CD，∠A＝∠D＝90°，则∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，由翻折得∠CGE＝∠B＝90°，GE＝BE＝1，则∠EAG＝∠AEG＝45°，所以GA＝GE＝BE＝1，由勾股定理得AEGE，则AB＝CB＝AE+BE1，所以ACAB＝2，再证明四边形AECF是平行四边形，则OA＝OC＝1，所以OG，即可根据勾股定理求得OE＝OF，则EF，于是得到问题的答案． 【解答】解：设点B、点D的对应点分别是点G、点H，EG交AC于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝AD＝CD，∠A＝∠D＝90°，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°， 由翻折得∠CGE＝∠B＝90°，GE＝BE＝1， ∴∠AGE＝90°， ∴∠EAG＝∠AEG＝45°， ∴GA＝GE＝BE＝1， ∴AEGE1， ∴AB＝CB＝AE+BE1， ∴ACAB（1）＝2， ∵∠ACE＝∠BCE∠BCA，∠CAF＝∠DAF∠DAC， ∴∠ACE＝∠CAF， ∴CE∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴OA＝OCAC（2）＝1， ∴OG＝OA﹣GA＝11， ∴OE＝OF， ∴EF＝2OE＝2， 故答案为：，． 【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、平行线边形的判定与性质等知识，正确地作出AC的长是解题的关键． 【变式4-5】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长． 【分析】设AM＝x，连接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设AM＝x， 连接MB，MB'，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9， ∵B'C＝3， ∴DB'＝6， 在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2， 在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2， 由折叠的性质得：MB＝MB'， ∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2， 即92+x2＝（9﹣x）2+62， 解得：x＝2， 即AM＝2． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式4-6】已知正方形ABCD中，AB＝6，点E在AB上，且BE＝2AE，将△ADE沿DE对折至△DEF，延长EF交BC于H，连接DH，BF． （1）求证：CH＝FH； （2）求BH的长； （3）求△FBH的面积． 【分析】（1）由折叠的性质可得AD＝DF＝DC，∠DAE＝∠EFD＝90°＝∠DCB，由“HL”可证Rt△DCH≌Rt△DFH，可得CH＝FH； （2）由勾股定理可求BH的长； （3）由三角形的面积关系可求解． 【解答】证明：（1）∵将△ADE沿DE对折至△DEF， ∴AD＝DF，∠DAE＝∠EFD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD，∠DCB＝90° ∴DF＝DC，且DH＝DH， ∴Rt△DCH≌Rt△DFH（HL） ∴CH＝FH； （2）∵AB＝6，BE＝2AE， ∴AE＝2，BE＝4， ∵EH2＝BE2+BH2， ∴（CH+2）2＝16+（6﹣CH）2， ∴CH＝3， ∴BH＝3； （3）∵S△BEHBE×BH＝6，且EF＝2，FH＝3， ∴△FBH的面积3． 【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明Rt△DCH≌Rt△DFH是本题的关键． 【变式4-7】如图，点F在正方形ABCD的AD边上，连接BF．把△ABF沿BF折叠，与△GBF重合．连接AG并延长交CD于点E，交BF于点H． （1）证明：BF＝AE； （2）若AB＝15，EC＝7，求GE的长． 【分析】（1）由“ASA”可证△ABF≌△DAE，可得BF＝AE； （2）由勾股定理可求BF，由面积公式可求AH的长，即可求GE的长． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH＝GH， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， 又∵∠FAH+∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠FAH， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴BF＝AE； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝15． ∵CE＝7， ∴DE＝15﹣7＝8， ∵△ABF≌△DAE， ∴AF＝DE＝8， 在Rt△ABF中，BF17， ∵S△ABFAB•AFBF•AH， ∴15×8＝17AH， ∴AH， ∴AG＝2AH， ∵AE＝BF＝17， ∴GE＝AE﹣AG＝17， 【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式4-8】（2024•柳北区校级四模）【动手操作】数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【折一折、猜想计算】如图1，把长为5，宽为4的矩形纸片ABCD对折，使边AB与边CD重合，展开后得到折痕EF．如图2，将矩形纸片ABCD沿经过点A的直线折叠，使点D落在EF上的点N处，连接DN． （1）①如图2，判断△ADN的形状，并说明理由；②求线段NF的长； 【折一折、探究证明】如图3，将矩形纸片ABCD换成边长为4的正方形纸片ABCD，沿经过点A的直线折叠，使点D落在正方形纸片ABCD内部的点N处，延长MN交BC于点G． （2）猜想BG与NG之间的数量关系并证明；若DM＝1，求△CMG的面积． 【分析】（1）①根据折叠的性质即可解答； ②过点N作NG⊥AB于点G，根据勾股定理即可解答； （2）连接AG，根据折叠的性质，全等三角形的性质与判定及勾股定理即可解答． 【解答】解：（1）①△ADN是等边三角形，理由如下： 由折叠性质得AE＝DE，EF⊥AD，AD＝AN， ∴AN＝DN，EF＝AB， ∴AN＝AD＝DN， ∴△ADN是等边三角形； ②如图，过点N作NG⊥AB于点G， 则， 由①知AN＝AD＝4， 由勾股定理，得， ∴． （2）BG＝NG，证明如下： 如图，连接AG， 由折叠性质得∠ADM＝∠ANM＝90°，AN＝AD， ∴∠ANG＝90°， ∵AB＝AD， ∴AB＝AN， 又∵∠B＝90°， 在 Rt△ANG和Rt△ABG中， ， ∴Rt△ANG≌Rt△ABG（HL）， ∴BG＝NG； ∵DM＝1， ∴MN＝1，CM＝4﹣1＝3， 设BG＝NG＝x，则CG＝4﹣x，GM＝x+1， 在Rt△CGM中，由勾股定理得GM2＝CG2+CM2， ∴（x+1）2＝（4﹣x）2+32， 解得， ∴， ∴S△CMG． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，添加辅助线是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第15章 四边形》 专题 与平行四边形有关的折叠问题 题型一 平行四边形中的折叠问题 【例题1】（2024•临高县二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝56°，∠2＝40°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．70° C．110° D．112° 【变式1-1】（2024春•萧县期末）如图，▱ABCD中，∠BAD＝150°，E，F分别为AB，CD的中点，将▱ABCD沿直线EF折叠，A′E与DC交于点G，则∠A′EB的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式1-2】（2024•庐阳区校级三模）如图，在▱ABCD中，∠B＝40°，AB＝AC，将△ADC沿对角线AC翻折，AF交BC于点E，点D的对应点为点F，则∠AEC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【变式1-3】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A恰好落在CD上的点F，若△BCF的周长为14，CF的长为3，则△DEF的周长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-5】如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝8，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于点G，则△GEF的高是（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【变式1-6】在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1，若BD1＝2，则AD的长为 　 　． 【变式1-7】（2024春•相城区校级月考）如图，菱形纸片ABCD，AB＝16，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B′处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N．则CM的长为 　 ． 【变式1-8】如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处， （1）求证：AE＝AF； （2）求证：△ABE≌△AGF． 【变式1-9】（2024春•惠济区期末）如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D'，折痕为EF，连接CF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若∠B＝45°，∠FCE＝60°，AB＝6，求线段D'F的长． 题型二 矩形中的折叠问题 【例题2】（2024春•东坡区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形沿BD折叠，点A落在点A'处，则重叠部分△DEB的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【变式2-1】（2024春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式2-2】（2024秋•锦江区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝5，AD＝25，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．13 【变式2-3】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AD，则菱形AECF的面积为（　　） A． B． C．4 D．8 【变式2-4】（2024春•越秀区校级期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　） A．12 B．24 C．12 D．16 【变式2-5】如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　） A．3cm B．cm C．5cm D．2cm 【变式2-6】如图，折叠矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，折痕为BM，BM与EF相交于点N，直线BA′交CD于点G，若BC＝5，EN＝1，则DG的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-7】（2024春•大观区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　） A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1 【变式2-8】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G． （1）求证：GF＝GC； （2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长． 【变式2-9】（2024秋•行唐县校级月考）情境：如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F． 操作：（1）当α＝90°时，四边形ABFE的形状为　 　； （2）在旋转过程中，存在使点F，E，D在同一直线上的位置，嘉嘉画出了如图2的情形． ①求证：DE＝FC； ②求出EF的长； 探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，EF还应有另一个不同的值．”请在图3中画出淇淇所说的情形，并直接写出此时EF的长． 题型三 菱形中的折叠问题 【例题3】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式3-1】（2024春•海沧区期末）如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式3-2】（2024•平顶山二模）如图，菱形OABC的顶点A在x轴上．CD⊥AB于点D，将菱形沿CD所在直线折叠，点B的对应点为B′．若∠AOC＝45°，点B′的横坐标为2，则点B的坐标为（　　） A． B．（4，2） C． D． 【变式3-3】如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，将菱形ABCD折叠，使得点B与点A重合，折痕与AB交于点E，与CD交于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为（　　） A．3 B．6 C．3 D．3 【变式3-5】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝4，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF．则五边形AEFCD的周长是（　　） A．14 B．16 C．4+4 D．8+8 【变式3-6】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处（不与点B，D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则△BEG的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式3-7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，若AE＝4，则B′F的长为 　 　． 【变式3-8】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，求∠DEC的度数． 【变式3-9】如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF．若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长． 题型四 正方形中的折叠问题 【例题4】（2024•大冶市三模）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式4-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式4-2】如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B． C．1 D．2 【变式4-3】（2024秋•青岛期中）如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处，折痕CF交AD于点F，连接EB，若EB＝4，则FD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（2023秋•泗县期中）如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，则AE＝　 　；EF＝　 　 ． 【变式4-5】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长． 【变式4-6】已知正方形ABCD中，AB＝6，点E在AB上，且BE＝2AE，将△ADE沿DE对折至△DEF，延长EF交BC于H，连接DH，BF． （1）求证：CH＝FH； （2）求BH的长； （3）求△FBH的面积． 【变式4-7】如图，点F在正方形ABCD的AD边上，连接BF．把△ABF沿BF折叠，与△GBF重合．连接AG并延长交CD于点E，交BF于点H． （1）证明：BF＝AE； （2）若AB＝15，EC＝7，求GE的长． 【变式4-8】（2024•柳北区校级四模）【动手操作】数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【折一折、猜想计算】如图1，把长为5，宽为4的矩形纸片ABCD对折，使边AB与边CD重合，展开后得到折痕EF．如图2，将矩形纸片ABCD沿经过点A的直线折叠，使点D落在EF上的点N处，连接DN． （1）①如图2，判断△ADN的形状，并说明理由；②求线段NF的长； 【折一折、探究证明】如图3，将矩形纸片ABCD换成边长为4的正方形纸片ABCD，沿经过点A的直线折叠，使点D落在正方形纸片ABCD内部的点N处，延长MN交BC于点G． （2）猜想BG与NG之间的数量关系并证明；若DM＝1，求△CMG的面积． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$