第41期 19.3矩形、菱形、正方形（三）-正方形19.4综合与实践 多边形的镶嵌-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（沪科版）

书 正方形因其特殊的性质，考题形式多种多样，掌握 每类题型的解题策略可以快速巧妙地解决问题．现列举 几例加以说明，供同学们参考． 一、开放型 例１　如图１，四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，ＡＣ与ＢＤ相交于 点Ｏ，ＡＢ＝ＡＤ，添加一个条件 ，可使ＡＢＣＤ成为正方形． 解：添加条件∠ＢＡＤ＝９０°． 证明如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝ＡＤ，所以四 边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ∠ＢＡＤ ＝９０°，所以四边形 ＡＢＣＤ是正方形．故填答案不惟一，如∠ＢＡＤ＝９０°． 二、探究型 例２　如图２，在正方形ＡＢＣＤ 的外侧，作两个等腰三角形ＡＤＥ和 ＤＣＦ．若ＥＡ＝ＥＤ＝ＦＤ＝ＦＣ，试 判断ＢＥ和 ＡＦ的关系，并给予证 明． 解：ＢＥ＝ＡＦ，ＢＥ⊥ ＡＦ．证明 如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＤ， ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＤＡ ＝ ９０°． 在 △ＥＡＤ 和 △ＦＤＣ中， ＥＡ＝ＦＤ， ＡＤ＝ＤＣ， ＥＤ＝ＦＣ { ， 所以 △ＥＡＤ≌ △ＦＤＣ（ＳＳＳ）．所以 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＤＣ．所以∠ＢＡＤ＋∠ＥＡＤ＝∠ＣＤＡ＋∠ＦＤＣ，即∠ＢＡＥ ＝∠ＡＤＦ．在△ＢＡＥ和△ＡＤＦ中， ＥＡ＝ＦＤ， ∠ＢＡＥ＝∠ＡＤＦ， ＡＢ＝ＤＡ { ， 所以 △ＢＡＥ≌△ＡＤＦ（ＳＡＳ）．所以ＢＥ＝ＡＦ，∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦ．所 以∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＦ＝９０°．所以ＢＥ⊥ＡＦ． 三、规律型 例 ３　 如 图 ３，四 边 形 ＯＡＡ１Ｂ１是边长为１的正方形，以 对角线 ＯＡ１为边作第二个正方 形 ＯＡ１Ａ２Ｂ２，连接 ＡＡ２，得到 △ＡＡ１Ａ２；再以对角线 ＯＡ２为边 作第三个正方形 ＯＡ２Ａ３Ｂ３，连接 Ａ１Ａ３，得到△Ａ１Ａ２Ａ３，再以对角线 ＯＡ３为边作第四个正 方形 ＯＡ３Ａ４Ｂ４，连接 Ａ２Ａ４，得到 △Ａ２Ａ３Ａ４，…，设 △ＡＡ１Ａ２，△Ａ１Ａ２Ａ３，△Ａ２Ａ３Ａ４，… 的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２， Ｓ３，…，如此下去，则Ｓ２０２３的值为 （　　） Ａ．１ ２２０２３ 　　Ｂ．２２０２１　　Ｃ．２２０２１＋１２　　Ｄ．１０１１ 解：因为四边形ＯＡＡ１Ｂ１是边长为１的正方形，所以 ∠ＯＡＡ１ ＝９０°．所以ＯＡ ２ １ ＝１ ２＋１２ ＝２，Ｓ１ ＝ １ ２×１× １＝１２．因为四边形ＯＡ１Ａ２Ｂ２是正方形，所以∠ＯＡ１Ａ２＝ ９０°，ＯＡ１ ＝Ａ１Ａ２．所以 ＯＡ ２ ２ ＝２ＯＡ ２ １ ＝４．因为四边形 ＯＡ２Ａ３Ｂ３是正方形，所以ＯＡ２ ＝Ａ２Ａ３ ＝２．所以Ｓ２ ＝ １ ２ ×２×１＝１，Ｓ３ ＝ １ ２×２×２＝２．根据规律可得Ｓｎ ＝ ２ｎ－２．所以Ｓ２０２３ ＝２ ２０２１．故选Ｂ． 书 正方形既是矩形，又是菱形．判定一个四边形为正 方形，通常有两种途径：先证明它是矩形，再证明它是菱 形；先证明它是菱形，再证明它是矩形．现举例说明两种 证明思路． 招式一、矩形 ＋一组邻边相等 ＝正方形 例１　 如图１，已知四边 形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＢ＝４槡２， 点Ｅ为对角线 ＡＣ上一动点， 连接ＤＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＤＥ， 交射线 ＢＣ于点 Ｆ，以 ＤＥ，ＥＦ 为邻边作矩形 ＤＥＦＧ，连接 ＣＧ．求证： （１）矩形ＤＥＦＧ是正方形； （２）ＣＥ＋ＣＧ＝８． 证明：（１）过点Ｅ分别作ＥＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，ＥＮ⊥ＣＤ 于点Ｎ，如图１． 所以∠ＥＭＦ＝∠ＥＮＤ＝∠ＥＮＣ＝９０°． 因为点Ｅ是正方形ＡＢＣＤ对角线上的点， 所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，∠ＢＣＤ＝９０°． 所以ＥＭ ＝ＥＮ，∠ＭＥＮ＝３６０°－∠ＥＭＦ－∠ＥＮＣ －∠ＢＣＤ＝９０°． 因为四边形ＤＥＦＧ是矩形， 所以∠ＤＥＦ＝９０°． 所以∠ＭＥＮ－∠ＦＥＮ＝∠ＤＥＦ－∠ＦＥＮ，即∠ＦＥＭ＝ ∠ＤＥＮ． 在△ＤＥＮ和 △ＦＥＭ中， ∠ＥＮＤ＝∠ＥＭＦ， ＥＮ＝ＥＭ， ∠ＤＥＮ＝∠ＦＥＭ { ， 所以 △ＤＥＮ≌△ＦＥＭ（ＡＳＡ）． 所以ＥＤ＝ＥＦ． 所以矩形ＤＥＦＧ是正方形． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＤＥＦＧ都是正方 形，所以 ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝４槡２，ＤＥ＝ＤＧ，∠ＡＤＣ＝ ∠ＥＤＧ＝９０°． 所以∠ＡＤＣ－∠ＥＤＣ＝∠ＥＤＧ－∠ＥＤＣ，即∠ＡＤＥ ＝∠ＣＤＧ． 在 △ＡＤＥ和 △ＣＤＧ中， ＡＤ＝ＣＤ， ∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＧ， ＤＥ＝ＤＧ { ， 所以 △ＡＤＥ≌△ＣＤＧ（ＳＡＳ）． 所以ＡＥ＝ＣＧ． 所以ＣＥ＋ＣＧ＝ＣＥ＋ＡＥ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝８． 招式二、菱形 ＋对角线相等 ＝正方形 例２　如图２，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交 于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ在对角线ＢＤ 上，且ＢＥ＝ＤＦ，ＯＥ＝ＯＡ． 求证：四边形 ＡＥＣＦ是正方 形． 证明：因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ