期中专题08 立体几何初步大题综合（精选38题）-【百强名校好题】备战2024-2025学年高一数学下学期期中考试必刷题型分类汇编（人教A版2019）

期中专题08 立体几何初步大题综合 1．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在为线段中点，证明见解析 (3) 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面平面； （2）先根据条件作出二面角的平面角，假设边长后利用即可求出结果. 【详解】（1）证明：由条件有， 且平面，， 平面，又平面，； 又，是的中点，； 又平面，， 平面，平面，． 由已知，且平面，， 平面．又平面， 平面平面． （2）取中点，则，作于，连结． 底面，底面． 为在平面内的射影， ，， 为二面角的平面角． 设， 在中，，， ； 二面角的正切值为． . 3．如图，正方体的棱长为，是的中点． (1)证明：平面； (2)设与交点为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）由等体积法转化为易求底面积的三棱锥，利用体积公式求解即可. 【详解】（1）证明：如图： 连接交于点，连接， 在正方体中，底面为正方形， 所以为的中点， 又因为是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 正方体的棱长为，则， 三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 底面，平面，所以， 由正方体的对称性易知是的中点， 则， 因为在正方体中， ，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为点到平面的距离， 在正方形中，，平面，平面， 所以，，所以平面， 所以点到平面的距离为， 即三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为：. 4．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求三棱柱的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可； （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为，所以底面，均为直角三角形． 因为，，所以． 所以三棱柱的表面积为 ． （2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形， 所以为的中点．因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    5．如图，在三棱柱中，已知侧面，， (1)求证：平面； (2)是线段上的动点，当平面 平面时，求线段的长； (3)若为的中点，求二面角平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由，，根据线面垂直的判定定理即可证结论； （2）先证面面，因此过作交线的垂线，可得到平面，即可求得= ； （3）由上一问面，故过作交所在直线为点，则为所求平面的二面角，利用三角函数即可求值． 【详解】（1）证明：侧面，侧面，得， 由，知，即， 又交于点A，且都在面内，故平面. （2）由已知侧面，面，知面面， 过作于，面，面面， 则面，因面，故平面平面， 此时. （3）由（2）：面，面，则 过P作交于，且都在面内， 所以面，则二面角平面角为或其补角， 由，则，且， 所以，又 ， ，故. 6．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 7．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 8．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14.    (1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土； (2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 【答案】(1) (2)4升 【分析】（1）由台体体积公式求正四棱台的体积，再求所挖去的圆柱的体积，相减可得几何体的体积； （2）计算该几何体的表面积，由此计算所需购买保护液的体积. 【详解】（1）由已知正四棱台的上底面积，下底面积，高， 所以正四棱台的体积； 由已知圆柱的底面半径，高， 所以圆柱的体积； 故该预制件的体积 故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土. （2）作该几何体的截面，过点作，垂足为，如下：    由已知，， 该正四棱台侧面梯形的高为：， 故该预制件的表面积， ∴， ， 所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升. 9．在梯形中，，是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接使得平面平面． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由（1）知，异面直线与所成角就是直线与所成角，连接，得到，证得，再由平面平面AECD，证得，在中，，即可求解； （3）设点A到平面SDE的距离为， 结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）证明：在梯形中，，是线段上一点，可得 因为平面SCD，平面，所以平面. （2）解：由（1）知，异面直线与所成角就是直线与所成角， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，， 又因为，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 折叠后，，且， 连接，在中，由余弦定理得，可得，所以， 又因为平面平面AECD，平面平面，平面AECD， 所以平面SCD，因为平面SCD，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以异面直线与所成角为. （3）解：设与平面所成的角为， 由（2）易知，且，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以， 设点A到平面SDE的距离为， 可得， 因为，可得，所以. 10．如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积； (2)求棱台的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得； （2）求出棱台各个面的面积后相加即可得. 【详解】（1）过点作底面于点，交平面于点， 由正四棱锥及棱台的性质可知，为底面的中心， 则， 即棱台的高， ， （2）连接，则，则， 作于点，则， 故 . 11．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积； (3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积； （2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积； （3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为的面积为， ，解得（负值舍去）， 又，所以， 圆锥的侧面积. （2）作出轴截面如图所示： 根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点， 设内切球半径为，即，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高，， 则有，解得， 所以圆锥的内切球的表面积； （3）由（1）知圆锥的高， 令正四棱柱的底面边长为，高为， 则， 由得， ， 所以正四棱柱的侧面积 ，当且仅当，即时等号成立， 所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为. 12．如图，在正六棱锥中，球是其内切球，，点是底面内一动点（含边界），且.    (1)求正六棱锥的体积； (2)当点在底面内运动时，求线段所形成的曲面与底面所围成的几何体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正六棱锥的结构特征，结合已知数据，求出底面积和高，可求体积； （2）由，可得所示几何体的圆锥，求出底面半径和母线长，可计算表面积. 【详解】（1）设是底面的中心，连接，， 底面为正六边形，可知为等边三角形，， 在中，, 在正六边形中，， 所以.    （2）取的中点N，连接，，， 设正六棱锥的内切球与侧面相切于点H，可知H在上，连接， 等边三角形中，， 在中，，则，所以， 设内切球O的半径为r，则，由，得，所以， 所以， 在中，，所以， 所以点M在六边形中， 且以为圆心为半径的圆上， 所以点M在底面内运动时， 线段所形成的曲面与底面所围成的几何体为圆锥， 圆锥底面半径为，母线长为2， 此几何体的表面积为 【点睛】方法点睛：圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，找到等量关系列出算式. 13．如图，在正方体中，是的中点． (1)求证：平面ACE； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，从而得证； （2）根据正方体的性质及计算可得三棱锥的体积． 【详解】（1）连接交于，连接， 则为的中点，又是的中点, 所以是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）正方体中，易知平面， 所以 . 14．如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)证明：平面平面； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1)侧面积，体积 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）确定圆柱的底面半径和高，结合圆柱的侧面积与体积公式计算即可求解； （2）根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，确定当三点共线时取得最小值.求出，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】（1）圆柱的底面半径，高， 圆柱的侧面积． 圆柱的体积． （2）由题意知，平面，又平面， 所以，而平面， 所以平面，又平面， 故平面平面； （3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上． 当三点共线时取得最小值，为. ∵，， ，， ∴在三角形中，由余弦定理得， ∴的最小值等于． 15．如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求： (1)正四棱锥S-ABCD的表面积； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S-ABCD的表面积； （2）取SD中点为Q，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE，由线面平行的判定可得平面PAC，根据等比例性质有，再根据线面平行的判定得平面PAC，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性. 【详解】（1）正四棱锥S-ABCD中，，则侧面的高， 所以正四棱锥S-ABCD的表面积. （2）在侧棱SC上存在一点E，使平面PAC，满足， 理由如下： 取SD中点为Q，因为，则， 过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE. 在中有，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC， 由，则，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC，而，故面面PAC， 又面，则平面PAC，此时. 16．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明面面，即可证明平面； （2）假设在棱上存在点，使得面，由线面平行的性质定理即可得点为棱的中点. 【详解】（1）在上取点，使得，连接， 在中，点、分别为、上的三等分点，则有 又面、面 由线面平行的判定定理：面 又且，∴四边形为平行四边形 则有，又面、面，∴面 由于面、面，，∴面面 又面，∴面 （2）假设在棱上存在点，使得面 连接，交于 ∵面，面，面面 由线面平行的性质定理： 则在中，，易知， ∴，∴点为棱的中点，即 17．正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，即可得到，则或其补角为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出； （2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证. 【详解】（1）连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角为异面直线与所成的角， 在正方体中，可得，即为等边三角形， 所以，所以异面直线与所成角为；    （2）取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 而，所以， 又因为平面，平面，平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 18．已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质证明，利用勾股定理证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）不妨设， 因为平面平面，故， 在中，， 由余弦定理，， 得，故，则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； （2）由（1）知，两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系， 则， 故， ，所以， 设，则，即， 所以； 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得，故． 19．如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面ACE； (2)若，求三棱锥B—AEC的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【详解】（1）因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）设正方体的棱长为，因为，则 即正方体的棱长是，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 20．在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． (1)证明：平面平面AMN； (2)记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； (3)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用垂足关系和平行关系，转化为证明平面； （2）首先利用的垂线，利用垂线构造二面角的平面角，再根据几何关系求解的值； （3）利用垂足关系和平行关系，得到，即可化简，并求取值范围. 【详解】（1）因为，且点是的中点， 所以， 因为是等腰直角三角形，，，， 则， 则，得， 因为点分别是的中点，所以，即， ，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （2）因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 取的中点，连结， 因为，则，， 所以， 所以为二面角的平面角， ； （3）在线段取点，使得， 从而易得且，，， 另一方面，，，从而， 所以，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，， 所以， 从而， 则. 21．如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由异面直线所成角的定义可知，异面直线与所成角为或其补角，求出三边边长，可知该三角形为等腰三角形，取线段的中点，连接，可知，即可求得的值，即为所求. 【详解】（1）证明：因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2）解：因为，则异面直线与所成角为或其补角， 因为，，则为等边三角形，且， 因为为的中点，则，且， 易知是边长为的等边三角形， 因为为的中点，则，且， 因为，、分别为、的中点，则， 取线段的中点，连接，    因为，，则， 所以，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 22．如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， （ⅰ）求证：共面； （ⅱ）求多边形的面积； (2)求该八面体体积的最大值． 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（ⅰ）三点确定平面，证明其余务点都在内；（ⅱ）由多边形的形状，利用分割法求面积。 （2）八面体补成六棱柱，转化为规则图形求体积. 【详解】（1）（ⅰ）证明：由基本事实1，三点共面，设这三点确定的平面为，    因为，且平面，平面， 所以平面，同理，平面， 又因为平面由棱柱上底面绕中心旋转得到， 所以平面平面，因为平面，所以平面， 若平面与平面相交，设平面平面，则至少与中一条直线相交， 不失一般性，设，则平面，且，由基本事实3知，与矛盾，故平面平面， 若平面，则与平面相交，由平面平面，则与平面相交， 因为平面，所以与相交，与矛盾，所以平面， 即四点共面；同理， 综上，六点共面. （ⅱ）旋转后俯视图形如下，由条件知， 且，    旋转前与夹角为，旋转后夹角为， 由平行关系，得，同理， 联结，所以全等且均为等腰直角三角形， 所以，又因为为正三角形且边长为， 所以，所以截面的面积为 （2）(3)利用割补法，分别由向平面作垂线，垂足为， 由向平面作垂线，垂足为； 将八面体补成六棱柱，则八面体的体积为六棱柱的体积扣去六个全等的四面体，即，    易知这些棱柱与棱锥的高均为三棱柱的高，设， 则， 其中，的外接圆也是的外接圆，    设其圆心为O，由正弦定理，其半径为 则，当时，距离最远，此时， 所以八面体体积的最大值为 【点睛】方法点睛： 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进，即将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解． 23．在正四面体中，平面，D为AB中点，在CD上.    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直可得即为与平面所成的角，即可利用重心的性质以及勾股定理求解， （2）根据线面垂直的性质可得线线垂直，即可根据线线垂直求证线面垂直，即可求证. 【详解】（1）设正四面体的棱长为，连接， 由于平面，平面， 故，且为等边三角形的中心，即为与平面所成的角， 则 ， 故，    （2）由于平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故. 24．在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】（1）利用中位线的性质及线线平行证明线面平行即可； （2）作，，，构造面面平行，利用面面平行的性质判定线面平行即可. 【详解】（1） 如图所示，连接交于N，连接， 由题意可知为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）存在点，使得平面，理由如下： 如图所示，作交直线于E点，过E作交于F， 过F作交于Q， 因为底面为平行四边形，所以C为的中点，则为中点， 又，即为的中点， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面，平面, 又，平面， 所以平面平面， 同理平面平面， 因为平面平面，所以两平面重合， 即平面平面， 因为平面，所以存在一点，使得平面， 且． 25．如图1，等腰满足，，于．如图2，将绕着直线SA旋转时，在BA旋转而成的平面内总有点满足，，（点，点分别在直线BD两侧）． (1)求线段长； (2)求证：平面； (3)记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，当四棱锥的体积最大时，求值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据余弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可根据等边三角形的性质求解， （2）根据线线垂直即可求证， （3）根据余弦定理可得，根据面积公式可得,两式平方可得，即可求解面积的最值，进而可得，即可根据锥体体积公式求解. 【详解】（1）由，以及余弦定理可得,即 又，所以， 由于，所以， 故为边长为2的等边三角形， 由于，故 （2）由（1）知为边长为2的等边三角形，， 故平面 故平面 （3）在图2中，设,, 由余弦定理可得, 故， 平方得 ①， 记四边形的面积为，由于四棱锥的高为定值，故要使四棱锥的体积最大时，只需要最大即可， 则， 平方可得 ②, ①②相加可得， 故， 故当时，此时取最大值， 故的最大值为，当且仅当，即可时取等号， 结合可得，即时等号成立， 26．如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上一动点.    (1)若直线面ACP，求证：P为棱SD的中点； (2)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接与交于点，由线面平行的性质可证得，又为的中点，从而可证； （2）取中点，可得，过点作，交于点，可得平面平面，可得平面，从而得出答案. 【详解】（1）    连接与交于点，则为的中点， 因为直线面ACP，平面，平面平面， 所以，又为的中点，所以P为棱SD的中点. （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点，连接，因为，则， 又为的中点，在中，有， 又平面，平面，平面， 过作，交于，连接， 又平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 又平面，平面， 由，则， 由，为的中点，则，所以， 所以侧棱上存在一点，当满足时，平面.      27．在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.    (1)求三棱锥的体积; (2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）利用三棱柱的侧面积公式先计算三棱柱底面各棱长，再由三棱锥的体积公式及等体积法计算即可； （2）利用空间中直线、平面的位置关系证明即可. 【详解】（1）由题意知， 所以该三棱柱的侧面积为， 又，直三棱柱中， 且平面， 所以平面， 又，所以平面， 故三棱锥的体积为； （2）由基本事实的推论知两条相交直线共面，所以平面， 又平面，所以平面， 而平面，平面平面， 所以，即共线. 28．如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，. (1)求证：是的中点； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）添加辅助线，由平面平面，得到，由为的中点，所以是的中点； （2）由题意证明出平面，进而证出，由且得出，最后由线面垂直的判定定理证明出结论即可. 【详解】（1） 证明：如图连接，与交于点，为的中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又在中，为的中点，所以是的中点. （2）因为底面，平面，所以， 又为棱的中点，，所以 因为，、平面，所以平面， 平面，所以， 因为，所以，又， 在和中，， 所以，    即，所以， 又，、平面，所以平面. 29．已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.      (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）添加辅助线构成平行四边形按线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意先证明平面，再证明平面平面，即由线面垂直证明面面垂直； （3）添加辅助线，依题意找出为和平面所成的角，结合图形求出即可. 【详解】（1）    证明：如图取的中点，连接、.为的中点， 且， 由平面，平面， ，. 又，， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面. （2）证明：为等边三角形，为的中点， .平面，平面，， ，所以，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面. （3）    如图：在平面内，过作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面.为和平面所成的角， 因为，， 则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为. 30．如图，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，，点是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，使得平面平面. (1)当平面时，求的值； (2)证明：不可能垂直； (3)设与平面所成的角为，二面角的平面角为（其中），求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平面得，结合三角形相似求解； （2）假设，结合面面垂直性质得平面，推出矛盾即可求证明； （3）作垂足为，连接，过作垂足为，连结，证明和分别为，结合两角差正切公式和基本不等式求最值即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接，则平面平面， 依题意，平面，平面，所以，              所以， 等腰梯形中，，所以. （2）假设， 因为平面平面.平面平面. 作，则平面，又平面，则， 平面，则平面 ，                                                    这与在中，相矛盾. 所以不可能垂直. （3）作垂足为，连接， 平面平面，平面平面 此时，平面，是在平面的射影， 所以即为与平面所成的角，则，                过作垂足为，连结， 又，，平面，所以平面 ，平面，.所以即为二面角的平面角. ，所以，即. 所以，等号取得当且仅当，时，  所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查线面，面面垂直的判定及性质，关键是利用定义法得到二面角并结合基本不等式求最值. 31．如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 【答案】(1)截面见解析， (2) 【分析】（1）连接并延长交于，连接交于，可得截面，进而求得截面的面积即可. （2）多面体为三棱台，求得，，根据棱台的体积公式可求得棱台的体积，进而可求得结论. 【详解】（1）连接并延长交于，连接交于，则四边形即为平面截正方体所得的截面. 由于平面平面，平面平面， 平面平面，故， 因为是的中点，则、分别为和的中点， 所以在中，且， 因为正方体的棱长为， 所以截面为梯形，且，，利用勾股定理得， 如下图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则易得， 所以，梯形的面积为. （2）多面体为三棱台，，， 该棱台的高为，所以，该棱台的体积为：， 故剩余部分的体积为. 故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为. 32．《九章算术·商功》:“斜解立方，得两堑(qiàn)堵(dǔ).斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖(biē)臑(nào).阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注:“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云·中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下左图中画出阳马和鳖臑(不写过程，并用字母表示出来)，求阳马和鳖臑的体积比; (2)若: ①在右图中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的表面积. 【答案】(1)作图见解析，2 (2)①；② 【分析】（1）首先根据题意画出阳马和鳖臑，，再计算其体积比即可. （2）根据即可得到三棱锥的高，根据计算得到三棱锥外接球的半径为，再求外接球表面积即可. 【详解】（1） 如图所示：阳马为四棱锥，鳖臑为三棱锥. 设， 则，. . （2）因为，. 设设三棱锥的高为， 因为， 所以，解得. 设三棱锥外接球的半径为， 则，外接球的表面积. 33．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，M，N分别为的中点，直线PC与面所成角的正切值为． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取边中点，连接，由面面平行的判定定理证明平面平面，即可得到平面， （2）先由面面垂直的性质得到平面，再利用线面角的正切值得到底面为正方形，然后由得到，最后证得平面即可. 【详解】（1） 证明：取边中点，连接， 因为M，N分别为的中点，由三角形中位线的性质可得 平面，所以平面， 又底面为矩形，所以且相等， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，所以平面， 因为平面，又平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. （2） 取中点，连接，， 因为侧面是边长为2的正三角形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面， 所以，即为直线PC与面所成的线面角， 又直线PC与面所成角的正切值为， 所以， ， 所以， 又，所以底面为正方形， 平面，所以 在正方形中，易得， ， 而， ， ，且平面， 平面， 因为平面， 34．如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． (1)当点M与端点重合时，证明：平面； (2)当时，求二面角的余弦值； (3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过证明和，证明平面； （2）作于，连接，，由线面垂直的判断定理得到平面，进而为二面角的平面角，再结合三角形面积公式求出，最后求出余弦值即可； （3）由几何法找到和，表示出，利用函数方法可求最大值. 【详解】（1） 当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面. （2） 作于，连接，， 由题意，折起后由题意可得，平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 所以三点共线， 所以为二面角的平面角， 因为 在中，， 由三角形面积相等可得 又因为，所以，即， 所以在中，， 即二面角的余弦值为. （3） 过点做交于，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由（2）可知平面，平面，所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面，可得平面， 连接，是直线与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，， ， 因为在中，斜边大于直角边，即， 所以，所以， ， 在中由等面积，， 因为，，所以是二面角平面角， 即，， ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值为. 【点睛】方法点睛： 1.求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 2.作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 35．如图，在正方体中，为的中点．    (1)求证：平面； (2)连接交于点，求三棱锥的体积； (3)已知点为中点，点为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图，利用中位线的性质可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知点到平面的距离等于点到平面的距离，根据等体积法与棱锥的体积公式计算即可求解； （3）如图，由（1），根据线面平行的判定定理可得面，利用面面平行的判定定理可得面面，则点轨迹为线段，进而求解. 【详解】（1）如图，连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形，对角线交于点， 所以为的中点，又因为为的中点， 所以在中，是的中位线， 所以，又平面平面， 所以平面．    （2）由（1）知，平面，点为中点， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积． 正方体的棱长是1，是的中点，所以，则的面积， 所以三棱锥的体积．    （3）连接，因为和平行且相等，故四边形为平行四边形， 所以．又面面，故面． 又由（1）知，面，而面， 故面面．因此满足题意的点轨迹为线段． 要求最小值，即求到最小值． 在中，，故为等腰三角形， 求最小值即求底边上的高，求得．    36．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明. 【详解】（1）∵直三棱柱中，为的中点， 所以，且， 因为，分别，的中点， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， 故平面. （2）因为直三棱柱，则平面平面， 因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离， 又因为底面，则点到底面的距离即为长， 又因为N，P分别为AC，BC的中点，且， 则. 37．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)上的中点即满足平面平面，理由见解析 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论． 【详解】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 38．如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥. 图1                图2 (1)证明：平面平面； (2)若，求三棱锥的体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，证得，得出，得到，结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，即可得证； （2）由三棱锥的体积取最大值时需平面，求得，再求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）在矩形中，，是与的交点， 可得，所以， 因为，且， 所以，可得，所以， 在图（2）中，可得， 因为，且平面，所以平面； 又因为平面，所以平面平面； （2）若三棱锥的体积取最大值，则需平面， 又因为，且，所以， 可得，所以， 在图（1）中，连接，由,可得相似比为， 设边的高为，边的高为，可得， 因为，可得， 则， 又由， 所以三棱锥的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中专题08 立体几何初步大题综合 目录 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 2 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 3 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 3 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 3 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 4 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 4 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 5 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 5 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 6 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 6 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 7 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 7 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 8 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 8 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 9 浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 9 浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 9 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 10 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 10 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 11 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 11 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 12 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 12 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 12 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中 13 陕西省西安交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 13 安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期期中 14 安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期期中 14 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 15 海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中 15 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 16 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 17 湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期中 17 安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中 17 广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高一下学期期中 18 河南省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 18 河南省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 19 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 1．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长． 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 3．如图，正方体的棱长为，是的中点． (1)证明：平面； (2)设与交点为，求三棱锥的体积． 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 4．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求三棱柱的表面积； (2)求证：平面． 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 5．如图，在三棱柱中，已知侧面，， (1)求证：平面； (2)是线段上的动点，当平面 平面时，求线段的长； (3)若为的中点，求二面角平面角的余弦值． 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 6．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 7．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 8．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14.    (1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土； (2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 9．在梯形中，，是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接使得平面平面． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 10．如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积； (2)求棱台的表面积. 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 11．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积； (3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 12．如图，在正六棱锥中，球是其内切球，，点是底面内一动点（含边界），且.    (1)求正六棱锥的体积； (2)当点在底面内运动时，求线段所形成的曲面与底面所围成的几何体的表面积. 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 13．如图，在正方体中，是的中点． (1)求证：平面ACE； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 14．如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)证明：平面平面； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 15．如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求： (1)正四棱锥S-ABCD的表面积； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 16．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 17．正方体中，，分别是，的中点.      (1)求异面直线与所成角； (2)求证：平面 浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 18．已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 19．如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面ACE； (2)若，求三棱锥B—AEC的体积． 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 20．在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． (1)证明：平面平面AMN； (2)记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； (3)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 21．如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 22．如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， （ⅰ）求证：共面； （ⅱ）求多边形的面积； (2)求该八面体体积的最大值． 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 23．在正四面体中，平面，D为AB中点，在CD上.    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求证：. 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 24．在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 25．如图1，等腰满足，，于．如图2，将绕着直线SA旋转时，在BA旋转而成的平面内总有点满足，，（点，点分别在直线BD两侧）． (1)求线段长； (2)求证：平面； (3)记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，当四棱锥的体积最大时，求值． 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中 26．如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上一动点.    (1)若直线面ACP，求证：P为棱SD的中点； (2)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 陕西省西安交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 27．在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.    (1)求三棱锥的体积; (2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线. 安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期期中 28．如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，. (1)求证：是的中点； (2)求证：平面； 安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期期中 29．已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.      (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 30．如图，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，，点是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，使得平面平面. (1)当平面时，求的值； (2)证明：不可能垂直； (3)设与平面所成的角为，二面角的平面角为（其中），求的最大值. 海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中 31．如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 32．《九章算术·商功》:“斜解立方，得两堑(qiàn)堵(dǔ).斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖(biē)臑(nào).阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注:“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云·中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下左图中画出阳马和鳖臑(不写过程，并用字母表示出来)，求阳马和鳖臑的体积比; (2)若: ①在右图中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的表面积. 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 33．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，M，N分别为的中点，直线PC与面所成角的正切值为． (1)证明：平面； (2)证明：． 湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期中 34．如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． (1)当点M与端点重合时，证明：平面； (2)当时，求二面角的余弦值； (3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中 35．如图，在正方体中，为的中点．    (1)求证：平面； (2)连接交于点，求三棱锥的体积； (3)已知点为中点，点为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值． 广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高一下学期期中 36．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 河南省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 37．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 河南省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 38．如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥. 图1                图2 (1)证明：平面平面； (2)若，求三棱锥的体积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$