期中专题06 复数综合（精选45题）-【百强名校好题】备战2024-2025学年高一数学下学期期中考试必刷题型分类汇编（人教A版2019）

期中专题06 复数综合 目录 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 2 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 2 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 2 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 3 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 3 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 3 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 3 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 3 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 4 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 4 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 4 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 4 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 5 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 5 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 5 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 5 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 5 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 5 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 6 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 6 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 6 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 6 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 6 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 6 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 7 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 7 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 7 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 8 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 8 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 8 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 8 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 8 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 9 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 9 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 9 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 9 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 10 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 10 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 10 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 10 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 11 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 11 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 11 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 11 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 2．设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 3．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 4．已知i是虚数单位，复数，则的虚部为（   ） A．1 B．2 C．i D． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 5．当复数z满足时，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 6．已知为虚数单位，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 7．（多选）设是复数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则为纯虚数 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 8．（多选）设，为复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为3 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 9．（多选）已知i为虚数单位，以下说法正确的是（    ） A．复数在复平面对应的点在第一象限 B．若复数，满足，则 C．为纯虚数，则实数 D．复数z满足，则 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 10．已知复数满足和均为实数． (1)求复数； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 一、单选题 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 11．已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 12．复数的虚部是（    ） A．2 B． C．1 D． 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 13．的值为（    ） A． B． C． D． 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 14．（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 15．复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 16．复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 17．若复数满足，其中为虚数为单位，则= A． B． C． D． 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中18．在复平面内表示复数的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 19．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 20．已知i为虚数单位，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 21．若是虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B．-1 C． D．1 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 22．若（，为虚数单位），则的值为（    ） A．1 B． C．5 D．2 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 23．若，则“”是复数“”为纯虚数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 24．已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 25．设，，为复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 26．下列说法正确的是（    ） A．若、互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．已知是关于的方程的一个根，则 D．复数满足，则的最大值为 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 27．已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 28．已知为复数，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．互为共轭复数 D．若，则的最大值为6 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 29．若为复数，，下列命题正确的是（    ） A．若，则， B．若，则 C．若，则 D．若，则或 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 30．若复数满足，则（    ） A．为纯虚数 B． C． D． 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 31．已知均为复数，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则 D．若，则是实数 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 32．设是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 33．设为复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 34．已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 的最小值为2 D． 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 35．下列命题正确的是（    ） A．若，是复数，则 B．若复数的共轭复数为， C．虚轴上的点对应的均为纯虚数 D．已知复数满足（为虚数单位），则的最小值是 三、填空题 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 36．若复数满足，则的虚部为 . 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 37．已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数 . 四、解答题 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 38．已知复数，，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 39．已知复数，且是实数. (1)求的值； (2)求的值. 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 40．已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． (1)求实数； (2)定义复数的一种运算“”：，求． 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 41．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 42．已知是复数，求 (1) (2)若均为实数，且复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 43．已知复数，． (1)若，求； (2)若是纯虚数，求的值． 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 44．已知复数，复数在复平面内对应的向量为， (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 45．（1）已知复数，其中为虚数单位，求及； （2）若关于的一元二次方程的一个根是，其中，是虚数单位，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中专题06 复数综合 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模及除法运算求解. 【详解】由得. 故选：B. 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 2．设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【详解】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 3．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知，解得，故，其虚部为， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题. 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 4．已知i是虚数单位，复数，则的虚部为（   ） A．1 B．2 C．i D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算结合复数虚部的定义即可得解. 【详解】， 所以的虚部为. 故选：A. 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 5．当复数z满足时，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设，由复数满足可知，在以为圆心的单位圆上，由此求的最值. 【详解】设，复数满足， 所以，表示到点的距离为1， 所以到原点的距离的最小值为，即的最小值是4. 故选：B 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 6．已知为虚数单位，且，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】依题意先对原式进行化简，可求得，利用共轭复数的定义可得，再利用复数的运算可求得答案. 【详解】由题意得：，则， . 故选：C. 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 7．（多选）设是复数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则为纯虚数 【答案】BC 【分析】根据复数的模的定义和复数的乘法法则判断A，根据共轭复数的定义判断B，结合复数的运算法则及复数的模的定义判断C，结合纯虚数的定义判断D. 【详解】设，，，， 对于A，取，则，，，A错误， 对于B，由，，， 可得， 所以，B正确， 对于C，因为，， 所以， 所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，由，可得，所以， 因为可能为，所以不一定为纯虚数，D错误， 故选：BC. 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 8．（多选）设，为复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为3 【答案】AD 【分析】根据共轭复数的概念，复数的模、乘法法则求解判断ABC，根据不等式的性质判断D． 【详解】设， 则，，A正确 ，而，B错误； 当时，取任意的复数，都有，C错误； ，当时等号成立，D正确， 故选：AD． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 9．（多选）已知i为虚数单位，以下说法正确的是（    ） A．复数在复平面对应的点在第一象限 B．若复数，满足，则 C．为纯虚数，则实数 D．复数z满足，则 【答案】CD 【分析】根据复数的乘法可得，根据几何意义即可求解A，举反例即可求解B，根据纯虚数的定义即可求解C，根据共轭复数的定义求解D. 【详解】对于A，复数在复平面对应的点为在虚轴上，故A错误， 对于B，若，满足，但不相等，故B错误， 对于C，为纯虚数，可得，可得，故C正确， 对于D，由得，所以，故，D正确， 故选：CD. 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 10．已知复数满足和均为实数． (1)求复数； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，化简和，根据其为实数列方程求解即可； （2）化简，根据其在复平面内对应的点的位置列不等式求解. 【详解】（1）设，则， 所以， 因为和均为实数， 所以，解得， 故； （2）， 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得或， 即实数的取值范围为. 一、单选题 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 11．已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出即可得解. 【详解】复数，在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 12．复数的虚部是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算，结合复数虚部的定义即可得解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：C. 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 13．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得. 【详解】 . 故选：A 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 14．（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的除法运算以及模的运算公式即可得解. 【详解】，. 故选：D. 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 15．复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据和分别得到到两点的距离相等从而在线段的垂直平分线上， 由两条垂直平分线的交点得到复数对应的点的坐标，进而得到复数和. 【详解】由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 因为直线和直线的交点为，所以，所以. 故选：C. 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 16．复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可． 【详解】由，得, ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限． 故选:B． 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 17．若复数满足，其中为虚数为单位，则= A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， ，所以， 故选A. 考点：复数的概念与运算. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 18．在复平面内表示复数的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘、除法运算可得该复数为，结合复数的几何意义建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知， 该复数在复平面内对应的点的坐标为， 又该点位于第二象限，所以，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：B 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 19．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】由关于直线对称求出，再根据复数模的定义计算即可． 【详解】因为，所以其对应点为， 关于直线对称的点为，则， 所以， 故选：C． 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 20．已知i为虚数单位，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案. 【详解】∵， ∴， 故. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题. 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 21．若是虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B．-1 C． D．1 【答案】B 【分析】先化简复数得，进而得虚部是-1 【详解】. 故选：B 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 22．若（，为虚数单位），则的值为（    ） A．1 B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 23．若，则“”是复数“”为纯虚数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可. 【详解】若，则为纯虚数； 若为纯虚数，，则有，解得. 所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件. 故选：C 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 24．已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法法则计算出复数，求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：C. 二、多选题 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 25．设，，为复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；由复数在复平面内点轨迹判断B，利用复数的代数形式计算判断C. 【详解】对于A，满足，显然结论不成立，A错误； 对于B，，在复平面内表示复数对应的点到定点距离相等点的轨迹， 它是线段的垂直平分线，该直线上的点到原点的距离即为，，B正确. 对于C，设，则， 则， ， ， ，则，C正确； 对于D，令，显然，则，D错误. 故选：BC 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 26．下列说法正确的是（    ） A．若、互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．已知是关于的方程的一个根，则 D．复数满足，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用复数的乘法可判断A选项；利用复数的乘方可判断B选项；分析可知为方程的两根，利用韦达定理可求出、的值，可判断C选项的正误；利用复数模的三角不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则， 所以，为实数，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）， 所以为方程的两根，则， 所以，，解得，所以，，C对； 对于D选项，利用复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，D对. 故选：ACD. 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 27．已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设出复数，的代数形式，结合共轭复数、复数模的意义及复数乘法运算逐项判断得解. 【详解】设复数， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， ，与不一定相等，C错误； 对于D，令，则，D错误. 故选：AB 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 28．已知为复数，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．互为共轭复数 D．若，则的最大值为6 【答案】ACD 【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC；举例说明判断B；利用复数的几何意义求出最大值判断D. 【详解】设复数， 对于A，， ，A正确； 对于B，取，则，B错误； 对于C，， ，互为共轭复数，C正确； 对于D，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 是上述圆上的点与复数对应点的距离， 而点到原点的距离为，的最大值为，D正确. 故选：ACD 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 29．若为复数，，下列命题正确的是（    ） A．若，则， B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】BCD 【分析】利用复数模的运算结合特例法判断选项A；由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项BD；由复数模的运算、复数的乘法运算及共轭复数的概念判断选项D. 【详解】对于A，令，，则，但，故A不正确； 对于D，下面先证明命题“若，则或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘变形得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则”成立.故D正确； 对于B：用选项D的结论推证选项B，因为，所以， 所以，或，又，所以，故B正确； 对于C，设，，则， 则， 所以， 则， 所以， 则，故C正确. 故选：BCD 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 30．若复数满足，则（    ） A．为纯虚数 B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，由，得到，再逐项判断. 【详解】解：设，由，得，解得， A. ，当时，不为纯虚数，故错误； B. 因为，，所以，故正确； C. 由，得，则，故正确； D. 因为，如，两者不等，所以，故错误； 故选：BC 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 31．已知均为复数，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则 D．若，则是实数 【答案】BD 【分析】对于选项A，举反例即可判断正误；对于选项B，令，则，进一步计算即可判断正误；对于选项C，举反例即可判断正误；对于选项D，令，则，进一步计算即可判断正误. 【详解】对于A：若，可得，而，故A错误； 对于B：由，令，则， 则为实数，故B正确； 对于C：设，则，， 满足，但，故C错误； 若，可令，则， 则为实数，故D正确. 故选：BD. 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 32．设是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】取，即可判断A；设，根据复数的乘法运算和共轭复数的概念与运算，结合复数的几何意义即可判断BCD. 【详解】A：取，则，故A错误； B：设，则 ，故B正确； C：设， 则，故C正确； D：设， 则，故D正确； 故选：BCD. 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 33．设为复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用特殊值判断A，根据复数的模得到，即可判断B，根据复数的模及复数代数形式的乘法运算判断C，设，根据复数模的几何意义判断D. 【详解】对于A：设，，则，，满足， 但是，，虚数不能比较大小，故A错误； 对于B：因为，所以，则，所以，故B正确； 对于C：设， 则，，，， 若，则， 又，， 所以，故C正确； 对于D：设，由，所以， 点在以为圆心，半径的圆形区域内（包括边界）， 因为， 所以，表示圆形区域的点到定点的距离， 因为，所以， 即， 即的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 34．已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 的最小值为2 D． 【答案】BD 【分析】设，对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断. 【详解】设， 对A，，， 当至少一个为0时，，当均不等于0，，故A错误； 对B，，则， 而，故，故B正确； 对C，若，即，即， 即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆， 的几何意义表示为点到点的距离，显然， 则点在圆外，则圆心到定点的距离， 则点与圆上点距离的最小值为，故C错误； 对D，，， ， 而，故，故D正确； 故选：BD. 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 35．下列命题正确的是（    ） A．若，是复数，则 B．若复数的共轭复数为， C．虚轴上的点对应的均为纯虚数 D．已知复数满足（为虚数单位），则的最小值是 【答案】ABD 【分析】设计算可判断A；设计算可判断B；点在虚轴上可判断C；因为表示点到的距离为1，表示点到的距离，计算可得最小值. 【详解】对于A：设则故A正确； 对于B：设则故B正确； 对于C：点在虚轴上，但不表示纯虚数，故C错误； 对于D：因为表示点到的距离为1，则点在以为圆心的圆上， 又表示点到的距离，又到的距离为, 所以的最小值为,故D正确. 故选： 三、填空题 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 36．若复数满足，则的虚部为 . 【答案】1 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，即可求得答案. 【详解】由，得， 故的虚部为1， 故答案为：1 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 37．已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数 . 【答案】或(写出其中一个即可，答案不唯一) 【分析】设出复数的代数形式，由求出的虚部，然后由是纯虚数列式即可计算作答. 【详解】设，由， 可得，解得，又是纯虚数， 设且，则，则， 解得，所以或. 故答案为：或.(写出其中一个即可，答案不唯一) 四、解答题 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 38．已知复数，，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【答案】(1)2 (2)或. 【分析】（1）利用复数相等几何复数运算即可求出结果； （2）利用纯虚数定义即可求出结果. 【详解】（1）∵，，， ∴， 从而， 解得， 所以的值为2. （2）依题意得： ， 因为是纯虚数， 所以， 解得或. 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 39．已知复数，且是实数. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可得，即可得到，再根据复数的乘方法则计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 因为是实数，所以，则， 所以或，， 解得或，. （2）当，时， 若为偶数，则， 若为奇数，则， 所以； 同理当，时，， 又， 所以当时， 则 ； 当时， 则 ； 故. 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 40．已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． (1)求实数； (2)定义复数的一种运算“”：，求． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据，由是“理想复数求解； （2）由（1）知，再由求解. 【详解】（1）解：由题得， ， 是“理想复数”， ， ； （2）由（1）知， 所以， 由， 得， . 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 41．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【详解】（1）当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. （3）由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 42．已知是复数，求 (1) (2)若均为实数，且复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的运算律计算即可； （2）设，根据均为实数，可得，由复数在复平面内对应的点位于第三象限，可求出实数的取值范围. 【详解】（1）. （2）设， 因为为实数， 所以，故， 又为实数， 所以，故， 因为在复平面内对应的点位于第三象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 43．已知复数，． (1)若，求； (2)若是纯虚数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的运算化简，进而利用共轭复数的概念及复数的运算得出结果； （2）利用复数的运算化简，利用纯虚数的概念求解. 【详解】（1）由于＝＝＝＝＝． 当时，， ∴． （2）若＝＝＝为纯虚数， 则应满足且， 解得，即的值为． 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 44．已知复数，复数在复平面内对应的向量为， (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数在复平面对应的向量得复数，再由复数的分类求得a的值； （2）计算，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得a的取值范围. 【详解】（1）由题，则， 由为纯虚数得，， 解得． （2）， 在复平面内的对应点在第四象限，则，即， 解得． 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 45．（1）已知复数，其中为虚数单位，求及； （2）若关于的一元二次方程的一个根是，其中，是虚数单位，求的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据复数的四则运算化简复数，再根据模长与共轭复数的概念求解即可； （2）根据复数范围内实系数一元二次方程根的性质的另一个根为，再根据韦达定理列方程组求解的值，即可得所求. 【详解】（1）由，则， （2）由的一元二次方程的一个根是，且，可知该方程还有另一个根为， 由韦达定理，，， 故得，，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$