期中专题05 解三角形大题综合（精选40题）-【百强名校好题】备战2024-2025学年高一数学下学期期中考试必刷题型分类汇编（人教A版2019）

期中专题05 解三角形大题综合 目录 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 2 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 2 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 2 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 3 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 3 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 3 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 3 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 4 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 4 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 5 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 5 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 5 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 5 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 5 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 6 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 6 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 6 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 6 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 7 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 7 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 7 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 8 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 8 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 8 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 8 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中 9 陕西省西安交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 9 陕西省西安交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 10 安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期期中 10 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 10 海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中 10 海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中 11 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 11 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 11 湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期中 12 安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中 12 广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高一下学期期中 12 河南省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 12 云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 13 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 1．已知的内角的对边分别为，面积为，且． (1)若，求； (2)若，求． 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2．在中，角，，所对的边分别，，．已知． (1)求； (2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求角； (2)若，，求的周长． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 4．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，． (1)设单位向量，若与共线，且，求A； (2)当且为斜三角形时： （i）若，求B； （ii）求的最小值． 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 5．已知的内角的对边分别为，且，______ (1)求的面积； (2)求角的平分线的长. 在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答. 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 6．在中，D是线段BC上的一点（不含端点），. (1)若，求AD的长； (2)若，求的取值范围. 浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中 7．设三个内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围. 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 8．如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. (1)求边的长度； (2)求的面积； (3)点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 9．在中,内角所对的边分别是且. (1)求角; (2)若,求边上的角平分线长; (3)求边上的中线的取值范围． 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 10．在中，内角所对的边分别是，，，已知. (1)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (2)若，且外接圆半径为2，圆心为，为圆上的一动点，试求的取值范围. 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 11．在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且. (1)求； (2)求面积的最大值. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 12．在中，边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 14．在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若是线段上靠近点的三等分点，，求的最大值． 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 15．已知，，其中， (1)求角； (2)求． 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 16．在中，三内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 17．在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直. (1)求角的大小； (2)求面积的最大值. 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 18．在△ABC中，角的对边分别为，若，且． (1)求角B的值； (2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 20．已知 (1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合； (2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 21．已知的内角，，的对边分别为，，.若. (1)求； (2)若，求的值； (3)如图所示，若，三等分，，在线段上（靠近），已知，求. 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 22．在中，角所对的边分别为的面积为且 (1)证明：； (2)若，求. 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 23．在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答.（注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分） ①；②；③向量，，. 在中，内角，，的对边分别为，，，且___________. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 24．在中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为. (1)求； (2)若点在内部，满足，求的值； (3)若所在平面内的点满足，求的值. 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 25．已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 26．如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． (1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里． (2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中 27．如图，设中角所对的边分别为，为边上的中线，已知，，． （1）求边的长度； （2）求的面积． 陕西省西安交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 28．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)求A； (2)若，求的面积的最大值． 陕西省西安交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 29．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.    安徽省六安第一中学2023-2024学年高一下学期期中 30．已知在中，三边所对的角分别为，已知． (1)求； (2)若外接圆的直径为4，求的面积． 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 31．已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. 海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中 32．在中，已知． (1)求边； (2)若为上一点，且，求的面积． 海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中 33．如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.    (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 34．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 35．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．） ①    ②    ③ (1)求A的大小 (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若，点A，B，C分别在等边的边DE，EF，FD上（不含端点），若面积的最大值为，求． 湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期中 36．已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为的中点，的面积为，求的长． 安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中 37．已知分别是三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，将射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后相交于点（如图所示），且，求. 广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高一下学期期中 38．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； (3)若，求的值． 河南省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 39．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 40．在中，角所对的边分别为，且．已知向量，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中专题05 解三角形大题综合 1．已知的内角的对边分别为，面积为，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合已知条件，得到，再利用倍角公式计算即可； （2）利用，结合已知条件以及余弦定理得到，进而可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，整理的， 所以，即， 所以； （2）因为，所以， 又，则，即， 由余弦定理， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以. 2．在中，角，，所对的边分别，，．已知． (1)求； (2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得： ， ，，，； （2）由（1）知， ，， 由正弦定理可得，，即， ， 或（舍去）， ， ， ，， ， ． 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求角； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理求出即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）因为，，， 所以， 因为， 所以，， 所以的周长为. 4．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，． (1)设单位向量，若与共线，且，求A； (2)当且为斜三角形时： （i）若，求B； （ii）求的最小值． 【答案】(1)或； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合三角恒等变换与三角函数的性质即可得解； （2）（i）利用向量垂直的坐标表示，结合三角恒等变换即可得解；（ii）利用（i）中结论，结合三角形内角的范围推得的范围，再利用正弦定理的边角变换即可得解. 【详解】（1）由，得， 又与共线，，则， 由，得，则，整理得， 由，得，于是或，所以或. （2）（i）由，得，即， 于是，而， 整理得， 显然，所以. （ii）由（i）知，，则有， 而，于是，即， ，显然有，则，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2问的解决关键是利用向量垂直的坐标表示求得，进而得到的关系，从而得解. 5．已知的内角的对边分别为，且，______ (1)求的面积； (2)求角的平分线的长. 在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①：根据，求得角C，再利用三角形面积公式求解；选②：利用正弦定理得到，化简求得边c，再利用余弦定理求得角A，再利用三角形面积公式求解；选③：根据，根据二倍角公式求得角A，再利用余弦定理求得边c，再利用三角形面积公式求解； （2）选①：先利用余弦定理求得边c和角A，再由求解；选②：由（1）得到结论利用求解；选③：由（1）得到结论利用求解； 【详解】（1）解：选①：因为， 所以， 又，所以，所以， 所以. 选②：因为，所以由正弦定理可得， 所以， 即， 由正弦定理可得，所以， 由余弦定理可得，， 由，所以， 所以. 选③：因为， 所以， 由，所以， 由余弦定理可得，， 所以，所以. （2）选①：由余弦定理可得，， 所以. 所以， 由，所以， 因为， 所以. 选②：由（1）知：，， 所以， 解得. 选③：由（1）知：，， 所以， 解得. 6．在中，D是线段BC上的一点（不含端点），. (1)若，求AD的长； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求解三角形即可； （2）在两个三角形中分别用正弦定理得到的表达式，作比值后化简，转化为三角函数的值域问题求解即可. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理得：，所以. （2）设，则，， 在三角形中，由正弦定理得：， 所以. 在三角形中，由正弦定理得：， 所以, 所以， 即， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为：. 7．设三个内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，转化求解即可． （2）由正弦定理求解的范围，结合向量的数量积，推出的表达式，然后求解范围即可． 【详解】（1）因为， 所以利用正弦定理可得， 又为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）， ； 由正弦定理， 则， 又为锐角三角形，则，得，则， 故,, ， 即，二次函数的开口向下，对称轴为， 在，单调递减，故的取值范围,，即． 8．如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. (1)求边的长度； (2)求的面积； (3)点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据和正弦定理可得，由余弦定理可得，进而，即可求解； （2）设，根据平面向量的线性运算可得，则结合数量积的运算律和定义可得，由得，化简得，利用同角三角函数关系和三角形面积公式计算即可求解； （3）设，，、.由向量的线性运算可得.结合得，解得，，利用三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意得：， 在中，由正弦定理，得， 在中，由余弦定理，所以， 得，又∵，∴. （2）设，∵AD为边上的中线，∴， 则， ， ，① 整理得，即， 得或， 由①，得，∴，∴， ∴，∴. （3）由（2）知，， D为BC的中点，则， 设，，、. 所以，得， 又E、G、F三点共线，所以，即. 由，得， 又，所以， 化简得，解得，， ∴，， ∴. 9．在中,内角所对的边分别是且. (1)求角; (2)若,求边上的角平分线长; (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可. （2）先选用余弦定理得出关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法. ,运用面积公式求解即可. （3）先用中线的向量表达式,,两边平方,将中线长转化为求的范围,后将又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围. 【详解】（1）因为,根据正弦定理, 即, 即,又, 所以,因为,所以． （2）由及余弦定理得,即, 又因为,所以, 所以, 所以,即． （3）因为是的中点,所以, 则, 由正弦定理得, 即, 因为,所以,所以, 所以,所以,所以, 所以,即边上的中线的取值范围为． 10．在中，内角所对的边分别是，，，已知. (1)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (2)若，且外接圆半径为2，圆心为，为圆上的一动点，试求的取值范围. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求出角,利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （2）易得为等边三角形，取中点，可得，由为圆上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即， 所以. 因为，所以； 由为锐角三角形，， 所以,可得. 由正弦定理,得， 则， 则的周长为 . 由，则. 因为， 整理得，解得或（舍）， 所以，所以， 即的周长的取值范围为. （2）由正弦定理（为的外接圆半径）， 则. 由，可得，则， 则为等边三角形. 取中点，如图所示：    则 . 由，则，则． 11．在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，从而计算； （2）由题意，两边平方结合基本不等式可得，利用面积公式即可求. 【详解】（1）因为，且， 所以， 利用二倍角公式和边化角可得：， 即， 所以， 因为， 所以， 又因为，所以，所以，即. （2） 因为， 所以， 两边平方得：， 所以，当且仅当时取等号. 由，可得：， 所以. 所以面积的最大值为. 12．在中，边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，利用平方求出，再求的长即可； （2）由（1）求出，，然后由余弦定理，正弦定理求出，，然后由两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1），，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 故. （2）由（1）可知，所以，所以， 所以, 在中，，所以， 在中，，即：所以，所以， 所以. 13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）结合余弦定理，即可求解； （2）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，即可求解； （ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）已知，由余弦定理， 则，又，则. （2）（i），由正弦定理有，得， 故， . （ii）由正弦定理可知，， 故的面积为. 14．在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若是线段上靠近点的三等分点，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和辅助角公式化简可得，即可求解； （2）方法一：由余弦定理可得①、，可分别用3种思路（思路1：利用余弦定理切入；思路2：利用正弦定理切入；思路3：利用极限思想）求出的取值范围，进而利用换元法构造函数，结合导数求解即可；方法二： 可分别用2种思路（思路1：齐次化不等式处理；思路2：正弦定理函数处理）求出；方法三：如图，则，确定当A,O,D三点共线时等号成立，求出即可. 【详解】（1），由正弦定理得 ， 又， 所以， 由整理得，即， 解得，又， 所以，即； （2）由余弦定理，得①， 由得，即， 解得． 下面用三种方法求的取值范围． 思路1：用余弦定理切入． 因为为锐角三角形，所以，即， 将①代入得， 同理，由，得， 故． 思路2：用正弦定理切入． 因为为锐角三角形，所以 解得， 由正弦定理得． 思路3：用极限方法求解． 因为为锐角三角形， 当时，；当时，； 故． 接下来换元构造函数求最值． 设，则． 设，则， 由得，又， 所以，由得， 所以在单调递增，在单调递减， 故． 所以． 方法二：思路1，齐次化不等式处理 由得， 两边平方得， 令，则， 则，当即时等号成立， 故的最大值为． 思路2：正弦定理函数处理 由，得， 两边平方得． 又因为，则， 代入得． 又因为为锐角三角形， 所以，解得， 当即时，的最大值为， 所以． 方法三：设的中点为外接圆的圆心为O，则， 所以， ，所以， ， 所以，所以． 所以，当且仅当A,O,D三点共线时等号成立，此时为锐角三角形． 15．已知，，其中， (1)求角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可. （2）根据，利用倍角公式算出，代入即可求解. 【详解】（1）解：由题意得： 又 （2）， 16．在中，三内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可得，则或，即可求解； （2）由题意得，即，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）由得， 又，所以. 因为， 得或，解得或（不合题意，舍去）， 故. （2）因为是锐角三角形，所以， 即且，解得. 因此，即， 所以. 即的取值范围是. 17．在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直. (1)求角的大小； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量垂直关系的向量表示和数量积的坐标表示可得，结合余弦定理计算即可求解； （2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）因为互相垂直，所以. 将（为外接圆半径）代入上式， 得，即， 由余弦定理得，， 又，所以； （2）由（1）得，即， 即，所以， 当且仅当时等号成立.所以， 故面积的最大值是. 18．在△ABC中，角的对边分别为，若，且． (1)求角B的值； (2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得，判断角的范围，确定答案; （2）由条件可推得，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案. 【详解】（1）因为 由正弦定理得 所以，或 又因为，则，故 故答案为： （2）由（1）知，又，所以 ，则，所以. 又，所以， 在中，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为： 19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 【答案】(1) (2)选择①②，答案均为 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积； 选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积. 【详解】（1）由正弦定理知，， ∵， 代入上式得， ∵，∴，， ∵，∴． （2）若选①：由平分得，， ∴，即． 在中，由余弦定理得， 又，∴， 联立得， 解得，（舍去）， ∴． 若选②：因为， 所以， 即，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， ∴． 20．已知 (1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合； (2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 【答案】(1)函数的最小值为，取最小值时的集合为 (2)周长的取值范围为. 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围. 【详解】（1）由于， 故 ， 由，得， 故当时，函数取最小值，最小值为； 所以函数的最小值为，取最小值时的集合为. （2）由，得， 而， 所以， 故， 由于，则， 则， 则 ， 而， 则，即， 故周长的取值范围为. 21．已知的内角，，的对边分别为，，.若. (1)求； (2)若，求的值； (3)如图所示，若，三等分，，在线段上（靠近），已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，可求的值； （2）角化边可得，进而利用余弦定理可得，可求得，利用，化为齐次式后角化边，结合（1）可求值； （3）设，可得，令，可得，，令，可得，可求值. 【详解】（1） 由正弦定理可知，则 （2）， 化简可得①， 由余弦定理可知，则 ， 可构造齐次式②， 由第（1）问结果结合①式可得代入②式可得，则 （3）设，由于，，高相等， 则，可令， 同理观察，，， 令，则，，即， ∴. 22．在中，角所对的边分别为的面积为且 (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式及已知可得，即可证结论； （2）由（1）结论及余弦定理得，求得，最后应用余弦定理求. 【详解】（1）由，结合已知有，而， 所以，则，故或（舍）， 所以，得证. （2）由题设及（1）结论，，即， 所以，则， 所以. 23．在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答.（注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分） ①；②；③向量，，. 在中，内角，，的对边分别为，，，且___________. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①：用正弦定理化简求解即可；选②：用两角和与差的正弦公式化简求解；选③：用向量垂直的坐标表示和余弦定理求解即可； （2）先利用余弦定理求得，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）若选①：， 由正弦定理得，又， 所以，又，所以，即， 又，所以； 若选②：因为，所以， 所以，所以，因为， 所以，所以，所以； 若选③：因为向量，，， 所以，化简得， 所以，又，所以； （2）由余弦定理得， 所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即周长的最大值为. 24．在中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为. (1)求； (2)若点在内部，满足，求的值； (3)若所在平面内的点满足，求的值. 【答案】(1)或； (2) (3) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式和弦切互化求解即可； （2）先利用面积得，设，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，从而化简求值即可； （3）按照点与点在直线的异侧和同侧讨论，利用正弦定理求得，化简，再将角代入式子求解即可. 【详解】（1）因为， ， 所以由得， 因为有意义，所以，所以，因为， 所以或； （2）因为点在内部，所以，所以， 又的面积为，所以，所以， 设，则，，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， （3）若点与点在直线的异侧，则或， 设，则，，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 则 ， 因此当时，原式， 当时，原式， 若点与点在直线的同侧，由于B在角平分线上，所以， 所以，此时，，， 同理可得， 综上所述，满足条件的点有3个，的值分别为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了用正弦定理解三角形，解题的关键是第（3）问，根据点与点在直线的同侧还是异侧分类讨论，利用三角恒等变换化简求解即可. 25．已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式及和差角公式得到，即可得解； （2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到，由等面积法得到，从而得证；（ⅱ）设，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，从而得到，，则，再利用换元法及函数的性质求出的最大值，即可求出的最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 即， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以. （2）（ⅰ）因为，即， 由余弦定理，即， 所以，则， 所以， 又，所以， 所以； （ⅱ）设，， 在中由余弦定理， 由（ⅰ）可得，， 因为，即，即， 且，即，即， 则，所以，， 所以， 且，， 令，则原式， 且，当且仅当时取等号， 所以，又越大则的值越小， 所以， 所以当时，取得最大值， 即，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第（ⅱ）问关键是设，，得到，通过条件表示出、，然后通过换元以及基本不等式得到的最大值. 26．如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． (1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里． (2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）在中，由余弦定理解三角形得. （2）在中，解三角形得，得到，在中，由余弦定理解三角形得，在中由正弦定理求得，结合已知即可求得结果. 【详解】（1）由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 （2）由题意， 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， ∴甲接到信号后行至F，用时为小时， 在中， , 由正弦定理得，即,解得： ， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，用时为小时， ∴自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共用时为小时. 27．如图，设中角所对的边分别为，为边上的中线，已知，，． （1）求边的长度； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）角化边即可求解； （2）设，根据列方程即可求解 【详解】（1）由条件， 可得：，即， 化简可得：，因为，所以 （2）因为为中点， 所以， 设，由 得， 又， 所以， 化简可得： 解得或， 又， 所以，则， 所以的面积为 【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可. 28．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)求A； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理可得，又，进而由两角和的正弦公式化简可得，利用辅助角公式得，从而利用三角函数知识即可求解； （2）根据余弦定理可得，利用基本不等式求积的最大值求得，最后由三角形面积公式，即可求得的面积的最大值． 【详解】（1）解：在中，因为， 所以由正弦定理有， 即 ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以， 所以，解得：. （2）解：因为，所以由（1）及余弦定理可得， 则，即， ，则，即， 即，当且仅当时，取等号，所以， 所以的面积的最大值为. 29．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.    【答案】缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船，所需时间为. 【分析】设缉私船最快追上走私船所用时间为，由余弦定理求得，得到，得出所在的直线位于东西方向，由正弦定理求得，得到和，结合，即可得到答案. 【详解】设缉私船最快追上走私船所用时间为()，则， 在中，可得 由余弦定理知:，所以， 则，所以， 可得所在的直线位于东西方向， 因为，由正弦定理， 可得，所以，， 则点在点的北偏东方向上，，即，解得， 所以缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船，所需时间为.    30．已知在中，三边所对的角分别为，已知． (1)求； (2)若外接圆的直径为4，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角，解三角方程即得； （2）由正弦定理求得边，再由余弦定理求出边，利用面积公式即得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 因为，所以， 因为． 所以， 又，则，因为，所以． （2）由正弦定理，，则， 由余弦定理，， 解得或（舍去）， 故的面积． 31．已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出，进而求出的值即可； （2）由三角形的面积公式，可得，对向量表达式两边平方，应用基本不等式即可求得长的最小值； （3）由于，可得，由求出的值，应用基本不等式即可求出角平分线长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以； （2）（i）由（1）知，且的面积为， 由三角形的面积公式得：，解得， 由于为的中点，则，两边平方可得： 由基本不等式可得： （当且仅当时，等号取得到）， 所以，故长的最小值为； （ii）因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以， 由于（当且仅当时，等号取得到）， 故， 故，即角平分线长的最大值为. 32．在中，已知． (1)求边； (2)若为上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可求得答案； （2）求出，即可求出的值，即可得，结合三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）依题意知，在中，， 故 ， 故； （2）由于，，故， 故， 则. 33．如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.    (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长； （2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得. 【详解】（1）由题意可知，，故， 在中， 由正弦定理， 得，即， 所以（米）. 因此点D到塔底B的距离为米； （2）在中， 由正弦定理， 得， 得 ， 在中，， 所以铁塔高为米. 34．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得，结合利用两角和的正弦展开式化简，再结合角的范围可求结果； （2）由，利用三角形的面积公式化简可得，再结合角平分线定理可得，然后用余弦定理可求结果； 【详解】（1）由正弦定理可得， 所以， 即， 可得， 整理可得， 因为在中，， 所以，又， 所以； （2）因为，AD平分， 所以， 由得， 即，整理可得，① 因为为角平分线，所以， 在中由正弦定理可得， 在中由正弦定理可得， 又，所以， 所以，② 由①②可得， 在中，由余弦定理可得 ， 解得. 35．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．） ①    ②    ③ (1)求A的大小 (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若，点A，B，C分别在等边的边DE，EF，FD上（不含端点），若面积的最大值为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）选①由二倍角余弦公式，正弦定理角化边，余弦定理计算可得；选②由正弦定理边化角和两角和的正弦展开式以及二倍角的余弦公式计算可得；选③由三角形的面积公式，两角和的正弦展开式，同角的三角函数关系计算可得； （2）由正弦定理边化角，两角差的正弦展开式，同角的三角函数关系化简可得，再由锐角三角形和正弦函数的值域求出结果即可； （3）由三角形的面积公式可得的最大值，设，结合正弦定理可将表示成正弦型函数，借助正弦函数的性质可得取得最大值时的. 【详解】（1）选择①： 因为， 所以， 化简可得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又， 所以. 选②： 因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，， 可得， 解得或（舍去）， 因为，可得， 所以； 选③： 因为，且， 所以，即， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，所以， 又， 所以. （2） 由正弦定理可得， 由（1）可得，所以， 因为为锐角三角形， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. （3）由（1）可得，，因为面积的最大值为， 则，所以的最大值为， 因为，所以， 因为，所以， 设， 则， 在中，由正弦定理可得， 所以，可得， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 其中， 所以当时，取得最大值， 所以，即， 所以， 解得或（舍去）. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能用三角形面积公式和正弦定理表示出，再结合正弦函数的值域计算即可. 36．已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为的中点，的面积为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求解； （2）由（1），根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，得．又为锐角三角形， 所以． （2）因为的面积为，所以， ，由余弦定理得，可得． 因为，即， 所以， 解得，则 所以的长为． 37．已知分别是三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，将射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后相交于点（如图所示），且，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理消去角，根据和差公式化简可得； （2）根据已知求出所需角，分别在，中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理可得. 【详解】（1）由正弦定理边化角得， 因为， 所以 即， 因为，所以， 所以，即，， 因为，所以， 因此. （2）由（1）可知，由题意可知， 而，所以， ， 在中，由正弦定理可知： 在中，由正弦定理可知： 在中，由余弦定理可知： 38．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，借助两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助面积公式及余弦定理与正弦定理计算即可得； （3）借助三角恒等变换公式计算即可得. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 从而有， ； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即， 解得，所以周长为， 设外接圆半径为，由，得，所以外接圆面积； （3）因为，所以，所以， 所以， . 39．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的面积公式和已知条件，结合正弦定理化简求得，即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得，，进而表示出，在结合正弦定理化简为角，化简运算，即可得证； （3）结合（2），利用三角恒等变换的公式，化简得到，再结合的范围，利用正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 又由， 所以， 即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）证明：因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在直角中，， 所以，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 .    （3）解：由（2）知，，所以， 因为，所以， 所以, 因为，所以，所以， 故的取值范围为. 40．在中，角所对的边分别为，且．已知向量，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算结合正弦定理、角度关系即可化简得角的大小； （2）根据正弦定理边角转化，结合三角函数恒等变换得，根据角度关系，结合正弦型函数的性质即可得周长的取值范围．. 【详解】（1）， 由正弦定理，得． 又， 由于． （2）， 由正弦定理，得． 则 ，则， ， ，则， 故周长的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$