期中专题03 平面向量大题综合（精选30题）-【百强名校好题】备战2024-2025学年高一数学下学期期中考试必刷题型分类汇编（人教A版2019）

期中专题03 平面向量大题综合 目录 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 2 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 2 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 2 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 3 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 3 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 3 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 4 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 4 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 4 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 5 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 5 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 6 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 6 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 6 浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 6 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 7 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 7 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 7 (1)若点P在第一象限，求t的取值范围； 7 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中 7 陕西省西安交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 8 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 8 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 8 海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中 9 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 9 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 9 湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期中 10 安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中 10 广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高一下学期期中 10 河南省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 11 云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 11 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 1．如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点． (1)用表示； (2)设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 2．已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 3．如图，在直角中，角为直角，点是边的中点，点满足，点是边上的动点.    (1)若点是边上靠近的三等分点，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 4．（1）已知向量，点，若向量，且，求点的坐标； （2）已知向量，若与夹角为钝角，求的取值范围. 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 5．如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点. (1)，求的值； (2)若，求的最小值. 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 6．如图，在中，已知，M是的中点，N是上的点，且相交于点P．设. (1)若，试用向量表示; (2)若，求实数x的值． 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 7．如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 8．已知平面向量，且， (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）. 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 9．已知是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底确定的坐标系称为基底坐标系．当向量不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为．对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标． 今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，设 (1)计算的大小； (2)质点甲在上距点4米的点处，质点乙在上距点1米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动． ①若过2小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示； ②若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离． 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 10．在中，中线和中线相交于点，点在边上. (1)若，证明：点是边上靠近点的四等分点； (2)证明：； (3)若，求中最大角与最小角的和. 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 11．已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 12．已知，，与的夹角为． 求： (1)； (2)； (3)． 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 13．已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 14．已知空间向量． (1)计算和; (2)求与夹角的余弦值． 浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 15．（1）已知，，点在线段的延长线上，且，求点的坐标； （2）若是夹角为的两个单位向量，求：（i）的值；（ii）函数的最小值； （3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明． ①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点． 注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分． 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 16．已知，为单位向量，设向量，. (1)若，求与的夹角； (2)若，设向量，的夹角为，求的最小值. 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 17．如图，在中，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)若，求的值. 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 18．已知点，，及. (1)若点P在第一象限，求t的取值范围； (2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中 19．在如图所示的扇形中，扇形的半径为，点在弧上移动，.    (1)若，求的值; (2)求的最大值. 陕西省西安交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 20．已知向量，满足，. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求向量与向量夹角的余弦值. 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 21．如图，在中，，，，且，，与交于点. (1)求的值； (2)求的值. 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 22．如图，在正中，分别是上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且交于点P． (1)用元表示； (2)求证：． 海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中 23．在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上，线段AE和BF相交于点M，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 24．已知分别是对边，且．点为三角形内部一点，且满足． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的最小值． 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 25．单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值： (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期中 26．如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设.    (1)用表示； (2)如果，且，求. 安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中 27．如图，在菱形中，分别是边的中点，与交于点，设． (1)用表示； (2)求的余弦值． 广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年高一下学期期中 28．已知，，当k为何值时： (1)与共线； (2)与的夹角为120°． 河南省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 29．如图，在中，是的中点，D是线段上靠近点的四等分点，设，.    (1)若长为2，长为8，，求的长； (2)若是上一点，且，试判断三点是否共线？并说明你的理由． 云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 30．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）在中，分别是角的对边，已知_________.    (1)求角的大小； (2)若为的平分线，为上的点，2，求的值； (3)如图，若为锐角三角形，且其面积为，点为重心，点为线段的中点，点在线段上，且，线段与线段相交于点，若，求的值及的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中专题03 平面向量大题综合 1．如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点． (1)用表示； (2)设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算法则求解； （2）设，将通过用表示，在根据共线，将通过用表示，然后利用平面向量基本定理列方程求出的关系，代入求范围即可. 【详解】（1）由已知得 ； （2）设， 则，， ， 由于共线，设， 则， 所以，所以， 因为是线段（不含端点）上的动点， 所以，所以， 所以， 当时，. 2．已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积运算律求解即可； （2）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可. 【详解】（1）由，，， 得， 所以； （2）， 所以. 3．如图，在直角中，角为直角，点是边的中点，点满足，点是边上的动点.    (1)若点是边上靠近的三等分点，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）建立平面直角坐标系，设（），利用坐标法求出，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 若点是边上靠近的三等分点，则，即， 所以， 又，、不共线，所以，所以. （2）如图以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，， 因为在上，设（）， 所以， ， 所以， 因为，所以当时，， 又，所以当时，， 所以.    4．（1）已知向量，点，若向量，且，求点的坐标； （2）已知向量，若与夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）且. 【分析】（1）设，根据向量垂直和向量的模得到方程组，解出即可； （2）计算出与坐标形式，根据向量点乘小于0，并结合向量反向共线即可得到答案. 【详解】（1）设，则 因为向量，所以 又，所以 解得或，所以的坐标为或 （2）因为， 所以， 因为与夹角为钝角， 所以，即，解得 又不反向共线，所以，解得 综上，且. 5．如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点. (1)，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用平面向量的线性运算可得，从而可求解. （2）由题意可先求出，，设，则得，从而可求解. 【详解】（1）因为， 化简得，所以，， 所以. （2）因为，， 所以 所以，则，又， 所以， 设，则， ， 因为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即时，， 所以的最小值为. 6．如图，在中，已知，M是的中点，N是上的点，且相交于点P．设. (1)若，试用向量表示; (2)若，求实数x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的加法运算即可求得；设，利用向量的线性运算结合图形关系可得，再由向量共线的性质得到，最后表示出所求向量即可； （2）利用向量垂直的性质和数量积的定义式计算可得. 【详解】（1）， 设，因为， 所以， 即， 由共线得：，解得：， 所以， 所以. （2）， 因为，由于共线，故， 所以， 解． 7．如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 8．已知平面向量，且， (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解； （2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可. 【详解】（1）解：设，， ，又， ， 或， 或. （2）解：，，设与的夹角为. 故， 在上的投影向量为. 9．已知是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底确定的坐标系称为基底坐标系．当向量不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为．对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标． 今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，设 (1)计算的大小； (2)质点甲在上距点4米的点处，质点乙在上距点1米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动． ①若过2小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示； ②若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)①；②小时后，两质点相距最短，最短距离为米 【分析】（1）通过展开计算即可； （2）①通过以及计算可得；②通过求得，再通过展开计算求最值. 【详解】（1）因为，所以，， 又，所以． 所以， 即的大小为； （2）①如图所示： 依题意，过2小时后质点甲到达点（在点左边），且有， 质点乙到达点，且有，故 ②时刻时，质点甲到达点，质点乙到达点， 如图所示： ，则 ， 所以两质点间的距离 ， 因为，所以当时．取得最小值为， 所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米． 10．在中，中线和中线相交于点，点在边上. (1)若，证明：点是边上靠近点的四等分点； (2)证明：； (3)若，求中最大角与最小角的和. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得，从而得证； （2）根据重心的性质得到，同理得到，，即可得证； （3）结合（2）可得，由正弦定理可得，再利用余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 又， 所以， 即， 所以与同向，故点是边上靠近点的四等分点； （2）因为. 同理得，， 故. （3）由和， 所以，即，由正弦定理可得， 设，则， 由余弦定理得， 因为，所以，所以， 故中最大角与最小角的和为. 11．已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值； （2）根据向量垂直的坐标表示得出的值． 【详解】（1）由得，∴，∴ （2）由已知， 又，∴，解得 12．已知，，与的夹角为． 求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)－20 (2)88 (3)156 【分析】根据数量积概念和运算律可得. 【详解】（1）； （2） ； （3） . 13．已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先求，再根据向量，列式求解； （2）（ⅰ）根据向量的坐标运算，即可求解；（ⅱ）根据，列式求解. 【详解】（1） 则则； （2）（ⅰ），向量的坐标为； （ⅱ）设的坐标为，∵，，，恰好为构成平行四边形 则，， 解得：，∴的坐标为 14．已知空间向量． (1)计算和; (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1), (2)． 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由题可得 ． （2）由题可得， ， ,与夹角的余弦值为． 15．（1）已知，，点在线段的延长线上，且，求点的坐标； （2）若是夹角为的两个单位向量，求：（i）的值；（ii）函数的最小值； （3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明． ①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点． 注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）；（2）（i），（ii）；（3）证明见解析 【分析】（1）设，依题意可得，从而得到方程组，解得即可； （2）（i）根据及数量积的运算律计算可得；（ii）由，结合二次函数的最值即可求解； （3）根据所选条件，画出图形，结合向量的运算证明即可. 【详解】（1）设，则，， 因为点在线段的延长线上，且，所以， 所以，解得，所以； （2）（i）因为，为单位向量，所以，， 所以 ； （ii）因为 ， 所以当时，函数的最小值为； （3）若选①：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 证明：如图，设， 由三角形法则有，所以 即. 同理可得，，. 若选②： 在平行四边形中，，为对角线， 证明：. 根据条件作出图形， 因为四边形为平行四边形， 所以，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和； 若选③： 在中，，，分别为，，的中点，证明：，，相交于一点. 由题意作出图形， 设，， 则，， ， 设，相交于一点，，， 则， ， 又， 所以，解得，， 所以， 再设，相交于一点，同理可证得， 即，重合，即，，相交于一点， 所以三角形的三条中线交于一点. 16．已知，为单位向量，设向量，. (1)若，求与的夹角； (2)若，设向量，的夹角为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的运算律结合数量积的夹角公式即可求解； （2）由向量模长和数量积的运算律得，然后换元法利用函数性质求解最值即可； 【详解】（1）因为，为单位向量，所以， 因为，所以， 又，所以， ，所以， 设与的夹角为，则， 因为，所以. （2）因为，所以，即， 又，所以，所以，令，则，，因为，所以，所以， 即的最小值为. 17．如图，在中，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）用为基底和 表达出； （2）计算得到，即可得到. 【详解】（1）. （2）. 因为，所以， 则，即，所以. 18．已知点，，及. (1)若点P在第一象限，求t的取值范围； (2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）由平面向量的坐标运算，求出，利用点P在第一象限，列不等式求得的取值范围； （2）利用四边形是平行四边形时，只需要，列方程求出的值，即可判断四边形能否为平行四边形. 【详解】（1）， 由题意得，解得：，即的取值范围为. （2）若四边形是平行四边形，只需要，即， 由（1）知，，而， ，方程组无解，故四边形不能成为平行四边形. 19．在如图所示的扇形中，扇形的半径为，点在弧上移动，.    (1)若，求的值; (2)求的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示计算即可； （2）利用三角换元表示C点坐标，结合三角函数的性质计算最大值即可. 【详解】（1）    如图所示建立平面直角坐标系，当时，易知， 所以， 因为，则有，解之得； （2）可设，则， 所以有， 则， 因为，所以， 由正弦函数的性质可知：当且仅当时， 即C为中点时，. 20．已知向量，满足，. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求向量与向量夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）借助平面向量共线定理计算与模长公式计算即可得； （2）借助向量垂直时数量积的关系及向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1），，设， 又，，， 或； （2），，即， ， ， 即向量与向量夹角的余弦值为. 21．如图，在中，，，，且，，与交于点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，，再利用数量积的运算律即可得到结果； （2）注意到即是和的夹角余弦值，故利用（1）的结果并求出其模长即可得到夹角余弦值. 【详解】（1）首先有. 而由，，知，. 从而，. 所以. （2）由于， 且， 故. 22．如图，在正中，分别是上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且交于点P． (1)用元表示； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由图形，根据平面向量的线性运算表示，设，进而表示，结合与不共线，与共线，与共线建立关于x、y的方程组，解之即可； （2）设等边的边长为a，则，由（1）结合数量积的运算律计算可得，即可证明. 【详解】（1）由题意知，，. 设存在实数x、y，使得， 则，同理， 又与不共线，与共线，与共线， 所以，解得，所以； （2）设等边的边长为a，则， 由（1）知， ， 所以，即. 23．在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上，线段AE和BF相交于点M，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底，表示出，由求的值； （2）设，，以为基底，用两种形式表示出，求出，建立平面直角坐标系，利用向量的模求的值. 【详解】（1）由题可知：，则，且 动点E，F分别在线段BC和DC上，且，，则， ， ， ， 即，解得. （2）当时，，设，， 则，， 不共线，由平面向量基本定理，，解得， 则有， 以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， ，， 所以. 24．已知分别是对边，且．点为三角形内部一点，且满足． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知结合诱导公式，两角差的正弦和两角和的余弦公式，同角三角函数的商数关系，化简求值即可； （2）由已知结合余弦定理求出，再利用等面积法求出，由平面向量数量积公式计算即可； （3）设，则，由正弦定理得到和的关系式，进而得到，设，得到，进而求得，求得，结合即可求解． 【详解】（1）， 因为， 所以，即， 又，所以， 因为， 所以． （2）由得，，即， 由余弦定理得，，解得， 所以， 又 ， 所以， 所以 ． （3）如图所示，根据题意，设， 则， 在中，由余弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 联立方程组，可得，所以， 代入上式，可得且， 所以， 设，则， 由，可得，所以， 又由，由对勾函数的性质，可得， 所以， 由，可得， 又由函数在上为单调递减函数， 所以， 故最小值为． 25．单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值： (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值； （2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，即，则， 则，即与夹角的余弦值. （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有，即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 26．如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设.    (1)用表示； (2)如果，且，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， ； （2）因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以. 27．如图，在菱形中，分别是边的中点，与交于点，设． (1)用表示； (2)求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用向量加法的三角形法则，即可求出结果； （2）利用，分别求出，，再利用数量积的定义，即可求出结果. 【详解】（1）， （2）根据题意，由（1）可得， 在平行四边形中，，即为等边三角形，所以，则，即， 则 ， 因为， ， 所以. 28．已知，，当k为何值时： (1)与共线； (2)与的夹角为120°． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加减法坐标运算公式得到，，结合向量共线的坐标公式计算即可； （2）根据题意表示出两个向量的数量积和模，再用夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为与共线， 所以， 解得. （2）因为，， 所以，， ， 因为与的夹角为120°， 所以. 化简得， 解得. 29．如图，在中，是的中点，D是线段上靠近点的四等分点，设，.    (1)若长为2，长为8，，求的长； (2)若是上一点，且，试判断三点是否共线？并说明你的理由． 【答案】(1) (2)不共线，理由见解析 【分析】（1）先将用表示，再根据向量的模的求法及数量积的运算律即可得解； （2）先将分别用表示，再根据平面向量共线定理即可得出结论. 【详解】（1）是的中点，D是线段上靠近点的四等分点， ， 则 ， 即； （2）三点不共线，理由如下： ， ， 假设，则存在唯一实数，使得， 即， 所以，该方程组无解， 与不平行， 三点不共线． 30．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）在中，分别是角的对边，已知_________.    (1)求角的大小； (2)若为的平分线，为上的点，2，求的值； (3)如图，若为锐角三角形，且其面积为，点为重心，点为线段的中点，点在线段上，且，线段与线段相交于点，若，求的值及的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）根据角平分线条件，考虑等面积建立方程求解即得； （3）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值；结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，求出的范围，将其转化成双勾函数，利用其单调性即可求得其范围. 【详解】（1）选①：因为， 由正弦定理可得， 又因为，则， 可得，即，所以． 选②：因为， 由正弦定理可得， 所以，即， 故， 因为，所以． （2）由（1）， ，为的平分线， 由可得， 即， 解得． （3）    如图，由题意可得， 因为三点共线，故可设  ①， 又因三点共线，故可设 ②， 由①，②可得，解得， 所以，故． 又因 则， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： 因为为锐角三角形， 由为锐角可得，即，则，得； 由为锐角可得，即，则，即，故； 综上可得，则，取，则， 且在上单调递减，又， 所以，即，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$