期中专题02 平面向量小题综合（精选45题）-【百强名校好题】备战2024-2025学年高一数学下学期期中考试必刷题型分类汇编（人教A版2019）

期中专题02 平面向量小题综合 目录 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 2 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 2 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 2 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 3 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 3 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 3 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 3 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 3 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 4 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 4 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 4 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 5 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 5 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 5 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 5 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 5 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 6 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 6 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中 6 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 6 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 7 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 7 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 8 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 8 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 8 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 8 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 9 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 9 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 10 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 10 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 10 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 10 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 10 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 11 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 11 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 11 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 11 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 11 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 12 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 12 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 12 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 12 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 12 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 1．已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2．定义平面向量在上的投影为．若平面向量，满足，则在上的投影的取值范围是（    ） A． B． C． D． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 3．若为的边的中点，则（    ） A． B． C． D． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 4．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 5．已知向量，，且与平行，则（    ） A． B． C． D． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 6．在矩形中，E，F分别为BC，CD的中点，若（m，），则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 7．已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 8．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 9．设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 10．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 一、单选题 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 11．已知直角中，，，，是的内心，是内部（不含边界）的动点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 12．在等腰直角中，斜边为的中点，为的中点.将线段绕着点旋转得到线段，则（    ） A．-2 B． C． D．-1 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 13．已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 14．已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（    ） A． B． C． D． 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 15．已知向量，且，则函数的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 16．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（    ） A．13 B． C． D． 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 17．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一下期中 18．已知平面向量满足，，，且对于任意的，恒有，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期中 19．如图，在中，，，，半圆在内，圆心为，半圆的直径刚好在AC上，弧形部分与AB，BC相切，切点分别为和，在半圆的圆弧部分（含端点）上有一点，且，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中 20．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 21．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 2、 多选题 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 22．已知平面向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 23．下列说法中正确的是（   ） A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 B．若平面向量，，则在上的投影向量是 C．两个非零向量，，若，则与垂直 D．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 24．设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．设在中，，，则 D．（为任意非零向量） 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 25．在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 26．设都是非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若的夹角为钝角，则 B．若，则 C．若，则的夹角为锐角 D．若，则与同向 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 27．已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 28．重庆南开中学校徽的核心图像为八角星形，八角星形由两个正方形叠加、结合而成，八个角皆为直角，分别指向东、西、南、北、东南、东北、西南、西北八个方向.一是体现“方方正正做人”之意，二是体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.八角星形方圆互动，融合东西，体现了南开中学“智圆行方”的入世哲学、“追求卓越”的立世哲学和“允公允能”的济世哲学.如图，，，，，，，，是半径为1的上的八个等分点，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．若在正方形的边上移动，，则 则 D．若在正方形的边上移动，在正方形的边上移动，在圆上移动，则 三、填空题 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 29．已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为 ． 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 30．在中，，，为边的中线，为的中点，则 ． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 31．向量，，且，则 ． 河北省石家庄二中2023-2024学年高一下学期期中 32．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ． ①若为的垂心，．则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若，则动点的轨迹经的外心 ④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 33．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 34．在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则 ． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 35．已知点为平面内一点，，，则的取值范围是 ；又的面积为1，则的最小值是 . 河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 36．已知向量和满足：，，，则向量与向量的夹角为 . 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中 37．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ． 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中 38．已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是 . 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 39．定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 . 安徽省合肥市一六八中学2023-2024学年高一下学期期中 40．在圆内接四边形中，已知平分，且，则边的长为 . 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 41．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为 重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中 42．如图，在平面四边形中，，对任意实数都有，若为的面积，且，，则的最大值是 . 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期5月期中 43．菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则 ，的最小值为 . 安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 44．已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 . 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 45．已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中专题02 平面向量小题综合 一、单选题 1．已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件变形为，然后两边同时平方计算求解即可. 【详解】因为均为单位向量，且， 所以， 即， 解得， 即与的夹角的余弦值为. 故选：D. 2．定义平面向量在上的投影为．若平面向量，满足，则在上的投影的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律结合已知等式求出，再利用向量的三角不等式求出的取值范围，然后利用给定定义求出范围. 【详解】由，得， 又，即， 因此在上的投影， 所以在上的投影的取值范围是. 故选：D 3．若为的边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量加法法则求解即可. 【详解】解：因为为的边的中点， 所以，根据向量加法法则得， 所以. 故选：B 4．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的运算和模长公式可得的最小值为3，结合二次函数最值得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】已知， 又任意，的最小值为，则的最小值3， 记，则的最小值为3， 即，即， 又向量与夹角为锐角，则， 即，即，即， 则， 又向量满足，则， 即， 即， 即. 故选：D． 5．已知向量，，且与平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示计算即得. 【详解】由向量，，得，， 由与平行，得，所以. 故选：A 6．在矩形中，E，F分别为BC，CD的中点，若（m，），则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】由E，F分别为BC，CD的中点，得， 则，在矩形中，， 因此，即，而， 所以，. 故选：B ， 7．已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义及运算律可得，再利用数量积的运算律变形，并结合基本不等式求解即得. 【详解】由向量，的夹角为及，得，即， 则，令， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 由，解得， 所以当且时，取得最大值. 故选：B 8．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解. 【详解】和相互垂直， 则，则， 结合图象，， 则 ， 因为恒成立，则， 即，则， 法（一）： 对称轴时： ，即 法（二）：，因为， 所以向量的终点共线（起点重合）， 则的面积， ，所以. 故选:．    【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则. 9．设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据得到向量与同向，结合选项，即可求解. 【详解】由向量都是非零向量，且， 因为和分别表示与和同向的单位向量，所以向量与同向， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 10．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 一、单选题 11．已知直角中，，，，是的内心，是内部（不含边界）的动点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，利用等面积法先求出的位置，设，根据，可得，故， ，根据线性规划即可求解. 【详解】因为，，，所以，即. 如图建立平面直角坐标系： 设内切圆的半径为， ​​​​​​​则． ∵, ∴, 即 ,解得，所以， ∴. ∴， 即，可得. 设，则， ∴，即，∴. ∵，∴直线的方程为. 设，表示与平行的直线， 平移，当经过点时，； 当与重合时，. 因为是内部（不含边界）的动点，所以，即. 故答案为:. 【点睛】关键点睛：设，求出，根据线性规划求解的范围. 12．在等腰直角中，斜边为的中点，为的中点.将线段绕着点旋转得到线段，则（    ） A．-2 B． C． D．-1 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在等腰中，由斜边，得，而为的中点，为的中点， 则，所以. 故选：D 13．已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可. 【详解】 如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系， 易知，，， 设，且，故，， 故，而，. 故选：C 14．已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，化简得到，根据，求得，结合且，得到，即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，可得， 所以，可得， 不妨令分别为且，所以，即， 因为且，经检验可得，此时. 故选：A. 15．已知向量，且，则函数的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，结合余弦函数的有界性分析求解. 【详解】由题意可知：，， 因为，则，可得. 则， 由可知当时，. 故选：C. 16．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（    ） A．13 B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y） 则，可得，， 所以，即，故，， 所以，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 17．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用表示，然后利用投影向量的公式求出，计算化简得到，最后根据及均值不等式求最值. 【详解】在平行四边形中，，，， 又分别为中点，则， 因为在方向上投影向量为，所以， 因为在方向上投影向量为，所以 所以， 解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 18．已知平面向量满足，，，且对于任意的，恒有，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数形结合，设，根据可知，然后建系，假设点，表示出，最后计算即可. 【详解】设， 如图，其中 由对于任意的，恒有，即， 所以当重合时满足条件，故 以为原点，作为轴，过作的垂线为轴，如图所示 所以，又，不妨设 由，所以 所以， 令，则， 由，所以 则，所以 故选：A 19．如图，在中，，，，半圆在内，圆心为，半圆的直径刚好在AC上，弧形部分与AB，BC相切，切点分别为和，在半圆的圆弧部分（含端点）上有一点，且，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的边角关系以及相切可得半径，即可建立直角坐标系，利用坐标运算，可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】由，，可得, 故， 由于,,所以,故半径， 以为轴，过作，建立如图所示的直角坐标系， , 设，则 ， 由于，所以， 故，两式相减可得， 故， 由于，故， 故选：C    20．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积、单位向量、向量的线性运算确定三角形状，再由向量的模长确定三角形的边长，从而建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求的最小值即可. 【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直，由三线合一得到， 取的中点，因为，故， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C． 21．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得. 【详解】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 二、多选题 22．已知平面向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】BC 【分析】根据向量的坐标运算（线性运算，模，垂直及夹角）计算后判断各选项． 【详解】由已知，A错； ，，B正确； ，，C正确； ，，D错． 故选：BC． 23．下列说法中正确的是（   ） A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 B．若平面向量，，则在上的投影向量是 C．两个非零向量，，若，则与垂直 D．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【分析】A选项，由得到两向量平行，得到A正确；B选项，利用投影向量求解公式求出B正确；C选项，两边平方得到，故与垂直，C正确；D选项，且与不同向共线，得到D错误. 【详解】A选项，向量，故，平行，不能作为平面内所有向量的一组基底，A正确； B选项，若平面向量，， 则在上的投影向量为，B正确； C选项，两个非零向量，，，两边平方得 ，解得，则与垂直，C正确； D选项，，，若与的夹角是锐角， 故且与不同向共线， 即且， 解得且，D错误. 故选：ABC 24．设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．设在中，，，则 D．（为任意非零向量） 【答案】AC 【分析】根据所给对定义及正弦函数的性质判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】解：非零向量，的夹角为，定义运算， 对于A：若，则，即，又， 所以或，故A正确； 对于B：当，则，因为，所以，所以，故B错误； 对于C：在中，，，所以，所以，故C正确； 对于D：其中为与的夹角， 其中为与的夹角， 其中为与的夹角， 则， 令，，，此时，，， 则不成立，故D错误； 故选：AC 25．在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 【答案】ABD 【分析】根据为的外心，得到，结合，求得，可判定A正确；根据为的内心，延长交于，得到点为的中点，且，求得和的长度，得到，可判定B正确；由为的重心，得，根据题意，求得，可判定C不正确；由到三边距离为，结合三角形的面积公式和正弦的倍角公式，求得和，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为为的外心，可得， 因为，可得， 所以，所以， 所以，所以，所以A正确； 对于B中，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且， 因为，，可得， 由三角形内心的性质，可得， 即，解得，， 所以， 因为， 所以，所以B正确； 对于C中，因为为的重心，可得，所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为向量与不共线的非零向量，所以且， 所以，此时不是等边三角形，所以，所以C不正确； 对于D中，设的外接圆的半径为， 因为到三边距离为，可得， 且， 所以，可得， 同理可得：，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：用平面向量求解平面几何问题的解答策略： 1、首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量进行表示，然后选择适当的基底向量，将相关的向量表示为基底向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题； 2、再将向量的运算的结果还原为几何关系，应用向量相关的知识，可巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质，同时也应熟记应用三角形四心的几何特征及应用； 3、向量的运算公式，若不含图形，可直接运用相应的运算法则求解；若含有图形，可将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线的性质等，把未知向量用已知向量进行表示. 26．设都是非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若的夹角为钝角，则 B．若，则 C．若，则的夹角为锐角 D．若，则与同向 【答案】AB 【分析】根据平面向量数量积的定义判断A、C；向量的加减法几何意义判断B；共线向量的充要条件判断D. 【详解】对的夹角为钝角，则， 所以，正确； 对，当时，易知：以为邻边的平行四边形是矩形，所以正确； 对，当同向共线时，有，所以错误； 对，所以与反向，错误. 故选： 27．已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合外心性质利用数量积的运算律求解判断A，利用数量积的几何意义求解判断B，利用重心的向量形式判断C，利用向量的线性运算化简判断D. 【详解】对于A，因为点是边的中点，所以， 又点是的外心，所以，即， 所以，正确； 对于B，，正确； 对于C，当点是的重心时才有，错误； 对于D，， ，正确. 故选：ABD. 28．重庆南开中学校徽的核心图像为八角星形，八角星形由两个正方形叠加、结合而成，八个角皆为直角，分别指向东、西、南、北、东南、东北、西南、西北八个方向.一是体现“方方正正做人”之意，二是体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.八角星形方圆互动，融合东西，体现了南开中学“智圆行方”的入世哲学、“追求卓越”的立世哲学和“允公允能”的济世哲学.如图，，，，，，，，是半径为1的上的八个等分点，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．若在正方形的边上移动，，则 则 D．若在正方形的边上移动，在正方形的边上移动，在圆上移动，则 【答案】ACD 【分析】过作于，连接，过的延长线于，可求得，可判断A；计算可得，可判断B；分类讨论可求得的范围判断C；利用向量的数量积公式可求得的范围判断D. 【详解】过作于，连接，过的延长线于， 由题意可得,所以， 从而由向量加法的平行四边形法则可得，故A正确； 由题意可得 ，故B错误； 当在边上移动时，的值为定值， 当在时，由A的计算易得， 所以，此时, 当在边上移动时，均在增大，当在时，达到的最大值， 由A可得， 当在边上移动时，的值为定值， 在边上移动时，均在减小，的值减小， 故可得，故C正确； 由，可知数量积与模的大小和夹角的余弦值有关， 当在时，最大为，只要最大，或最小即可求得的最大值与最小值， 当在点处时，当在上移动时，可取得最大值，, 当在点处时，当在上移动时，可取得最小值，, 综上所述：可得,故D正确. 故选：ACD. 【点睛】在几何图形中，考查向量的线性运算与向量的模的求法，数量积的取值范围的求法，灵活运用向量的几何意义解题是关键，注意特殊位置的选取，以及几何知识的应用. 三、填空题 29．已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合题意可作出图形，经分析可知点的轨迹在如图以为圆心，半径为的圆上，得当且所在直线过圆心点时最小，然后结合图形即可求解 【详解】，， 如图作，   ， 则，， 所以，即， 又为单位向量，所以， 在中，由正弦定理，则， 所以点的轨迹在如图以为圆心，半径为的圆上， 由图可知，当且所在直线过圆心点时最小， 作于，于，于， 则， ， 则， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹为圆，从而当且所在直线过圆心点时最小，即可求解. 30．在中，，，为边的中线，为的中点，则 ． 【答案】1 【分析】由正弦定理求得，用表示其它向量后根据数量积的运算律计算． 【详解】如图所示 由正弦定理得， 故答案为：1. 31．向量，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量的坐标运算，结合共线满足的关系即可求解. 【详解】， 由可得，解得， 故答案为： 32．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ． ①若为的垂心，．则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若，则动点的轨迹经的外心 ④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则 【答案】①③④ 【分析】①由得到；②建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，求出最小值；③变形得到，设是的中点，则，故则动点的轨迹经过的外心，③正确；④由，，三点共线，可得，结合即可求解. 【详解】对于①，为的垂心，则，又， 所以，所以①正确； 对于②，取的中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，    则，，，设， 则 ， 故当，时， 取得最小值， 最小值为，所以②错误； 对于③，， ， 所以， 如图，设是的中点，则， 故， 即， 故则动点的轨迹经过的外心，所以③正确；    对于④，    由，，三点共线，设， 由，， 所以， 又， 所以，所以， 所以，即，所以④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】方法点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 33．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】由向量，得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 34．在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则 ． 【答案】 【分析】设则，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析得，即，进而可得、的值，结合余弦定理即可得结果． 【详解】在△中，设，则，又， 且表示起点为A，终点在平行于AC且过B点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动， 所以对，恒成立，即恒成立，只需即可， 所以，即， 又，则，，. 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由不等式恒成立判断出，即可确定三角形各边的长度. 35．已知点为平面内一点，，，则的取值范围是 ；又的面积为1，则的最小值是 . 【答案】 【分析】通过平方，结合向量法来求得的取值范围.通过三角形的面积求得，然后结合余弦定理和判别式求得的最小值. 【详解】依题意， 且， 所以， 所以. 设， ， 由于，所以， 所以的取值范围是； 因为的面积为1， 则， 由余弦定理得 . 令，则， 两边平方并化简得， 令，则，该方程有大于等于1的根， 所以，即， 所以. 所以的最小值是. 故答案为：； 36．已知向量和满足：，，，则向量与向量的夹角为 . 【答案】 【分析】设向量与向量的夹角为，根据得到，再利用向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】设向量与向量的夹角为， ，则，故， 故，，故. 故答案为： 37．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ． 【答案】 【分析】设，可得,，以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,然后求出的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解. 【详解】设, 则，. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 则，, 所以. 令，，则，. 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以在上的值域为， 所以. 故答案为：. 38．已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件可知向量在方向上的投影为，令，将恒成立转化为恒成立，利用即可求出参数的取值范围，即可求解. 【详解】因为菱形的边长为1，所以， 且向量在方向上的投影为， 若恒成立，则恒成立， 所以，即. 令，则，即， 要使恒成立， 则，解得， 又向量在方向上的投影向量为， 故其模的取值范围为：. 故答案为： 39．定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，分别讨论，以及且，根据的定义及向量的数量积的运算律，分别求得其最小值，即可求解. 【详解】当且时，可得； 当且，时，可得， 当且仅当时，等号成立； 同理可得：当且，或且，时， 此的最小值也为； 当且时， 可得， 由，设，可得，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上可得，的最小值为. 故答案为：. 40．在圆内接四边形中，已知平分，且，则边的长为 . 【答案】3 【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义，结合余弦定理可得，解得AD即可. 【详解】因为平分，由圆的性质知. 在中，由余弦定理得 因此 ， 解得，即. 故答案为：3 41．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为 【答案】 【分析】向量的模长已知，根据数量积公式可知所求为向量夹角余弦值的最小值，结合函数在区间上单调递减可得的最小值为. 【详解】由题可知， 不妨设，,,则点、分别在以原点为圆心，半径分别为和的圆上运动， 又 为实数），都有， 所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量的夹角最大，此时，的最小. 此时，在中，由余弦定理可得，, 故答案为：. 42．如图，在平面四边形中，，对任意实数都有，若为的面积，且，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】要运用向量的平方运算来求最小值，然后得到相等关系，再结合正弦定理可得，利用面积公式可得，由于题目中是求最值，需要引入变量，然后通过正弦定理解二次三角形，就可以得到，再运用三角恒等变换来求出最大值即可. 【详解】， 根据二次函数的最小值为可得： ， 代入和可得： ， 再由正弦定理可得：， 由上面两个式子可得：，即， 又由的面积公式可得：，代入可得， ，可得， 又因为，所以， 设，由可得： ， 在中，由正弦定理可得：， 又在中，由正弦定理可得： ， 代入得： 利用积化和差公式可得：， 当时，即，， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： （1）运用向量的平方运算来求最小值找到相等关系去求出； （2）引入变量去解三角形求出. 43．菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则 ，的最小值为 . 【答案】 0 /-0.25 【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值. 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，； 因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为 故答案为：0， 【点睛】建立坐标系，解决平面向量相关的取值范围或共线等问题是非常好用的. 44．已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】取的中点，连接，，计算，求出，得出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】取的中点，连接，，，如图所示： 因为为中点，所以， 所以， 因为，所以最大值为； 所以的最大值为. 故答案为：6． 45．已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 【答案】 【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值. 【分析】因为为在方向上的投影向量，且与的夹角为锐角， 所以，故． 因为，且， 所以．设， 则， 故．又． 设与的夹角为，所以． 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，即， 故．又，所以． 故与的夹角的最大值是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$