期中专题01 三角函数5.4-5.7（图象性质、恒等变换、伸缩平移）综合（精选50题）-【百强名校好题】备战2024-2025学年高一数学下学期期中考试必刷题型分类汇编（人教A版2019）

期中专题01 三角函数5.4-5.7 （图象性质、恒等变换、伸缩平移）综合 目录 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 2 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 3 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 3 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 3 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 4 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 4 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 4 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 4 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 5 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 5 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 5 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 5 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 5 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 6 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 6 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 6 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 6 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 7 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 7 重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期中 7 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 7 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 7 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 8 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 8 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 8 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 9 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 9 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 9 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 9 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 9 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 9 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 10 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 10 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 10 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 10 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 10 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 11 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 11 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 11 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 11 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 12 重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期中 12 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 12 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 13 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 13 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 13 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 14 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 14 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 1．已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2．已知，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 4．函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图像（    ） A．关于点中心对称 B．关于点中心对称 C．关于直线轴对称 D．关于直线轴对称 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 5．（多选）已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（   ） A． B． C．在上单调递减 D．方程在内恰有4个互不相等的实根 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 6．（多选）已知函数（），则下列结论正确的是（    ） A．对于任意的，总为奇函数 B．对于任意的，总为周期函数 C．当时，图像关于点中心对称 D．当时，的值域为 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 7．（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 8．已知向量，，函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，若，求的值. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 9．已知，，其中． (1)求的值； (2)求的值． 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 10．已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 11．（    ） A．1 B． C．-1 D． 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 13．给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 14．已知角的终边上有一点，则角的值为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 15．已知有如下命题： ①锐角一定小于； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③若是第二象限角，那么和都不是第二象限角； ④若与终边共线，则必有（） 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 16．化简的值为（    ） A．1 B． C． D． 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 17．已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 18．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是的周期 B．，在上具有单调性 C．当时， D．的图象只有对称轴，没有对称中心 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 19．（    ） A． B． C． D． 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 20．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 21．函数的奇偶性是 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期中 22．已知，函数满足，且在区间上单调，则为（    ） A． B． C．4 D． 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 23．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 24．函数的图象为，则以下结论中正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．函数在区间内是增函数 D．是偶函数 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 25．下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 26．函数（，，是常数，且，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递增 C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D． 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 27．已知函数的图象为，以下说法中正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．图象相邻两条对称轴的距离为 C．图象关于中心对称 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位 三、填空题 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 28．已知，则 . 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 296．已知，，则 ． 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 30．已知函数是奇函数，则 ． 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 31．如果方程在区间上恰有两个解，，则 . 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 32．已知，，则 . 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 33．已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是 .    贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 34．已知，则 ． 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 35．设，为实数，已知，，则的值为 . 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 36．函数相邻的两个零点分别为，则 . 四、解答题 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 37．已知，，其中， (1)求角； (2)求． 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 38．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若对于任意均有恒成立，求a的取值范围. 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 39．已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 40．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的取值范围． 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 41．设函数． (1)求的最小正周期及其图象的对称中心； (2)若且，求的值． 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 42．已知函数（其中，）. (1)求它的定义域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性； (4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期. 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 43．已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为． （1）求函数的解析式； （2）若是函数的零点，求的值组成的集合； （3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出 的范围，若不存在，请说明理由. 重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期中 44．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)设为实数，若，求的值. 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 45．已知函数（，）的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像上每个点先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图像在区间（a，且）至少有10个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值． 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 46．已知． (1)若，求的值； (2)若，且，，求的值． 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 47．已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为； ； （Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式； （Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 48．函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)函数的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值； (3)函数，若对于任意，当时，都有成立，求实数的最大值. 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 49．已知函数 (1)求方程在上的解集 (2)设函数，. ①证明：在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明： 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 50．已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求在上的值域． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中专题01 三角函数5.4-5.7 （图象性质、恒等变换、伸缩平移）综合 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 1．已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移求出函数，由是偶函数求出，进而得出的值． 【详解】∵函数的图象上所有的点向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数， 又函数是偶函数，∴，∴． 由，可得， ∴，， 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查图象的变换，考查奇偶性的应用，属于基础题． 湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中 2．已知，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式，同角关系式变形可得，由正切的二倍角公式计算． 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 故选：A． 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用和差角正余弦公式可得，再由诱导公式、倍角余弦公式求值. 【详解】因为， 所以. 故选：B 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 4．函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图像（    ） A．关于点中心对称 B．关于点中心对称 C．关于直线轴对称 D．关于直线轴对称 【答案】D 【分析】首先根据周期求，再根据函数的性质求，可求函数的解析式，然后根据三角函数的对称中心和对称轴的性质判断各项 【详解】由函数的最小正周期是以及可得，所以； 图像向右平移个单位后，得到函数， 所得图像关于原点中心对称可知，，又，解得， 所以 当时，，故不关于点中心对称，不关于线轴对称，故A、C错； 当时，，故不于中心对称，则关于直线轴对称，故B错；D对； 故选：D 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 5．（多选）已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（   ） A． B． C．在上单调递减 D．方程在内恰有4个互不相等的实根 【答案】BCD 【分析】根据正弦型三角函数的图象性质确定的值，从而可判断A，B；得的解析式后根据其单调性与图象可判断C，D. 【详解】由题意可得，将代入可得，所以， 又，所以或， 根据图象可知点在其递减区间上，故，故A不正确； 将代入可得，结合图象可得，所以， 且，故，则，故，故B正确； 则，当时， ，则在上单调递减，故C正确； 当时，则，从而可得在上的图象如下： 由图可得方程在内恰有4个互不相等的实根，故D正确. 故选：BCD. 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 6．（多选）已知函数（），则下列结论正确的是（    ） A．对于任意的，总为奇函数 B．对于任意的，总为周期函数 C．当时，图像关于点中心对称 D．当时，的值域为 【答案】ABC 【分析】对于A，由奇函数定义即可求解；对于B，由周期函数定义即可求解；对于C，由对称性定义即可求解；对于D，对进行化简即可求得值域. 【详解】对于A，因为，所以对于任意的，总为奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以对于任意的，总有周期，总为周期函数，故B正确； 对于C，当时，，所以此时的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，当时， ，又因为的定义域为，所以的值域为，故D错误； 故选：ABC. 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 7．（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，以及积化和差公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A中，由 ，所以A错误； 对于B中，由 ，所以B正确； 对于C中，由 ，所以C正确； 对于D中，由 ，所以D正确. 故选：BCD. 吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期5月期中 8．已知向量，，函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先根据向量数量积的坐标表示函数，然后对函数进行降幂,化简为,求出周期; （2）由已知条件，先求的范围，然后求在范围内满足条件的值． 【详解】解：（1），， . 即 ∴的最小正周期是. （2）由，得， ∵，∴，∴，∴. 【点睛】本题考查数量积的坐标表示，考查了三角恒等变换，考查三角函数的周期和已知函数值求自变量问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算求解能力，属于基础题. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 9．已知，，其中． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出，，再由两角差的正切公式求出，即可得解； （2）由二倍角公式求出，，再由和角公式计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以，，， 所以， 所以； （2）由（1）可知， ， 所以 . 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 10．已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最小正周期及单调递增区间. （2）由题意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 即有函数的单调递增区间为. （2）若为锐角的内角，且， 可得，由，可得， 则，即. 由正弦定理得，， 所以， 所以面积 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，所以，所以. 故面积的取值范围是. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 11．（    ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】D 【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可运算求解. 【详解】 . 故选：D. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦的和角公式化简得，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可. 【详解】由已知知：， 化简得 ， 令，则，， 所以 . 故选：D 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 13．给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】结合诱导公式和三角函数的定义检验各式即可判断. 【详解】对于①，； 对于②，； 对于③，，，； 对于④，， 综上所述，符号为负的有③. 故选C. 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 14．已知角的终边上有一点，则角的值为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，得到，再结合三角函数的诱导公式，得到，即可求解. 【详解】由题意知，角的终边上有一点， 根据三角函数的定义，可得， 又由三角函数诱导公式，可得， 即，所以. 故选：B. 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 15．已知有如下命题： ①锐角一定小于； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③若是第二象限角，那么和都不是第二象限角； ④若与终边共线，则必有（） 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合角的概念检验①③；结合扇形面积和弧长公式检验②；结合终边相同角的表示检验④. 【详解】对于①，由锐角定义可知，锐角一定小于，故①正确； 对于②，若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则，即半径，所以弧长，扇形的周长为，故②正确； 对于③，若是第二象限角，则，所以，所以不是第二象限角，，所以是第一或第三象限角，故③正确； 对于④，若与终边共线，则必有或，故④错误. 故选：D. 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 16．化简的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和与差公式和二倍角公式求解即可. 【详解】 . 故选：C. 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 17．已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，根据题意，转化为在区间上有且只有四个不相等的实数根，求得或，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 因为方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，且， 可得在区间上有且只有四个不相等的实数根， 则或， 解得或，且，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 18．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是的周期 B．，在上具有单调性 C．当时， D．的图象只有对称轴，没有对称中心 【答案】D 【分析】对于A，由周期函数的定义求解即可；对于B，由三角函数的单调性求解即可；对于C，由函数单调性先得到，进而得到；对于D，由对称性的定义式即可求解. 【详解】对于A，因为，所以是的周期，故A正确； 对于B，当时，，和都单调递增，所以在上单调递增； 当时，，和都单调递减，所以在上单调递减. 又因为是的周期，所以，在上具有单调性，故B正确； 对于C，时，，，所以， 所以，即，即. 又，所以， 即当时，，故C正确； 对于D，因为，所以的图象关于直线对称，即有对称轴. 又因为，即图象关于点对称，故D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质.其中，关键点是证明当时，.先利用函数单调性求得，再由不等式运算得到，从而证明该结论. 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 19．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据两角和的余弦公式得出结果. 【详解】 ， 故选：C. 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 20．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案. 【详解】对于BD，因为， 因此将函数的图象向右平移个单位， 即可得到函数的图象，故B错误，D正确； 对于A，的图象向左平移个单位长度， 可得，故A错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度， 可得，故C错误. 故选：D． 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 21．函数的奇偶性是 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【详解】试题分析：由，且函数定义域关于原点对称，可得，故，可知函数为奇函数. 考点：三角函数奇偶性. 重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期中 22．已知，函数满足，且在区间上单调，则为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先由得出，再结合在区间上单调，即可求解． 【详解】因为，所以，即对称中心为， 所以，即，解得， 又因为在区间上单调，所以，即， 所以，又且， 所以. 故选：B． 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 23．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】， ， ， 所以，，， 所以. 故选：A. 二、多选题 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 24．函数的图象为，则以下结论中正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．函数在区间内是增函数 D．是偶函数 【答案】BC 【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，故图象不关于直线对称，A错； 对于B选项，因为，故图象关于点对称，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在区间内是增函数，C对； 对于D选项，为奇函数，D错. 故选：BC. 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 25．下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角恒等变换公式，求解即可. 【详解】对于A选项，原式，故A选项错误； 对于B选项，原式，故B选项正确； 对于C选项，原式，故C选项正确； 对于D选项，原式，故D选项错误. 故选：BC. 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 26．函数（，，是常数，且，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递增 C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D． 【答案】BD 【分析】先根据函数的图象确定函数的解析式，再由解析式讨论函数的性质. 【详解】根据函数图象，易知：，. 由，. 所以，. 因为，故A错误； 由. 因为，所以函数在上单调递增，故B正确； 将的图象向左平移个单位得：，不是偶函数，故C错误； 因为，故D正确. 故学：BD 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 27．已知函数的图象为，以下说法中正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．图象相邻两条对称轴的距离为 C．图象关于中心对称 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位 【答案】BCD 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 所以函数的最大值为，故A错误； 函数的最小正周期，所以图象相邻两条对称轴的距离为，故B正确； 因为，所以图象关于中心对称，故C正确； 将的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到， 再将向右平移个单位得到，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 28．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正弦公式与正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中 296．已知，，则 ． 【答案】 【分析】由切化弦可得，结合两角和差公式分析求解. 【详解】因为，即，可得， 又因为，可得， 所以. 故答案为：. 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 30．已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据函数对称性解得，结合题中的范围分析求解. 【详解】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高一下学期期中 31．如果方程在区间上恰有两个解，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，其中，结合的对称轴为，得到，再由诱导公式和正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以 其中， 又由的对称轴方程为， 因为方程在区间上恰有两个解， 可得，即， 则. 故答案为：. 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 32．已知，，则 . 【答案】 【分析】根据利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】因为，， 所以 . 故答案为： 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 33．已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】由，推出，从而知，再由，求得的取值范围，并结合正弦函数的图象与性质，即可得解． 【详解】由图知，所以， 因为，所以，即， 由，知， 因为在上恰有一个最大值和一个最小值， 所以，解得． 故答案为：． 贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期中 34．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用平方关系和二倍角公式计算得出结果 【详解】由，可得，得， 所以 故答案为： 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 35．设，为实数，已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将两式平方相加并利用平方关系和两角和的正弦化简得，再将两式平方相减结合化简得，即可得解. 【详解】由，， 得， ， 相加得， 即，所以， 相减得 ， 又， ， 所以， 所以， 所以，解得. 故答案为： 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 36．函数相邻的两个零点分别为，则 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换得到，求出解得或，分两种情况，结合诱导公式求出答案. 【详解】 ， 令得， 故，或， 解得或， 又，其中， 故， 或， 综上，. 故答案为： 四、解答题 辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中 37．已知，，其中， (1)求角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可. （2）根据，利用倍角公式算出，代入即可求解. 【详解】（1）解：由题意得： 又 （2）， 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 38．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若对于任意均有恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，递增区间为 (2) 【分析】（1）化简函数为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解； （2）由（1）求得，转化为任意均有恒成立，根据，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由 可得函数的最小正周期， 令，解得 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）知，函数， 可得， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得所以在上单调递减， 所以，则， 所以的取值范围为. 四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 39．已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由值求值，即可求出； （2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值. 【详解】（1）由，可得， . （2）由 ，可得， 又， ， ， 由，可得. 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 40．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式化简，根据周期公式可得函数的最小正周期； （2）利用正弦函数的性质可得函数的最值. 【详解】（1） 其最小正周期为. （2）又，， 所以，即 所以函数在区间上的取值范围为：. 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 41．设函数． (1)求的最小正周期及其图象的对称中心； (2)若且，求的值． 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【分析】（1）展开化简最小正周期为，令对称中心为； （2）根据，求得，配凑从而带入求值. 【详解】（1）因为 所以的最小正周期为． 令，解得， 所以的对称中心为 （2）因为，即， 所以， 因为，所以， 所以， 所以 ． 江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中 42．已知函数（其中，）. (1)求它的定义域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性； (4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期. 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)非奇非偶函数 (4)周期函数，周期为 【分析】（1）可结合余弦函数的图象，解便可得出的定义域;     （2）可以看出原函数是由和复合而成的复合函数，这样根据余弦函数、对数函数，以及复合函数的单调性便可求出单调区间； （3）可以看出的定义域不关于原点对称，从而得出为非奇非偶函数； （4）由为周期函数，且周期为可判断的周期性，并可得出它的周期. 【详解】（1）解得：， ∴， ∴的定义域为，； （2）设，， 解，得：， 解，得：， ∴ 在上单调递增，在上单调递减； ①若，则为增函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为; ②若，则为减函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数； （4）因为为周期函数，且最小正周期为， 所以 所以为周期函数，最小正周期为. 江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中 43．已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为． （1）求函数的解析式； （2）若是函数的零点，求的值组成的集合； （3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出 的范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析. 【解析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式； （2）若是函数的零点，则，解得 或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解； （3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解. 【详解】选择①②： 因为函数的图象过点， 所以，解得，因为，所以， 因为函数的图象关于点对称，则， 可得，因为，所以，， 所以， 选择①③： 若函数的图象过点， 所以，解得，因为，所以， 因为函数相邻两个对称轴之间距离为， 所以，所以，，解得：， 所以， 选择②③： 因为函数相邻两个对称轴之间距离为， 所以，所以，，解得：， 若函数的图象关于点对称，则， 可得，因为，所以，， 所以 （2）若是函数的零点，则， 可得， 所以或 解得：或， 若是函数的零点，则，， 当时，， 当时，， 当时， 所以的值组成的集合为； （3）当时，， 令，则，令， 则，， 因为， 所以，即， 所以，即，， 解得：. 所以实数的范围是：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉，解关于的不等式. 重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期中 44．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)设为实数，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简函数，再根据自变量的取值范围，整体换元后利用正弦函数的性质求值域； （2）由可得，根据诱导公式及二倍角余弦公式计算即可. 【详解】（1）， 因为，所以，所以，即， 故的取值范围为； （2）由可得，所以， 所以 . 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 45．已知函数（，）的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像上每个点先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图像在区间（a，且）至少有10个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出表达式，根据图象的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【详解】（1）由题意可得，得，则 则为偶函数， 则，解得， 又因为，可知， 所以. （2）因为，则，可知 可得，， 而恒成立， 即， 整理可得. 令，， 设，， 设，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. （3）由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则和都是零点， 此时在区间， ， 分别恰有个零点， 所以在区间上恰有9个零点， 从而在区间上至少有一个零点， 所以，解得， 另一方面，在区间上恰有10个零点， 所以的最小值为. 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 46．已知． (1)若，求的值； (2)若，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，然后利用弦化切进行求值即可． （2）由两角和差的三角公式进行转化求解即可． 【详解】（1）， 由已知，，得， 所以． （2）， ，得， 由，得， 则， ，， ． ． ． ． 而， ． ． ． 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 47．已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为； ； （Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式； （Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（Ⅰ）选①或②或③，；（Ⅱ）当或时，线段的长取到最大值. 【解析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数的最小正周期，进而得出. 选①，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式； 选②，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式； 选③，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式； （Ⅱ）令，利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出在上的最大值和最小值，由此可求得线段长度的最大值及此时的值. 【详解】（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时. 若选①，则函数的一条对称轴，则， 得，，当时，， 此时，； 若选②，则函数的一个对称中心，则， 得，，当时，， 此时，； 若选③，则函数的图象过点，则， 得，，， ，解得，此时，. 综上所述，； （Ⅱ）令，， ，，当或时，即当或时， 线段的长取到最大值. 【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 48．函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)函数的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值； (3)函数，若对于任意，当时，都有成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求得，再利用待定系数法求出即可； （2），令，由题意可得，再根据正弦函数的对称性求出即可得解； （3）先求出，令，由题意可得函数在上单调递增，再根据正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由图象可知则， 则， 又，所以， 所以， 又，所以， 所以的解析式为； （2），令， 由可得， 令， 由对称性可知，两式相加可得， ， 所以； （3）， 令， 则 ， 因为对于任意，当时，都有成立， 所以对于任意，当时，都有成立， 即对于任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 由，得， 所以，解得， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中 49．已知函数 (1)求方程在上的解集 (2)设函数，. ①证明：在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明： 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可； （2）①借助函数单调性和零点存在定理证明；②利用三角函数二倍角公式化简，再换元，从而得证. 【详解】（1）依题意，得， 所以， 所以或， 当时，，则， 又，所以， 当，则， 又， 所以或，所以， 所以方程在上的解集为. （2）①设， 当时，则， 此时在上单调递增， 在上也单调递增，所以在上单调递增， ， 所以在区间上有且只有一个零点； ②记函数的零点为， 所以，且，所以， 所以， 令，因为，所以， 又，则， 所以， 则. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问②的解决关键是，利用换元法，求得的值域. 福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一下学期期中 50．已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的最小正周期求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为最小正周期为且， 由可得， 故， 则． （2）由（1）知， 当时，，则， 故， ， 故在上的值域为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$