【专项练】旋转作图问题-北师大版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

旋转作图问题 1．如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， 格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为 ． (1)将 绕点 D旋转 得到 ，画出 ； (2)直接写出点 的坐标； (3)求 的面积． 2．将一个正 n边形旋转 90°或旋转 120°后，均能与自身重合，则 n可以为（ ） A．90 B．120 C．2022 D．2023 3．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)将 先向右平移 2个单位长度，再向下平移 6个单位长度，得到 ，画 出 ；（注：点 A与 ， 与 ， 与 分别是对应点） (2)以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 ，画出旋转后的 ，并写出 的坐标： ______， ______， ______；（注：点 与 ， 与 ， 与 分别是对应点） 4．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ， 格点（网格线的交点） ， ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ． (1)以点 为旋转中心，将 旋转 得到 ，画出 并写出点 ， ， 的坐标； (2)直接写出以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积； (3)若 外接圆的圆心为点 ，请直接写出点 的坐标． 5．如图，方格纸上的直线 m与直线 n交于点 O，对 分别作下列运动： ①先以点 A为中心顺时针方向旋转 ，再向右平移 6格、向下平移 3格； ②先以点 B为中心逆时针方向旋转 ，再向下平移 3个单位，再沿直线 n翻折； ③先以点 O为中心顺时针方向旋转 ，再向下平移 4格、向右平移 2格． 其中，能将 变换成 的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 后能 与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 为这个图形的 一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点 O旋转 或 后，能与自身 重合（如图 1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： (1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形 (2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 度的有：________（填序号）． (3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图 形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个； A．0 B．1 C．2 D．3 (4)如图 2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 ， ， ， ，将图形补充完整． 7．如图，在由边长为 1的正方形组成的网格中，将格点 绕某点顺时针旋转 （ ）得到格点 ，点 与点 ，点 与点 ，点 与点 是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点 ； (2)旋转角 的度数是______； (3)求 的面积． 8．在直角坐标平面内，有点 A（﹣2，0），B（0，2），将线段 AB绕点 B顺时针 旋转后，点 A的对应点 C落在 y轴上，那么旋转角是 °． 9．如图 1，在 的 长方形网格中，每个小正方形的边长为 1，小正方形的 每一个顶点叫做格点．线段 和 的顶点都在格点上． (1)请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． ①请画出 的中线 和高 ． ②在线段 右侧找到点 F，使得 ． (2)要求在图 2中仅用无刻度的直尺作图在 x轴上找点 F，使 平分 ． 10．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标为 ， ， ． (1)画出 绕点 逆时针旋转 后的图形 ，并写出 的坐标； (2)将 先向左平移 4个单位，再向上平移 4个单位得到 ，画出 ， 并写出 的坐标； (3)若 可以看作 绕某点旋转 得到，直接写出旋转中心的坐标． 11．如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ， ． (1)将 以点 为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ，并直接写出点 的对应点 的坐标； (2)平移 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出平移后对应的 ，并直 接写出点 的对应点 的坐标； (3)将 绕某一点旋转 可以得到 ，请画出旋转中心 ，并直接写出旋 转中心 的坐标； (4)在 轴上找一点 ，使 的值最小，并直接写出点 的坐标． 12．点 A和点 B分别是 x轴和 y轴上的动点，以 为斜边作是等腰 ，连接 ． (1)如图①，将 绕点 C顺时针旋转 得 ，请在图①中用虚线画出旋转 后的图形，标出点 D的位置，并直接写出此时线段 ， ， 之间的数量关系 （不必证明）； (2)写出图②和图③中线段 ， ， 之之间的数量关系，并任选一个，证明你 的结论； (3) ， ，直接写出此时 的长． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别是 、 、 ． (1)以点 O为旋转中心，将 逆时针旋转 ，得到 ，请画出 （点 A、B、C的对应点分别为 、 、 ）； (2)将 平移，使平移后点 B、C对应点 ， 分别在 y轴和 x轴上，画出平移 后的 ； (3)设点 P在坐标轴上，且 与 的面积相等，则点 P的坐标为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 旋转作图问题 1．(1)见解析 (2) (3)10 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求． （2）由图可得， （3） 的面积为 ． 2．B 【分析】根据旋转的性质，有 是整数， 是整数，且 是整数，据此结合选项即可作答． 【详解】若旋转 后与自身重合，则 是整数，即 是整数； 同理，若旋转 后与自身重合，则 是整数． 题中符合条件的只有 120． 故选 B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【点睛】本题考查了旋转的性质，以及旋转对称图形，判定出 是整数，且 是整数，是解答 本题的关键． 3．(1)见解析 (2)图见解析， ， ， 【分析】本题考查了平移作图和旋转作图，确定对应点是解题的关键． （1）根据平移的性质画出平移后的 即可； （2）根据旋转的性质画出 ，再写出 ， ， 的坐标即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所作， （2） ， ， 的坐标为 ， ， 4．(1)图见解析， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (2) (3) 【分析】（1）按照画旋转图形的方法画出 并写出点 ， ， 的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式求出以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积即可； （3）在图中找到边 与边 的垂直平分线的交点，然后写出其坐标即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求作， 点 ， ， 的坐标分别为： ， ， ； （2）解： ； （3）解：由图可得： 外接圆圆心点 的坐标为： ． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，写出直角坐标系中点的坐标，三角形的面积公式，线段 垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质及画旋转图形的方法是解题的关键． 5．A 【分析】根据图形的平移、旋转的性质，画出图形，即可一一判定． 【详解】解：①先以点 A为中心顺时针方向旋转 ，得到的图形如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 再向右平移 6格、向下平移 3格，即可得到 ， 故①符合题意； ②先以点 B为中心逆时针方向旋转 ，得到的图形如下： 再向下平移 3个单位，再沿直线 n翻折，即可得到 ， 故②符合题意； ③先以点 O为中心顺时针方向旋转 ，得到的图形如下： 再向下平移 4格、向右平移 1格，即可得到 ， 故③不符合题意． 故其中，能将 变换成 的是①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的变化，熟练掌握平移、旋转变化的性质与运用是解决本题的关键． 6．(1)B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (2)（1）（3）（5） (3)C (4) 【分析】（1）本题考查旋转图形及中心对称图形的判断，根据旋转图形及中心对称图形定义 逐个判断即可的答案； （2）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案； （3）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案； （4）本题考查旋转图形，根据旋转角有 ， ， ， ，结合等腰直角三角形的性质 作图即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 矩形，菱形，正六边形即是旋转对称图形又是中心对称图形， 正五边形是是旋转对称图形但不是中心对称图形， 故选：B； （2）解：由图形可得， （1）（3）（5）的旋转角有 度， （2）（4）的旋转角最小为 ， （6）的旋转角是 及其整数倍数， 故答案为：（1）（3）（5）； （3）解：由题意可得， 中心对称图形是旋转对称图形，平行四边形是旋转对称图形，①③正确， 等腰三角形不是旋转对称图形，②错误， 故选：C； （4）解：由题意可得， ∵旋转角有 ， ， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴每一个四分之一半圆里均要有两个等腰直角三角形， ∴图形如下图所示， 7．(1)见解析 (2)90° (3) 【分析】（1）连接 CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接 CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°； （3）利用割补法即可求面积． 【详解】（1）如图所示，连接 CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点 O 即为 所求； （2）如图所示，连接 CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 故答案为 ； （3） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 8．315 或 135 【分析】根据 A、B的坐标可知，△AOB 是等腰直角三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠ABO=∠OAB=45°， ∴ ∴当旋转角为 315°（旋转角为 360°-∠ABO）或 135°（旋转角为 ）时，点 A的对应 点 C落在 y轴上， 故答案为：315 或 135． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的旋转，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关 键在于能够熟练掌握旋转的性质． 9．(1)①见解析；②见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等 知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （1）①取 的中点 P（ 与网格线的一个交点），连接 ，取格点 T，连接 交 于点 H，线段 即为所求； ②利用数形结合的思想，旋转 度和平移，作出 ， 即可； （2）将 绕点 A 顺时针旋转 到 位置，可得 ，再找到 边上的中 线 ，延长 交 x轴交点 F，连接 ，可得 ，即是所求点 F． 【详解】（1）解：① 的中线 和高 如图 1.1， 则线段 ，线段 即为所求； ②如图 1.2， 即为所求； ； （2）解： 平分 ，如图 2所示， 则点 F为所求． 10．(1)图见解析， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B、C的对应点 、 ，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出 、 、 的坐标，再顺次连接即可； （3）作 和 的垂直平分线，它们的交点 P满足条件． 【详解】（1）解： 如图所示： 的坐标为 ； （2）解： 如图所示， 的坐标为 ； （3）解：如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 若 可以看作 绕某点旋转 得到，作 和 的垂直平分线，它们的交点 P即为 旋转中心的坐标，由图可得 ． 11．(1)见解析， (2)见解析， (3)见解析， (4)见解析， 【分析】本题考查作图-旋转变换、轴对称-最短路线问题、作图-平移变换． （1）根据旋转的性质作图，再看图写出 的坐标即可； （2）根据平移的性质作图，再看图写出 的坐标即可； （3）连接 ， ， ，相交于点 P，则 绕点 P旋转 可以得到 ，即可得 出答案； （4）取点 A关于 x轴的对称点 ，连接 交 x轴于点 Q，则点 Q即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 点 的坐标为 ； （2）解：如图， 即为所求； 点 的坐标为 ； （3）解：连接 ， ， ，相交于点 P， 则 绕点 P旋转 可以得到 ， ∴旋转中心的坐标为 ； （4）解：取点 A关于 x轴的对称点 ，连接 交 x轴于点 Q，连接 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 此时 为最小值， 则点 Q即为所求， ∴点 Q的坐标为 ． 12．(1)作图见解析， (2)对图②， ，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作出图形，再证明 O、A、D三点在一直线上和 是等腰直角 三角形，然后利用和与勾股定理即可得出结论； （2）将 绕点 C顺时针旋转 得 ，利用旋转的性质得出 是等腰直角三角形， 根据线段和差与勾股定理即可得出结论； （3）分两种情况：I）当点 B在 y轴正半上，点 A在 x轴负半轴上时，如图①，II）当点 B在 y轴负半上，点 A在 x轴负半轴上时，如图③，分别求解即可． 【详解】（1）解：旋转后的图形如图①所示， ． ∵ 为斜边的等腰 ， ∴ ， ， 由旋转可得 ， ， ， ， ∴ ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴O、A、D三点在一直线上， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， 即 ． （2）解：如图②， ，证明如下： 将 绕点 C顺时针旋转 得 ， 则 ， ， ， ，DA＝OB，CD＝CO，∠COD＝90º， 是等腰 直角三角形， ∴ ， ∴ ，即 对图③， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 证明如下： 将 绕点 C顺时针旋转 得 ，则 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ，即 ． （3）解：分两种情况：I）当点 B在 y轴正半上，点 A在 x轴负半轴上时，如图①，将 绕 点 C顺时针旋转 得 ， 由（1）可得： 与 均是等腰直角三角形， 由“8”字型结构知： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由（1）可得： ， ， ∴ ∴ ； II）当点 B在 y 轴负半上，点 A在 x轴负半轴上时，如图③，将 绕点 C顺时针旋转 得 ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 由（2）可得： 与 均是等腰直角三角形， 由“8”字型结构知： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由（2）可得： ， ， ∴ ∴ ； 综上， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角 三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，勾股定 理．利用旋转作图，构造等腰直角三角形是解题的关键． 13．(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 或 或 或 【分析】（1）作出点 A、B、C绕点 O逆时针旋转 后的对应点 、 、 ，然后顺次连接即 可； （2）根据平移后点 B、C对应点 ， 分别在 y轴和 x轴上，先作出点 ， ，然后作出点 A 的对应点 ，然后顺次连接即可； （3）分两种情况：点 P在直线 上方时，点 P 在直线 下方时，分别画出图形，求出结果 即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图， 即为所求； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 （3）解：设直线 的解析式为 ，把 、 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ 为直角三角形， ， 当点P在直线 下方时，延长 到点D，使 ，根据网格特点可知，此时点D坐标为 ， 过点 D作 的平行线，分别交 x轴、y轴于一点，该点即为点 P，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 设 的解析式为 ，把 代入得： ， 解得： ， ∴ 的解析式为 ， 把 代入得： ， 解得： ， 把 代入得： ， ∴点 P的坐标为 或 ； 当点 P 在直线 上方时，过点 C作 的平行线，分别交 x轴、y轴于一点，该点即为点 P， 如图所示： 设 的解析式为 ，把 代入得： ， 解得： ， ∴ 的解析式为 ， 把 代入得： ， 把 代入得： ， 解得： ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ∴此时点 P坐标为 或 ； 故答案为： 或 或 或 ． 【点睛】本题考查了画旋转图形，平移作图，求一次函数解析式，勾股定理及其逆定理，熟练 掌握以上知识是解题的关键．