【专项练】网格中的中心对称问题-北师大版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 网格中的中心对称问题 1．如图， 和 的顶点都在边长为 1的小正方形网格的格点上，且 与 关于 点 成中心对称． (1)在图中标出点 ，并画出 关于直线 对称的 （其中 ， ， 分别是 ， ， 的对应点）； (2)猜想 的度数，并说明理由． 2．在如图所示的网格中画图． (1)画出 关于原点 O 对称的中心对称图形 ． (2)将 绕点 A 按顺时针方向旋转 后得到 ，画出 ． 3．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (1)若将点 A 沿 x 轴正方向平移 5个单位长度，则平移后的点的坐标是______； (2)将 绕某点旋转后得到 ，其中点 A 的对应点是 ，则旋转中心的坐标是______； (3)画出 关于原点 O 对称的 ． 4．如图，在边长为 1的正方形网格中， 的顶点均在格点上． (1)以点 A 为旋转中心，将 绕点 A 顺时针旋转 得到 ，画出 ． (2)作出 关于坐标原点 O 成中心对称的 ． (3)从 到 ，能否看作是绕某一点通过旋转得到的？若能，用直尺画出旋转中心， 并写出旋转中心的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图， 三个顶点的坐标分别为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)请画出 向左平移 4个单位长度后得到的 ； (2)请画出 关于原点对称的 ； (3)求 的面积． 6．已知，如图： (1)写出点 的坐标__________； (2)画出点 关于原点的对称点 ； (3)画出点 关于直线 的对称点 ； (4)以点 为顶点的三角形形状是__________三角形， 的面积__________． 7．在平面直角坐标系中， 的位置如图所示：（每个小方格都是边长为 1个单位长度的正 方形） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (1)画出 关于点 O 的中心对称图形 ； (2)将 绕着点 O 逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ； 8．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别为 ． (1)画出 绕点 O 顺时针旋转 后所得到的图形 ，并写出点 的坐标； (2)画出 关于原点 O 成中心对称的 ． 9．在平面直角坐标系中， 的位置如图所示，（每个小方格都是边长为 1个单位长度的正 方形）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (1)若 和 关于原点 成中心对称，画出 ． (2)将 绕着点 顺时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，并写出 的坐标． (3)在 轴上存在一点 ，满足点 到点 与点 距离之和最小，请直接写出 的最小值 为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C、M 四个点的坐标分别为 ， ， ， ．将 绕点 M 旋转 得到 ． (1)画出 ； (2)已知点 为 内一点，点 P 随着 绕点 M 旋转 得到 ，则 __________， __________． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (1)若 经过平移后得到 ，已知点 A 的对应点 的坐标为 ，写出顶点 C 的对应 顶点 的坐标； (2)若 和 关于原点 O 成中心对称图形，写出顶点 C 的对应顶点 的坐标； (3)将 绕坐标原点 O 按顺时针方向旋转 得到 ，画出 ． 12．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1个单位长度， 的三个顶点的 坐标分别为 ， ， ， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，解答下列问题． (1)已知 是由 旋转得到的，则旋转中心的坐标是______________，旋转角是 ___________度； (2)将 向上平移 2个单位长度，再向右平移 5个单位长度后得到 ，请画出 ； (3)在 轴下方添加一个点 ，使 ， ， ， 四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形， 则点 的坐标为________________（直接写出）． 13．如图，方格纸上每个小方格的边长都是 1， 与 成中心对称． (1)画出对称中心 ； (2)画出将 向上平移 6个单位长度得到的 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 (3) 绕点 按顺时针方向至少旋转多少度，才能与 重合？ 14．图①，图②，图③均为 4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的 边长都为 1．线段 AB的端点均在格点上． 按要求在图①，图②，图③中画图． （1）在图①中，以线段 AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点； （2）在图②中，以线段 AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为 2，且直角的顶点为格点； （3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两 个顶点均为格点. 15．如图所示，在正方形网格中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．请在所 给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将 绕着点 按顺时针方向旋转得到 ，请在图中画出旋转中心，并求出旋转角度 为 ； (2)画出 关于点 成中心对称的 ，若 内有一点 ，则经过这次变换后点 的对称点坐标为 ． 16．如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知 的顶点均为格点，且点 A 的坐标为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 (1)画出 关于 x 轴对称的 ； (2)画出将 绕原点 O 按顺时针方向旋转 ，所得的 ； (3) 与 成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴； (4) 与 成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 网格中的中心对称问题 1．(1)见解析 (2) ，理由见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题 的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）对应点连线的交点即为旋转中心，利用轴对称变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 ， ， ′即可； （2）利用勾股定理勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：如图，点 O， 即为所求； （2）解：结论： ． 理由：∵ ， ∴ ， ∴ ． 2．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了中心对称作图和旋转作图； （1）作出关于原点 O 对称的中心对称图形，即可求解； （2）作出绕点 A 按顺时针方向旋转 的图形，即可求解； 掌握作法是解题的关键. 【详解】（1）解：如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 为所求作图形； （2）解：如图， 为所求作图形. 3．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-平移变换，中心对称及旋转变换等知识，解题的关键是掌握平移变换， 中心对称及旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质进行求解即可． （2）分别连接 ，并分别作出 的垂直平分线，其交点即为旋转中心，据此求解即 可； （3）利用中心对称的性质分别作出 A，B，C 的对应点 ，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：将点 沿 x 轴正方向平移 5个单位长度，则平移后的点的坐标是 ， 故答案为： ； （2）解：如图，旋转中心坐标为 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故答案为： ； （3）解：如图， 即为所求， 4．(1)见解析 (2)见解析 (3)能，图形见解析，点 的坐标 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握中心对称变换， 旋转变换的性质，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 （1）利用旋转变换的性质分别作出 ， 的对应点 ， 即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图， 即为所求； （3）解：从 到 ，能看作是绕某一点通过旋转得到的，如图，点 即为所求，点 的坐标 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 5．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平移变换作图、中心对称作图、求网格中三角形面积等知识点，掌握 作图的一般步骤是解题的关键． （1）将 A、B、C 按平移条件找出它的对应点 ，再顺次连接即可得到平移后的图形； （2）将 A、B、C 按原点对称找出它的对应点 ，再顺次连接即可得到平移后的图形； （3）利用割补法以及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图： 即为所求． （2）解：如图： 即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 （3）解： 的面积为 ． 6．(1) ； (2)画图见解析； (3)画图见解析； (4)直角； ． 【分析】（ ）由图可得答案； （ ）根据中心对称的性质作图即可； （ ）根据轴对称的性质作图即可； （ ）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得 为直角三角形，再利用三角形的面积公 式计算 的面积即可； 本题考查了作图-轴对称变换、作图-中心对称变换，勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握 轴对称的性质、中心对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，点 的坐标为 ， 故答案为： ； （2）解：如图，点 即为所求； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （3）解：如图，点 即为所求； （4）解：由勾股定理得， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 为直角三角形， ∴ 的面积为 ， 故答案为：直角； ． 7．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，勾股定理，中心对称． （1）分别作出 A，B，C 关于点 O 对称的对应点 ， ， 即可； （2）分别作出 A，B，C 绕着点 O 逆时针旋转 的对应点 ， ， 即可． 【详解】（1）解： 如图所示； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （2）解： 如图所示． 8．(1) 图见详解， ， (2) 图见详解 【分析】本题主要考查了画旋转图形以及关于原点对称的图形． （1）根据旋转的性质作图即可，然后根据直角坐标系写出 的坐标即可． （2）先得出 关于原点成对称点的坐标 ，然后 再顺次连接即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 则 ， （2）解：∵ ． 关于原点 O 成中心对称的 ∴ 如下图所示： 9．(1)作图见详解 (2)作图见详解， (3) 【分析】本题主要考查平面直角系的特点，掌握中心对称图形的性质，旋转的性质，轴对称图 形的性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． （1）根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，坐标与图形的知识即可求解； （3）根据轴对称的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ 即为所求图形； （2）解：如图所示， ∴ 即为所求图形， ； （3）解：如图所示，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ， ∴ ， ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 故答案为： ． 10．(1)图见解析 (2) ， 【分析】本题主要考查了画旋转图形，中心对称的性质，中点坐标公式等知识点，熟练掌握旋 转的性质、中心对称的性质以及画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画旋转图形的方法画出 即可； （2）由题意得，点 与点 关于点 中心对称，结合中心对称的性质可得 ， ，求出 、 的值即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求作； （2）解： 点 随着 绕点 M 旋转 得到 ， 点 与点 关于点 中心对称， ， ， ， ， 故答案为： ， ． 11．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平移的性质、旋转的性质、成中心对称的图形的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 （1）由点 A 平移后对应的点 的坐标为 ，得出平移方式为：先向右平移 5个单位长度， 再向下平移 2个单位长度，根据顶点 C 的坐标即可得出答案； （2）由中心对称的性质即可得出答案； （3）将 的三个顶点分别绕坐标原点 O 按顺时针方向旋转 得到对应点，再顺次连接即 可． 【详解】（1）解： 平移后对应的点 的坐标为 ， 平移方式为先向右平移 5个单位长度，再向下平移 2个单位长度， ， 的坐标为 ，即 ； （2）解： 和 关于原点 O 成中心对称图形， ， 的坐标为 ； （3）解：如图， 即为所求． 12．(1) ， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-利用旋转设计图案，利用中心对称设计图案，平移变换等知识，解题 的关键是掌握平移变换，中心对称变换，旋转变换的性质． （1）根据旋转的性质找出旋转中心及旋转角的度数即可； （2）利用平移变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 并顺次连接即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （3）根据中心对称变换的性质作出点 P，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，分别连接 ，并作出 的垂直平分线，其交点即为旋转中 心， 旋转中心的坐标是 ，旋转角是 ， 故答案为： ， ； （2）解：如图， 即为所作； （3）解：如图，使 ， ， ， 四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形， 点 的坐标为 ， 故答案为： ． 13．(1)见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平移作图，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握相关 知识，并灵活运用． （1）连接 、 ，相交于点 O，点 O 即为所求； （2）先画出点 、 、 平移后的对应点，再依次连接即可； （3）连接 ，根据图形，求出 的度数即可． 【详解】（1）解：如图，点 即为所求； （2）解：如图， 即为所求； （3）解：由图可知， ， 则 绕点 按顺时针方向至少旋转 ，能与 重合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 14．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）作 AB的垂直平分线，垂直平分线在端点处的点即为顶点； （2）如下图所示，满足面积条件和直角条件； （3）以 AB为对角线，绘制平行四边形即可 【详解】（1）如下图，过线段 AB作垂直平分线，与网络交于格点 C，则点 C为等腰直角三 角形顶点 根据勾股定理，可求得 AB= ，AC=BC= 根据勾股定理逆定理，可得△ABC是直角三角形，满足条件 （2）图形如下： 根据勾股定理，可求得：AB= ，AC= ，BC= 根据勾股定理逆定理，可判断△ACB是直角三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 面积= × =2，成立 （3）平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，图形如下： (答案不唯一) 【点睛】本题考查格点问题，解题过程中，一方面需要结合几何特征，另一方面，还要敢于尝 试 15．（1）作图见解析，90°；（2）（－4－a，－b）． 【分析】（1）作 AA′的中垂线和 CC′的中垂线交于点 P 即为旋转中心，连接 AP， ，根据 等腰直角三角形的性质得到∠ ； （2）分别延长 BA、CA到相等的长度，得到点 E、D，再连接 DE即可得到中心对称的三角 形，根据对称点的横纵坐标的变化即可得到点 P的对称点的坐标. 【详解】（1）作 AA′的中垂线和 CC′的中垂线交于点 P，如图，连接 AP， ， ∵PE=AE= =3, ∴∠APE=∠ , ∴旋转角∠ , 故答案为：90°； （2）如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∵A , , ∴经过这次变换后点 的对称点横坐标为：-2+（-2-a）=-4-a，纵坐标为：0+（0-b）=-b， 故答案为：（－4－a，－b）. 【点睛】此题考查画图能力，画中心对称图形，考查旋转图形的性质，旋转中心在网格中的确 定方法，这是此题的难点，作两组对称点连线的垂直平分线即是旋转中心. 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)成轴对称，见解析 (4)成中心对称，对称中心坐标为 【分析】（1）分别作出 、 关于 x 轴的对称点 、 ，依次连线，即可求解； （2）分别作出 、 、 绕原点 O 按顺时针方向旋转 的对应点 、 、 ，依次连线，即 可求解； （3）分别作线段 、 、 的垂直平分线，由于三条直线重合，即可求解； （4）连接 ， 、 ，可得 ， ， ， ， ， ， 直线 的解析式为 ，直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ， 从而可求直线 与直线 的交点 ，可证直线 ，直线 、直线 交于同一 点 ，再证 ， ， ，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 为求作的三角形． （2）解：如图， ， 为求作的三角形． （3）解，如图， 分别作线段 、 、 的垂直平分线，三条直线重 合， 直线 为所求作的对称轴． （4）解：如图，连接 ， 、 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ， ， ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 则有 ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 同理可求直线 的解析式为： ， 直线 的解析式为： ， ， 解得： ， 直线 与直线 的交点 ， 同理可求直线 与直线 的交点 ， 直线 与直线 的交点 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 直线 ，直线 、直线 交于同一点 ， ， ， ， 同理可证： ， ， 与 成中心对称，对称中心坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称的性质作轴对称图形并两个判断图形是否成轴对称，利用 旋转的性质作旋转对称图形，用中心对称定义判断两个图形是否成轴对称，一次函数待定系数 法求解析式，求两直线交点坐标，理解轴对称、旋转、中心对称的定义及性质，掌握作法是解 题的关键．