【专项练】图形旋转综合问题-北师大版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

图形旋转综合问题 1．如图，在 中， ，若 是 边上任意一点，将 绕点 逆时针 旋转得到 ，点 的对应点为点 ，连接 ，则在下列结论中：① ， ② ；③ ，④ ，一定正确的是（ ） A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 2．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点 B、C、E 在同一直线上， ， ， ，将 绕点 C 顺时针旋转一定 角度 ，如果在旋转的过程中 有一边与 平行，那么此时 的 面积是 ． 3．（1）问题背景 如图甲， ， ，垂足为 ，且 ， ，求四边形 的面积． 小明发现四边形 的一组邻边 ， 这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下 思考过程： 第一步：将 绕点 逆时针旋转 ； 第二步：利用 与 互补， 证明 三点共线， 从而得到正方形 ； 进而求得四边形 的面积． 请直接写出四边形 的面积为 ． （2）类比迁移如图乙， 为等边 外一点， ， ，且 ，求 四边形 的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形 中， ， ， ， ， ， 求五边形 的面积． 4．已知 和 都是等腰三角形， ． (1)如图①，当点 D 在 外部，点 E 在 内部时，求证： ． (2)如图②， 和 都是等腰直角三角形， ，点 C，D，E 在同一直线上， 为 中 边上的高．求 的度数；判断线段 之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③， 和 都是等腰直角三角形， ，将 绕点 A 逆时针旋转，连结 ．当 时，在旋转过程中， 与 的 面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 5． 已知：如图 1， 中， ，D、E 分别是 、 上的点， 不难发现 、 的关系． (1)将 绕 A 点 旋转到图 2 位 置时，写出 、 的 数量关系 ； (2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图 3 位置． ①猜想 与 有什么数量关系和位置关系?请就图 3 的情形进行证明； ②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出 的度数 ． 6．在 中， ， ，点 D 在线段 上，点 E 在射线 上， ． 【探究发现】 （1）如图 1，当点 E 在线段 上时，猜想线段 的数量关系，并证明你 的结论； 【类比迁移】 （2）如图 2，若点 E 在 的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完 成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图 3，在等边 中，点 D，E 在边 上， ， ， ， 求 的面积． 7．已知 是等腰直角三角形， ，直线m是过点C的任一条直线， 于点 E， 于点 D； (1)如图（1），求证： ； (2)当直线 m 绕点 C 旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立， 请写出 AE 与 DE 和 BD 的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线 m 绕点 C 旋转到如图（3）时，请直接写出 AE 与 DE 和 BD 的数量关系． 8．如图 1，在 中， ， ，点 D 在 上， 交 于点 E，F 是 中点． (1)线段 与线段 的数量关系是 _____ ，位置关系是 _____ ； (2)如图 2，将 绕点 B 逆时针旋转 ，其他条件不变，线段 与线 段 的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将 绕点 B 逆时针旋转一周，如果 ， ，直接写出线段 长的 取值范围 _______． 9．已知：如图，点 为直线 上的一点，点 为直线 外一点，将线段 绕点 顺时针旋转 后得 ，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ， 的平分 线交 于点 ，交 的平分线于点 ，连接 ． (1)当 ， ①求 的度数； ②证明 ． (2)将 绕点 旋转，当 为等腰三角形时，直接写出 的度数． 10．（1）问题发现，如图 1， 和 均为等腰直角三角形， ， ， ， 在一条直线上．猜想并证明线段 ， 之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图 2， 和 均为等腰直角三角形， ， 请判断 ， 的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图 3，线段 ，点 是线段 外一点， ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，随着点 的位置的变化，直接写出线段 长 度的范围． 11．（1）问题发现： 如图 1，等边 内有一点 P，若点 P 到顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，求 的度数．为了解决本题，我们可以将 绕顶点A逆时针旋转 到 处， 这样就可以将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出 的度数．请 按此方法求 的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图 2， 中， , ，点 E，F 为 边上的点，且 ， 判断 之间的数量关系并证明； ②如图 3，在 中， ， ， ，在 内部有一点 P，连接 ，直接写出 的最小值． 12．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中， 以达到解决问题的目的． （1）【探究发现】如图①，在等边三角形 内部有一点 P， ， ， ， 求 的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段 绕点 B 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则 ，然后利用 和 形状的特殊性求 出 的度数，就可以解决这道问题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段 绕点 B 逆时针旋转 得到线段． ，连接 、 ， ∵ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ． ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， 即 ． 请你补全余下的解答过程． （2）【类比迁移】如图②，在正方形 内有一点 P，且 ， ， ， 则 ______度． （3）【拓展延伸】如图③，在正方形 中，对角线 、 交于点 O，在直线 上方有一点 P， ， ，连接 ，则线段 的最大值为______． 13．【探究发现】 （1）如图 1，在 中， ． ，垂足为 ，点 在 上，连接 ， ．则有下列命题：① ；② ，请你从中选择一个命题 证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图 2，在 中， ， ，点 在三角形的内部，过点 作 ，且 ，连接 ．求证： ． 【拓展提升】 （3）如图 3．在 中， ， ，把线段 绕点 顺时针方向旋转 到 ，把线段 绕点 逆时针旋转 到 ，分别连接 ， ， ，请直接 写出 面积的最大值． 14．如图 1，在平面直角坐标系中，第一象限内一点 ，且 ，过点 作 轴交于点 ，交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，交 于点 ，已 知点 点 且 满足 ． (1)求点 、 的坐标； (2)判断由线段 ， ， 组成的三角形的形状，并说明理由； (3)①当 时，如图 2，分别以 、 为边作等边三角形 和 ，试判 断 和 的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当 时，如图 3，求 的度数． 15．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中 老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片 与等腰直角三角尺 按如图 放置，三角尺 的边 ， 分别与四边形 的边 ， 交于 ， 两点，经测量得 ， ．小明将 绕点 顺时针旋转 ，此时点 与点 重合，点 的对应点为 ，通过推理小明得出了 ． 根据以上信息，请填空： ① ； ②线段 ， ， 之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片 换成了图 中的形状，若 ， ， ， ， 分别在 ， 上，且 ，线段 ， ， 之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反 例说明； (3)【拓展应用】如图 3，已知 ， ， ，小明以点 为 旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺 ，其中射线 ， 分别交射线 于 点 ， ，当点 恰好为线段 的三等分点时，请直接写出 的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 图形旋转综合问题 1．B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：① ， ， 由旋转的性质可知， ， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当 为等边三角形时， ，除此之外， 与 不平行，故本选项结论错误，不符 合题意； ③由旋转的性质可知， ， ， ， ， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点 为 的中点时， ，才有 ，故本选项结论错误，不 符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是 解题的关键． 2． 或 12 【分析】分两种情况画图讨论：如图 1，当 时，过点 B作 延长线于点 F；当 时，过点 B作 延长线于点 G，利用 30度角 直角三角形即可解答． 【详解】如图 1，当 时，过点 B作 延长线于点 F， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 根据题意可知： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积 ； 如图 2，当 时，过点 B作 延长线于点 G， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ 的面积 综上所述： 的面积是 或 12． 故答案为： 或 12． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质， 直角三角形，勾股定理，解题关键是利 用分类讨论思想解答． 3．（1）25（2） （3）24 【分析】（1）根据四边形 的面积等于正方形 的面积计算即可； （2）如图乙中，延长 至 ，取 ，连接 ．只要证明 ，即可推出 四边形 的面积等于 的面积； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （3）如图丙中，延长 至 ，连接 、 、 ．只要证明五边形 的面积等于 四边形 的面积即可． 【详解】解（1）由题可知 ． 故答案为 25． （2）如图，延长 至 ，取 ，连接 ． 等边 中， ， ， ， 四边形 中， ， ， 又 ， ， ， ， ． ， ， 为等边三角形且 ， ． （3）如图，延长 至 ，连接 、 、 ． ， ， ， ， ． ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等 知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角 形解决问题，属于中考压轴题． 4．(1)见解析 (2) ，见解析 (3)存在，7 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得 ，则 ，同 （1） 得 ，则 ， 然后由等腰直角三角形的性质得 ，即可解决问题； （3）根据旋转的过程中 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 的边 始 终保持不变，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵ ， 即 ， 在 和 中， （2） ，理由如下： ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， 同 （1）得： (SAS)， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ ， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3） 与 的面积和存在最大值为 7，理由如下： 如图（4） 由旋转可知，在旋转的过程中 的面积始终保持不变 ， ∵ 与 面积的和达到最大， ∴ 面积最大， ∵在旋转的过程中， 始终保持不变， ， ∴ 面积最大时， 点 到 的距离最大， ∴ ， ∴ 与 面积的和达到的最大值为： 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性 质以及三角形面积等知识，本题综合性强， 熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，证明 三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型 5．(1) (2)① ， ，证明见解析，② 或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）证明 ，即可作答； （2）①同理先证明 ，即有 ， ，在 和 中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 根据 ， ，即有 ，则有 ，问题得解；②分两 种情况：第一种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点 D在线段 上时，第二种：当点 C、 D、E 在同一直线上，且点 E在线段 上时，画出图形，结合在等腰 中， ， 以及 ，即可作答． 【详解】（1）∵ ， 即 ， 在 和 中， ， ， ， ∴ ∴ ； （2）① ， ， 证明：如图， 交 于点 F，交 于点 M， ∵ ， ∴ ， 即 ， 在 和 中， ， ， ， ∴ ∴ ， ， 在 和 中， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此 ， ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ②如图， 当点 C、D、E 在同一直线上，且点 D在线段 上时，如图 I所示， 在等腰 中， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 当点 C、D、E 在同一直线上，且点 E在线段 上时，如图 II所示， 在等腰 中， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故 的度数为： 或 ． 6．（1） （2）（1）中的结论成立， （3） 【分析】（1）将 绕点 旋转至 的位置，使得 与 重合，连接 ，可得 ，由“ ”可证 ，可得 ，由勾股定理可求解； （2）把 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，由（1）可知： ， 得出 ，则可得出结论； （3）如图 3，将 沿 折叠得 ，将 沿 折叠得 ，过点 作 ， 交 的延长线于 ，由直角三角形的性质可求 ，由勾股定理可求解． 【详解】（1） ． 证明：如图 1，将 绕点 旋转至 的位置，使得 与 重合，连接 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ， 在 和 中， 在 中，由勾股定理知： ， （2）（1）中的结论仍成立． 理由：把 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 由（1）可知： ， （3）∵ ， ∴ ，将 沿 折叠得 ，将 沿 折叠得 ，过点 作 ，交 的延长线于 ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 如图，过 A作 ， 则 的 边上的高 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的 性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是 本题关键． 7．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出 ，进而得出 ，最 后用线段的和差即可得出结论； （2）先利用同角的余角相等判断出 ，进而得出 ，最后用线段 的和差即可得出结论； （3）先利用同角的余角相等判断出 ，进而得出 ，最后用线段 的和差即可得出结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，新结论为： 证明： ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； （3）证明： ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握 “三垂线模型”是解题的关键． 8．(1)＝，⊥； (2)线段 与线段 的关系不发生变化．证明见解析； (3) ． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明 ，进而可证 ； （2）如图，延长 到 M使得 ，延长 到 N，使得 ，连接 、 、 、 ，延长 交 于 H，交 于 O，证明 ，推出 ，再利用三角形中 位线定理即可解决问题； （3）分别求出 的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 故答案为：＝，⊥； （2）线段 与线段 的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长 到 M使得 ，延长 到 N，使得 ，连接 、 、 、 ， 延长 交 于 H，交 于 O， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可证 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， 同理可证 ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ； （3）如图 2，连接 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∵ ， ∴如图 3时 取得最大值时，点 E落在 上时， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵点 F是 的中点， ∴ ， ∴ 的最大值 ； 如图 4中，当点 E落在 的延长线上时， 的值最小， ∵ ， ， ∴ ， ∵点 F是 的中点， ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ 的最小值 ， 综上所述， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角 三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关 键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．(1)① ；②证明见解析 (2) 或 或 【分析】（1）①由旋转的性质可得 ， ，则 是等边三角形，根据等边 三角形的性质可得 ，由角平分线的定义可得 ， ，根据三角形的 内角和定理即可得 的度数； ②在 上截取 ，连接 ，证明 ，可得 ，即可得证； （2）当 为等腰三角形时，分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，根据等腰三角形的性质可得出 的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段 绕点 顺时针旋转 后得 ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的度数为 ； ②证明：如图，在 上截取 ，连接 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵将线段 绕点 顺时针旋转 后得 ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， 当 为等腰三角形时，分三种情况： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ①当 时， ∴ ， ∴ ； ②当 时， ∴ ， ∴ ； ③当 时， ∴ ； 综上，∠AEC的度数为 或 或 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的 定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨 论的思想解决问题是解题的关键． 10．（1） ， ，证明见解析；（2） ， ，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形性质证 ，得 ， ，延长 交 于点 F，由垂直定义得 ． （2）根据等腰三角形性质证 ， ， ，由垂直定义得 ， ； （3）作 ，使得 ，则易证 ， ，当 P、E、B共线时， 最 小，最小值 ；当 P、E、B共线时， 最大，最大值 ，故 ， 即可求解． 【详解】（1）结论： ， ． 证明：如图 1中， ∵ 和 均为等腰直角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ∴ ， ， ， 在 和 中 ∴ ， ∴ ， ， 延长 交 于点 F， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ． ∴ ， ； （2）结论： ， ． 证明：如图 2中，设 交 于 H， 交 于 O． ∵ 和 均为等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． （3）如图 3，作 ，使得 ，由（1）（2）可得 ， ∴ ， 图 4中，当 P、E、B共线时， 最小，最小值 ， 图 5中，当 P、E、B共线时， 最大，最大值 ， ∴ ， 即 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三 角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 11．（1） ，见解析；（2）① ，见解析；② 【分析】（1）连接 ，根据题意得到 ， ， ， 进而得到 '为等边三角形， ，根据勾股定理逆定理证明 是直 角三角形， 且 ，即可求出 ； （2）①证明 ，将 绕点 A逆时针旋转 ， 得到 ， 连接 ，得到 ， ， ， ，进而得到 ，根据勾股定理得到 ，证明 ，得到 ，即可得到 ； ②将 绕点 B逆时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，即可得到 ， ， ， ，从而得到 为等边三角形， ， 根据 两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当 ， ，P，C四 点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出 ，即可得到 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 的最小值为 【详解】解： （1）连接 ， ∵将 绕顶点 A 逆时针 旋转 60°到 ， ∴ ， ， ∴ '为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， 且 ， ∴ ， ∴ ； （2）① ． 证明： ∵ , ， ∴ ， 如图，将 绕点 A逆时针旋转 ， 得到 ， 连接 ， 则： ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 又∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ； ② 的最小值为 如图，将 绕点 B逆时针旋转 ，得到 ， 连接 ， ， 则： ， ， ， ， ∴ 为等边三角形， ， ∴ ∴ ， ∴当且仅当 ， ，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角 形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 12．（1）见解析；（2） ；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换 把将分散的条件相对集中到一个三角形中解决问题． （1）将线段 绕点 B逆时针旋转 得到线段 ，证明 ，再证明 是直 角三角形； （2）将线段 绕点 B逆时针旋转 得到线段 ，证明 ，再证明 是直 角三角形； （3）将线段 绕点 O顺时针旋转 得到线段 ，证明 ，在 由三角形 三边关系求出 的最大值，从而求得 的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 【详解】（1）解：将线段 绕点 B逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ， ∵ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ． ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， 即 ． 在 中， ． （2）解：将线段 绕点 B逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ， ∵ ， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， 即 ． 在 中， ． 故答案为： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 23 （3）解：将线段 绕点 O顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 ． ∵ ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ． ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， 即 ． 在 中， 当点 在 时， ∴ 的最大值为 在 中， ∴ ． 的最大值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24 13．（1）选择①或②，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择① ，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到 ， 即可由 证明 ；选择② ，先利用等腰三角形“三线合一”性质 得到 ，即可由 证明 ． （2）过点 作 于 ，先证明 ， ， 三点共线，都在 的垂直平分线上，从而得 出 ， ，继而得出 ， 则 ，即可得出结论． （3）延长 交 于 E，由旋转得： ， ， ，从而可得出 ， ，由勾股定理，得 ，所以 ，所以当 时，此时 ，再过点 A作 于 D，作线段 ，交 于 O，使 ， 从 而 求 出 ， ， ， 由 勾 股 定 理 ， 得 ，即可求解． 【详解】（1）选择① 证明： ， ， ， 又 ， 选择② 证明： ， ， ， 又 ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 25 （2）过点 作 于 ， ， ， ， ， 三点共线，都在 的垂直平分线上， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ． （3）延长 交 于 E，如图， 由旋转得： ， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 由勾股定理，得 ， ∴ ， ∵在 中， ， ， ∴当 时，此时 ， 过点 A作 于 D， ∴ ， ， 作线段 ，交 于 O，使 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 由勾股定理，得 ， ∴ ， 由勾股定理，得 ， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定 理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题．灵活运用等腰三角形 “三线合一”性质是解题的关键． 14．(1) ， (2)直角三角形，理由见详解 (3)①数量关系为 ，位置关系为 ，理由见详解；② 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 27 【分析】（1）由二次根式有意义的条件得 ，可求得 ， ，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得 ，由平行线的性质得 ， ，由等 腰三角形的性质得 ，同理可求 ， ，由勾股定理得 ， ， ，分别求出 和 ，即 可求解； （3）连接 ，由等边三角形的性质得 ， ，由 可判定 ， 由全等三角形的性质得 ，由勾股定理 即可求解；②将 绕 点逆时 针旋转 得 ，由旋转的性质得 ， ， ， ， 由勾股定理得 ，等量代换可证 ，由 可判定 ，由全等三 角形的性质得 ，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 解得： ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， 同理可求： ， ， ， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28 ， ， ， 同理可求： ， ， ， ， 线段 ， ， 组成的三角形为直角三角形； （3）解： 和 的数量关系为 ，位置关系为 ； 理由如下： ①如图，连接 ， 和 是等边三角形， ， ， 在 和 中 ， （ ）， ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 29 ， ， ， ， 是直角三角形， ， ； 故 和 的数量关系为 ，位置关系为 ； ②如图， ， 可将 绕 点逆时针旋转 得 ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ( )， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 30 ， ， ， ， ， 故 的度数为 ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及 性质，等边三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，旋转的性质等，掌握相关的判定方 法及性质，“半角”模型的解法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形，通过旋转构 建直角三角形是解题的关键． 15．(1)① ；② (2)仍然成立，证明见解析 (3) 或 【分析】（1）①根据旋转的性质得到 ，由等腰直角三角形的性质 ， 继而得到 ，即可得解； ②根据旋转的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，然后根据线段的和差 求解即可； （ 2）将 绕点 旋转顺时针 得 ， 与 重合，根据题意证明出 ，得到 ，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论： 和 ，首先根据旋转的性质构造全等三角形， 然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ； ② 绕点 顺时针旋转 得到 ， ，