【专项练】等腰（边）三角形的判定性质综合-北师大版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 等腰（边）三角形的判定性质综合 1．如图，C为线段 BE上一点，分别以 ,BC CE为边，在 BE同侧作等边 ABCV 和等边 DCE△ ，连 接 ,AE BD，两线段相交于点 P，则 APB 的度数为（ ） A．40 B．50 C．60 D．120 2．如图，已知等腰 ABCV ，AB AC ， 120BAC  ，AD BC 于点D，点 P是 BA延长线上一点， 点O是线段 AD上一点，连接OP、OC、 PC，OP OC ，下面的结论：① 30APO DCO    ； ② APO DCO   ；③ OPC 是等边三角形．其中所有正确结论的序号是 ． 3．如图，在 ABCV 中， 80C  ， 6AC  ， 8BC  ，D为 BC的中点，点 E为 ABCV 内一动点，且 1 2 DE BC ，若点 F为DE中点，则当 AE BF 的和最小时， EAC 的度数为 °． 4．如图， DEF 为等边三角形，分别延长DE，EF，FD到点 A，B，C，使EA FB DC DE   ， 连接 AB、 AC、 BC、 BD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (1)求证： AB AC ； (2)求 EBD 的度数； (3)若 2DEFS △ ，直接写出 ABCS 的值． 5．如图所示，已知直线 3 1 3 y x   与 x、y轴交于 B、C两点，  0,0A ，在 ABCV 内依次作等 边三角形，使一边在 x轴上，另一个顶点在 BC边上，作出的等边三角形分别是第 1个 1 1AA B ， 第 2个 1 2 2B A B ，第 3个 2 3 3B A B ，…则第 2024个等边三角形的边长等于（ ） A． 2024 3 2 B． 2024 3 2 C． 2025 3 2 D． 2025 3 2 6．如图，在等腰Rt ABC△ 中， AB AC ，在 AC边上取一点D，连接BD，点 E为线段BD上一 点，以 BE为斜边作等腰Rt BEF△ ．连接 AE AF、 、CE，AF交BD于G，M为CE上一点，连接 AM； 在下列结论中： ① EAD ABD  ；②若 AE垂直平分GD，则 45AFE ABD   ；③若 AE垂直平分GD，则 AD GF AB  ；④若 45FAM  ，则 2EC EM ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 7．等腰直角 ABCV 中， 290 4 2 4 ACB CA CB CD CB    ， ， ，若点E F， 为边 AC，AB上动点， 且 AF CE ，则DE CF 的最小值为 ． 8．【探究】 （1）已知 ABCV 和 ADEV 都是等边三角形． ①如图 1，当点 D在线段BC上时，连接CE．探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理 由； ②如图 2，当点 D在线段BC的延长线上时，连接CE．再次探究CA，CE和CD之间的数量关 系，并说明理由． 【运用】 （2）如图 3，在等边三角形 ABC中， 6AB  ，点 E在线段 AC上， 2CE  ，点 D是直线 BC上的 动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当 CEF△ 为直角三角形 时，请直接写出BD长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 9．如图1，等边 ABCV 中，过点A在 AB边的右侧作射线 AP，  30 45BAP        点 B与点 E关 于射线 AP对称，连接 AE，BE，且 BE交射线 AP于点D，过C E、 两点的直线交射线 AP于点F， 连接 BF． (1)当 40  时，求 BEF 的度数； (2)求证： AF BF CF  ； (3)如图 2，点M为射线 AP上的一动点，过点M做MN AB 于点N ，连接 BM，当BM MN 的值 最小时，请直接写出 AMB 的大小（用含 的代数式表示）． 10． ABCV 是等边三角形，点D为射线 AC上一点，连接 BD， 120DBE  ，BD BE ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (1)如图 1，过点 E作EF AC∥ 交边 AB于点F，求证：CD FB ； (2)如图 2，点D在边 AC上时，连接CE交边 AB于点G，若 4AB  ， 1BG  ，求证：BD AC ； (3)当点D在 AC的延长线上时，连接CE与射线BA交于点G，若  1AC k k CD   ，请直接写出 BG AG  _____（用含 k的代数式表示）． 11． ABCV 是边长为 4的等边三角形．点M，N 分别从顶点A，B同时出发，沿射线 AB，BC运 动，且它们的速度都为 1单位长度/秒．设点M的运动时间为 t（秒）． (1)如图 1，点M，N 分别在线段 AB，BC上运动时，AN，CM相交于点 P，则 APM 的度数为 ______； (2)如图 2，当点M，N 分别运动到 AB，BC的延长线上时，AN与CM的反向延长线相交于点 P， 求此时 APM 的度数； (3)连接MN，若 MBN△ 恰为直角三角形，请直接写出 t的值． 12．如图 1， ABCV ， ADEV 是等边三角形，点 B在 ED的延长线上，连接 CE． (1)①求证： BAD CAE ≌ ． ②求 BEC 的度数． (2)如图 2，若 ABCV ， ADEV 是等腰直角三角形，过点A作 AF CD ，交CD于点F．若 4AF  ， ABE 的面积为 13，求CD的长． 13．如图1，在 ABCV 中， AB AC ，点 ,D E分别在边 ,BC AC上，连接DE，使DE DC ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (1)求证： 180BDE BAC   ； (2)如图 2，在 BC上取点 F，使BF DC ，连接FE并延长至点G，使 FED FDG  ，延长DG交 BA延长线于点H．求证：DH EF ； (3)如图3，在  2 的条件下，连接EH，若 10BF EH  ， 6 3EC  ， AHE C  ，求 DEF 的面积． 14．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图 1，在等边 ABCV 中，点D在 BC边上，连 接 AD，点 E在 AD上，连接CE． 60CED  ，连接 BE，若 30BED  ，求证： 2CE AE ． ①如图 2，小明同学给出如下解题思路：在 AD上截取 AF CE ，连接 BF，将线段CE与 AE之 间的数量关系转化为线段 AF与 AE之间的数量关系． ②如图 3，小丽同学给出如下解题思路：在CE上截取CG AE ，连接 AG，将线段CE与 AE之 间的数量关系转化为线段 AE与 EC之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老 师将图 1的条件进行一般化，并提出下面的问题，请你解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 如图 4，在 ABCV 中，AB AC ， BAC   ，点D在 BC边上，连接 AD，点 E在 AD上，连接CE， DEC   ，连接 BE，若 1 2 BED   ，求证： 2CE AE ． 【学以致用】 （3）如图 5，在等边 ABCV 中，点D在 BC边上（ 1 2 CD BC ），点 B关于直线 AD的对称点为点 E，连接 EC并延长交 AD的延长线于点 F，连接 BF． 求 AFE 的度数； 求证： AF BF CF  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 等腰（边）三角形的判定性质综合 1．C 【分析】本题考查等边三角形性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，识别“手 拉手模型”证全等是解决问题的关键．由等边三角形性质确定 , 60 ,BC AC ACB DCE DC CE       ，进而求出 120BCD ACE   ，再由三角形全等的判定确 定  SASBCD ACE ≌ ，从而得到 DBC EAC  ，在 8字形的 AOP 和 BOC 中，由三角形内角和 定理得到 60APB ACB   ，即可得到答案． 【详解】解： ABCV 和 DCE△ 是等边三角形， , 60 ,BC AC ACB DCE DC CE        ， 60ACD  ，则 120BCD ACE   ， 在 BCD△ 和 ACE△ 中， 120 BC AC BCD ACE CD CE          SASBCD ACE ≌ ， DBC EAC   ， 如图所示：设 ,BD AC交于点 O， AOP BOC  ， DBC EAC  ， 由三角形内角和定理可得 60APB ACB   ， 故选：C． 2．①③/③① 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，正确作出辅助 线是解答本题的关键． ①根据等边对等角，可得 APO ABO  、 DCO DBO  、则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 APO DCO ABO DBO ABD       ，据此即可求解；②因为点 O是线段 AD上一点，所以BO 不一定是 ABD 的角平分线，据此即可求解；③证明 60POC  且OP OC ，即可证得 OPC 是 等边三角形． 【详解】解：①如图 1，连接OB， ∵ AB AC ， AD BC ， ∴BD CD ， 1 1 120 60 2 2 BAD BAC       ， ∴OB OC ， 90 30ABC BAD    ， ∵OP OC ， ∴OB OC OP  ， ∴ APO ABO  ， DCO DBO  ， ∴ 30APO DCO ABO DBO ABD        ，故①正确； ②由①知： APO ABO  ， DCO DBO  ， ∵点 O是线段 AD上一点， ∴ ABO 与 DBO 不一定相等，则 APO 与 DCO∠ 不一定相等，故②不正确； ③∵ 180APC DCP PBC    ， ∴ 150APC DCP   ， ∵ 30APO DCO    ， ∴ 120OPC OCP   ， ∴  180 60POC OPC OCP      ， ∵OP OC ， ∴ OPC 是等边三角形；故③正确； 故答案为：①③． 3．50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短， 找 BD中点M ，连接EM，证明  SASBDF EDM ≌ ，则 BF EM ，故有 AE BF AE EM AM    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 当点 A E M、 、 三点共线时 AE BF 最小，且为 AM 的长，最后证明 ACM△ 是等腰三角形即可， 熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取 BD中点M ，连接EM， ∵D为BC的中点， 8BC  ， ∴ 1 42 BD DC BC   ， ∴ 1 2 2 BM MD BD   ， ∵点 F为DE中点， 1 2 DE BC ， ∴ 2DF EF  ， ∴ 2DM DF  ， 4DB DE  ， ∵ BDF EDM   ， ∴  SASBDF EDM ≌ ， ∴BF EM ， ∴ AE BF AE EM AM    ， ∴当点 A E M、 、 三点共线时 AE BF 最小，且为 AM 的长， ∵ 8BC  ， 2BM  ， ∴ 6CM AC  ， ∴ AMC MAC  ， 又 80C  ， ∴ 180 502 CAMC MAC       ，即 50EAC  ， 故答案为：50． 4．(1)见解析 (2) 30EBD   (3) 14ABCS  【分析】（1）首先由等边三角形得到 EF DE ， 60FED EDF   ，然后证明出 AD BE ，进 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 而得到  SASABE CAD ≌ ，即可证明出 AB AC ； （2）根据等边三角形的性质得到 60EFD  ，DF DE ，然后由 FB DE 得到FB DF ，然后根据 等边对等角和三角形外角的性质求解即可； （3）根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）∵ DEF 为等边三角形， ∴EF DE ， 60FED EDF    ∴ 120AEB ADC     ∵ AE FB CD  ∴ AD BE ∴  SASABE CAD ≌ ∴ AB AC ； （2）∵ DEF 为等边三角形， ∴ 60EFD  ，DF DE ∵ FB DE ∴FB DF ∴ 1 302 FBD FDB EFD      ； （3）∵ FB DE ， DE EF ∴FB EF ∵ 2DEFS △ ， ∴ 2BDF DEFS S  同理可得，FD CD ∴ 2 4BFC BDFS S   同（1）可证 ABE CAD BCF  ≌ ≌ ∴ 4ABE CAD BCFS S S     ∴ 14ABC DEF ABE CAD BCFS S S S S         ． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质 等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 5．B 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有 30度角的直角 三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运 用含有 30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总 结出规律，第 n个等边三角形的边长为 3 2n 是解决问题的难点．先求出 3OB  ， 1OC  ， 2BC  ， 则 30OBC  ， 60OCA  ，根据等边三角形性质得 1 1 190 30COA AOB     ，则 1 90OAC  ，在 1R OACt 中，由勾股定理得 1 1 1 3 2 A B OA  ，则第 1个等边三角形的边长为 3 2 ，再分别计算出 2 1 1 30A AB  ， 2 1 2 60A B A  ，则 1 2 1 90A A B  ，在 1 1 2Rt A B A 中，得 2 2 2 1 1 1 2 1 3 2 2 A B A B A B   ，则第 2个等 边三角形的边长为 2 3 2 ，同理第 3个等边三角形的边长为 3 3 2 ，，依次类推，第 n个等边三 角形的边长为 3 2n ，由此可得第 2024个等边三角形的边长． 【详解】解：对于 3 1 3 y x   ，当 0x  时， 1y  ，当 0y  时， 3x  ， 点 ( 3,0)B ，点 (0,1)C ， 3OB  ， 1OC  ， 在Rt OBC△ 中，由勾股定理得： 2 2 2BC OB OC   ， 30OBC  ，则 60OCA  ，  1 1OAB 是等边三角形， 1 1 1 1 1 1 60AOB OAB ABO    ， 1 1 1 1OA OB AB  ， 1 1 190 90 60 30COA AOB         ， 1 90OAC  ， 在 1Rt OAC 中， 1 30COA  ， 1OC  ， 1 11 2 2 A C OC   ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 1 1 1 1 1 31 2 2 A B OA OC AC           ， 即第 1个等边三角形的边长为： 3 2 ， 2 1 1 1 1 1180 ( ) 180 (90 60 ) 30A AB OAC OAB             ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6  2 1 2A B B△ 是等边三角形， 2 1 2 1 2 2 2 2 1 60A B B B A B A B B    ， 2 1 1 2 2 2A B B B A B  ， 2 1 2 1 1 2 2 1180 ( ) 180 (60 60 ) 60A B A ABO A B B             ， 在 1 1 2A B A△ 中， 1 2 1 2 1 2 2 1 1180 ( ) 180 (60 30 ) 90A A B A B A A AB             ， 在 1 1 2Rt A B A 中， 2 1 1 30A AB  ， 1 1 3 2 A B  ， 2 2 2 1 1 1 2 1 1 3 3 2 2 2 2 A B A B A B      ， 即第 2个等边三角形的边长为： 2 3 2 ， 同理：第 3个等边三角形的边长为： 2 3 2 ， ，依次类推，第 n个等边三角形的边长为： 3 2n ， 第 2024个等边三角形的边长等于 2024 3 2 ． 故选：B． 6．②③④ 【分析】对于①，由于点 ,D E的位置不确定，无法说明 EAD ABD   ，故①错误；对于② ， 过点 F作 FK BE 于点K，由 AD AG ，知 1 2   ，显然 1 5   ，由FK AE∥ 得到 2 4  ，故 1 2 4 5    ，显然 45 3 4EFK      ，故 45AFE ABD   ，故②正确；对于③，先证 明 AFB ABF   ，则 AF AB ，故 AG GF AB  ，即 AD GF AB  ，故③正确；对于④，过点 F 作 AF的垂线交 AM 延长线于点 N，连接 NE，先证明  SASFEN FBA ≌ ，则 , 7 8NE AB   ，再 证明  AASNME AMC ≌ ，则 EM MC ，继而 2EC EM ，故④正确． 【详解】解：对于①，由于点 ,D E的位置不确定，无法说明 EAD ABD   ，故①错误； 对于② ，过点 F作 FK BE 于点K， ∵ AE垂直平分DG， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴ AD AG ， ∴ 1 2   ， ∵等腰Rt ABC△ ，即 90BAC  ， ∴ 1 5 90BAE BAE     ， ∴ 1 5   ， ∵ ,FK BD AE BD  ， ∴FK AE∥ ， ∴ 2 4  ， ∴ 1 2 4 5    ∵等腰Rt BEF△ ， ∴ , 90FE FB EFB   ， ∵FK BD ∴ 45 3 4EFK      ， ∴ 45AFE ABD   ，故②正确； 对于③，如图： ∵ EFB△ 是等腰直角三角形， ∴ , 90FE FB EFB   ， ∵FK BD ∴ 45KFB  ， ∴ KFB△ 是等腰直角三角形， ∴ , 45KF KB KFB KBF    ， ∵ 4 5   ， ∴ 4 5KFB KBF    ∴ AFB ABF   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ AF AB ， ∴ AG GF AB  ， ∵ AD AG ， ∴ AD GF AB  ，故③正确； 对于④，过点 F作 AF的垂线交 AM 延长线于点 N，连接 NE， ∴ 90AFN BFE   ， ∴ 6 BFA  ， ∵ , 45FN FA FAM   ， ∴ 45FNA GAM   ， ∴FA FN ， ∵FE FB ， ∴  SASFEN FBA ≌ ， ∴ , 7 8NE AB   ， ∵ , 90AB AC CAB   ， ∴ NE AC ， 8 90 45MAC FAM     ， ∵ 7 9 45FNA    ， ∴ 9 MAC  ， ∵ NME AMC  ， ∴  AASNME AMC ≌ ， ∴EM MC ， ∴ 2EC EM ，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大． 7． 2 13 【分析】本题考查最短路径问题，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、 勾股定理、两点之间线段最短等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解答的关键． 过 A作 AP AF ，且 AP CD ，连接PF，CP，证明  SASPAF DCE ≌ 得到PF DE ，则 DE CF PF CF CP    ，当 C、F、P共线时取等号，最小值为CP的长度，过 C作CQ AP 交 PA 延长线于 Q，则利用等腰三角形的性质和判定证明 AQ CQ ，然后利用勾股定理求得 2 4 2 AQ CQ CA   ， 2 13CP  即可． 【详解】解：过 A作 AP AF ，且 AP CD ，连接PF，CP， 则 90PAF DCE    ，又 AF CE ， ∴  SASPAF DCE ≌ ， ∴PF DE ， ∴DE CF PF CF CP    ，当 C、F、P共线时取等号， 则DE CF 最小值为CP的长度， 过 C作CQ AP 交 PA延长线于 Q， 则 90AQC PAF QAF     ， ∵ 290 4 2 4 ACB CA CB CD CB    ， ， ， ∴ 45CAB B   ， 2 4 2 2 4 CD AP    ， ∴ 45QAC QCA CAB     ， ∴ AQ CQ ， 由 2 2 2 2 22 2CA CQ AQ CQ AQ    得 2 4 2 AQ CQ CA   ， 在Rt PQC 中， 6PQ AP AQ   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ 2 2 2 24 6 2 13CP CQ PQ     ， 即DE CF 的最小值为 2 13． 故答案为： 2 13． 8．（1）①CE CD CA  ，见解析；②CA CD CE  ，见解析；（2）5或 8 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全 等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质及已知条件可证 ABD ACE≌△ △ 得CE BD ，然后根据线段的和 差以及等量代换即可解答；②根据等边三角形的性质及已知条件可证 ABD ACE≌△ △ 得CE BD ， 然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）分点当点 D在点 H左侧时、点 D在点 H右侧且在线段CH上、点 D点在 H右侧且在HC 延长线上三种情况，分别根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的 定义进行解答即可． 【详解】解：（1）①CE CD CA  ，理由如下： 证明：∵ ABCV 和 ADEV 是等边三角形， ∴ AB AC BC  ， AD AE DE  ， 60BAC DAE   ． ∴ BAC DAC DAE DAC    ． ∴ BAD CAE  ． 在 ABD△ 和 ACE△ 中， AB AC ， BAD CAE  ， AD AE ， ∴ (SAS)ABD ACE ≌ ． ∴CE BD ． ∵BD CD BC  ， ∴CE CD CA  ． ②CA CD CE  ．理由如下： 证明：∵ ABCV 和 ADEV 是等边三角形， ∴ AB AC BC  ， AD AE DE  ， 60BAC DAE   ． ∴ BAC DAC DAE DAC    ． ∴ BAD CAE  ． 在 ABD△ 和 ACE△ 中， AB AC ， BAD CAE  ， AD AE ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴ (SAS)ABD ACE ≌ ． ∴CE BD ． ∵CB CD BD  ， ∴CA CD CE  ． （2）解：过 E作EH AB∥ ，则 EHC△ 为等边三角形 ①如图 1：当点 D在点 H左侧时， ∵ ED EF ，  DEH FEC，EH EC ， ∴ (SAS)EDH EFC△ ≌△ ． ∴ 120ECF EHD   ． ∴ CEF△ 不可能为直角三角形． ②如图 2：当点 D在点 H右侧，且在线段CH上时， 同理可得： (SAS)EDH EFC△ ≌△ ， ∴ 60FCE EHD   ， 60FEC DEH HEC     此时只有 CFE 有可能为 90°． 当 90CFE  时， 90EDH  ， ∴ED CH ． ∵ 2CH CE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴ 1 1 2 CD CH  ． 又∵ 6AB  ， ∴ 5BD  ． ③如图 3：当点 D点在 H右侧，且在HC延长线上时， 此时只有 90CEF  ， ∵ 60DEF  ， ∴ 30CED  ． ∵ 60ECH  ， ∴ 30EDC CED   ． ∴ 2CD CE  ． ∴ 8BD  ． 综上： BD的长为 5或 8． 9．(1) 30BEF  ， (2)证明见解析； (3) 90AMB    ． 【分析】（1）由 ABCV 是等边三角形，则 AB AC ， 60BAC  ，根据点 B与点 E关于射线 AP对 称，故有 AP垂直平分 BE，所以 AB AE AC  ， BF EF ，然后根据等腰三角形的性质和角度和 差即可求解； （ 2）在 AP上截取 AH CF ，连接 BH ，通过角度和差，等腰三角形的性质可得出 BCF BAH   ， 然后证明  SASBAH BCF ≌ ，则BH BF ，又 60DFB  ，则 BFH△ 是等边三角形，故有 BH BF HF  ，然后由线段和差即可求证； （3）连接ME，由（1）得 AP垂直平分 BE，则 BM ME ，所以当点N M E、 、 三点共线时，BM MN 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 的值最小，通过三角形的外角性质，等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵ ABCV 是等边三角形， ∴ AB AC ， 60BAC  ， ∵点 B与点 E关于射线 AP对称， ∴ AP垂直平分 BE， ∴ AB AE AC  ， BF EF ， ∵ 40BAP    ， ∴ 80BAE  ， ∴ 50ABE AEB   ， 20CAE  ， ∴ 80AEC ACE   ， ∴ 80 50 30BEF AEC AEB       ， （2）解：如图，在 AP上截取 AH CF ，连接 BH ， 由（1）得 AP垂直平分 BE， ∴ AB AE AC  ， BF EF ， AD BE ， ∴ 90ADB EDF    ， ∵ BAP EAP    ， ∴ 2BAE   ， ∴ 90ABE AEB       ， 2 60CAE    ， ∴ 120AEC ACE     ， ∴  120 90 30BEF AEC AEB          ， ∴ 60DFE DFB   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ 120BFC  ， ∵ ABCV 是等边三角形， ∴ AB AC ， 60BAC ABC   ， ∴  60 90 30CBE ABC ABE          ， ∴ 30 30BCF BEC CBE BAH           ， 在 BAH 和 BCFV 中， AB AC BAH BCF AH CF       ， ∴  SASBAH BCF ≌ ， ∴BH BF ， ∵ 60DFB  ， ∴ BFH△ 是等边三角形， ∴BH BF HF  ， ∴ AF AH HF CF BF    ， 即 AF BF CF  ； （3）解：如图，连接ME， 由（1）得 AP垂直平分 BE， ∴ BM ME ， ∴当点N M E、 、 三点共线时，BM MN 的值最小， ∴EN AB ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ 90ANM  ， ∵ BAP   ， ∴ 90EMD AMN     ， ∴ 90BMD EMD     ， ∴  180 180 90 90AMB BMD          ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，垂直平分线的性质，三角形的 外角性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的 关键． 10．(1)见解析 (2)见解析 (3) 1 1 k k   或 1 1 k k   【分析】（1）利用平行线的性质以及等边三角形的性质得出 60EFA A   ， 120BFE BCD     进一步利用三角形外角的定义和性质进一步得出 EBF D   ，根据AAS证明 EFB BCD≌  即可 得结论； （2）过点 E作EF AC∥ 交边 AB的延长线于点 F，证明  AASEFB BCD ≌ 和  AASEGF CGA ≌ ， 可得 2AD CD  ，由等腰三角形三线合一的性质可得结论； （3）设CD x ，则 AC kx ，分两种情况：点 F在边 BA上和在 BA的延长线上，如图 3和图 4， 过点作EF AC∥ ．交射线 BA于 F，证明  AASEFB BCD ≌ 和  AASEGF CGA ≌ ，即可解答 【详解】（1）证明∶∵ ABCV 是等边三角形， ∴ 60ABC ACD A    ， ∵ 120BCD  ， ∵EF AC∥ ， ∴ 60EFA A   ， ∴ 120BFE BCD     ， ∵ 120DBE  ， 60ABC  ， ∴ 60EBF DBC   ， ∵ 60ACB DBC D    ， ∴ EBF D   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∵EB DB ， ∴  AASEFB BCD ≌ ， ∴CD FB （2）证明：过点 E作EF AC∥ 交边 AB的延长线于点 F， ∴ 60F A ABC    ， ∵ 60ABC  ， ∴ 120FBC  ， ∵ 120EBD  ， ∴ 360 120 120 120CBD EBF       ， ∵ 60ACB  ， ∴ 120CDB CBD   ， ∴ EBF CDB  ， ∵BD BE ， ∴  AASEFB BCD ≌ ， ∴BF CD ，EF BC AC  ， ∵ F A   ， EGF CGA  ∴  AASEGF CGA ≌ ， ∴ 3FG AG  ， ∵ 1BG  ∴ 2FB  ∵ 2CD FB  ∵ 4AC  ， ∴ 4 2 2AD CD    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∵ ABCV 是等边三角形， ∴BD AC ； （3）解：∵ )1(AC k kCD   ， 设CD x ，则 AC kx ， 如图 3，过点 E作EF AC∥ ，交射线 BA于 F， 同理得：  AASEFB BCD ≌ ， ∴BF CD x  ，EF BC AC kx   ， 同理得：  AASEGF CGA ≌ ， ∴ 2 x kxFG AG   ， ∴ 12 1 2 x kx kxBG k x kxAG k        ． 如图 4，过点 E作EF AC∥ ，交 BA于 F， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 同理得：  AASEFB BCD ≌ ， ∴BF CD x  ，EF BC AC kx   ， 同理得：  AASEGF CGA ≌ ， ∴ 2 kx xFG AG   ， ∴ 12 1 2 kx x kxBG k kx xAG k        ． 故答案为： 1 1 k k   或 1 1 k k   【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三 角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，作辅助线构建全等三角形 是解题的关键． 11．(1)60 (2) 60APM   (3) 2t  秒或 4秒 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30角直角三角形的性 质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到 AM BN ，然后由等边三角形的性质得到 AC AB ， 60CAP B   ，证明 出  SASCAM ABN  ，得到 BAN ACM   ，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）首先得到 BM CN ，然后证明出  SASMBC NCA ≌ ，得到 M N   ，进而求解即可； （3）首先表示出 AM BN t  单位长度，  6MB t  单位长度，然后分 90MNB  和 90NMB   两种情况讨论，分别根据含30角直角三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M ，N分别从顶点A， B同时出发，沿射线 AB，BC运动，且它们的速 度都为 1单位长度/秒． ∴ AM BN ， ∵ ABCV 是等边三角形， ∴ AC AB ， 60CAM B   ， ∴  SASCAM ABN  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∴ BAN ACM   ， ∴ 60APM ACM PAC BAN PAC BAC          ； （2）解：∵ ABCV 是等边三角形， AB BC CA   ， 60ABC ACB   ， 180 180ABC ACB    ， 即 MBC NCA   ， AM BN t  单位长度， AM AB BN BC   即 BM CN ， 在 MBC△ 和 NCA 中， BC CA ， MBC NCA   ， BM CN ，  SASMBC NCA ≌ ， M N   ， 60ABC BCM M      ， BCM PCN   ； 60APM PCN N BCM M        ； （3）解：由题意得 AM BN t  单位长度，  6MB t  单位长度， 如图，当 90MNB  时， 60ABC   ， 30BMN  ， 1 2 BN MB  ，得  1 6 2 t t  ， 解得 2t  （秒）， 如图，当 90NMB  时， 60ABC   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 30MNB  ． 1 2 MB BN  ，得 16 2 t t  ， 解得 4t  （秒）． 综上所述，当 MBN△ 为直角三角形时， 2t  秒或 4秒． 12．(1)①见解析；② 60BEC  ； (2) 13 2 CD  ．． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质等 知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质得 AB AC ， AD AE ， 60BAC DAE   ，再由SAS证得 BAD CAE ≌ ； ②由等边三角形的性质得 60AED ADE   ，则 120ADB  ，再由 BAD CAE ≌ ，得出 120ADB AEC   ，进一步计算即可得出结果； （ 2）过点A作 AH DE 于点H，通过底相等，高两倍得出 2 2ECD ABDS S a   ，再通过面积换算 得出 ACD 的面积，从而求出CD的长度； 【详解】（1）①证明： ABC 和 ADEV 都是等边三角形， AB AC  ， AD AE ， 60BAC DAE   ， BAD DAC CAE DAC       ， BAD CAE  ， 在 BAD 和 CAE 中， AB AC BAD CAE AD AE       ，  SASBAD CAE ≌ ； ②解： ADE 是等边三角形， 60AED ADE     ， 180 180 60 120ADB ADE       ， 由①得： BAD CAE ≌ ， 120ADB AEC   ， 120 60 60BEC AED AED       ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 （2）解：过点A作 AH DE 于点H， ∵ ADE 是等腰直角三角形 ∴ 2DE AH ， 同①可证 CAE BAD≌△ △ ， ∴ ACE ABE  ， AEC ADB  ， CAE BADS S  ， ∵ ABCV ， ADEV 是等腰直角三角形， ∴ 45ADE AED   ， ∴ 135AEC ADB   ， ∴ 135 45 90BEC     ， 令 CAE BADS S a   ， ADES b ， ∵ 1 2ABD S BD AH   ， 1 1 2 2 2ECD S CE DE BD AH      ， ∴ 2 2ECD ABDS S a   ， ∵ ABE 的面积为13， ∴ 13a b  ， ∵ 2CAE ACD ADE ECDADCES S S S S a b        四边形 ， ∴ 2ACDa S a b   ， ∴ 13ACDS a b   ， ∴ 1 13 2 CD AF   ， ∵ 4AF  ， ∴ 132 CD  ． 13．(1)见解析； (2)见解析； (3)15 3． 【分析】  1 根据等边对等角可知 B C  、 C DEC  ，根据三角形内角和可知 180A B C    ， 180DEC C EDC    ，所以可知 BAC EDC  ，因为 180EDC BDE   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 等量代换可证结论成立；  2 方法一、在 BA上取点M ，使 BM CE ，连接DM ，利用SAS可证 MBD ECF ≌ ，根据全等三 角形的性质可证MD EF ， FEC BMD  ，根据三角形外角的性质可证 BDE FGD  ，等量 代换可得 180BAC FGD   ，根据同角的补角可证 HAE EGD  ，从而可得 180H AEG   ， 利用对顶角相等可证 AEG BMD  ，根据同角的补角相等可证 H HMD   ，根据等角对等边 可证MD HD ，等量代换可证结论成立； 方法二、延长CA，在CA的延长线上取一点 N使FN EF ，根据三角形外角的性质可证 BDE FGD  ，根据同角的补角相等可证 HAE EGD  ，根据四边形内角和定理可得 180H AEG   ，从而可证 NEF H  ，可得 N H  ，利用AAS可证 HBD NCF ≌ ，根据全 等三角形的性质可证HD NF ，从而可证结论成立； 方法三、过点D作DN BH 于点 N，过点 F作FM CA ，交CA延长线于点M ，根据AAS可证 NBD MCF ≌ ，根据全等三角形的性质可得：ND MF ，根据三角形外角的性质可证 BDE FGD  ，根据同角的补角相等可得 HAE EGD  ，根据四边形内角和定理可证 180H AEG   ，从而可证 MEF H   ，利用AAS可证 HBD NCF ≌ ，根据全等三角形的性质 可证结论成立； 方法四、延长CA，在CA的延长线上取一点M ，使FM FC ，根据等边对等角可证 M B   ， 根据三角形外角的性质可证 BDE FGD  ，根据同角的补角相等可证 HAE EGD  ，根据四 边形内角和为360，可得 MEF H   ，根据BF DC 可证 BD MF ，利用AAS可证 HBD EMF ≌ ， 根据全等三角形的性质可证结论成立；  3 方法一、在FD上取点 P，使 FP HE ，连接 EP，根据三角形外角的性质可证 EFP EHD   ， 利用SAS可证 FEP HDE ≌ ，根据全等等三角形的性质可得 EP ED ， FEP EDG  ，根据三 角形外角的性质可证 PED PDE   ，从而可证 PED 是等边三角形，过点 E作 EQ PC 于点Q， 可求 1 3 3 2 EQ EC  ，因为 10FD FP PD BF EH     ，利用三角形的面积公式可求 DEF 的面 积； 方法二、延长HE交BC于点 P，利用三角形外角的性质可证 EFP EHD   ，过点D作DM EP 于 点M ，过点 E作EN PD 于点 N，利用AAS可证 FNE HMD ≌ ，根据全等三角形的性质可得 FN HM ，EN DM ，再利用HL可证Rt RtEMD PNE  ≌ ，根据全等三角形的性质可证 PED 是 等边三角形，利用等边三角形的性质可知 1 3 3 2 EN EC  ，因为 10FD FP PD BF EH     ，利 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 23 用三角形的面积公式可求 DEF 的面积． 【详解】（1）证明： AB AC ，DE DC ， B C  ， C DEC  ， C B DEC     ， 180A B C     ， 180DEC C EDC    ， BAC EDC  ， 180EDC BDE    ， 180BDE BAC   ； （2）方法一： 证明：在 BA上取点M ，使 BM CE ，连接DM ， BF DC ， BF DF CD DF    ， BD CF  ， 在 MBD 和 ECF△ 中 MB EC B C BD CF       ， MBD ECF ≌ ， MD EF  ， FEC BMD  ， FED EGD EDG    ， FDG FDE EDG   ， FED FDG  ， BDE FGD  ， 180BAC BDE    ， 180BAC FGD   ， 180BAC HAE    ， HAE EGD  ， 180EGD EGH    ， 180HAE EGH   ， 180H AEG   ， AEG FEC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24 AEG BMD  ， 180BMD HMD    ， H HMD   ， MD HD  ， EF HD  ； 方法二： 证明：延长CA，在CA的延长线上取一点 N使FN EF ， N FEN   ， FED EGD EDG    ， FDG FDE EDG    ， FED FDG  ， BDE FGD  ， 180BAC BDE    ， 180BAC FGD   ， 180BAC HAE    ， HAE EGD  ， 180EGD EGH    ， 180HAE HGE   ， 180H AEG   ， 180NEF AEG    ， NEF H  ， N H  ， BF DC ， BF DF CD DF    ， BD CF  ， 在 HBD△ 和 NCF△ 中 H N B C BD CF       ， HBD NCF ≌ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 25 HD NF  ， EF HD  ， 方法三： 证明：过点D作DN BH 于点 N，过点 F作FM CA ，交CA延长线于点M ， 90FMC BND HND    ， BF DC ， BF DF CD DF    ， BD CF  ， 在 NBD 和 MCF△ 中 BND M B C BD CF        ， NBD MCF ≌ ， ND MF  ， FED EGD EDG    ， FDG FDE EDG    ， FED FDG  ， BDE FGD  ， 180BAC BDE    ， 180BAC FGD   ， 180BAC HAE    ， HAE EGD  ， 180EGD EGH    ， 180HAE HGE   ． 180H AEG   ， 180MEF AEG    ， MEF H   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26 在 HND△ 和 EMFV 中 H MEF HND M ND MF       ， HND EMF ≌ ， DH EF  ； 方法四： 证明：延长CA，在CA的延长线上取一点M ，使FM FC ， M C   ， B C  ， M B   ， FED EGD EDG    ， FDG FDE EDG    ， FED FDG  ， BDE FGD  ， 180BAC BDE    ， 180BAC FGD   ， 180BAC HAE    ， HAE EGD   ， 180EGD EGH    ， 180HAE HGE   ， 180H AEG   ， 180MEF AEG    ， MEF H   ， BF DC ， BF DF CD DF    ， BD CF  ， BD MF  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 27 在 HBD△ 和 EMFV 中 H MEF B M BD MF        ， HBD EMF ≌ ， EF HD  ； （3）方法一： 证明：在FD上取点 P，使 FP HE ，连接 EP， AEF AHG  ， AEF EFP C    ， AHG AHE EHG   ， EFP EHD   ， 在 FEP 和 HDEV 中 FE DH EFP EHD FP EH       ， FEP HDE ≌ ， EP ED  ， FEP EDG  ， FED FEP PED    ， FED EGD EDH    ， PED EGD   ， FDE EGD  ， PED PDE   ， PD PE  ， PE DE ， PD CD PE   ， PED 是等边三角形， 60PED PDE   ， 2PDE C  ， 30C  ， 过点 E作 EQ PC 于点Q， 90EQC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28 1 3 3 2 EQ EC   ， 10FB HE  ， 10FP PD   ， 10DF  ， EDF 1S 10 3 3 15 3 2      ； 方法二： 证明：延长HE交 BC于点 P， AHE C  ， C B  ， AHE B   ， EPD B BHP    ， 2EPD B   ， EPD PDE   ， EP ED  ， AEF AHG  ， AEF EFP C    ， AHG AHE EHG    ， EFP EHD   ， 过点D作DM EP 于点M ，过点 E作EN PD 于点 N， 90FNE DMH    ， 在 FNEV 和 HMD△ 中 ENF DMH EFN MHD FE DH       ， FNE HMD ≌ ， FN HM  ，EN DM ， 在Rt EMD 和Rt PNE 中 ED EP EN DM    ， Rt RtEMD PNE   ≌ ， NP EM  ， NPE MED  ， PD DE  ， PD DE EP   ， PED 是等边三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 29 60PED PDE   ， 2PDE C  ， 30C  ， EN PN ， 90ENC  ， 1 3 3 2 EN EC   ， FN HM ，NP ME ， FP HE  ， 10FB HE  ， 10FP PD   ， 10DF  ， EDF 1S 10 3 3 15 3 2      ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理、等边三角形的性质、 直角三角形的性质、三角形外角的性质，本题的综合性较强，解决本题的关键是作辅助线构造 全等三角形，利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 14．（1）见解析； （2）见解析； （3） 60AFE  ，②见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等知 识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）①在 AD上截取 AF CE ，连接 BF，可证明 ACE BAF ≌ ，从而得出 BF AE ， 180 120AFB AEC CED       ，进而得出 30BED EBF    ，从而得出 EF BF AE  ，即可 证明 2CE AF AE  ； ②在CE上截取CG AE ，连接 AG，可证明 ACG BAE ≌ ，从而得出CG AE ，进而得出 AGC AEB   ，从而得出 30AGE BED    ， EAG AGE  ，进一步得出结论； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 30 （2）在 AD上截取 AF CE ，连接 BF，可证得 ACE BAF ≌ ，从而得出 BF AE ， 180 180AFB AEC CED          ，进而得出 BED EBF   ，从而得出 EF BF AE  ，从而 得出结论； （3）①如图（5），连接 AE， BE，可得 AB AE ，进而可得 180 2 CAEACE AEC     ° ，从 而得出 60 2CAE CAF   ° ，从而得出 60ACE CAF  ° ，即可得解；在 FA上截取 FQ FE ， 连接 EQ，可得 AC AE ，利用 AAS进一步证明 BFC EQA≌△ △ ，即可求得 AF BF CF  ． 【详解】解：（1）①选择小明同学的解题思路， 证明：如图（1），在 AD上截取 AF CE ，连接 BF， ， ABC 是等边三角形， AB AC  ， 60BAC  ， 又 60CED  Q ， BAC CED  ， BAD CAE CAE ACE    ∴ ，即 BAD ACE  ， 又 AB AC ， AF CE ，  SASABF CAE ≌ ， BF AE  ， AFB CEA  ， 60CED  Q ， 120CEA  °， 120AFB CEA    ∴ ， 30BED   ， 180 120 30 30EBF    ° ° ° °， BEF EBF  ∴ ， BF EF  ， EF AE  ， 2AF AE  ，