【专项练】完全平方公式的运算与应用-北师大版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 完全平方公式的运算与应用 1．下列各式计算正确的是（ ） A． 2 2 22a a a  B．  2 23 3a a C．  2 1 2 1 2 1a a a       D．  2 2 2a b a b   2．下列运算正确的是（ ） A．  23 6a a  B．  2 2 23 2 9 4a b a b   C． 2 3 6a a a  D．  3 32 8a a  3．实数 a，b，c满足 0a b c   ，则（ ） A． 2 4 0b ac  B． 2 4 0b ac  C． 2 4 0b ac  D． 2 4 0b ac  4．若  2 2 3 16x m x   是完全平方式，则m的值是（ ） A．3 B． 5 C．7 D．7或 1 5．如果 29 16x kx  能写成一个完全平方的形式，则 k （ ） A． 24 B．12 C． 12 D． 24 二、填空题 6．已知 2 3( ) 9, 2 a b ab   ，则 2( )a b 的值为（ ） A．9 B．3 C．12 D．6 7．已知  2 7a b  ，  2 13a b  ，则 2 2a b  ，ab  ． 8．计算： 2 2 2 2015 2014 2016 2    ． 9．计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (1)    2 32 32x y xy  ； (2)  21x y  ． 10．利用乘法公式计算： (1) 2 2101 99 ； (2) 22025 2024 2026 1  ； (3) 2 219.9 19.9 0.2 0.1   ． 11．我们规定：     2 2, * ,a b c d a c bd   ．例如：     2 21,2 * 3,4 1 3 2 4 2     ． (1)求    3,2 * 2, 1  的值． (2)若    , * 3 ,x kx y y 是一个完全平方式，则 k  ______． (3)若 2 10x y  ，且    2 23 ,2 3 * 3 ,3 80x y x y x y    ，求 xy的值． 12．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题， 这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利 用配方法，求 2 6 8a a  的最小值． 解：  22 2 2 26 8 6 3 3 8 3 1a a a a a          ，因为不论a取何值； 23a  总是非负数， 即  23 0a   ．所以  23 1 1a     ，所以当 3a   时， 2 6 8a a  有最小值 1 ． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将 2 10 27x x  变形为  2x m n  的形式______，则 2 10 27x x  的最小值为______； (2)已知 3x y  ，求代数式 2 9 2   x y x 的最大值； (3)已知 2 22 3 2, 1A x x B x x      ，请比较A与 B的大小，并说明理由； 13．【知识回顾】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （1）图 1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为____________；图 2中阴影部分的面积能解 释的乘法公式为____________． 【拓展探究】 （2）若 6, 8m n mn   ，求 2 2m n 的值． 【解决问题】 （3）如图 3，C是线段 AB上的一点，分别以 ,AC BC 为边向直线 AB两侧作正方形BCFG， 正方形 AEDC，连接 ,AF BD .若 7AB  ，两正方形的面积和为 31，求多边形 AFGBDE的面 积． 14．对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对  ,a b 与  ,c d ．我们规定：     2 2, ,a b c d a d bc    ．例如：     2 21,2 3,4 1 4 2 3 11      ． (1)若    2 , ,x kx y y  是一个完全平方式，求常数 k的值： (2)若 2 12x y  ，且    2 23 , 2 3 3, 3 104x y x y x y     ，求 xy的值： (3)在（2）的条件下，将长方形 ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点 E、G分别 在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、 .EG 若 2AB x ， 8BC x ，CE y ， 4CG y ， 求图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 完全平方公式的运算与应用 1．A 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，去括号，完全平方公式逐一进行 判断求解即可． 【详解】解：A、 2 2 22a a a  ，计算正确，符合题意； B、  2 23 9a a ，原计算错误，不符合题意； C、  2 1 2 2a a     ，原计算错误，不符合题意； D、  2 2 22a b a ab b    ，原计算错误，不符合题意； 故选 A． 2．A 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式运算的相关法则是解题的关键．根据幂的乘方 法则、完全平方公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A、  23 6a a  ，故该选项符合题意； B、  2 2 23 2 9 12 4a b a ab b    ，故该选项不符合题意； C、 2 3 5a a a  ，故该选项符合题意； D、  3 32 8a a   ，故该选项符合题意； 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，正确进行变形，熟练掌握相关运算法 则是解题的关键．运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可． 【详解】解：∵ 0a b c   ， ∴b a c  ， ∴    2 22 2 2 2 24 4 2 4 2 0b ac a c ac a ac c ac a ac c a c              ， 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．完全平方公式： 2 2 2( ) 2a b a ab b    这里首末 两项是 x和 4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 x和 4积的 2倍，据此求解即可． 【详解】解：∵ 2 2( 4) 8 16x x x   ， ∴在  2 2 3 16x m x   中，2( 3) 8m    ， 解得： 7m  或 1 ． 故选：D． 5．D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握两数的平方和、再加上或减去它们积的 2 倍就构成了一个完全平方式成为解题的关键． 将原式化为  2 23 4x kx  ，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵ 29 16x kx  是一个完全平方式， ∴    2 2 2229 16 3 4 9 24 14 63xx kx x kx x x         ，即 24k   ． 故选 D． 6．B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式  2 2 22a b a ab b    求解即可得． 【详解】解：  2 39, 2 a b ab   ，    2 2 34 9 4 9 6 3 2 a b a b ab           ， 故选：B． 7． 10 3 2 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键在于熟练掌握完全平方公式的变换． 根据完全平方公式变形计算求解即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】∵  2 7a b  ∴ 2 22 7a ab b   ① ∵  2 13a b  ∴ 22 2 13a b ba   ② ∴ ① ②得， 2 22 2 20a b  ∴ 2 2 10a b  ； ∴ ① ②得， 4 6ab   ∴ 3 2 ab  ． 故答案为：10， 3 2 ． 8． 1 2 /0.5 【分析】将分式的分母根据完全平方公式变形得到 2 2 2015 2 2015 ，再约分即可求解． 本题考查了完全平方公式，解答本题的关键是掌握完全平方公式的形式，这是需要我们熟练记 忆的内容． 【详解】解： 2 2 2 2015 2014 2016 2  2 2 2 2015 (2015 1) (2015 1) 2      2 2 2 2015 2015 4030 1 2015 4030 1 2        2 2 2015 2 2015   1 2  ． 故答案为： 1 2 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 9．(1) 7 94x y (2) 2 22 2 2 1x xy y x y     【分析】本题考查积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式： （1）先进行乘方运算，再利用单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 4 6 3 3 7 94 4x y x y x y   ； （2）原式    2 2 22 1 2 2 2 1x y x y x xy y x y           ． 10．(1)20002 (2)1 (3)400 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式和平方差公式进行简便计算，熟练掌握平方差公式 和完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 2 2101 99    2 2100 1 100 1    2 2100 2 100 1 1 100 2 100 1 1          10001 10001  20002 ； （2）解： 22025 2024 2026 1     22025 2025 1 2025 1 1     2 2 2025 2025 1 1    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 1 ； （3）解： 2 219.9 19.9 0.2 0.1    219.9 0.1  220 400 ． 11．(1)15 (2) 6k   (3) 5xy  【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，在理数的运算，熟练掌握完全平方式是解 题的关键． （1）根据规定直接计算求值； （2）先利用新定义计算    , * 3 ,x kx y y ，之后配方成完全平方公式，即可得到答案； （3）根据新定义，求出    2 23 , 2 3 * 3 ,3 80x y x y x y    的左边，从而得出方程，再配方 将 2 10x y  整体代入，即可求出 xy． 【详解】（1）解：        3 23,2 * 2, 1 3 2 2 1 9 4 2 15            ； （2）解：    , * 3 ,x kx y y    22 2 23 9x y kx y x kxy y       ， 2 29x kxy y  是完全平方式， 6k   ； （3）解：    2 23 ,2 3 * 3 ,3x y x y x y        2 2 2 23 3 3 2 3x y x y x y      2 2 2 2 2 29 6 6 9 6 9x xy y x xy y x y        2 24x y  2 24 4 4x y xy xy    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6  22 4 80x y xy    ， 2 10x y  ， 210 4 80xy   ， 4 20xy  ， 5xy  ． 12．(1)  25 2x   ，2 (2)17 (3) A B 【分析】本题主要考查了配方法的应用； （1）依据题意，根据完全平方公式求解； （2）由 3x y  ，得到 3y x  ，代入 2 9 2   x y x 得  22 8 1 4 17x x x       ，利 用配方法求最大值即可； （3）求出  21 2 2 0A B x      ，即可比较大小． 【详解】（1）解：  22 210 27 10 25 2 5 2x x x x x         ， ∵不论 x取何值，  25x  总是非负数，即  25 0x   ． ∴  25 2 2x    ， ∴当 5x  时， 2 10 27x x  有最小值2． 故答案为：  25 2x   ，2； （2）解：∵ 3x y  ， ∴ 3y x  ， ∴    22 2 2 29 2 3 9 2 8 1 8 16 1 16 4 17x y x x x x x x x x x                        ， ∵  24 0x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴  24 17 17x    ， ∴当 4x  时， 2 9 2   x y x 有最大值17． （3）解： A B ，理由如下： ∵ 2 22 3 2, 1A x x B x x      ， ∴    22 2 2 22 3 2 1 2 3 2 1 2 1 2A B x x x x x x x x x                 ， ∵不论 x取何值，  21x  总是非负数，即  21 0x   ． ∴  21 2 2 0x     ， ∴ 0A B  ，即 A B ． 13．知识回顾： 2 2 22a b a ab b    ， 2 2 22a b a ab b    ；拓展探究：52；解决问题： 40 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 知识回顾：根据图 1和图 2中阴影部分的面积的两种计算方法即可得； 拓展探究：由  2 2 2 2m n m n mn    ，代入即可求解； 解决问题：设正方形 ACDE和BCFG的边长分别为 ,x y，则 ,AC x BC CF y   ，从而可 得 2 27, 31x y x y    ，再利用完全平方公式求出 xy的值，然后利用 2个直角三角形的面 积加上两个正方形面积求解即可得． 【详解】解：知识回顾：图 1中阴影部分的面积有两种方法计算，方法一：直接利用正方形的 面积公式计算为  2a b ；方法二：两个小正方形与两个小长方形的面积之和，即 2 2 2a b ab  ， 所以图 1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为  2 2 22a b a ab b    ； 图 2中阴影部分的面积有两种方法计算，方法一：直接利用正方形的面积公式计算为  2a b ； 方法二：利用大正方形的面积减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即 2 22a ab b  ， 所以图 2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为  2 2 22a b a ab b    ； 故答案为：  2 2 22a b a ab b    ，  2 2 22a b a ab b    ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 拓展探究： ∵  2 2 2 2m n m n mn    ， 6, 8m n mn   ， ∴ 2 236 16m n   ， ∴ 2 2 52m n  ； 解决问题：设正方形 ACDE和BCFG的边长分别为 ,x y，则 ,AC x BC CF y   ，如图： ∵ 7AB  ，两正方形的面积和为 31， ∴ 2 27, 31x y x y    ， ∴    2 2 2 27 31 9 2 2 x y x y xy        ， ∴多边形 AFGBDE的面积为 2 2 1 1 31 9 40 2 2 x y xy xy      ． 14．(1) 4 (2)10 (3)128 【分析】（1）根据新定义，求出    2 , ,x kx y y  ，再根据完全平方式的特征，即可求出 k； （2）根据新定义，求出    2 23 , 2 3 3, 3 104x y x y x y     的左边，从而得出方程，再配 方将 2 12x y  整体代入，即可求出 xy； （3）根据阴影部分的面积等于 EFG DBFS S  ， DBF BCD DEF BGF FGCES S S S S       长方形 ，把 阴影部分的面积表示出来，从得到含有2x y ，xy的整式，再把（2）的条件和结论整体代入 即可． 【详解】（1）解：∵     2 2, ,a b c d a d bc    ， ∴        2 22 , , 2x kx y y x y kxy      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴      2 22 , , 2x kx y y x y kxy     ， ∵    2 , ,x kx y y  是完全平方式， ∴ 2 2 2 2(2 ) 4 4yx y x xy ykx    ， ∴ 4k   ； （2）∵     2 2, ,a b c d a d bc    ∴          2 22 2 2 23 ,2 3 3, 3 3 3 2 3 3 104x y x y x y x y x y x y            ， 去括号得： 2 2 2 2 2 29 6 6 9 6 9 104x xy y x xy y x y        ， 合并同类项得： 2 24 104x y  ， ∵ 2 12x y  ， ∴ 2 24 4 104 4x y xy xy    ， ∴  22 104 4x y xy   ， ∴ 212 104 4xy  ， 解得： 10xy  ， ∴ 10xy  ； （3）∵ 2 1 4 2 2EFG S y y y    ， 21 2 8 8 2BDC S x x x    ，   21 2 4 4 2 2DEF S x y y xy y      ，   21 8 4 4 2 2BGF S x y y xy y      ， 24FGCES y ， ∴ DBF BCD DEF BGF FGCES S S S S       长方形 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴    2 2 2 28 4 2 4 2 4DBFS x xy y xy y y      ， ∴ 28 8DBF xS xy  ， ∴阴影部分的面积为： 2 28 8 2x xy y  ； ∵ 2 28 8 2x xy y   2 22 4 4 8x xy y xy     22 2 8x y xy     ∵ 2 12x y  ， 10xy  ∴阴影部分的面积为：  22 12 8 10 128    ． 【点睛】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟 练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键．