专题02 平面向量的数量积七种考法（解析版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）

专题02 平面向量的数量积七种考法 一、方法讲解 1.辨析数量积的运算律 数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 2.平面向量的数量积运算 数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． 3.平面向量的长度、角度、垂直问题 根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题 注：平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得； （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得； （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直 4.投影向量 向量在向量方向上的投影向量为 在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． 二、重难点例题及变式 类型一、辨析数量积的运算律 例．已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练1】若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与垂直 D． 类型二、平面向量的数量积运算 例．（1）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 （2）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D．1 （3）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知向量，，若，则 ． 【变式训练2】已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 类型三、平面向量的夹角问题 例．（1）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． （2）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是 . 【变式训练2】已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 类型四、平面向量的模长 例．（1）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 （2）已知向量，且，则 . （3）已知向量，，，则的最小值为 . 【变式训练1】若向量满足，，，则 . 【变式训练2】已知向量满足，则 【变式训练3】在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 类型五、投影向量 例．（1）已知向量，若，则在上的投影向量为 ． （2）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（     ） A． B． C． D． 类型六、平面向量的垂直问题 例．（1）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 （2）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（     ） A． B． C． D． 类型七、数量积范围的综合问题 例．已知向量，，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 【变式训练1】是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求（结果用表示）； （2）若 ①求的取值范围： ②设，求的取值范围. 三、能力测试练 1．已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，若，则实数（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 3．已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 6.（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最大值为 7.已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 9．如图，在等腰梯形中，，，，是的中点. （1）记，且，求，值； （2）记，是线段上一动点，且，求的取值范围. 10．在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，． （1）用向量，表示向量，； （2）求的取值范围； （3）是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的数量积七种考法 一、方法讲解 1.辨析数量积的运算律 数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 2.平面向量的数量积运算 数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． 3.平面向量的长度、角度、垂直问题 根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题 注：平面向量的模长范围问题，常用的方法有： （1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得； （2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得； （3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直 4.投影向量 向量在向量方向上的投影向量为 在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． 二、重难点例题及变式 类型一、辨析数量积的运算律 例．已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时， ∴不是的充分条件， 当时，，∴,∴成立， ∴是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件    故选：B. 【变式训练1】若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A是向量加法的结合律，正确； 选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确； 选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确； 选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错． 故选：D． 【变式训练2】设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与垂直 D． 【答案】C 【解析】选项A：因为是三个非零的平面向量，且相互不共线， 所以不会同时与垂直，所以与不会同时为0， 所以，故A错误；（注意向量的数量积为一个常数） 选项B：，由于， （点拨：向量夹角的取值范围是）所以，故B错误； 选项C：因为， 且由A知与不相等，所以与垂直， （点拨：若两向量的数量积为0，则两向量垂直）故C正确； 选项D：因为是非零向量，且不共线，所以设， 从而，在中，两边之差小于第三边，所以， （提示：不共线，所以中的等号不成立）故D错误． 故选:C. 类型二、平面向量的数量积运算 例．（1）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. （2）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】 【解析】， ， 解得. 故选：A. （3）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知有，，， 所以． 已知是AC的中点，则，， 所以， 则． 故选：D． 【变式训练1】已知向量，，若，则 ． 【答案】 【解析】，即，，， ，，. 故答案为：. 【变式训练2】已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，由两边平方得，，整理得，， 因是非零不共线向量，则，即，解得，， 此时函数是增函数，故，即的取值范围为. 故选：D. 【变式训练3】已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】边长为1的正方形ABCD，，， ，， 所以. 故选：D. 类型三、平面向量的夹角问题 例．（1）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量均为单位向量，即，且，， 则，两边平方可得， 即，所以， 又，所以与的夹角为． 故选：C． （2）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 【变式训练1】已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是 . 【答案】 【解析】因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 则. 故答案为： 【变式训练2】已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】,,即,解得, 故选：C 类型四、平面向量的模长 例．（1）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. （2）已知向量，且，则 . 【答案】 【解析】， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：. （3）已知向量，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】， 所以. 当时等号成立. 故答案为：. 【变式训练1】若向量满足，，，则 . 【答案】 【解析】由，有，即，得. 又，得. 故答案为：. 【变式训练2】已知向量满足，则 【答案】 【解析】可得， 故， 故答案为： 【变式训练3】在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由可得 ， 因，故时，，即的最小值为. 故选：B． 类型五、投影向量 例．（1）已知向量，若，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以，解得， 因为，所以在上的投影向量为. 故答案为： （2）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得， 所以，则 所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 【变式训练1】已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， 所以在上的投影向量为. 故选：A 【变式训练2】已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又，所以. 故选：D 类型六、平面向量的垂直问题 例．（1）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以即，故， 故选：D.    （2）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意有， 又因为与垂直， 所以， 整理得，解得. 故选：B. 【变式训练1】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 【变式训练2】已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，即，解得， 故选：B． 类型七、数量积范围的综合问题 例．已知向量，，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）向量，， . （2）， ， ，，， 所以的取值范围为. （3）由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为，解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 【变式训练1】是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示，    当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是． 故选：B. 【变式训练2】如图，A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求（结果用表示）； （2）若 ①求的取值范围： ②设，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①② 【解析】（1）. （2）①. 设.由题意得，则 所以 因为，则 所以，所以最小值是0，最大值是3，则； ②设， 则， 所以，由得， 即，整理得， 所以， 所以. 令. ，令 ∵，则，即 ∴在上单调递增，则 所以的取值范围是. 三、能力测试练 1．已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为和是单位向量，所以又因为， 所以， 所以， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为. 故选：B. 2．已知平面向量，，若，则实数（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，， 所以，， 因为， 所以， 解得. 故选：D 3．已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是单位向量，且， 两边平方得，，即（*）， 由在上的投影向量为，可得， 所以，即，代入（*）可得，，即， 所以， 因为，所以． 故选：B． 4．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 5．（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则不一定有，A错误； 对于B，根据分配律即可得到，B正确； 对于C，若，则可能，那么，C错误； 对于D，若，则有，那么就不一定有，D错误. 故选：ACD 6.（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】由题意可知，， 对于A，当时，，所以, 即，故，故A正确； 对于B，因为， 所以存在实数，使得，即， 解得，故或，故B错误； 对于C，因为， 所以，解得，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，其中， 所以当时，，故D正确. 故选：ACD. 7.已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以； 因为向量，的的夹角为锐角，所以有，解得. 又当向量，共线时，，解得：， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 9．如图，在等腰梯形中，，，，是的中点. （1）记，且，求，值； （2）记，是线段上一动点，且，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）依题意， 所以， 即， 即，又，解得，（负值舍去）； （2） 过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，， 所以，，，，， 所以，，， 因为，所以 所以， 所以 ， 令，， 设且，则， 当时，，则，又， 所以； 当时，，则，又， 所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以， 所以，即的取值范围为. 10．在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，． （1）用向量，表示向量，； （2）求的取值范围； （3）是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】（1）因为， 所以． 又． （2）， 因为，，， 所以 ． 因为动点E，F分别在线段BC和DC上且不包含端点，所以， 所以，， 所以的取值范围是． （3）设，，其中，则 ， 因为， 由平面向量基本定理，得 解得， 由，得，故， 所以，解得，或． 因为，所以． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$