专题01 向量运算（9大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题01 向量运算 目录 【题型一 向量数乘有关计算】 2 【题型二 平面向量的混合运算】 5 【题型三 向量线性运算几何应用】 9 【题型四 向量关系判断三角形的心】 14 【题型五 平面向量数量积的几何意义】 21 【题型六 用定义求向量数量积】 25 【题型七 向量求模】 32 【题型八 向量求夹角】 36 【题型九 向量新定义题】 42 一、平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 二、两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 三、三角形”四心“向量形式的充要条件 （1）三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心 ①重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； ②垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； ③内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； ④外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 （2）设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则 ①为的外心. ②为的重心. ③为的垂心. ④为的内心. 【题型一 向量数乘有关计算】 1．（2024·广西来宾·模拟预测）设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一·全国·课后作业）A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·山东·阶段练习）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF的延长线上 C．点P在线段EF上 D． 5．（多选）（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为 6．（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 【题型二 平面向量的混合运算】 1．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．（2025高一·全国·阶段练习）已知向量不共线，且实数满足，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024高三上·河南·专题练习）已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四边形中，，，，E是边上一点且，F是的中点，则下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南·阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则 ． 【题型三 向量线性运算几何应用】 1．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 5．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，点是内一点且，则的面积为 . 6．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 【题型四 向量关系判断三角形的心】 1．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．（多选）（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一下·四川成都·期末）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 5．（多选）（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 6．（2025高三·全国·专题练习）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 7．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【题型五 平面向量数量积的几何意义】 1．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知外接圆的圆心为M，半径为r，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（2024·四川绵阳·三模）在半径为的中，弦的长度为，则的值为（    ） A． B． C． D．与有关 4．（多选）（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 5．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 . 【题型六 用定义求向量数量积】 1．（24-25高三上·四川·阶段练习）点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·二模）如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高一下·北京顺义·期中）在边长为1的正六边形中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，．记，为的两个三元子集，则的最大值为 ；的最小值为 ． 4．（23-24高一下·山东·阶段练习）如图，半径为1的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为 ． 5．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则点是的 心填“内”、“外”、“重”、“垂”，若的内角，边，则的最大值是 ． 6．（23-24高一下·福建厦门·期中）设正的边长为1，O为的重心，为BC边上的等分点，为AC边上的等分点，为AB边上的等分点. (1)分别求当时，的值； (2)当时. （i）求的值（用i，j表示）； （ii）求的最大值与最小值. 【题型七 向量求模】 1．（24-25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 2．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D． 3．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．则 ．若为线段上的一点，且，则的最小值为 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量、的夹角为，且，则的最大值为 ． 5．（23-24高一下·北京大兴·期中）已知向量，，，与的夹角为，则 ，当的值最小时，实数的值为 . 6．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 【题型八 向量求夹角】 1．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知平面单位向量，，满足||， 设+，+，向量与的夹角为，则的最大值为 . 3．（23-24高三上·浙江嘉兴·阶段练习）已知不共线向量，满足，且，向量，的夹角为，若，则的最小值为 ． 4．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知平面向量，，满足，则与所成夹角的最大值是 ． 5．（23-24高一下·宁夏吴忠·阶段练习）已知、是两个单位向量，它们的夹角是，设，则向量与的夹角大小是 ． 6．（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【题型九 向量新定义题】 1．（多选）（23-24高一下·福建龙岩·期中）对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（23-24高一下·四川自贡·期中）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D．若，则与平行 3．（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）对任意的两个向量，定义一种向量运算“*”：，（是任意的两个向量）．对于同一平面内的向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若是单位向量，则 4．（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若为非零向量，且，则 C．若，则的最小值为 D．已知点为坐标原点，则 5．（多选）（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（    ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时，则的取值个数最多为个 D．当时，则的取值个数最多为个 一、单选题 1．（23-24高一下·四川凉山）已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·期中）已知点均在圆上，若有，则必有平分圆O.则满足要求的的个数为（   ） A．0个 B．仅有1个 C．仅有2个 D．3个或以上 二、多选题 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 4．（23-24高一下·浙江·期中）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C． D．若，则 5．（23-24高一下·新疆昌吉·期末）有下列说法其中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，，分别表示，的面积，则 6．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（    ） A． B． C．的最小值为0 D．的最大值为 7．（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（    ） A．当时， B．对于任意非零向量，都有 C．对于不垂直的非零向量，都有 D．若，则 8．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 三、填空题 9．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知，，是同一平面的向量，其中是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是 ． 11．（24-25高三上·天津南开·期末）在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 . 12．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号） （1）若且，且，则的取值范围为； （2）若且，且，则的取值范围为； （3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为； （4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为. 四、解答题 13．（23-24高一下·山东日照·期中）如图，已知是的外心，，，，，． (1)判断的形状，且求时的值； (2)当时， ①求的值（用含的式子表示）； ②若，求集合中的最小元素． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 向量运算 目录 【题型一 向量数乘有关计算】 2 【题型二 平面向量的混合运算】 5 【题型三 向量线性运算几何应用】 9 【题型四 向量关系判断三角形的心】 14 【题型五 平面向量数量积的几何意义】 21 【题型六 用定义求向量数量积】 25 【题型七 向量求模】 32 【题型八 向量求夹角】 36 【题型九 向量新定义题】 42 一、平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 二、两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 三、三角形”四心“向量形式的充要条件 （1）三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心 ①重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； ②垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； ③内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； ④外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 （2）设为所在平面上一点,内角,,所对的边分别为,,,则 ①为的外心. ②为的重心. ③为的垂心. ④为的内心. 【题型一 向量数乘有关计算】 1．（2024·广西来宾·模拟预测）设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量数乘的有关计算 【分析】由、、分别为、、方向上的单位向量，分别考虑三个向量同向和两两夹角为的情况即可得解. 【详解】、、分别为、、方向上的单位向量， 则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，，当时，如图所示： 以OA、OB为邻边作平行四边形OAEB，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，，即， 综上所述，． 故选：D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】如图，求出，两个相减即得解. 【详解】如图， =)， =)， 相减得=). 所以=. 故选：B 3．（多选）（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的概念，可推断四边形为平行四边形，进而根据向量的平行四边形法则和三角形法则可判断. 【详解】由于是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点， 故，则四边形为平行四边形，所以，故A错误； 因四边形为平行四边形，故是的中点，，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：ABD 4．（多选）（24-25高一下·山东·阶段练习）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF的延长线上 C．点P在线段EF上 D． 【答案】CD 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据给定条件，结合平面向量的线性运算可得，再逐项判断作答. 【详解】点P为所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点， 则，，而，即， 于是得，即，所以点P在线段EF上，且， 因点P在的中位线EF上，有直线，即点P，A，C不共线，则向量与不可能平行， A不正确，B不正确，C正确，D正确. 故选：CD 5．（多选）（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】BD 【知识点】求二次函数的值域或最值、向量数乘的有关计算、已知向量共线（平行）求参数 【分析】先通过D为BC中点以及判断A和B选项，再借助二次函数的最小值判断C和D选项即可. 【详解】 由得，又点E在线段AD上移动，，，故A错误，B正确；，当时，有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD. 6．（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 【答案】 2 2 【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】先化简为，再利用向量的减法法则化简即得解. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴． 故答案为：2，2. 【题型二 平面向量的混合运算】 1．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【知识点】平面向量的混合运算、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 2．（2025高一·全国·阶段练习）已知向量不共线，且实数满足，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、相等向量、平面向量的混合运算 【分析】根据所给向量相等条件求出，利用对数运算化简即可. 【详解】因为， 所以， 则，解得 则． 故选：C 3．（2024高三上·河南·专题练习）已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的线性运算，先求得，进而求得. 【详解】由题意，得， 所以，所以， 所以，所以， 解得， 所以. 故选：B    4．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四边形中，，，，E是边上一点且，F是的中点，则下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算，即可判断各选项的真假． 【详解】对于A，因为，所以A正确； 对于B，因为，而，代入可得，，所以B正确； 对于C，因为，而，所以，C不正确； 对于D，因为，而，代入得，，所以D正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量加法，减法，向量数乘的运算律等知识的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 5．（多选）（23-24高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义，根据选项依次运算化简判断即可. 【详解】A项，，故A正确； B项，，故B错误； C项，， 若，则，不合题意，故C错误； D项，，故D正确； 故选：AD. 6．（23-24高一下·河南·阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则 ． 【答案】/0.32 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】直接由向量的线性运算及图形关系求出的值，即可求解. 【详解】由题意可得．因为EFGH是平行四边形， 所以，所以，所以．因为， 所以，，则． 故答案为：. 【题型三 向量线性运算几何应用】 1．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将用表示，求得，即可得出答案. 【详解】    因为， 则， 所以， 所以， 所以，， 故. 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，即可确定点的位置，再求出、、与的关系，即可得解. 【详解】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点，    又，， 所以， 所以. 故选：B 4．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论、向量的线性运算的几何应用 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 5．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，点是内一点且，则的面积为 . 【答案】/ 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】取的中点，根据平面向量的线性运算判断出点的位置，进而可得出答案. 【详解】取的中点， 因为，所以，故， 即，所以点为的中点， 所以 故答案为：. 6．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案. 【详解】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为： 【题型四 向量关系判断三角形的心】 1．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 2．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、三角形的心的向量表示、根据向量关系判断三角形的心 【分析】根据，的几何意义及向量加法运算法则得到射线在角A的平分线所在射线上，从而得到答案. 【详解】，分别表示的是方向上的单位向量，由向量加法运算法则可知：射线在角A的平分线所在射线上，故射线经过的内心. 故选：A 3．（多选）（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示 【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断. 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 4．（多选）（23-24高一下·四川成都·期末）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、根据向量关系判断三角形的心 【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，，即可判断D. 【详解】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 5．（多选）（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 【答案】ACD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示、根据向量关系判断三角形的心 【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项的正误. 【详解】A：由为的重心，则，，， 所以，即，正确； B：，由为外心，所以， 即，同理，故为垂心，错误. C：，所以， 因为，故，而， 所以，即，正确. D：，所以， 因为，故，正确. 故选：ACD 6．（2025高三·全国·专题练习）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、根据向量关系判断三角形的心 【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案. 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 7．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】平面向量的混合运算、三角形的心的向量表示 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    【题型五 平面向量数量积的几何意义】 1．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 2．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知外接圆的圆心为M，半径为r，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】由题意可得，化简可得，取边中点H，则，再化简可得答案. 【详解】由题意知，即， 即， 所以，故． 取边中点H，则， 所以， 所以， 故选：A． 3．（2024·四川绵阳·三模）在半径为的中，弦的长度为，则的值为（    ） A． B． C． D．与有关 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】取线段AB的中点D，得，利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得. 【详解】 取线段AB的中点D，得，所以. 所以. 故选：B 4．（多选）（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 【答案】AB 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示 【分析】对于A，根据数量积的定义计算即可判断；对于B，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C，作图得到，再由可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D，当重合或者时都可以得到，从而可判断. 【详解】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形， 取的中点，连接，则，所以，A正确； 对于选项，过点作平行于，交圆与点， 过点作，交延长线于点，连接， 则四边形为菱形， 由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值， 此时， 故的最大值为，B正确； 对于C选项，， 因为四边形为菱形，所以，且， 因为为定值， 故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为， 当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为， 故，C错误； 对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当时，满足，故满足的点有2个，D错误. 故选：AB 5．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 . 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】根据相似比可得，即可利用数量积的几何意义求解. 【详解】如图，设与交于点，过点作的平行线交于点.因为， 所以，所以， 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以，且，所以在上的投影向量为， 所以. 故答案为：    【题型六 用定义求向量数量积】 1．（24-25高三上·四川·阶段练习）点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】先证明，然后给出的例子，即可得到的最大值是. 【详解】设外接圆圆心为，则，. ①一方面，我们有 . 故一定有. ②另一方面，当时，有，故在的外接圆上，此时 . 综合①②两个方面，可知的最大值是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数量积的运算性质的使用. 2．（2024·全国·二模）如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】过点作，用表示线段长，结合给定图形借助向量加法、数量积的运算律及定义计算即得. 【详解】过点作于，令，由，得， ，由分别为的中点，得，， 所以. 故选：B 3．（23-24高一下·北京顺义·期中）在边长为1的正六边形中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，．记，为的两个三元子集，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【知识点】向量的模、用定义求向量的数量积 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征可知的最大值为；由空1以及数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点G， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 由空1可知当时最大， 同理时最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：5；. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 4．（23-24高一下·山东·阶段练习）如图，半径为1的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为 ． 【答案】1 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】设，表示出即可求解. 【详解】设，由题意， 所以 ， 所以当且仅当时，取得最大值，且. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 5．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则点是的 心填“内”、“外”、“重”、“垂”，若的内角，边，则的最大值是 ． 【答案】 垂 【知识点】向量减法的法则、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量数量积为零可得， ，所以点是的垂心；利用向量的夹角和向量数量积的运算，化简得，由得结论. 【详解】，，即，， 同理可得：，，是的垂心， 延长交于，延长交于，则，， ，， ， 显然当与重合时，取得最大值， 故的最大值为． 故答案为：垂， 【点睛】关键点睛：本题第二空解决的关键是，利用向量数量积的定义，同时结合图形将所求转化为的最大值，从而得解. 6．（23-24高一下·福建厦门·期中）设正的边长为1，O为的重心，为BC边上的等分点，为AC边上的等分点，为AB边上的等分点. (1)分别求当时，的值； (2)当时. （i）求的值（用i，j表示）； （ii）求的最大值与最小值. 【答案】(1)，， (2)（i）；（ii）最大值为，最小值为 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）先利用数量积的运算律求得，根据共线，将用表示，求和后再求模长； （2）（i）根据数量积定义计算； （ii）将用表示，依次视为的函数讨论单调求最值. 【详解】（1）因为为等边三角形，且边长为，为外接圆的重心（圆心）， ，且， ， 则， 当时,，，，， ， ； 当时,，，，， ，， ， ； 当时，，，……，， ， ； （2）(ⅰ)为等边三角形，为外接圆的圆心，， 则，， 又，分别为，的等分点，又， ，； （ⅱ）， ； 同理可得：；； ； 令 ①当时， 时，， ，时取最大值，则； 时，， ，时取最小值，则， 则当时，； ②当时， 时，， ，时取最大值，则； 时，， ，时取最小值，则， 则当时，； 综上所述：的最大值为，最小值为. 【点睛】关键点点睛：求的最值利用函数的单调性求最值，先整理为的形式，视为关于的一次函数，讨论的正负确定单调性，确定在或时取得最值，类似的，下一步再视为关于的一次函数求最值，最后再视为关于的一次函数求最值. 【题型七 向量求模】 1．（24-25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】利用投影向量的意义求出，再利用向量数量积的运算律及夹角公式列式求得答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为，即，则， 又，则， 解得，由，解得. 故选：B 2．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】利用平方运算可求得和，再由和余弦函数的最值求解. 【详解】根据题意， ，∴ ， 设为的夹角， . 故选：A. 3．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．则 ．若为线段上的一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、基本不等式求和的最小值 【分析】由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；由已知得，然后根据、、三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为平行四边形的面积为， 所以，得， 所以， 如图，连接，则，，    所以 因为、、三点共线，所以，得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：；. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量、的夹角为，且，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模、基本不等式求和的最小值 【分析】由结合平面向量数量积的运算性质可得出，结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 即，变形为， 其中，当且仅当时等号成立， 所以，解得． 故的最大值为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·北京大兴·期中）已知向量，，，与的夹角为，则 ，当的值最小时，实数的值为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据数量积的运算公式得到的值，再由，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】，； ， 由二次函数性质，当时取得最小值， 故答案为：；. 6．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）由，所以，将代入可得，再由数量积的定义求得，代回即可求解； （2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且， 所以， 则， 故当时，最小为， 此时， 则， 又， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 【题型八 向量求夹角】 1．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算 【分析】依题意可得，， 令，则， 通过换元可得，所以，当时，可得的 最小值. 【详解】依题意可得，，则， ， ，则， 所以，， 令，则， 令，由得， 则，所以，故 所以，当时，有最小值. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是：令，通过换元得到. 2．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知平面单位向量，，满足||， 设+，+，向量与的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，化简可得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值，即可得的最大值. 【详解】解：由题意，∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，此时取得最大值为. 故答案为：. 3．（23-24高三上·浙江嘉兴·阶段练习）已知不共线向量，满足，且，向量，的夹角为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】先分别表示出和，然后代入，整理变形得，再结合求解的最小值. 【详解】因为， 同理， 所以， 变形得：， 两边平方整理得：， 再两边平方整理得：， 又因为，所以，故 解得：． 故答案为：. 【点睛】本题考查根据向量的模长关系求向量夹角余弦值最值问题，难度较大.解答时，将原式灵活变形是关键. 4．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知平面向量，，满足，则与所成夹角的最大值是 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、对勾函数求最值 【解析】由，令，与的夹角为、与所成夹角为，即可得到方程化简为对勾函数的形式，注意的范围，根据对勾函数的值域求的范围，进而可知最大值 【详解】令，且向量与的夹角为 ∵ ∴① 若与所成夹角为，即② ∴由①②知： 即 又∵ ∴，令 即，有 有且 最大值是 故答案为： 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，结合对勾函数，并根据函数在相应区间内的值域可得对应向量夹角余弦值的范围，进而求其最大值；其中注意对勾函数的形式，其值域范围：由基本不等式可得最小值，利用端点值可得最大值 5．（23-24高一下·宁夏吴忠·阶段练习）已知、是两个单位向量，它们的夹角是，设，则向量与的夹角大小是 ． 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、已知模求数量积 【解析】根据题意，得出，，根据向量的数量积的定义求出和，根据向量模的求法，分别求出和，最后利用平面向量的数量的应用，求出，即可得出与的夹角大小. 【详解】已知、是两个单位向量，它们的夹角是， ，，则， 因为，， 则 ， 即：， 则， ， ， 所以向量与的夹角为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，以及单位向量的概念和向量的模的求法，考查计算能力. 6．（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算 【分析】（1）由向量的线性运算可得，两边平方可求解； （2）由已知可得，，可得结论； （3）利用向量的线性关系可得，，计算可得结论. 【详解】（1）若，则，， 所以， 两边平方可得， 所以； （2）若，则，所以， ①， ②， 由①②可得； （3）， ， 设，又， 又，所以①， 由，可得，所以，所以， 所以， 由，可得， 所以， 又三点共线，所以②， 联立①②解， 所以，所以， ， ， 所以 ， 又， 所以，同理可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算. 【题型九 向量新定义题】 1．（多选）（23-24高一下·福建龙岩·期中）对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【知识点】用定义求向量的数量积、向量新定义 【分析】由题意可得，，从而得，，分和分别求解即可. 【详解】因为，设向量和的夹角为， 则，由，得， 则，因此， 则， 当时，，又，则， 此时，， 当时，，又，则， 此时，， 所以或． 故选：AB 【点睛】关键点睛：对于新概念题，理解定义是关键，解答本题的关键是理解和的运算法则及基本不等式的应用. 2．（多选）（23-24高一下·四川自贡·期中）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D．若，则与平行 【答案】BD 【知识点】用定义求向量的数量积、向量新定义 【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解． 【详解】对于选项A，在上的投影向量为， 可知与共线，但与共线，两者方向不一定相同， 所以在上的投影向量不为，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，， 显然时，不成立，故选项C错误， 对于选项D，由，所以， 则，即，故选项D正确， 故选：BD． 【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可. 3．（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）对任意的两个向量，定义一种向量运算“*”：，（是任意的两个向量）．对于同一平面内的向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若是单位向量，则 【答案】AD 【知识点】平行向量（共线向量）、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据定义，由共线和不共线的计算，结合数量积的性质以及运算律，即可结合选项逐一求解. 【详解】当共线时，，当不共线时，，故A正确； 当时，，，故B不正确； 当与共线时，则存在与不共线，，故C不正确； 当与不共线时，，当与共线时，设，，，故D正确． 故选:AD． 4．（多选）（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若为非零向量，且，则 C．若，则的最小值为 D．已知点为坐标原点，则 【答案】BC 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、数量积的运算律 【分析】对于A，直接由新定义结合三角形面积公式即可验证；对于B，建立关于方程，从而即可判断；对于C，由已知得出，结合模的公式以及基本不等式即可判断；对于D，由新定义结合向量数量积、模的坐标公式即可验算. 【详解】A：，选项A错误； B：若为非零向量，，则，选项B正确； C：， 则当且仅当时取到“”，选项C正确； D：已知点为坐标原点，则，选项D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于充分理解新定义和原理数量积的联系与区别，由此即可顺利得解. 5．（多选）（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（    ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时，则的取值个数最多为个 D．当时，则的取值个数最多为个 【答案】ACD 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量新定义 【分析】由题意得，，且都是整数，对于A，当时，，结合都是整数即可判断；对于B，首先得出，进一步取，即可判断；对于C，同B选项分析，取，由题意得，由此即可判断；对于D，由题意首先得出，同C选项取即可判断. 【详解】设， 相乘得，即， 由， 对于A，当时，，而和都在集合， 也就是都是整数，故，所以，故A正确； 对于B，当时，， 又是整数，当时，有，即， 对于C，当时，，即， 即，所以的取值个数最多为个，当且仅当时的取值个数最多， 对于D，当时，， 即，即， 所以的取值个数最多为个. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是取，，由此即可顺利得解. 一、单选题 1．（23-24高一下·四川凉山）已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】依据向量的几何意义去求解的值 【详解】分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE. 则， 则，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点 故选：D 2．（24-25高三上·上海·期中）已知点均在圆上，若有，则必有平分圆O.则满足要求的的个数为（   ） A．0个 B．仅有1个 C．仅有2个 D．3个或以上 【答案】C 【知识点】数量积的运算律 【分析】分，，三种情况讨论可判定结论. 【详解】由， 当时，两向量共线反向，平分圆，符合题意， 当，由，设圆的半径为1， 变形可得，两边平方可得， 所以，解得， 因为，所以，同理可得，， 所以平分圆， 若时， 当为偶数时，只要分为对，每对共线，可得， 比如过圆心的两条直线与圆相交的四个点，满足，但不平分圆， 所认不一定平分圆，故不符合题意， 当为奇数时，可分三个点，使这三个向量满足， 可得平分圆，另外剩余的一定是偶数点，由前面知道，这些点可分组， 但不一定平分圆，故可得不一定平分圆， 综上所述，可得只有与符合题意， 故选：C. 【点睛】思路点睛：分类讨论是解决本题的关键，掌握向量的有关运算与性质是基础. 二、多选题 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 【答案】ABC 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量在几何中的其他应用 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，D再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确，D错误. 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 故选：ABC 4．（23-24高一下·浙江·期中）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】利用的定义证明A选项正确，然后由可否定B和C选项，最后给出D选项的反例即可. 【详解】对于A，若，由的定义有或. 由于是非零向量，故前者不可能成立，从而，这得到，即. 所以，故，A正确； 对于B，设有非零向量，则，，故，B错误； 对于C，由于，故，C错误； 对于D，若，，，则，D错误. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造反例否定一个命题，需要恰当选取反例方可得到结论. 5．（23-24高一下·新疆昌吉·期末）有下列说法其中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，，分别表示，的面积，则 【答案】BCD 【知识点】平行向量（共线向量）、向量的线性运算的几何应用、向量在几何中的其他应用 【分析】利用向量平行的概念与性质判断AB；根据向量的线性运算，结合三角形面积的求法可判断CD. 【详解】对于A项，若，当时，不一定有，故A项错误； 对于B项，若，则存在唯一实数使得，故B项正确； 对于C项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C项正确； 对于D项，因为，整理得， 如图所示：    分别取BC，AC的中点E，F，故，即， 所以三点共线，故，, 所以， ，， 故，故D项正确. 故选：BCD. 6．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（    ） A． B． C．的最小值为0 D．的最大值为 【答案】ABD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】根据向量线性运算、三点共线推论、数量积运算及几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； 设，则，因为A，O，C三点共线， 所以，解得，B正确； 由，，可得，结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 易知当点N位于点B时，取得最小值， 最小值为，C错误； 当点N为位于点C时，取得最大值， 最大值为，D正确． 故选：ABD 7．（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（    ） A．当时， B．对于任意非零向量，都有 C．对于不垂直的非零向量，都有 D．若，则 【答案】BD 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量新定义 【分析】由定义新运算及数量积的定义分别判断即可． 【详解】设为向量与的夹角，由新运算可知，， 对于A，由上可知， 则， 又，所以，则， 当为钝角时，，即，故A错误； 对于B，因为， ， 所以，故B正确； 对于C，设为非零常数， 则， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 又，所以，所以中至少一个为0，则，故D正确， 故选：BD． 8．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、数量积的运算律、向量新定义 【分析】对于A，由题意可得，进一步即可判断；对于B，由三角形面积公式即可判断；对于C，由向量的夹角公式、模的计算公式直接验算即可；对于D，由条件等式得，结合数量积的运算律以及基本不等式即可求解. 【详解】对于A中，因为是非零向量，由，可得，即， 可得，且，解得或，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，因为，可知， 则，且，可得， 所以，故C正确； 对于D中，因为，即， 可得，可知，可得， 则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确， 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题 9．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知，，是同一平面的向量，其中是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】设，所以点在以为圆心，且，得到，结合的最小值为到射线的距离减去半径，即可求解. 【详解】如图所示，设， 因为，又因为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，在射线上，且， 所以， 因为的最小值为到射线的距离减去半径， 又因为到射线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知模求参数 【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案. 【详解】由题， 因为，，所以， 因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得， 又因为与的夹角为锐角，所以，故； 因为， 又有， 将模长代入，设， 即原式， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律转化为（）的三角函数. 11．（24-25高三上·天津南开·期末）在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 . 【答案】 / 【知识点】数量积的运算律、平面向量共线定理的推论 【分析】根据三点共线的知识来求得，设，利用向量数量积运算求得的表达式，然后根据二次函数的性质来求得 【详解】依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当或时，，. 所以的取值范围是. 故答案为：； 12．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号） （1）若且，且，则的取值范围为； （2）若且，且，则的取值范围为； （3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为； （4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点】已知数量积求模、空间向量加减运算的几何表示、垂直关系的向量表示 【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，可知，从而利用数形结合求得； （2）与（1）比较仅改变了，同理利用数形结合去求出； （3）要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到到一元二次不等式恒成立，即可以求出，并求出与夹角为，从而确定两向量的位置关系，再分析,即可求得最小值; （4）关键是作出图形后，利用转化为几何关系求最小值. 【详解】 由且均为单位向量，作图：， 因为，即，所以点在以为直径的圆上或内部， 又因为，所以点又在点为圆心的单位圆上，即点在圆的劣弧上， 又由，所以由图可得，故（1）正确； 由于与（1）不同，假设点为圆心半径为圆与以为直径的圆相交于点，则点在圆的劣弧上，由图可知以为直径的圆也是以为直径的圆，所以，由，可得， 所以由图可得，故（2）正确； 由平方得：， 又因为，所以得：， 上式是关于的一元二次不等式，由于对任意实数恒成立， 所以， 即，所以，由，可得， 又因为，所以，此时均为单位向量，如图： 由，可知 ， 而因为点是单位圆上的动点，所以， 此时由，可得：， 所以，故(3)正确； 由，作一个同心圆且半径为，分别交于点则， 由于三角形是等腰三角形，分别为的中点，可得， 所以，而，所以，故（4）正确； 故答案为：（1），（2），（3），（4）. 【点睛】方法点睛：关键把定向量转化为定点，把动向量转化为动点，最后研究向量的模转化为动点到定点的距离问题，再利用几何中的不等式关系就可以得到结果. 四、解答题 13．（23-24高一下·山东日照·期中）如图，已知是的外心，，，，，． (1)判断的形状，且求时的值； (2)当时， ①求的值（用含的式子表示）； ②若，求集合中的最小元素． 【答案】(1)为等边三角形； (2)①② 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）借助向量的数量积公式计算即可得其夹角，即可得其形状，由题意可得的中点为，即可结合向量的线性运算得解； （2）①由题意可得、、分别为，，的等分点，借助向量的线性运算与数量积公式计算即可得；②借助一次函数的单调性逐步计算即可得. 【详解】（1），， 则，即，故为等边三角形， 由题意知的中点为，且， ，， 故； （2）①由为等边三角形，为外接圆的圆心， 故，，，， ，，， ，， 又，故、、分别为，，的等分点， ； 同理， 故； ②令， 由，故， 可以看为自变量为的一次函数， 在时取得最小值， 同理，由，在时取得最小值，， 在时取得最小值，， 故的最小值为， 即集合中的最小元素为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$