特训04 平面向量及其应用 选填压轴题（八大题型,全国最新精选）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

特训04 平面向量及其应用 选填压轴题（八大题型） 目录： 题型1：平面向量基本定理及其应用—求值问题 题型2：平面向量基本定理及其应用—最值、取值范围问题 题型3：解三角形—化简求值、取值范围问题 题型4：向量的模、数量积应用难点分析 题型5：平面向量与解三角形综合 题型6：新定义题 题型7：多选题—综合辨析 题型8：多选题—图形的综合应用 题型1：平面向量基本定理及其应用—求值问题 1．（23-24高一下·广东·阶段练习）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【解析】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 2．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【解析】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 题型2：平面向量基本定理及其应用—最值、取值范围问题 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【解析】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量. 4．（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形中，分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据解得，再根据的范围可得答案. 【解析】 建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设， ， 因为，所以， 可得，解得， 所以 ， 因为，所以， 可得， 所以. 故选：B. 【点睛】点睛：向量平行(共线)、垂直、线性运算与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系、线性运算得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解． 5．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，， 设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【解析】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 6．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 ，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】表达出，利用向量数量积公式得到；设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【解析】，， 故， ， 故 ； 点为线段（含端点）上的动点，设，， ， ， 其中， ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 题型3：解三角形—化简求值、取值范围问题 7．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【解析】因为，又， 所以，又，所以， 所以，即，显然，所以， 因为，， 又，所以， 所以，由正弦定理可得， 又由余弦定理，即， 所以，则， 由余弦定理， 又，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出、，再由余弦定理计算可得. 8．（23-24高一下·安徽·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论错误的是（    ） A．角C为钝角 B． C．的最小值为 D． 【答案】C 【分析】选项A，结合诱导公式、二倍角公式对已知等式化简可得，即可判断；选项B，由A和余弦定理，即可判断；选项D，结合选项B的结论，再根据同角三角函数的商数关系、正弦定理和余弦定理，可推出，从而可判断；选项C，结合选项D的结论，再由三角形的内角和定理与正切的两角和公式，结合基本不等式，即可判断． 【解析】对于A，∵， ∴，即， ∴，又， ∴一定为钝角，故选项A正确； 对于B，由余弦定理知，， 化简得，故选项B正确； 对于D，∵， ∴，故选项D正确； 对于C，∵， ∴， ∵为钝角，则，， ∴，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，故选项C错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【解析】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：C 10．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出． 【解析】在中，由余弦定理得， 且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立得， 解得或（舍去）， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，，所以， 所以，所以，所以， 设，其中，所以， 由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解. 11．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【解析】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二倍角公式将化简得出对应表达式，由得出取值范围. 题型4：向量的模、数量积应用难点分析 12．（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对任意实数恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出，借助，得到，的最小值转化为的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可 【解析】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 13．（23-24高一下·山东日照·期中）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围. 【解析】 如图，设,则, 因对任意实数都有，成立， 即对任意实数都有，成立， 因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，, 即点在以为直径的圆上，设圆心为. 则，而为向量在上的射影的长. 过点作，交于点，交圆于点，因则， 则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值）， 则, 不妨设,则 于是，， 因，则，而， 即的最大值为， 当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，， 此时取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题. 解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出，其二，求解时，应利用向量数量积的几何意义—投影向量，结合图形理解并转化求解. 14．（23-24高一下·广东东莞·期末）已知圆的半径为1，点是圆上的动点，为圆内接正2024边形，则 ， . 【答案】 1 4048 【分析】根据，可得第一空答案；由、可得第二空答案. 【解析】圆内有1012对对顶角相等的全等三角形，在每一对三角形中， 如，与中，设、中点分别为、， 则、、在一条直线上，且， 则，，可得， 所以， 同理，， 所以， 所以； . 故答案为：①1；②4048. 【点睛】思路大家：在第二空中，主要是和可得第二空答案. 题型5：平面向量与解三角形综合 15．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由，设，，则，所以三点共线，由等面积法可得的最小值. 【解析】根据题意，， 所以，即， 由， 设，，则， 所以三点共线，如图， 则的面积， ， 当时，最小，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由，设，，则，所以三点共线. 16．（23-24高一下·四川·期末）中，，点为平面内一点，且分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由已知可得在的垂直平分线上，由，可得，进而由正弦定理可得，的值最大，进而计算可求. 【解析】由，所以， 所以在的垂直平分线上， 设为的中点，可得， ，所以，从而， 由正弦定理可得， 所以， 当，，又要使的值最大时， 则为锐角，所以，从而为等腰直角三角形， 所以，所以均在斜边的垂直平分线上， 即为内切圆的半径，设内切圆半径为， 所以，所以， 解得，所以. 故选：A. 本题主要考查向量的几何运算及外接圆，内切圆的性质、正弦定理的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 17．（23-24高一下·安徽六安·期末）在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件依次可求得边和角的三角函数值，从而将向量等式化简，利用平面向量基本定理得到，最后利用常值代换法即可求得. 【解析】由①，由和正弦定理可得②， 把②代入①可得，， 又由可得代入①可得，， 则角是锐角，，代入①可得，， 又由余弦定理，得， 于是，，因为线段上的一点，则， 因， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正、余弦定理，平面向量基本定理和向量数量积运算，以及基本不等式得应用，属于难题.解决此类题，一般从各个边、角的等式转化入手，运用相关公式或定理各个击破，得出一系列信息，最后借助于主干条件，如此题的得出，从而使问题得解. 18．（22-23高一下·湖南·期中）在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为 . 【答案】2 【分析】由题干条件得到点为的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案. 【解析】，变形为， 即， 其中表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 故在的平分线上， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 故， 因为，所以，故， 故平分， 故点为的内心， 过点作⊥于点，作⊥于点，作⊥于点， 则， 因为，所以， 又，所以， 由向量数量积得， 故. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心. 题型6：新定义题 19．（23-24高一下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得. 【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以， 又， 则，所以， 两式相加可得，化简可得， 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值. 20．（23-24高一下·北京·期中）已知．在中， 设， 定义：． 设或．给出下列四个结论： ① ②； ③若，则； ④，都有，则最多有个元素． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】利用给定定义判定①，依据定义展开计算判定②，举反例判定③，分析给定定义判定④即可. 【解析】对于①，其实就是每个分量的乘法分配律， 则，必定成立，故①正确； 对于②，则其等价于， 右边展开以后是包含左边的，但还多出了一些非负的项，所以②也正确. 对于③，如果时，那么任意取均可成立，故③错误， 对于④，它的含义是，中任意两个元素，不能在同一个位置取1， 这就意味着第位取1的向量至多有一个， 这表明中的全部向量的全部分量总共至多有个1， 从而的非零元素个数不超过个，从而的元素不超过个， 则显然能取到，即满足， 即的第位为1，别的均为0，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解题关键是合理分析题意，然后结合反例法，逐个判断即可． 21．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，设，利用正弦定理将表示为关于的式子，然后利用三角恒等变形与三角函数的值域求的取值范围即可. 【解析】设， 则，， 由得， 解得，满足，，    在中，， 可得， 同理可得， 所以 ， 因为 ， 所以当，即时，最大值为， 结合，可得的最小值为， 所以当时，由最小值， 即的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于三角中有关边的最值问题，我们通常利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角公式变形求最值. 题型7：多选题—综合辨析 22．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【解析】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 23．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【分析】A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心. 【解析】A选项，因为，所以， 所以，同理可得， 故点是的垂心， 故，故A正确； B选项，取的中点，则，故，故⊥， 取的中点，则，故，故⊥， 故点P是的外心，故，B正确； C选项，由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点P在的中线上，重心在其上，故C错误； D选项， ， 设的中点，， 所以， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 24．（23-24高一下·四川内江·期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若点在边上，为角平分线且长度为，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据余弦定理与正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得，再根据角分线利用等面积法可判断A选项；结合转化法表示向量的模，再根据基本不等式可得面积的最值，判断B选项；根据三角恒等变换可得，根据三角函数性质可判断C选项；根据三角形解的情况可判断D选项. 【解析】由已知， 根据余弦定理可知，即， 再由正弦定理可得， 又，即，所以， 即，又，， 所以，， A选项：为角平分线，则，所以， 即， 即，则，A选项正确； B选项：由为边的中点，则， 即， 所以，即， 又，即，， 即，当且仅当时等号成立，B选项正确； C选项：由三角形可知 ， 又在中，， ，即， 所以，即，C选项正确； D选项：，且只有一解，则或，即或，D选项错误； 故选：ABC. 25．（23-24高一下·湖南永州·期末）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】A将转化为，然后求数量积；B将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值. 【解析】A选项，，故A正确； B选项，设中点为，中点为， ，即， 所以点为中位线靠近点的三等分点，所以，故B错； C选项，设中点为，则， 结合题设 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上， 所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； D选项，设中点为， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 结合上图， , 当为直径时最大，最大为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：数量积的计算方法（1）定义法；（2）坐标法；（3）转化法；（4）几何意义法. 题型8：多选题—图形的综合应用 26．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则为的中点 D．若在线段上，且，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】以为轴，为轴建立平面直角坐标系，计算各点坐标，计算，可判断A；求得在向量上的投影向量判断B；计算可得符合条件的点有两个判断C；计算，计算可判断D. 【解析】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 根据余弦定理可得，，整理得到， 设， ，设， 对选项A：， 所以，故A错误； 对选项B：， ， 即在向量上的投影向量为，故B正确； 对选项C：， ， 因为，整理得到，即， 又的中点为，满足， 的中点为，满足， 所以点P可能是的中点，也可能是的中点，故C错误； 对选项D：， ，， ， 所以，所以， 整理得到，由题意可知， 所以在上单调递增，当时，， 当时，，故，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键. 27．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（   ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为8 【答案】AC 【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC；取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B；根据直径的大小可判断D. 【解析】对于A，如图，过作直径， 由题意， 故A正确； 对于B，若为中点，连接，则 ， 由题意，则，故B错误； 对于C，若，故， 则， 又，则，同理可得，故， 故C正确； 对于D，因为，则当弦均与重合时， 此时有最大值，为16，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质判断各项正误. 28．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，、、、、、、、都是等腰直角三角形，且按照顺序，每一个三角形的斜边都是它后一个等腰三角形的一条腰，点P、Q、M、N分别是线段、、、上的动点（包含端点），且，，，，，则（） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．的最大值为8 【答案】ABD 【分析】根据共线即可由长度关系求解A，根据数量积的几何意义即可求解B，根据投影向量的定义即可结合几何关系求解C，根据数量积的运算律，结合锐角三角函数以及三角恒等变换，即可求解D. 【解析】 对于A，由于，故，A正确， 对于B，， 故，B正确， 对于C，在方向上的投影向量为 ，故C错误， 对于D， ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 平面向量及其应用 选填压轴题（八大题型） 目录： 题型1：平面向量基本定理及其应用—求值问题 题型2：平面向量基本定理及其应用—最值、取值范围问题 题型3：解三角形—化简求值、取值范围问题 题型4：向量的模、数量积应用难点分析 题型5：平面向量与解三角形综合 题型6：新定义题 题型7：多选题—综合辨析 题型8：多选题—图形的综合应用 题型1：平面向量基本定理及其应用—求值问题 1．（23-24高一下·广东·阶段练习）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 题型2：平面向量基本定理及其应用—最值、取值范围问题 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川成都·期末）在直角梯形中，分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 ，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 ．    题型3：解三角形—化简求值、取值范围问题 7．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·安徽·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论错误的是（    ） A．角C为钝角 B． C．的最小值为 D． 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 . 11．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型4：向量的模、数量积应用难点分析 12．（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·山东日照·期中）已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ． 14．（23-24高一下·广东东莞·期末）已知圆的半径为1，点是圆上的动点，为圆内接正2024边形，则 ， . 题型5：平面向量与解三角形综合 15．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·四川·期末）中，，点为平面内一点，且分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为（    ） A． B． C． D．1 17．（23-24高一下·安徽六安·期末）在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一下·湖南·期中）在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为 . 题型6：新定义题 19．（23-24高一下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 20．（23-24高一下·北京·期中）已知．在中， 设， 定义：． 设或．给出下列四个结论： ① ②； ③若，则； ④，都有，则最多有个元素． 其中所有正确结论的序号是 ． 21．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：多选题—综合辨析 22（多选）．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 23（多选）．．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 24（多选）．．（23-24高一下·四川内江·期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若点在边上，为角平分线且长度为，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为 25（多选）．．（23-24高一下·湖南永州·期末）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 题型8：多选题—图形的综合应用 26（多选）．．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则为的中点 D．若在线段上，且，则的取值范围为 27（多选）．．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（   ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为8 28（多选）．．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，、、、、、、、都是等腰直角三角形，且按照顺序，每一个三角形的斜边都是它后一个等腰三角形的一条腰，点P、Q、M、N分别是线段、、、上的动点（包含端点），且，，，，，则（） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．的最大值为8 ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$