专题突破(4) 带电体在“电场十重力场”中的运动-【正禾一本通】2024-2025学年高中物理必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教版2019）

第十章 静电场中的能量 专题突破四 带电体在 “电场＋重力场”中的运动 突破点一　带电体在“电场＋重力场”中的直线运动 突破点二　带电体在“电场＋重力场”中的类抛体运动 突破点三　带电体在“电场＋重力场”中的圆周运动 专题突破(四)　带电体在“电场＋重力场”中的运动 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 05 06 07 08 本专题主要研究带电体在“电场＋重力场”中的直线运动、类抛体运动和圆周运动，是力和电学知识、模型的“大综合”。通过本专题的学习，可以进一步提升对静电力的性质和能的性质等物理观念的理解，强化电场中力学模型的合理构建，提升力学知识和方法在新情境中的迁移应用能力。 当带电体受到的静电力、重力等各力的合力与速度共线时，带电体将做加速或减速直线运动，若合力恒定，则将做匀加速或匀减速直线运动。处理此类问题常有以下两个角度： (1)用牛顿运动定律和运动学方程求解。此方法常用于带电体做匀变速直线运动的情况。 (2)用功和能的观点求解。此方法既适用于带电体做匀变速直线运动的情况，也适用于带电体做非匀变速直线运动的情况，特别是涉及带电体运动的始末状态，而不涉及运动时间问题时。 【典例1】 如图所示，两水平边界M、N之间存在竖直向上的匀强电场。一根轻质绝缘竖直细杆上等间距地固定着A、B、C三个带正电小球，每个小球质量均为m，A、B两球带电荷量均为q、C球带电荷量为2q，相邻小球间的距离均为L。将该细杆从边界M上方某一高度处由静止释放，已知B球进入电场上边界时的速度是A球进入电场上边界时速度的2倍，且B球进入电场后杆立即做匀速直线运动，C球进入电场时A球刚好穿出电场。整个运动过程中杆始终保持竖直状态，重力加速度为g。不计空气阻力。求： (1)匀强电场的电场强度的大小E； (2)A球经过电场上边界时的速度的大小v0； (3)C球经过边界N时的速度的大小。 解析：(1)B球进入电场后，杆立即做匀速直线运动，有3mg＝2qE 解得E＝。 (2)从A球进入电场到B球进入电场的过程中，由动能定理得 3mgL－qEL＝(3m)(2v0)2－v02，解得v0＝。 (3)由C球进入电场时A球刚好穿出电场可知，M、N间的宽度为2L。设C球经过边界N时的速度的大小为v1，从A球进入电场到C球穿出电场的过程，同理可得3mg·4L－4qE·2L＝mv12mv02，解得v1＝。 答案：(1)　(2)　(3) 【针对训练1】 (多选)如图所示，一质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E、区域足够大的匀强电场中，以初速度v0沿ON方向在竖直面内做匀减速直线运动。已知ON与水平面的夹角为30°，重力加速度为g，且mg＝qE，则(　　 ) A．电场力的方向垂直ON向上 B．小球运动的加速度大小为g C．小球上升的最大高度为 D．若O点电势为零，则小球电势能的最大值为 解析：选BD。小球在竖直平面内做匀减速直线运动，则合力与速度的方向相反，又因为mg＝qE，所以电场力qE与重力mg关于ON对称，即电场力与的ON方向成120°角，如图所示，故A错误； 由几何关系可知，小球受到的合力为mg，所以加速度a＝g，故B正确；设小球上升的最大高度为h，由动能定理得：－mg·mv02，解得h＝，故C错误；当小球速度减为零时，其电势能的变化量最大，且ΔEp＝－qE·2h cos 120°＝mg·，又因为小球在O点的电势能为零，所以其电势能的最大值为，故D正确。 将带电体在电场和重力场中抛出，若抛出时的初速度方向与电场力和重力的合力方向不共线，则带电体将做曲线运动。由于带电体在匀强电场中所受的静电力和重力都是恒力，即合力是恒定的，所以带电体的运动为匀变速曲线运动——类抛体运动。 处理匀变速曲线运动的方法是运动的合成与分解，即将曲线运动看作两个互相垂直方向简单直线运动的合成。在选择运动分解的方向时，要根据求解问题的需要灵活选择。 [说明]利用功和能的观点建立方程时，切忌“分方向”处理，因为功和能都是标量，不存在矢量分解问题。 【典例2】 如图所示，两块竖直放置的金属导体板间存在水平向左的匀强电场，板间距离为d，有一带电荷量为＋q、质量为m的小球以水平速度从左极板上的A孔进入匀强电场，且恰没有与右板相碰，小球最后从A孔正下方的B孔离开匀强电场，若A、B两孔间的距离为4d，重力加速度为g。 (1)求两板间的电场强度大小。 (2)求小球从A孔进入电场时的速度大小。 (3)小球进入电场后经过多长时间速度达到最小值？最小值是多少？ 解析：由题意可知，小球在水平方向上做匀减速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动。设小球进入A孔的速度v0，减速到右极板的时间为t，则 在水平方向上，有d＝t2 在竖直方向上，有4d＝g·(2t)2 联立解得E＝。 (2)在水平方向上，有d 解得v0＝。 (3)小球进入电场后，经时间t′的水平速度 vx＝v0－t′ 竖直速度vy＝gt′ 小球在t′时刻的速度大小 v＝＝ 由数学知识可知，当t′＝时，小球的速度达到最小，且最小速度为vmin＝v0。 答案：(1)　(2)　(3)v0 [规律方法]求速度“最小值”的另一种方法 将小球的运动看作“类斜抛运动”，如图所示，当沿合力方向的速度减为零时，小球的速度达到最小。 小球受到的合力F＝mg，所以加速度a＝，设经时间t小球的速度最小，则有0＝v0sin 45－at，解得t＝，此时最小速度vmin＝v0cos 45°＝v0。 【针对训练2】 空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求： (1)电场强度的大小； (2)B运动到P点时的动能。 解析：(1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a，根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有mg＋qE＝ma gt2 联立解得E＝。 (2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有 mgh＋qEh＝Ek－mv12 且有v1＝v0t h＝gt2 联立解得Ek＝。 答案：(1)(2) 分析带电体在“电场＋重力场”中的圆周运动问题时，常将复合场等效为一个新的重力场，并与重力场中的圆周运动问题进行类比，然后再选择合理的规律和方法进行求解。下面是两个常见的典型情境： 如图所示，将带电体所受的重力mg与静电力qE进行合成，则合力“mg′”即为“等效重力”，“g′”为“等效重力加速度”；“mg′的方向”为“等效重力的方向”，即等效重力场“竖直向下的方向”。 电场沿水平方向 电场沿竖直方向 【典例3】 (多选)(2024·河南驻马店期末)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球，小球静止时细线与竖直方向成θ角。现让小球瞬间获得一个初速度，此后小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　 ) A.匀强电场的电场强度E＝ B．小球动能的最小值为Ek＝mgL C．小球获得的初速度大小v0＝ D．小球运动至轨迹圆的最高点时机械能最小 解析：选AC。小球静止时受重力、拉力和静电力，如图所示， 根据平衡条件有mg tan θ＝qE，解得E＝，选项A正确；将小球受到的重力mg和静电力qE等效为一个新的重力，则等效重力大小为，小球获得初速度后恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律有则最小动能Ek＝，选项B错误；从等效最低点到等效最高点，由动能定理得·2L＝Ek－解得v0＝，选项C正确；小球运动到轨迹圆的最左端点时，克服静电力做功最多，电势能最大，机械能最小，选项D错误。 [误区警示]区分“等效最高点”与“空间最高点” (1)带电体仅在重力、拉力、静电力作用下处于静止状态时的位置就是“等效最低点”，圆周上与该点处在同一直径上的另一点即为“等效最高点”。 (2)带电体在复合场中能做完整的圆周运动的条件是能通过“等效最高点”，这里的“等效最高点”不一定是空间中的最高点。 【针对训练3】 如图所示，内表面光滑且绝缘的半径为1.2 m的圆形轨道处于竖直平面内，竖直向下的匀强电场的电场强度大小为3×106 V/m。有一质量为0.12 kg、带负电的小球，电荷量大小为1.6×10-6 C，小球在圆轨道内壁做圆周运动，当运动到最低点A时，小球与轨道间压力恰好为零，g取10 m/s2，求： (1)小球在A点时的速度大小； (2)小球运动到最高点B时对轨道的压力大小。 解析：(1)小球受到的重力 G＝mg＝0.12×10 N＝1.2 N 静电力F＝qE＝1.6×10-6×3×106 N＝4.8 N 在A点，有qE－mg＝m 代入数据解得v1＝6 m/s。 (2)设小球在B点的速度大小为v2，从A到B，由动能定理有 (qE－mg)·2R＝ 在B点，设轨道对小球的弹力为FN，则有 FN＋mg－qE＝ 由牛顿第三定律有FN′＝FN 代入数据解得FN′＝21.6 N。 答案：(1)6 m/s　(2)21.6 N 【基础应用题】 1．(2024·安徽亳州检测)如图所示，某一空间为真空，只有水平向右的匀强电场和竖直向下的重力场，在竖直平面内有一初速度为v0的带电微粒，恰能沿图示虚线由A向B做直线运动。那么(　　 ) A．微粒带正电荷 B．微粒一定做匀减速直线运动 C．仅改变初速度的方向，微粒仍做直线运动 D．运动过程中微粒的电势能保持不变 解析：选B。只有微粒受到水平向左的静电力才能使合力方向与速度方向共线，微粒做直线运动，即微粒所受静电力的方向与电场强度的方向相反，所以微粒带负电，故A错误；微粒受到的合力与速度的方向相反，所以微粒一定做匀减速直线运动，故B正确；仅改变初速度的方向时，如果微粒所受的合力方向与速度方向不共线时，微粒不可能再做直线运动，故C错误；在微粒运动过程中，静电力做负功，则电势能增加，机械能减小，故D错误。 2．(多选)如图所示，真空环境下，三个质量相同、带电荷量分别为＋q、－q和0的小液滴a、b、c，从竖直放置的两板中间上方由静止释放，最后从两板间穿过，小液滴a、b、c的运动轨迹如图所示，忽略液滴间的相互作用，则在穿过极板的过程中，下列说法正确的是(　　 ) A．静电力对液滴a、b做的功相等 B．三者动能的增量相同 C．液滴a与液滴b电势能的变化量相等 D．重力对液滴c做的功最多 解析：选AC。三个液滴由静止释放后，在竖直方向上都做自由落体运动，穿过两板的时间相等。液滴a、b在水平方向因受恒定的静电力而做匀加速直线运动，由于两液滴带电荷量的绝对值相等、质量相等，所以受到的静电力大小相等，加速度大小相等，则偏转位移大小相等，静电力做功相等，故A正确；静电力对液滴a、b做功相等，重力做功相等，根据动能定理可知，两液滴动能的增量相等，对于液滴c，由于只有重力做功，所以c动能的增量小于a、b动能的增量，故B错误；静电力对液滴a、b做功相等，则两液滴电势能的减少量相等，故C正确；三个液滴在穿过极板的过程中竖直方向的位移相等，所以重力做的功相等，故D错误。 3．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程中(　　) A．动能增加mv2 B．机械能增加2mv2 C．重力势能增加mv2 D．电势能增加2mv2 解析：选B。小球动能的变化量ΔEk＝mv2，故A错误。从M到N，小球在竖直方向做竖直上抛运动，运动的时间为t＝，上升的高度为h＝，小球在水平方向做匀速直线运动，根据2v＝·t，解得静电力qE＝2mg，根据(2v)2＝2··x，解得水平位移x＝，小球机械能的增加量等于静电力做的功，即ΔE机＝W电＝qEx＝2mv2，故B正确。小球重力势能的增加量ΔEp＝－WG＝mgh＝mv2，故C错误；静电力做功W电＝qEx＝2mv2，所以小球的电势能减小2mv2，故D错误。 4．在地面附近存在着一有界电场，边界MN将空间分成上下两个区域Ⅰ、Ⅱ，在区域Ⅱ中有竖直向上的匀强电场，在区域Ⅰ中离边界某一高度由静止释放一质量为m的带电小球A，如图甲所示，小球运动的v ­t图像如图乙所示，不计空气阻力。下列说法中正确的是(　　 ) A．小球受到的重力与静电力大小之比为3∶2 B．在t＝5 s时，小球经过边界MN C．在小球向下运动的整个过程中，重力做的功大于克服静电力做的功 D．在1～4 s过程中，小球的机械能先减少后增加 解析：选D。小球进入电场前做自由落体运动，进入电场后受到静电力作用而做减速运动，减速为零后又反向加速离开电场区域，最后向上做减速运动，根据对称性可知，当速度减为零时恰好又回到起始点。由题图可以看出，小球经过边界MN的时刻是t＝1 s时和t＝4 s时，故B错误；由题图可知，小球进入电场前的加速度大小为a1＝，进入电场后的加速度大小为a2＝，由牛顿第二定律得mg＝ma1，F－mg＝ma2，所以解得静电力F＝mg＋ma2＝mg，即重力mg与静电力F之比为3∶5，故A错误；在小球向下运动的整个过程中，动能的变化量为零，根据动能定理可知，重力做的功与克服静电力的功相等，故C错误；在1～4 s过程中，小球在MN下方先向下运动，后向上运动，静电力先做负功后做正功，则小球的机械能先减小后增大，故D正确。 5．(多选)(2024·陕西渭南期末)如图所示，一充电后与电源断开的平行板电容器的两极板水平放置，板长为L，板间距离为d，距板右端L处有一竖直屏M。一带电荷量为q、质量为m的微粒以初速度v0沿中线射入两板间，最后垂直打在M上，则下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　 ) A．两极板间电压为 B．板间电场强度大小为 C．整个过程中微粒的重力势能增加 D．若仅增大两极板间距，则该微粒不可能垂直打在M上 解析：选BC。根据题意可以推知，微粒在平行金属板间的轨迹应向上偏转，做类平抛运动，飞出电场后，微粒仅在重力作用下轨迹向下偏转，这样才能最后垂直打在M屏上，前后过程微粒的运动轨迹具有对称性，如图所示， 微粒两次偏转的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得qE－mg＝ma，mg＝ma，解得E＝，由U＝Ed得两极板间电压为U＝，故A错误，B正确；微粒在电场中向上偏转的距离y＝，解得y＝，故微粒打在屏上的位置与P点的距离为s＝2y＝，整个过程中微粒的重力势能的增加量Ep＝mgs＝，故C正确；仅增大两极板间的距离时，因两极板上的电荷量不变，根据E＝可知，板间电场强度不变，微粒在电场中的受力和运动情况不变，最后仍垂直打在M上，故D错误。 6．(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电的小球，使其在竖直平面内做圆周运动，匀强电场的方向竖直向下，则(　　 ) A．小球可能做匀速圆周运动 B．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小 C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小 D．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大 解析：选AC。小球受到的静电力竖直向上，当重力等于静电力时，只有细线的拉力提供向心力，小球可能做匀速圆周运动，故A正确；当重力小于静电力时，a点为等效重力场的最低点，则小球运动到最高点a时，线的张力最大，故B错误；沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以在圆周上a点的电势最高，根据Epa＝qφa可得，当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小，故C正确；当重力小于静电力时，小球运动到最高点a时，小球的速度最大，故D错误。 7．如图所示，一个竖直放置的、半径为R的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度为E，有一质量为m、电荷量为q的带正电的空心小球套在环上，并且qE＝mg。 (1)当小球由静止开始从环的顶端A下滑圆弧长到位置B时，小球的速度多大？小球对环的压力多大？ (2)小球从环的顶端A滑至底端C的过程中，小球在何处速度最大？最大速度是多少？ 解析：(1)小球从A滑到B，根据动能定理得 mgR＋qER＝－0 解得vB＝ 在B点研究小球，根据牛顿第二定律得 FN－qE＝m 解得FN＝5mg 根据牛顿第三定律得，小球对环的压力大小为5mg。 (2)小球所受的静电力与重力都是恒力，它们的合力可等效为一个新的重力场，由于qE＝mg，且静电力的方向水平向右，所以等效重力的方向为竖直向下偏右45°，圆环上等效重力场的最低点为BC圆弧的中点(设为D点)，小球运动到此处时的速度最大。 小球从A滑到D，根据动能定理得 mg＋qE· 解得vm＝。 答案：(1)　5mg　(2)BC弧的中点　 【创新拔高题】 8．如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点B点与一条水平轨道相连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、电场强度为E的匀强电场，从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m带正电的小球，设A、B间的距离为s，已知小球受到的静电力大小等于小球重力的，C点为圆形轨道上与圆心O等高的点。(重力加速度为g) (1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小； (2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值。 解析：(1)小球从A点到C点静电力做正功，重力做负功，由动能定理得 qE·3R－mgR＝ 到达C点时，小球受到的支持力和静电力的合力提供向心力，有 FN－qE＝ 由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力 FN′＝FN＝。 (2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，小球到达等效最高点D时，对轨道的压力刚好为零，如图所示， 则有F＝mg F＝m 设合力与竖直方向的夹角为θ，则 tan θ＝ 即θ＝37° 小球从A点到D点时，由动能定理得 qE(s－R sin θ)－mgR(1＋cos θ)＝mv2 解得s＝。 答案：(1)　(2) $$