专题突破(2) 静电场中的功能关系及图像问题-【正禾一本通】2024-2025学年高中物理必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教版2019）

第十章 静电场中的能量 专题突破二 静电场中 的功能关系及图像问题 突破点一　静电场中的功能关系 突破点二　静电场中的图像问题 专题突破(二)　静电场中的功能关系及图像问题 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 本专题主要涉及两个学习目标：一是要学会利用功能关系、能量守恒定律等分析静电场中的力学综合问题；二是理解静电场中的一些图像的物理意义，并会分析相关问题。 通过本专题的学习，既可以加深对电场能的性质的认识，又可以进一步培养“功和能”的观念，提升“识图用图”能力。 静电场中常用的几个功能关系 (1)静电力做的功等于带电体或粒子电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。 (2)合外力(含静电力)做的功等于带电体或粒子动能的变化量，即W合＝ΔEk——动能定理。 (3)除带电体重力之外的其他力(含静电力)做的功等于带电体机械能的变化量。 (4)当只有静电力对粒子(不计重力)做功时，粒子电势能与动能的和保持不变。 【典例1】 (多选)质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，重力加速度为g。则在小球下落h的过程中(　　 ) A．小球的重力势能减少了2mgh B．小球的动能增加了2mgh C．小球的电势能增加了3mgh D．小球的机械能减少了3mgh 解析：选CD。带电小球受到向上的静电力和向下的重力，根据牛顿第二定律知F电－mg＝2mg，得F电＝3mg。在小球下落过程中，重力做功WG＝mgh，所以小球重力势能减少了mgh，故A错误；静电力做功W电＝－3mgh，所以小球电势能增加了3mgh，故C正确；合力做的功W＝W电＋WG＝－2mgh，根据动能定理可知，小球的动能减少了2mgh，故B错误；根据能量守恒可知，小球电势能增加了3mgh，则机械能减少了3mgh，故D正确。 【针对训练1】 (多选)如图所示，绝缘水平面上固定一正点电荷Q，另一质量为m、电荷量为－q的小滑块(可看作点电荷)从a点以初速度v0沿水平面向Q运动，到达b点时速度减为零。已知a、b间距离为s，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则以下判断正确的是(　　 ) A．滑块在运动过程中所受Q的库仑力一定小于滑动摩擦力 B．滑块在运动过程中的中间时刻，速度大小等于 C．此过程中产生的内能小于 D．Q产生的电场中，a、b两点间的电势差为Uab＝ 解析：选AD。滑块水平方向受向右的摩擦力及向左的库仑力，因为滑块做减速运动，所以库仑力小于摩擦力，随着间距减小，库仑力增大，摩擦力不变，但滑块所受库仑力一直小于滑动摩擦力，则滑块的加速度逐渐减小，即滑块做加速度逐渐减小的减速运动，所以滑块在中间时刻的速度小于，故A正确，B错误；对滑块由动能定理可得解得a、b两点间的电势差为Uab＝，故D正确；由功能关系可知，此过程中产生的内能Q′＝μmgs，由D选项的解析可得Q′＝－qUab，因a点电势低于b点电势，即Uab为负值，所以产生的热量大于，故C错误。 类型1 带电体或粒子运动的v ­t图像 分析带电体或粒子运动的v ­t图像的基本思路： 【典例2】 带电粒子仅在静电力作用下从A点开始以v0做直线运动，其v ­t图像如图所示。粒子在t0时刻运动到B点，3t0时刻运动到C点，以下判断正确的是(　　) A．A、B、C三点的电势关系为φB>φA>φC B．A、B、C三点的电场强度大小关系为EC>EB>EA C．粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少 D．粒子从A点经B点运动到C点，静电力先做正功后做负功 解析：选C。由粒子运动的v ­t图像可知，粒子先沿负方向做加速度越来越大的减速运动，后沿正方向做加速度越来越小的加速运动，所受静电力的方向始终沿正方向，如图所示， 由于不知粒子的电性，所以无法确定电场强度的方向，即无法比较A、B、C三点的电势高低，故A错误；由v ­t图像可知，粒子在B点的加速度最大，根据qE＝ma可知，B点的电场强度最大，故B错误；粒子从A点经B点运动到C点，静电力先做负功后做正功，故粒子的电势能先增加后减少，C正确，D错误。 类型2 电场强度分布的E ­x图像 (1)分析电场强度分布的E ­x图像的基本思路： [说明]静电场中的图像问题一般都比较抽象，分析时如果能根据图像信息“再现”粒子的运动情景或电场的大致分布，则能够给问题的判断提供方便。 (2)在E ­x图像中，图线与x轴所围的图形“面积”可以表示电势差，如图所示。 【典例3】 (2024·山东济南模拟)x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于xA＝0，xB＝4d处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。选取x轴正方向为电场强度的正方向，无限远处电势为零。以下说法正确的是(　　 ) A．点电荷A、B分别带正电和负电 B．A、B所带电荷量的绝对值之比为1∶3 C．x＝d处电势最高且为零 D．将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直减小 解析：选D。根据题给的E ­x图像可大致描绘出空间的电场线分布如图所示， 由电场线始于正电荷(或无穷远)终于负电荷(或无穷远)可知，电荷A、B都带负电，故A错误；在x＝d处电场强度为零，则，解得，故B错误；沿电场线的方向电势降低，所以在0～4d区间，x＝d处的电势最高，但比无穷远处的电势要低，即x＝d处电势小于零，故C错误； x≥5d区域内电场的方向沿x轴负方向，所以电子释放后将在静电力作用下向右加速运动，静电力一直做正功，电势能一直减小，故D正确。 类型3 电势分布的φ ­x图像 由电场中电势分布的φ ­x图像可以获取如下信息： (1)读取各点的电势，比较各点电势的高低，根据电势的高低可以判断电场强度的方向； (2)在φ ­x图像上，某点切线的斜率可反映相应位置电场强度的大小和方向。 [提示]知道电势或电场强度的情况，就可以进一步推知粒子在电场运动时的受力情况、静电力做功情况、电势能转化情况等。 【典例4】 (多选)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是(　　 ) A．a、c两点的电场强度相同 B．q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍 C．将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零 D．将一负电荷从c点移到d点，电荷的电势能增加 解析：选BC。由φ ­x图像可知，a、c两点电势相等，但是图线的斜率大小不等，且a点斜率为负，c点斜率为正，所以a、c两点的电场强度大小和方向均不同，故A错误；图中d点图线的斜率为零，表明该点的电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷的电场强度公式E＝可得，q1、q2的电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点的电势差为零，所以负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；由c点到d点的电势升高，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误。 【针对训练2】 两点电荷q1、q2固定在x轴上的A、B两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系图像如图所示，其中P点电势最高，且xAP<xPB，则(　　 ) A．q1和q2都是正电荷 B．q1的电荷量大于q2的电荷量 C．在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点 左侧移到右侧，电势能先减小后增大 D．一点电荷只在静电力作用下沿x轴从P点 运动到B点，加速度逐渐变小 解析：选C。由题图知，越靠近两电荷，电势越低，则q1和q2都是负电荷，选项A错误；φ ­x图线的斜率绝对值表示电场强度的大小，则P点电场强度为零，即两电荷在P处产生的电场强度大小相等，方向相反，由，xAP<xPB，可知q1的电荷量小于q2的电荷量，选项B错误；在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电势先升高后降低，则负点电荷的电势能先减小后增大，选项C正确；由φ ­x图线的斜率绝对值可知，沿x轴从P点到B点电场强度逐渐增大，据a＝可知，点电荷只在静电力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐增大，选项D错误。 类型4　粒子电势能的Ep ­x图像 由电势能的Ep ­x图像可以获取如下信息： (1)读取粒子或带电体在各点的电势能，根据电势能的大小可以判断电势的高低、静电力做功情况等； (2)在Ep ­x图线上，某点切线的斜率可反映粒子或带电体在该点所受静电力的大小和方向。 【典例5】 (多选)(2024·北京海淀期末)如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，O为坐标原点，A点坐标为x1，一电子仅在静电力作用下能沿x轴运动，其电势能Ep随其坐标x变化的关系如图乙所示。下列说法中正确的是(　　 ) A．过O点的电场线一定与x轴重合 B．A点电场强度的方向沿x轴负方向 C．该电子在A点受到的静电力大于其在O点受到的静电力 D．该电子在O点的动能小于其在O点左侧的动能 解析：选ACD。电子仅在静电力作用下能沿x轴运动，则静电力方向一定与x轴重合，所以过O点的电场线一定与x轴重合，A正确；由Ep ­x图线可知，电子从O点沿x轴到A点电势能增大，则各点的电势降低，电场强度的方向沿x轴正方向，B错误；在Ep ­x图线上，A点的斜率大于O点的斜率，所以A点的电场强度大于O点的电场强度，即电子在A点受到的静电力大于其在O点受到的静电力，C正确；电子仅在静电力作用下向O点左侧运动时，电势能和动能的和不变，由于电势能减小，则动能必增加，即电子在O点的动能小于其在O点左侧的动能，D正确。 【基础应用题】 1．如图甲所示为某电场中的一条电场线，一电子只在静电力的作用下从A点到B点运动的速度—时间图像如图乙所示，则下列分析正确的是(　　 ) A．该电场可能是正点电荷产生的 B．从A点运动到B点的过程中电子的电势能变小 C．A点的电势一定高于B点的电势 D．A点的电场强度比B点的大 解析：选C。由题图乙可知，电子的加速度不变，所受静电力不变，由F＝Eq可知，该电场是匀强电场，A点的电场强度等于B点电场强度，则该电场不可能是正点电荷产生的，故A、D错误；电子从A到B的过程中，速度减小，动能减小，静电力做负功，所以电势能增加，故B错误；因电子带负电，且电势能增加，所以从A到B电势降低，A点的电势比B点的高，故C正确。 2．(多选)(2024·福建厦门检测)如图甲所示，一条电场线与Ox轴重合，取O点电势为零，Ox方向上各点的电势φ随x变化的情况如图乙所示。若在O点由静止释放一电子，电子仅受静电力的作用，则下列判断正确的是(　　 ) A．电子将沿Ox轴负方向运动 B．电子的电势能将增加 C．电子运动的加速度先减小后增大 D．该电场线可能是等量异种点电荷间的电场线 解析：选CD。由题图可知，沿Ox轴正方向电势逐渐升高，所以电场线的方向沿x轴负方向，电子受到的静电力沿x轴正方向，电子将沿x轴正方向运动，静电力对电子做正功，电子的电势能将减小，故A、B错误；由Δφ＝E·Δx可知，φ ­x图像的斜率表示电场强度，由题图可知，沿x轴正方向，电场强度先减小后增大，所以电子受到的静电力先减小后增大，电子的加速度先减小后增大，故C正确；结合等量异种点电荷间的电场线分布特点可知，该电场线可能是等量异种点电荷间的电场线，故D正确。 3．(多选)O、A、B为一条电场线上的三点，一电子仅在静电力作用下由O点经A点向B点运动，以O点为零电势点，该电子运动过程中电势能Ep随移动距离x的变化规律如图所示，则下列说法中正确的是(　　 ) A．该电场可能是孤立点电荷形成的电场 B．A点的电场强度等于B点的电场强度 C．电子由A点运动到B点，静电力所做 的功W＝EpA－EpB D．电子在A点的动能小于在B点的动能 解析：选BC。电子由O点经A点向B点运动，电势能逐渐增加，则所在位置的电势逐渐降低，即电场线的方向由A指向B。由Ep ­x图线的斜率知，电子受到的静电力为恒力，所以该电场为匀强电场，故A错误，B正确；根据功能关系可知，静电力对电子所做的功为W＝EpA－EpB，故C正确；电子仅在静电力作用下由O点经A点向B点运动，电势能增加，则动能减小，故D错误。 4．在某个电场中，x轴上各点的电场强度E随x坐标变化的图线如图所示，图线关于原点O中心对称。一质量为m、电荷量为q的粒子只在静电力作用下沿x轴做直线运动，x轴上x＝x1和x＝是粒子运动轨迹上的两点，下列说法中正确的是(　　 ) A.x轴上x1和－x1两点电场强度和电势都相同 B．粒子从－x1点到x1点的运动过程中，经过x1和－x1两点时速度一定相同 C．粒子运动过程中，经过x1点的加速度与经过－x1点的加速度相同 D．粒子从－x1点到x1点的运动过程中电势能先增大后减小 解析：选B。由E ­x图像可知，x1和－x1两点的电场强度大小相等、方向相反，故A错误；粒子在x1和－x1两点所受静电力大小相等、方向相反，所以粒子在这两点的加速度大小相等、方向相反，故C错误；根据E ­x图线的对称性可知，从O点到x1点的电势降落与从O点到－x1点的电势降落相同，即x1和－x1两点的电势相同，则粒子在这两点的电势能相同，根据能量守恒定律可知，粒子从－x1点到x1点的运动过程中，经过x1和－x1两点时速度一定相同，故B正确；从－x1点到x1点，电势先升高后降低，由于粒子的电性未明确，因此粒子从－x1点到x1点的运动过程中电势能可能先增大后减小，也可能先减小后增大，故D错误。 5．(多选)如图所示，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面固定于静电场中，一带电荷量为＋q、质量为m的小球，以初速度v0由斜面底端的A点开始沿斜面上滑，到达斜面顶端的速度仍为v0，途中小球始终未离开斜面，重力加速度为g，则(　　 ) A．小球在B点的电势能一定小于小球在A点的电势能 B．小球的电势能可能先增大后减小 C．A、B两点的电势差一定为 D．若处于匀强电场中，则电场强度一定是 解析：选AB。小球从A运动到B的过程中，动能不变，重力做负功，由动能定理可知，静电力做正功，则电势能减小，小球在B点的电势能一定小于小球在A点的电势能，故A正确；由于电场强度的大小和方向均未知，所以小球的电势能可能先增大后减小，故B正确；根据动能定理得－mgL sin θ＋qUAB＝0，解得UAB＝，故C错误；若电场是匀强电场，则小球受到的静电力恒定，小球做匀速直线运动，根据三力平衡的特点可知，小球受到的静电力可能等于重力mg，如图所示，此时的电场强度等于，故D错误。 【综合提升题】 6．(多选)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，则下列说法正确的是(　　 ) A．粒子从x1处运动到x2处的过程中静电力做正功 B．x1、x2处电场强度方向沿x轴正方向 C．x1处的电场强度大于x2处的电场强度 D．x1处的电势比x2处的电势低 解析：选AD。由于粒子从x1运动到x2时电势能减小，因此静电力做正功，粒子所受静电力的方向沿x轴正方向，电场强度方向沿x轴负方向，选项A正确，B错误；Ep ­x图线的斜率表示粒子所受的静电力，由于x1处的图线斜率的绝对值小于x2处图线斜率的绝对值，因此x1处的电场强度小于x2处的电场强度，选项C错误；沿电场线方向电势降低，故x1处的电势比x2处的电势低，选项D正确。 7．(2024·黑龙江大庆检测)如图甲所示，x轴上固定两个点电荷Q1、Q2(Q2位于坐标原点O)，其上有M、N、P三点，间距MN＝NP，Q1、Q2在x轴上产生的电势φ随x的变化关系如图乙。则(　　 ) A.M点的电场强度大小为零 B．两个点电荷Q1、Q2为异种电荷，且|Q1|>|Q2| C．M、N之间电场的方向沿x轴负方向 D．一正试探电荷从P移到M的过程中，静电力做功|WPN|＝|WMN| 解析：选B。在φ ­x图线上，某点切线的斜率可以表示电场强度，M点切线的斜率不为零，所以M处的电场强度不为零，故A错误；M点的电势为零，则两电荷在该点产生的电势的代数和为零，所以点电荷Q1、Q2为异种电荷，又M点离Q2更近，说明Q2的电荷量小于Q1，故B正确；由M点到N点，电势依次降低，所以MN间电场的方向沿x轴正方向，故C错误；由题图可知|UMN|>|UNP|，故从P移到M过程中，|WPN|＝q|UNP|<|WNM|＝q|UMN|，故D错误。 8．(多选)空间中存在沿x轴正方向的电场，x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图所示，下列叙述正确的是(　　 ) A．x1、x2两处的电势相同 B．电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能 C．x＝0处与x1处两点之间的电势差为U＝ D．电子沿x轴从x1处运动到x2处，静电力一直做负功 解析：选BCD。沿电场方向电势降低，因电场方向指向x轴正方向，故x轴相当于一条电场线，故，A错误；电子受到的静电力方向和电场方向相反，故沿x轴从x1处运动到x2处，静电力做负功，电势能增大，电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能，B、D正确；因为从x＝0处到x1处的电场强度是均匀增大的，所以从x＝0处到x1处的电场强度平均值为，根据公式U＝Ed可得，x＝0处与x1处的电势差为U＝，C正确。 9．如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时的速度恰好又变为零。若此电荷在A点处的加速度大小为g，静电力常量为k，试求： (1)此电荷在B点处的加速度大小； (2)A、B两点间的电势差(用k、Q和h表示)。 解析：(1)由分析知，另一点电荷必为正电荷，设其质量为m，电荷量为q，则由牛顿第二定律得 在A点时mg－g 在B点时－mg＝maB 解得aB＝3g，方向竖直向上。 (2)另一点电荷从A到B的过程，由动能定理得 mg(h－0.25h)＋qUAB＝0 联立解得UAB＝－。 答案：(1)3g　(2)－ 【创新拔高题】 10．一静电场方向平行于x轴，将一电荷量为－q的带电粒子(不计粒子重力)在x＝d处由静止释放，粒子只在静电力作用下沿x轴运动，其动能Ek随x的变化关系如图所示。若规定x轴正方向为粒子加速度a的正方向，d点为电势零点，四幅示意图分别表示电势φ随x的变化关系，粒子的加速度a随x的变化关系、粒子的总能量E随x的变化关系和粒子的电势能Ep随x的变化关系，其中正确的是(　　 ) [创新空间]静电场中的Ek ­x图像 由动能的Ek ­x图像可以获取如下信息： (1)读取粒子在各点的动能，根据动能的变化判断合力做功情况； (2)在Ek ­x图线上，某点切线的斜率可反映粒子在该点所受合力的大小和方向。 解析：选D。负粒子从d点向O点运动时，动能增加，则静电力做正功，电场的方向由O指向d，同理可知，O点左侧电场的方向由O指向－d，即从d到－d各点的电势先升高后降低，且O点的电势大于零，故A错误；根据Ek ­x图线的斜率表示静电力(即合力)可知，负离子在O点右侧和左侧受到的静电力都是恒力，只是方向相反，所以两侧的电场都是匀强电场，粒子在O点右侧向左做匀加速直线运动，加速度方向为负，在O点左侧向左做匀减速直线运动，加速度方向为正，故B错误；因为d点的电势为零，所以负粒子从d点出发时动能Ek和电势能Ep都为零，即总能量为零，且在以后的运动过程中保持不变，故C错误；由Ep＋Ek＝0可知，Ep＝－Ek ，所以粒子的Ep ­x图线与Ek ­x关于x轴上下对称，故D正确。 $$