专题突破(1) 静电力作用下的平衡问题-【正禾一本通】2024-2025学年高中物理必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教版2019）

第九章 静电场及其应用 专题突破一 静电力作用下的平衡问题 突破点一　三个自由点电荷的平衡问题 突破点二　带电体的平衡问题 专题突破(一)　静电力作用下的平衡问题 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 本专题重点研究静电力作用下电荷或带电体的平衡问题。除库仑定律外，主要用到前面学习的受力分析、平衡条件、力的合成和分解、整体法与隔离法等力学知识和方法，可以说是新情境下的“共点力平衡问题”。本专题的内容在高考中也经常出现，题型多为选择题。 【典例1】 如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B相距L，问： (1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？ (2)在(1)中的情形下，C的电荷量大小和电性对C的平衡有影响吗？ (3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷C，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？电荷量是多少？ 解析：(1)由平衡条件可知，电荷C应在A、B的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则有k＝k，解得 r＝。 (2)在电荷A、B间距离A为处，不论C为正电荷还是负电荷，A、B对其作用力的合力均为零，故C的电荷量大小和电性对其平衡无影响。 (3)若将C放在A、B电荷两边，则A、B对C同为向左(或向右)的力，C不能平衡；若将C放在A、B之间，且C为正电荷，则A、B不能平衡，所以C为负电荷。 设放置的点电荷C的电荷量大小为Q，与A相距r1，则根据平衡条件可得： 对电荷A有k＝ 对电荷B有k＝k 联立解得r1＝，Q＝q 即应在A、B连线上且在A的右边，与点电荷A相距处放置一个电荷量为q的负电荷C。 答案：见解析 [规律方法]三个自由点电荷的平衡规律 (1)若先固定两个点电荷，然后放置第三个点电荷，并让它受力平衡，则只需要确定第三个点电荷的位置即可，对它的电性和电荷量没有要求。 (2)若三个点电荷中有两个点电荷受力平衡，则第三个点电荷也一定受力平衡——三个自由点电荷的平衡规律。所以只需选择任意两个电荷列平衡方程即可。(3)当三个自由点电荷都处于平衡状态时，有如下规律： ①“三点共线”——三个电荷一定分布在同一直线上； ②“两同夹异”——两个同性电荷夹着一个异性电荷； ③“两大夹小”——两个电荷量大的电荷夹着电荷量最小的电荷； ④“近小远大”——中间的电荷离电荷量较小的电荷近。 【针对训练1】 如图所示，点电荷q1、q2、q3固定在一条直线上，q2与q3的距离是q1与q2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为0，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3可能为(　　 ) A．－9∶4∶－36 B．9∶4∶36 C．－3∶2∶－6 D．3∶2∶6 解析：选A。三个自由点电荷平衡时需满足“两同夹异”的规律，故B、D错误；选项A、C中，若q1、q3带负电，q2带正电，则根据平衡条件，对q1有＝k，对q2有＝k，联立解得|q1|∶|q2|∶|q3|＝9∶4∶36，即q1∶q2∶q3＝－9∶4∶－36，故A正确。 分析带电体的平衡问题的基本步骤 (1)确定研究对象。如果涉及几个带电体的平衡时，要灵活利用“整体法”和“隔离法”。 (2)对研究对象进行受力分析。与力学平衡问题相比，受力分析时多了带电体间的静电力。 (3)根据平衡条件列方程。常用力的处理方法有合成法和正交分解法，要结合受力特点选择。 (4)解方程求出未知量，并对结果进行必要的验证、说明。 【典例2】 如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度，丝线与竖直方向的夹角分别为α、β，且β>α，则(　　 ) A．a球的质量一定比b球的大 B．a球的电荷量一定比b球的大 C．a球受到的库仑力比b球的小 D．丝线对a球的拉力比对b球的小 解析：选A。由牛顿第三定律可知，两球之间的库仑力一定大小相等、方向相反，故C错误；小球a的受力情况如图所示， 根据平衡条件可知＝tan α，对b球，同理可得＝tan β，其中F库＝k，由于β>α，则可推知质量关系为ma>mb，故A正确；两球带同种电荷，所以两球之间存在库仑斥力，但是无法判断两球电荷量之间的关系，故B错误；由于＝sin α，＝sin β，则丝线的拉力关系为FTa>FTb，故D错误。 【针对训练2】 如图所示，A、B、C是光滑绝缘水平桌面上位于同一圆周且等间距的三点，现在这三点分别放置完全相同的带电荷量为－q的金属小球，同时在圆心O处放置一个带电荷量为＋Q的小球。已知所有小球均可看作点电荷且均处于静止状态，则Q与q的比值为(　　 ) A． B． C． D．3 解析：选B。以圆周上其中一个金属小球为研究对象，该金属球受到圆周上的另外两个电荷的库仑斥力作用，同时受到圆心上的点电荷的库仑引力作用，如图所示， 设圆的半径为r，根据受力平衡得2×(k ×cos 30°)＝，根据几何关系有L＝r，联立解得 ＝，故B正确。 【典例3】 (2024·江西南昌检测)如图所示，V形绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面间的夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是(　　 ) A．两小滑块所带电荷为异种电荷 B．两小滑块间的库仑力大小等于小滑块重力的两倍 C．P与M间的动摩擦因数至少为 D．P与M间的动摩擦因数至少为 解析：选D。滑块Q在光滑斜面N上静止，由平衡条件知Q所受库仑力方向斜向右上，P、Q相互排斥，则P与Q带同种电荷，故A错误，设二者之间的库仑力大小为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示， 对滑块Q在沿着斜面N方向有mg cos 30°＝F cos 30°，可得F＝mg，故B错误；对滑块P，当静止时的摩擦力恰好为最大静摩擦力时，动摩擦因数最小，由平衡条件有FN2＝F＋mg sin 30°，Ff＝mg cos 30°，又Ff＝μFN2，联立解得μ＝，故C错误，D正确。 【针对训练3】 水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C。对小球受力分析，小球受到重力和A、B、C处正点电荷施加的库仑力作用，三个库仑力是对称的，设A、B、C处正点电荷施加的库仑力方向与竖直方向的夹角为θ，在竖直方向上根据平衡条件得3F cos θ＝mg，其中F＝，再由几何关系得cos θ＝，联立解得q＝，故C正确。 【基础应用题】 1．(2024·重庆九龙坡期末)如图所示，光滑绝缘的水平桌面的同一直线上，放置三个可视为点电荷的小球M、N和P，其中M和N固定，带电荷量分别为q1和＋q2，若小球P能保持静止，则(　　 ) A．P一定带正电，q1＝q2 B．P一定带负电，q1＝q2 C．P可能带正电，q1＞q2 D．P可能带负电，q1＜q2 解析：选C。若小球P能保持静止，则小球M、N对P的作用力应等大、反向，由于小球M、N带异种电荷，所以无论P带何种电荷，小球M、N对P的作用力方向都相反。设小球P的带电荷量为q，由库仑定律可得＝，所以q1>q2，故C正确。 2．如图所示，点电荷A固定在竖直绝缘墙壁上，绝缘轻绳上端固定于墙壁，下端系质量为m、带电荷量为q的小球B(可视为点电荷)，平衡时两个点电荷的连线恰好水平。若B的质量增加为2m，为了保持其位置不变，则B的电荷量应为(　　 ) A．q B．2q C．q D．q 解析：选B。小球的受力情况如图所示， 小球受三个力处于平衡状态，现小球的质量变为原来的2倍，即重力变为原来的2倍，为了保持其位置不变，要求绳子的拉力方向不变，则静电力变为原来的2倍，即B的电荷量变为原来的2倍，故B正确。 3．如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂两个带电小球A、B，左边放一个带正电的固定球Q时，两悬线都保持竖直方向。关于A、B所带电荷的电性及电荷量关系，下面说法正确的是(　　 ) A．A带正电，B带正电，并且A带电荷量较大 B．A带负电，B带正电，并且A带电荷量较小 C．A带负电，B带正电，并且A带电荷量较大 D．A带正电，B带负电，并且A带电荷量较小 解析：选B。已知两悬线都保持竖直方向，A、B受力平衡，若A带正电且平衡，则B一定带正电，但B不能同时平衡，从而可知A只能带负电，B带正电。B受A和Q的库仑力，有＝，A受B和Q的库仑力，有＝，由以上两式可得＝，因为lQB>lQA，所以QB>QA，故B正确。 4．如图所示，两根细线悬挂两个质量相同的小球A和B，上、下两根线的拉力分别为FA、FB。现使两球带上同种电荷，此时上、下细线所受拉力分别为FA′、FB′，则(　　 ) A．FA＝FA′　FB>FB′ B．FA＝FA′　FB<FB′ C．FA<FA′　FB>FB′ D．FA<FA′　FB<FB′ 解析：选B。选取A、B整体为研究对象，在两种情况下有FA＝(mA＋mB)g，FA′＝(mA＋mB)g，所以FA＝FA′；选取B为研究对象，当A、B不带电时，FB＝mBg，当A、B带上同种电荷时，FB′＝mBg＋F库，所以FB<FB′，故B正确。 5．(多选)如图所示，两个带电荷量分别为Q1与Q2的小球固定于相距为d的水平面上，另有一个质量为m、带电荷量为q的小球A，悬浮于空中不动，此时A离Q1的距离为d，离Q2的距离为d。已知重力加速度为g，静电力常量为k，三小球均可视为点电荷。则(　　 ) A．Q1与Q2为同种电荷 B．Q1＝3Q2 C．Q1＝ D．Q2＝ 解析：选AD。小球A悬浮于空中，因此Q1对A的排斥力与Q2对A的排斥力的合力一定与A所受的重力等大反向，故Q1与Q2与A都带同种电荷，A正确；利用三角形的边角关系可知∠AQ1Q2＝30°，∠AQ2Q1＝60°，根据库仑定律和平衡条件，可得·sin 30°＋sin 60°＝mg，cos 30°＝cos 60°，解得Q1＝，Q2＝，B、C错误，D正确。 【综合提升题】 6．(多选)(2024·福建福州期末)如图所示，一带电荷量为q的小球A固定于左侧绝缘支架上，右侧有一倾角为37°的绝缘光滑斜面，质量为m的带电小球B静止于斜面上，恰与A球处于同一高度。已知AB间距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　 ) A．A、B带同种电荷 B．B受到的库仑力方向沿斜面向上 C．B所带电荷量大小为 D．B受到斜面的支持力大小为mg 解析：选AC。带电小球B在斜面上受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力，根据平衡条件可知，它还应受到水平向右的库仑斥力，说明两小球带同种电荷，故A正确，B错误； 对小球B受力分析如图所示，则库仑力为k＝mg tan 37°，解得B的电荷量大小为q′＝，故C正确；B受到斜面的支持力大小为FN＝＝mg，故D错误。 7．(多选)如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态。下列说法正确的是(　　 ) A．a、c小球可能带同种电荷 B．a、b小球一定带同种电荷 C．a、b小球所带电荷量之比为 D．a、b小球所带电荷量之比为 解析：选BC。a受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力的方向在竖直方向上，环的支持力以及b对a的库仑力均沿圆环直径方向，故c对a的库仑力为引力，同理可知，c对b的库仑力也为引力，所以a与c的电性一定相反，a与b的电性一定相同，A错误，B正确；对小球c受力分析，将力沿水平方向和竖直方向正交分解后可得sin 60°＝sin 30°，又由几何关系知rac∶rbc＝1∶，解得qa∶qb＝∶9，C正确，D错误。 8．如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，带电荷量分别为＋Q、－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，问：C应带什么性质的电荷？应放于何处？所带电荷量为多少？ 解析：要使A、B、C三个点电荷平衡，三个点电荷必须在一条直线上，外侧两点电荷排斥，中间点电荷吸引外侧两点电荷，因为外侧两点电荷距离大，所以外侧点电荷电荷量大，中间点电荷电荷量小，因此C只能带负电，并且只能放在二者连线的延长线上，且靠近A，如图所示，已知A与B间的距离为L＝0.4 m，设C与A间的距离为x，C所带电荷量大小为qC。 由题意可知，A、B、C均处于平衡状态，则三者所受合力为零 对C有＝ 解得x＝0.2 m 对A有＝，解得qC＝Q 即C所带的电荷量为Q，电性为负电荷。 答案：C带负电荷　放在A的左边0.2 m处　－Q 9．如图所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为0.1 g，分别用10 cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时B球偏离竖直方向60°，A球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷)，取g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。求： (1)两个小球所带电荷量； (2)墙壁受到的压力； (3)连接A球的细线与连接B球的细线的拉力的大小。 解析：(1)对B球受力分析如图甲所示，B球受力平衡，则拉力与库仑力的合力与重力等大、反向，由几何知识可知 F＝mg＝FTB 根据库仑定律得F＝k＝mg 代入数据，解得q＝×10－7 C。 (2)对A球受力分析如图乙所示，A球受力平衡，水平方向由平衡条件可得FN＝F sin 60°＝mg sin 60°＝×10－3 N 由牛顿第三定律可知，墙壁受到小球的压力大小为×10－3 N，方向水平向左。 (3)A球受力平衡，竖直方向有 FTA＝mg＋F cos 60°＝1.5×10－3 N 由(1)分析知FTB＝mg＝1×10－3 N。 答案：(1)×10－7 C　(2)×10－3 N，方向水平向左　(3)1.5×10－3 N　1×10－3 N 【创新拔高题】 10．(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置。如果将小球B向左推动少许，两个小球将重新达到平衡，则两个小球的受力情况与原来相比(　　 ) A．推力F将增大 B．竖直墙面对小球A的弹力减小 C．地面对小球B的支持力一定增大 D．两个小球之间的距离增大 [创新空间]活用“整体法”与“隔离法”分析平衡问题 两个或多个物体可以通过绳、杆、弹簧等相互作用，且系统处于平衡状态，同样，带电体之间也可以通过“电场”相互作用，且系统处于平衡状态。以上两类问题的求解方法是相似的，在研究对象的选取上，都要灵活的利用“整体法”与“隔离法”。 解析：选BD。对球A受力分析如图甲所示， A受三个力的作用，即重力GA，墙壁对A的弹力FA和B对A的静电力FBA，FA与FBA的合力与其重力大小相等，方向相反，当将小球B向左推动少许时，FBA与竖直方向的夹角减小，则可以判断出FA减小，FBA也减小，B正确； 对A、B整体受力分析如图乙所示， 因为F＝FA，故推力F也将减小，A错误；地面对小球B的支持力和小球A、B的重力相等，因此地面对B的支持力保持不变，C错误；由于两球之间的静电力减小，故两小球之间的距离增大，D正确。 $$