专题01 幂的运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题01 幂的运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 题型十 幂的混合运算 题型十一 零指数幂 题型十二 负整数指数幂 题型十三 幂的运算等于1的情况 题型十四 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型十五 由幂的运算确定字母的关系 题型十六 新定义幂的运算 知识点一．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点二．幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点三．积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点四．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点5：零指数 a0=1 (a≠0) 知识6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点7：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 1．（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 2．（2025·甘肃嘉峪关·一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，则的值为 ． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（23-24八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 4．（24-25八年级上·新疆哈密·期末）计算： ． 5．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．已知，，，若，y的值为 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】（2023·四川达州·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期末）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展，独立运行的全球卫星导航系统，作为中国“智造”的靓丽名片，未来“北斗星座”将更加闪亮．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程用科学记数法表示为 ． 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 10．（2025七年级下·全国·专题练习）若为正整数．且，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 12．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的大小关系是什么？ 15．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【经典例题六 积的乘方运算】 【例6】（23-24八年级上·四川绵阳·周测）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算． (1)； (2)． 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 18．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，，则______． （2）若，求． （3）若，，，求． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例7】（24-25八年级上·黑龙江·期末）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ （________） (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 20．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考： 逆向运用同底数幂的乘法公式，即， ． ． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求的值； (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答问题： 小贤的作业计算：． 解：． ①小贤运用了逆向思考的方法，请直接写出此过程中逆向思考运用的公式： ； ②计算：． 21．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例8】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 22．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若（，且，m，n是整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题：若，求n的值． 23．（23-24八年级上·福建泉州·期中）按要求解答： (1)若，，求的值． (2)若，求的值． 24．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例9】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）已知，，，为正整数，则 ． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）用所学知识，完成下列题目： （1）若，，，直接说出a，b，c之间的数量关系：　　　　　　； （2）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题十 幂的混合运算】 【例10】（23-24七年级下·江西萍乡·期中）计算下列各式①(a3)2÷a5=1；②(-x4)2÷x4=x4；③(x-3)0=1(x≠3)；④(-a3b)3÷=-2a4b正确的有（    ）题 A．4 B．3 C．2 D．1 28．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算： 29．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 30．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典例题十一 零指数幂】 【例11】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·浙江·期中）若，则x的取值有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 32．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“＜”连接）． 33．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求x的值． 【经典例题十二 负整数指数幂】 【例12】（24-25八年级上·河南商丘·期中）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 34．（2025七年级下·全国·专题练习）在①；②；③；④中，计算结果是的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）计算，把结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 36．（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【经典例题十三 幂的运算等于1的情况】 【例13】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 37．（2022八年级上·全国·专题练习）方程的整数解的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（2023七年级下·浙江·专题练习）若，则 ． 39．（23-24七年级下·江苏南京·期中）【课内回顾】 (1)若，当满足 时，则； 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数幂，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值； (3)若，则x= ． 【经典例题十四 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例14】（24-25八年级上·湖北随州·期末）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）我国北斗三号卫星上装载的新一代原子钟，使授时精度达到了百亿分之三秒．百亿分之三用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个圆球状细胞的直径约为，个这样的细胞排成的细胞链的长约为 （用科学记数法表示）． 42．（23-24七年级上·上海·单元测试）人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事，据测算，万粒芝麻才克，那一粒芝麻有多少千克？（用科学记数法表示）． 【经典例题十五 由幂的运算确定字母的关系】 【例15】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则x、y、z三者之间关系正确的是（     ） A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z 45．（24-25七年级下·浙江杭州·单元测试）若，试探究代数式与之间关系． 【经典例题十六 新定义幂的运算】 【例16】（2024八年级上·全国·专题练习）对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 46．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 47．（24-25七年级下·安徽池州·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空： 48．（2025七年级下·全国·专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则 的值为（   ） A． B．8 C．7 D．6 3．（2025·甘肃嘉峪关·一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）已知，，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知则 ． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知，m，n为正整数，则的值为 （用含有a、b的式子表示）． 9．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求t的值． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）已知， ①求的值； ②求 （2）已知，，求 ①的值； ②的值． 13．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： (1)已知，试用含m，n的代数式表示； (2)已知，试用含m，n的代数式表示； (3)已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 14．（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 15．（24-25八年级上·山东临沂·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 题型十 幂的混合运算 题型十一 零指数幂 题型十二 负整数指数幂 题型十三 幂的运算等于1的情况 题型十四 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型十五 由幂的运算确定字母的关系 题型十六 新定义幂的运算 知识点一．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点二．幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点三．积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点四．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点5：零指数 a0=1 (a≠0) 知识6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点7：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可，熟练掌握同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意； B、，底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意； C、只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意； D、，底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意； 故选：B． 1．（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先观察数据，发现规律，确定的值，然后代入计算即可． 【详解】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为， 第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即， 第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第20个数为， 所以 ． 故选B． 2．（2025·甘肃嘉峪关·一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 故选D． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和代数式求值，将已知变形得，因此，整体代入代数式即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 即， ， 故答案为：． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（23-24八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·新疆哈密·期末）计算： ． 【答案】// 【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．已知，，，若，y的值为 ． 【答案】 【分析】根据题目的定义转换以后计算即可． 【详解】∵如果，那么我们规定， ∴由，可得， ，可得， ，可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法逆用，解题的关键是根据新定义转换成乘方运算． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程，幂的相关运算： （1）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，再提取公因式后得，即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，合并同类项后得，即可求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， 解得：； （2）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】（2023·四川达州·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法、同底数幂的乘法．根据可得，根据可得，根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得． 【详解】解：， ， ． 故选：B ． 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握是解题的关键．根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可． 【详解】解： （米）． 故选：D． 8．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】1亿，1991.2亿，再利用科学记数法将写成，再根据同底数幂相乘法则即可得解． 本题考查了用科学记数法表示大数以及同底数幂相乘，科学记数法的标准形式为：．熟练掌握科学记数法的表示方法以及同底数幂相乘的法则是解题的关键． 【详解】解：∵1亿， ∴1991.2亿， 故选：C． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期末）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展，独立运行的全球卫星导航系统，作为中国“智造”的靓丽名片，未来“北斗星座”将更加闪亮．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据单项式乘以单项式进行计算即可解答. 【详解】由题意可得， (米). 答：卫星绕地球运行所行的路程是米. 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）若为正整数．且，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查幂的乘方及其逆用，将变形为，再将代入求值即可 【详解】解：， 故答案为：0． 11．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)27； (2)32； (3)． 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）将式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）由题意可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得，由此可解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 13．（2025七年级下·全国·专题练习）请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出，，则，由此即可得． 【详解】（1）解：和利用的是幂的乘方的逆用， 故选：C． （2）解：∵，， ∴，，且， ∴， ∴． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的大小关系是什么？ 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方的逆运算对各式变形，变成指数相同的形式，即可比较大小． 【详解】解：因为， ， ， 因为， 所以． 15．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，以及幂的乘方的逆用； （1）根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果； （2）根据已知可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得 【经典例题六 积的乘方运算】 【例6】（23-24八年级上·四川绵阳·周测）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本考查了积的乘方、同底数幂相乘，科学记数法等知识，先根据积的乘方法则计算，然后根据乘法交换律和结合律以及同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解∶原式 ， 故选∶C． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆用，掌握掌握积的乘方运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方运算法则进行简便计算； （2）根据积的乘方运算法则进行简便计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) 【分析】本题考查的是有理数乘方的法则，积的乘方逆用法则，解答此题的关键是根据（1）中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答． （1）根据有理数的乘方的定义解答即可； （2）根据（1）中的各数的值找出规律即可解答； （3）根据（2）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴； （2）解：由（1）可猜想∶， 归纳得出公式∶； （3）解： ． 18．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，，则______． （2）若，求． （3）若，，，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则． （1）根据乘方的意义，把加法运算写成乘法运算，再按照同底数幂相乘法则进行计算，从而求出，再求出即可； （2）把和分别写成底数是和的幂，然后根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，求出即可； （3）根据已知条件，利用幂的乘方法则进行计算，从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ； （3） ， ． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例7】（24-25八年级上·黑龙江·期末）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘逆用，先把，然后根据积的乘方，同底数幂相乘逆用即可求解，掌握积的乘方，同底数幂相乘法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 19．（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ （________） (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 【答案】(1)0.25，4，1； (2)①；②4． 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． （1）根据乘法的交换律、积的乘方的逆用等计算即可； （2）①仿照小李的解题方法计算即可； ②根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算得出，求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）① ； ② ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4． 20．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考： 逆向运用同底数幂的乘法公式，即， ． ． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求的值； (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答问题： 小贤的作业计算：． 解：． ①小贤运用了逆向思考的方法，请直接写出此过程中逆向思考运用的公式： ； ②计算：． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，掌握幂的运算性质是解答本题的关键． （1）逆向运算同底数幂的乘方法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （2）①逆向运算积的乘方运算法则填空即可；②逆向运算积的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）， ． ， ． ． （2）①， 小贤的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② ． 21．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1；1 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题目所给公式，计算求解即可； （2）根据题意进行求解即可； （3）把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；1； （2）解：由题意得，，， 故答案为：，； （3）解： ． 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例8】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 22．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若（，且，m，n是整数），则．请利用上面的结论解决下面的问题：若，求n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则把已知条件式变形为，进而根据同底数幂乘除法计算法则得到，则，解之即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24八年级上·福建泉州·期中）按要求解答： (1)若，，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟知是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）先把原式变形为，进一步得到，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)3 (3)或或 【分析】（1）直接利用例题的方法计算； （2）利用例题方法得出，解方程即可； （3）分类讨论，指数相等时，时，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ， ， 解得：， ； （3）解：， 当时，； 当时， ； 当时，． 或或． 【点睛】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例9】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 25．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 26．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）已知，，，为正整数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 逆运用同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识进行求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， 又∵， ∴原式， 故答案为：． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）用所学知识，完成下列题目： （1）若，，，直接说出a，b，c之间的数量关系：　　　　　　； （2）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用；掌握，，，及其逆用是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式得，，即可求解； （2）由积的乘方公式得，，由同底数幂的除法公式得，即可求解； （3）由同底数幂的乘法公式及幂的乘方公式得，即可求解． 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 即． 故答案为：． （2）a，b，c之间的数量关系为， 理由如下： 因为，， 所以， 所以， 所以． （3）a，b，c之间的数量关系为， 理由如下： 因为， 所以． 【经典例题十 幂的混合运算】 【例10】（23-24七年级下·江西萍乡·期中）计算下列各式①(a3)2÷a5=1；②(-x4)2÷x4=x4；③(x-3)0=1(x≠3)；④(-a3b)3÷=-2a4b正确的有（    ）题 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据整数指数幂的运算法则解答即可． 【详解】解：①(a3)2÷a5=a6÷a5=a，故原式错误； ②(-x4)2÷x4=x8÷x4=x4，故原式正确； ③因为x≠3，所以x-3≠0，(x-3)0=1，故原式正确； ④(-a3b)3÷a5b2=-a9b3÷a5b2=-2a4b，故原式正确. 所以正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整数指数幂的运算，熟记法则是解决此题的关键. 28．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 29．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法法则进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 30．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法求解即可； （2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可求解； （3）先进行有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （4）可根据积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算进行简便运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算、整式的运算，涉及到幂的乘方和同底数幂的乘除法、积的乘方、负整数指数幂、零指数幂、合并同类项等知识，熟练掌握相关运算法则并灵活运用，正确求解是解答的关键． 【经典例题十一 零指数幂】 【例11】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 31．（24-25七年级下·浙江·期中）若，则x的取值有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出答案． 【详解】解：， ∴当时，， ，即， 当时，，即， 故x的取值有2个， 故选：C． 【点睛】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 32．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等知识．根据相关法则计算后即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为： 33．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求x的值． 【答案】或1或3 【分析】本题考查幂的运算，分3种情况进行讨论：，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1，即可得出结果． 【详解】解：当，即：时，，满足题意； 当时，，则：，满足题意； 当时，，则：，满足题意； 综上：x的值为或1或3． 【经典例题十二 负整数指数幂】 【例12】（24-25八年级上·河南商丘·期中）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算及负整数幂的运算，利用积的乘方和幂的乘方运算及负整数幂的运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 34．（2025七年级下·全国·专题练习）在①；②；③；④中，计算结果是的是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则．根据同底数幂的运算法则求解①；利用负整数指数幂的运算法则、同底数幂的运算法则求解②；利用幂的乘方的运算法则、同底数幂的运算法则求解③；利用幂的乘方的运算法则求解④． 【详解】解：①，此项不符合题意； ②，此项符合题意； ③，此项不符合题意； ④，此项符合题意， 综上所述，符合题意的有②④共2个． 故选：B． 35．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）计算，把结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、单项式乘单项式、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．先算积的乘方、再根据单项式乘单项式的法则计算，再把结果化为只含有正整数指数幂的形式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 36．（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【详解】（1）解：∵，m、n是正整数， ∴ ； （2）解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得， ∵， ∴． （3）解：∵m、n是正整数时， ． 【经典例题十三 幂的运算等于1的情况】 【例13】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂公式，和1的n次方的结果等知识，可按当时与当时两种情况讨论，掌握乘方结果是的三种情况：即①底数不为0，指数是0，②底数是1，③底数是，指数为偶数是解题的关键． 【详解】解：①当，即时，，即 ∴； ②当，即时，则有(i)；(ii)且为偶数； (i)由解得：， (ii)解得：，此时，为奇数，不合题意， ∴； 综上所述：或， 故选：B． 37．（2022八年级上·全国·专题练习）方程的整数解的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为，指数为偶数． 【详解】解：由题意可得， 当且， 解得：； 当， 解得：或； 当且是偶数， 解得：； 综上所述：x的值有4个． 故选：C 【点睛】本题考查了：（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．容易遗漏第3种可能情况，需特别注意． 38．（2023七年级下·浙江·专题练习）若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可． 【详解】解：∵， ①当，解得； ②当，解得，； ③当，解得，． ∴或或． 故答案为或0或2． 【点睛】本题主要考查了零次幂以及负整数指数幂，熟记相关定义是解答本题的关键． 39．（23-24七年级下·江苏南京·期中）【课内回顾】 (1)若，当满足 时，则； 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数幂，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值； (3)若，则x= ． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】考查的是零指数幂的性质，负整数指数，有理数的乘方、等式的性质； （1）根据等式的性质，即可求解； （2）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当且为整数时，③当且为偶数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解； （3）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当且为整数时，③当且为奇数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解． 【详解】解：（1）， 当时，则， 因此若，当满足时，则， 故答案为：． （2）分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：， 此时， 当时，； ②当且为整数时，， 由，解得：， 此时为整数， 当时，； ③当且为偶数时，， 由，解得：， 此时不是偶数，故不合题意，舍去． 综上所述：若，则的值为或． 故答案为：或． （3）分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：， 此时， 当时，， ②当且为整数时，， 由，解得：， 此时为整数， 当时，， ③当且为奇数时，， 由，解得：， 此时为奇数， 当时，， 综上所述：若，则或或． 【经典例题十四 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例14】（24-25八年级上·湖北随州·期末）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，理解科学记数法的定义是解题的关键．根据用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案． 【详解】解： 故选：B． 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）我国北斗三号卫星上装载的新一代原子钟，使授时精度达到了百亿分之三秒．百亿分之三用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先将百亿分之三化为数字，再根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：百亿分之三化为数字， 用科学记数法可以表示为， 故选：B． 41．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个圆球状细胞的直径约为，个这样的细胞排成的细胞链的长约为 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先计算负整数指数幂，再根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 42．（23-24七年级上·上海·单元测试）人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事，据测算，万粒芝麻才克，那一粒芝麻有多少千克？（用科学记数法表示）． 【答案】千克． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，科学记数法，设一粒芝麻有千克，根据题意列出方程即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设一粒芝麻有千克， 由题意得，， 解得， 答：一粒芝麻有千克． 【经典例题十五 由幂的运算确定字母的关系】 【例15】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 43．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 44．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则x、y、z三者之间关系正确的是（     ） A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z 【答案】C 【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题的关键． 45．（24-25七年级下·浙江杭州·单元测试）若，试探究代数式与之间关系． 【答案】 【分析】由条件可得可得，而，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 【经典例题十六 新定义幂的运算】 【例16】（2024八年级上·全国·专题练习）对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【详解】，，． 46．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 47．（24-25七年级下·安徽池州·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空： 【答案】 / 【分析】（1）根据零指数幂即可求解； （2）设，，根据新定义可得，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴ ∴ ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 48．（2025七年级下·全国·专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 1．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项计算正确，不符合题意；     B． ，故该选项计算正确，不符合题意；     C． ，故该选项计算正确，不符合题意；         D． ，故该选项计算错误，符合题意．     故选D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则 的值为（   ） A． B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则及整体代入思想，解题关键是利用幂的性质对变形后，将作为整体代入求值 ． 根据幂的运算法则对进行化简得，然后由，可得，再代入求值即可解答 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：B． 3．（2025·甘肃嘉峪关·一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 故选D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则得到，根据同底数幂的大小即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选C． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算，由同底数幂相乘与幂的乘方可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 7．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知则 ． 【答案】2 【分析】本题考查幂的运算，代数式求值，逆用幂的乘方，得到再根据同底数幂的乘法，得到，求出的值，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知，m，n为正整数，则的值为 （用含有a、b的式子表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则的逆耳用是解题的关键． 直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则以及它们运算法则的逆用计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得，由此可解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．通过观察，然后根据题中所给规律可进行求解． 【详解】解：由…..；可知： ； ∵， ∴； 故答案为． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求t的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及积的乘方，关键是能准确运用幂的乘方、同底数幂的乘法及积的乘方对代数式进行变形求解． （1）将变形为，再整体代入求解； （2）将变形为，再求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 所以． （2）因为， 所以当时，， 所以， 解得． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）已知， ①求的值； ②求 （2）已知，，求 ①的值； ②的值． 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【分析】此题主要考查了同底数幂相乘、同底数幂相除及幂的乘方，关键是熟练掌握各计算法则并能熟练应用，其中逆运算是学习的难点. （1）根据同底数幂的乘法法则， ①将全部化简成底数为的幂的形式，然后计算即可解决． ②根据积的乘方，单项式除以单项式进行计算，最后将的值代入进行计算即可求解； （2）①根据同底数幂乘法法则的逆运算求得①的值， ②利用幂的乘方的逆运算及同底数幂的乘法法则的逆运算求得②的值. 【详解】（1）①∵, ∴ ∴ 解得： ② 当时，原式 （2）①∵，， ∴， ②∵，， ∴ 13．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： (1)已知，试用含m，n的代数式表示； (2)已知，试用含m，n的代数式表示； (3)已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方的逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法逆运算法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方逆运算法则变形即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 14．（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·山东临沂·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$