精品解析：上海市南汇中学2024-2025学年高三下学期3月阶段练习数学试题

上海市南汇中学2024学年第二学期3月阶段练习 高三数学 满分：150分 完成时间120分钟 命题人：高三数学备课组 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1. 已知集合，，则______． 2. 已知向量，，若，则______. 3. 函数的定义域为_______. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则______. 5. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则________. 6. 在的展开式中，的系数为______用数字填写答案 7. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为__________. 9. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有__________个 10. 设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________. 11. 如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1 km，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形；假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则________.(结果精确至0.01) 12. 已知，函数，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是______． 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13. 若是空间中的一条直线，，是空间中两个相互垂直的平面，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. “学习能力”分为两个阶段，第一阶段是“被动学习”，第二阶段是“主动学习”，其中“被动学习”分为：听讲、阅读、视听和演示，分别占“学习内容平均保存率”的5%，10%，20%和30%；而“主动学习”分为：讨论、实践和教授给别人，分别占“学习内容平均保存率”的50%，75%和90%，常用区间[0，100]内的一个数来表示，该数越接近100表示学习内容平均保存率越高.现随机抽取10位学生，他们的学习内容平均保存率分别为40，50，50，60，70，70，80，80，90，90，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的中位数为70 B. 该组数据的平均数为68 C. 该组数据的第60百分位数为70 D. 该组数据的极差为50 15. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 16. 帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的个数（ ） ①；②；③是偶数；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）设，，求的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的9名队员来自高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人，本次决定比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行8场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军，积分规则如下：每场比赛5局中以或3:1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分， （1）求比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率； （2）已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜概率均为0.6， ①若设最后一轮每局比赛甲获胜为事件，乙获胜为事件，则事件与是什么关系，并求和； ②记这轮比赛甲所得积分为求的概率分布列及数学期望. 20. 已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. （1）求抛物线C的方程; （2）证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; （3）若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 21. 已知，其中. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市南汇中学2024学年第二学期3月阶段练习 高三数学 满分：150分 完成时间120分钟 命题人：高三数学备课组 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故答案为：. 2. 已知向量，，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算列式计算即可. 【详解】，，， ， . 故答案为：. 3. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】由，得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则______. 【答案】42 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质易求得； 【详解】. 故答案为：42. 5. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则________. 【答案】10 【解析】 【分析】由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解的值，由此即可求出结果． 【详解】因为复数是关于的实系数方程的一个根， 所以复数是关于的实系数方程的一个根， 所以，即. 故答案为：10. 6. 在的展开式中，的系数为______用数字填写答案 【答案】80 【解析】 【分析】先求出展开式通项公式，进而得x的系数． 【详解】解：的展开式的通项公式为： 由得 则展开式中x的系数为 故答案为：80 7. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】一元二次不等式的恒成立问题可采用参变分离来求解，本题解得在上的最大值即可. 【详解】因对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因在上单调递减，在上单调递增，且，， 则在上的最大值为， 则， 故实数a的取值范围为. 故答案为： 9. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有__________个 【答案】14 【解析】 【分析】根据1是分界点，分类讨论即可. 【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有种情况； 当1前面只有2个数时，有种情况； 当1前面只有3个数时，有种情况. 综上，这样的数列共有个. 故答案为：14 10. 设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及已知有、、，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设及图知，且，， 所以，则， 所以，即，可得（负值舍）. 故答案为： 11. 如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1 km，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形；假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则________.(结果精确至0.01) 【答案】 【解析】 【分析】先设角表示相关长度，求出面积表达式，利用三角恒等变换及导数求最值及相应角度. 【详解】设，则，由题意知， 则， 如图，连接. 在中，，则，； 在中，同理可得，； 故四边形的面积 ，. 令，，即. 由，则， 令，则，即， 解得， 由， 故不妨设，且， 当，即时， ，即，在单调递增； 当，即时， ，即，在单调递减； 故，即当时取到最大值. 由，可得， 则 . 此时， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于结合整体换元求解导数零点，进而研究三角函数单调性并求解最值. 12. 已知，函数，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，得出的单调性和，令，得到，设，且零点分别为，转化为方程和各有2个解，得到，进而求得的范围. 【详解】由函数，可得， 当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又由，令，可得， 设，则， 设的两个零点分别为，则或， 可得或， 要使得恰有4个零点， 则方程有2个解，且方程也有两个解， 则满足，即，即， 可得，即， 又因为，解得． 故答案为：. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13. 若是空间中的一条直线，，是空间中两个相互垂直的平面，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用面面垂直，线面垂直的性质判断充分性和必要性即可. 【详解】对于充分性，当时，因为， 所以或，故充分性不成立， 对于必要性，当时，因为， 所以或或，故必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：D 14. “学习能力”分为两个阶段，第一阶段是“被动学习”，第二阶段是“主动学习”，其中“被动学习”分为：听讲、阅读、视听和演示，分别占“学习内容平均保存率”的5%，10%，20%和30%；而“主动学习”分为：讨论、实践和教授给别人，分别占“学习内容平均保存率”的50%，75%和90%，常用区间[0，100]内的一个数来表示，该数越接近100表示学习内容平均保存率越高.现随机抽取10位学生，他们的学习内容平均保存率分别为40，50，50，60，70，70，80，80，90，90，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的中位数为70 B. 该组数据的平均数为68 C. 该组数据的第60百分位数为70 D. 该组数据的极差为50 【答案】C 【解析】 【分析】求出中位数、平均数、百分位数、极差，即可判断. 【详解】题中数据已按从小到大排序， 对于A，中位数是，A正确； 对于B，平均数是，B正确； 对于C，，第60百分位数是，C错误； 对于D，极差为，D正确. 故选：C. 15. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据推出，设圆柱底面半径为r，再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率求出r即可. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得． 设圆柱底面半径为r， 则，所以， 设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得， 则， 即，所以， 得， 又由勾股定理得，解得，故． 故选：B. 16. 帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的个数（ ） ①；②；③是偶数；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系依次写出前8项，再求，判断①、②；根据已知判断数列中奇偶数出现的规律，找出其周期，即可判断③；根据递推关系，应用累加法得到，两边都加上前3项即可判断④. 【详解】由题设，，，，①错误； 由上分析，，②正确； 由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表， * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ …… 显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数， 而，故是奇数，③错误； 由，，，…，，且， 所以，又， 故，④正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三．解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）设，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化为“一角一函”的形式，进而结合正弦函数的性质根据自变量的取值范围可确定函数值的取值范围； （2）根据（1）中的结论得到角的正弦值，进而根据同角三角函数的基本关系及三角恒等变换展开求解． 【详解】解：（1） ， 又 ； （2）， ． 又， 必在第二象限，则． . 【点睛】本题考查三角恒等变换、同角三角函数的基本关系、三角函数的性质，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，体现了化归与转化思想． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点G，连接， 分别为的中点， ， 又底面ABCD为菱形，， ， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，根据线面平行的判定定理只需证明,要想证明，也就是要证明四边形为平行四边形，即证且. （2）由已知可得两两垂直，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 平面，平面， ， 四边形为菱形，， 为等边三角形， F为的中点， ， ， ， 两两垂直， 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由可知， 则， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 19. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的9名队员来自高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人，本次决定比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行8场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军，积分规则如下：每场比赛5局中以或3:1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分， （1）求比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率； （2）已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜概率均为0.6， ①若设最后一轮每局比赛甲获胜为事件，乙获胜为事件，则事件与是什么关系，并求和； ②记这轮比赛甲所得积分为求的概率分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）①事件与为对立事件，所以，；②分布列见解析，1.97856 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用组合数的计算，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）①由事件与为对立事件，即可求得的值； ②根据题意，得到的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率. 【小问2详解】 解：①事件与为对立事件，所以，， ②的可能取值为， 可得 ； ； ； . 所以的分布列为 0 1 2 3 0.1792 0.13824 0.20736 0.4752 所以期望为. 20. 已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. （1）求抛物线C的方程; （2）证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; （3）若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明见解析；定点； （3）为定值，定值为4 . 【解析】 【分析】（1）根据已知及抛物线的定义求得，即可得抛物线方程； （2）设直线l方程为，联立抛物线并应用韦达定理得，再由及，，联立所得求参数值，进而确定直线所过的定点； （3）设直线AM的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，、得到、，再由三角形面积公式得到，结合（2）即可得结论. 【小问1详解】 由题设； 【小问2详解】 设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； 【小问3详解】 由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 【点睛】关键点点睛：第三问，、，设直线并联立抛物线，应用韦达定理得到、，且为关键. 21. 已知，其中. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：. 【答案】（1）2 （2），1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数与函数曲线切线的关系，结合直线垂直斜率的关系，可得答案； （2）根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案； （3）利用综合法，整理不等式，构建新函数，利用导数研究函数单调性求最值. 【小问1详解】 由，则，由直线，则其斜率为， 由切线与上述直线垂直，则，解得. 【小问2详解】 解法一： 由，则， 当时，显然，则有两异号实根，设为其正根， 则在上，在上， 即在上为严格减函数，在上为严格增函数， 故，的最小值. 令，， 在上，为严格增函数；在上，为严格减函数； 的最大值在取到，故. 综上：，的最大值为1. 解法二： 由，则， 当时，显然，则有两异号实根，设为其正根， 满足在上，在上， 即在上为严格减函数，在上为严格增函数，且， 由求根公式，， 令， 由，则， 当时，，故，此时为严格减函数， 当时，，故，此时为严格增函数， 故. 综上：，的最大值为1. 【小问3详解】 要证，即证， 由，则不等式等价于. 由，则， 令， 则，对任意恒成立， 故在为严格减函数， 要证，只需证明，即证明. 由，即证，即证， 而，在为严格减函数，即证. 由，则， 在上，为严格减函数；在上，为严格增函数. 所以，又，所以，同理. 所以. 【点睛】本题的解题关键在于导数研究函数的单调性，对于导数的化简一般有两种方法：1、对其进行分解因式；2、当导数为分式时，分子与分母分开研究；3、建立新函数，再次求导研究新函数的单调性和最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $