1.2 直角三角形-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

2直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 A夯基础·逐点练 6.在△ABC中，下列条件不能构成直角三角形 知识点①直角三角形的性质 的是 ( ) 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°， A.∠A+∠B=90° 则∠A的度数为 B.∠A-∠B=∠C A.34 C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 B.44° D.∠A=∠B=3∠C C.124 7.某种婴儿车的简化结构示意图如图所示，根 D.134° 据安全标准需满足BC⊥CD.现测得AB= 2.在Rt△ABC中，斜边BC=5,则AB2+ CD=60cm,BC=30cm,AD=90cm,其中 AC+BC的值为 AB与BD之间由一个固定为90°的零件连 A.15 B.25 接（即∠ABD=90),通过计算说明该车是 C.50 D.无法计算 否符合安全标准。 3.实践活动情境如图，数学兴趣小组为测 量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离， 在点A的同岸选取点C,测得AC=20m, ∠A=45°，∠C=90°，则点A,B之间的距离 为 m. (第3题图) (第4题图) 知识点③互逆命题与互逆定理 4.如图，一架长25m的梯子AB斜靠在一面墙 8.下列命题的逆命题不成立的是 上，梯子底端离墙7m.若梯子的顶端下滑 A.两直线平行，同旁内角互补 4m(AA'),则梯子的底端沿水平方向滑动的 B.三边对应相等的两个三角形全等 距离BB为 m. C.直角三角形两直角边的平方和等于斜边 知识点2直角三角形的判定 的平方 5.某校八年级准备前往象山茶园开展研学活 D.若a=b,则a2=b2 动，每班需要准备一个直角三角形的班旗. 9.下列定理中，没有逆定理的是 下列给出的三个数据中，能实现直角三角形 A.直角三角形的两个锐角互余 班旗制作的是 ( B.等腰三角形的两底角相等 A.3,4,9 B.6,6,12 C.全等三角形的周长相等 C.6,4,9 D.6,8,10 D.等边三角形的三个角都相等 13芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 (2)求原来的路线AC的长. 10.已知a,b,c是△ABC的三条边，则下列条 件不能判定△ABC是直角三角形的是 ( A.a=2,b=5,c=3 B.∠A+∠B=∠C C.(a+b)2+(a-b)2=2c C培素养·拓展练 D.∠A:∠B:∠C=2:3:4 14.在学习等腰三角形时，老师想让同学们对 11.古代数学问题(2024·巴中中考)“今有 一些特殊等腰三角形进行研究，于是给出 方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴 了如下问题：如图，在△ABC中，∠ABC= 岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数 30°，∠BAC=120°，求证：BC=√3AC. 学史上的“葭生池中”问题.如图，AC=5, CD=1,BD=BA,则BC的长为() A.8 B.10 C.12 D.13 小量：过点作D1】小红：过点C件CD1 干点D,再根据三 ， 交B的延长线于 角形的相关知识 点D,再根据三角形的 相妞脚厚可求解 (1)请你选择一名同学的说法进行证明； (2)若P是AC的中点，连接BP,AC=4, (第11题图)（第12题图） 求△PBC的面积. 12.(2024·自贡中考改编)如图，等边三角形 钢架ABC的立柱CD⊥AB于点D,AB 12m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED= 60°，则新钢架减少用钢 m. 13.如图，在一条东西走向的河的一侧有村庄C, 河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC 由于某种原因，由点C到点A的路现在已 经不通.某村为方便村民取水，决定在河边 新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直 线上)，并新修一条路CH,测得BC= 1.5 km,CH=1.2 km,BH=0.9 km. (1)CH是否为从村庄C到河边的最短路 线？请说明理由. -3--3773--3- 第一章三角形的证明14 第2课时 直角三角形全等的判定 A夯基础·逐点练 知识点2选择适当的方法判定直角三角形 知识点1用“HL”判定直角三角形全等 全等 1.如图，已知∠BCA=∠BDA=90°，BC=BD, 5.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知 则判定△BAC≌△BAD的依据是( ∠A=∠D=90°，添加一个条件，不能使 A.SAS Rt△ABC≌Rt△DCB的是 B.ASA A.AB=DC C.AAS B.AC=DB D.HL C.∠ABC=∠DCB 2.如图，已知点A,D,C,F在同一条直线上， D.∠ABD-∠DCA ∠B=∠E=90°，AB=DE.若添加一个条件 6.培养批判性思维如图，点D,E分别在 后，能用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF,则 AB,AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE,CD 添加的条件可以是 相交于点O,OB=OC.求证：∠1=∠2. A.BC=EF B.∠BCA=∠F 小虎同学的证明过程如下： C.AB∥DE D.AD=CF 证明：，∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90° :∠DOB=∠EOC, ∠B=∠C.…第一步 (第2题图) (第3题图) 又OA=OA,OB=OC, 3.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B= ∴.△ABO2△AC0.…第二步 ∠E=90°，AC=DF,AB=DE,∠A=50°，则 ∠1=∠2.…第三步 ∠DFE的度数为 (1)小虎同学的证明过程中，从第 4.(教材P21习题T2变式)如图，AB=CD,BE⊥ 步开始出现错误； AC于点E,DF⊥AC于点F,AF=CE. (2)请写出正确的证明过程. (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)求证：AB∥CD. 15 芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 11.如图，AD,BC相交于点O,AB=CD, 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上， AM⊥BC于点M,DN⊥BC于点N,BN= DE⊥AB于点E,AE=AC.若∠B=40°，则 CM. ∠ADE的度数为 (1)求证：△ABM≌△DCN; A.50 (2)若CM=4,BC=16,求线段OM的长. B.55 C.65 D.70° 8.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D在直线 MN上，点B,C在直线PQ上，点E在AB 上.若AD十BC=7,AD=BE,DE=EC,则 AB的长为 D P B C O (第8题图) (第9题图) 9.○渗透分类讨论思想如图，∠C=90°，AC 10,BC=5,AX⊥AC于点A,点P,Q从点A C培素养·拓展练 出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且 12.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂 AB=PQ.当AP的长为 时， 足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F, △ABC与△APQ全等. G是DA延长线上的一点，连接BG. 10.如图，A,B为∠MON边上的两点，且OA= (1)求证：BE=CF; OB,分别过点A,B作OM,ON的垂线交于 (2)若BG=CA,求证：AG=2DE 点P,连接OP. (1)求证：PA=PB: (2)连接AB,交OP于点D,若∠MON= 60°，OA=6,求OD的长. 第一章三角形的证明 16 专题特训：共顶点的等腰三角形—手拉手模型 背景：两个共顶点、等顶角的等腰三角形所组成的困形， B右手 左于E 模型解读 已知：如图，CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD. 结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等，即△ACE≌△BCD 左手 右手 (1)等边三角形手拉手： 常见 模型 (2)等腰三角形手拉手： 呈现 等腰直角三角形 一般等腰三角形 1.如图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点 BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接 B在ED的延长线上，连接CE AD,CE.求证：∠BAD=∠BCE. (1)求证：△ABD≌△ACE: (2)若AE=2,CE=3,求BE的长. 17 芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 3.如图，已知△ABC与△ADE都是等腰直角5.(1)问题发现：如图①，△ABC和△DCE都 三角形，且∠BAC=∠DAE=90°. 是等边三角形，点B,D,E在同一条直线 (1)求证：△ABE≌△ACD; 上，连接AE. (2)求证：DC⊥BE. ①∠AEC的度数为 ②线段AE,BD之间的数量关系为 (2)拓展探究：如图②，△ABC和△DCE都 是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°，点B,D,E在同一条直线上，CM为 △DCE中DE边上的高，连接AE, ①求∠AEB的度数， ②判断线段CM,AE,BM之间的数量关 系，并说明理由. (3)解决问题：如图③，△ABC和△DCE都 是等腰三角形，顶角∠ACB-∠DCE,点 B,D,E在同一条直线上，连接AE,请直 接写出∠EAB十∠ECB的度数. 4.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且 点A,C,E在同一条直线上，AD与BC交于 图① 图② 图③ 点M,BE与CD交于点N,连接MN.求证： △CMN是等边三角形. 提示 清完成阶段小测（一）[1.1一1.2] 第一章三角形的证明18的中点AE-BECE平分∠C,六∠E-与∠A第-CE =3.∴，Dm-1D=3√. CE-CD. 1I(1)证明：：BN=CW,.BN十MN=CM十MN.印M=N,:AM -I80一∠CTE=11G,在△AE和△BCD中， ∠AE∠D, DE,∠D=∠Ewa0.∠ED=∠A-∠D=a0'=∠D..BD HC'.DN工BC,·,∠AMH=∠DNC-0,在R△AI和Ri△DN中 CA-C. BED=AE,()n:成立.升由如下：过点E作EF及BC,交AC于点 △ACE☑△以TD5M5),∠CE4=∠CIB=135,,∠AEBm∠CE1 F.:△AC是等边三角形，，∠A=∠ABC=∠ACH=,,∠DBE= MCN.R△ABR△DCN(HL2)解，由1D知R△A ∠CED=0,世CM+AR=M.理由如下：：CM为△DCE中DE山上 80-∠AC=120,YEF∥C,∠AEF=∠AC=60:∠AFE= K4△DN..AAM=N:∠AN=∠D0=90',∠AM=∠N. 的高，，∠CD=0°.，∠XM=0”-∠CDE=15..∠DE ∠ACB-80,∠CE下-∠ECD.·△ABF是等边三角形，∠BFC-1- ∠DCM,C3M-DM,由①知△AE△BD,AF-BD,.N+AE ∠AFE=2'=∠DE.,AE=EFCE=DE.,∠ECD=∠.，∠D 六△AOf@60 ONGAAS).六0-ON.廿BN-CM-4,÷OM-MN DM+BD=BM.(》∠EAB+∠CB=1O.【解析】AABC和△CE ∠Dm∠EF. =∠CEF,在△DEB和△CF中，∠DBB-∠EFC,,△EHa△CF -子B-BN-C0-L 那是等装三角形，∠B严∠DCE,∠CED■∠CDE=∠CL甘 ∠BL,易证△AE@△CD(SAS,'∠EA=∠CDH.,∠CDE十 DE=EC. 12正明：1)2AD是△ABC的中线.BD=CD.RE LAD,CF1AD ∠CDH=160',∠CHA+∠CEA=10.易得∠EAB+∠EC0=18如 (AAS.BD=E下.LBD=AE ∠BED-∠F, 3线极的垂直平分线 2直角三角形 :∠BED■∠F=DO,在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF 第1课时线及◆直平分气的战质与判气 第1第时直角三角形的社质与料定 BD-CD. 1.D1.C3.4 A1.C3202+85,D6D △BED片2△CFD(AAS,,4E=CF,(2}在R△E和R△CAF中， 4解：A群-AC,∴∠ABC-∠C-×(1树-∠A》-,?N第直 7.解：在R:△AD.中，B伊-A厅一A=9F一60=400，在ACD 中.以”+CD=30+=400.”.+()=D。△CD是直希 2:△ER△CAHl.GE-AR.GE-E-AF- 平分AB,AD=BD,亡∠ABD=∠Am0,∠DC=∠A以 三角彩，H∠CD一9..CLCD.液车符合要全标准 AE,周AG-FF,由I)知△B5D2△CFD,DE-DF-立FR,六G ∠ABD=30 线.D9.C1e.》11.C12.(24=43 5.D6.2 3幅：(1)是，理由如下：在△CHB中，CH十BH=25,C=2,若 DE. 7,证明：AD集直平分C,HD=D,AB=二”AH+BDDE, ,CP+BT=B:.△CHB是直角宫角形，且∠CHB-0,.C7是 专鬓特引：共顶点的等腰三角形一季拉手模围 ,AC十CD=DE.,DE=CD十CE,AC=CE,点C在线程AE的垂直 从村庄纠判边的最短路线.2)设C一AH=rk,期AH”r 1.证明：HA=G,BD=BE,∠BAC=∠BA,∠BD店=∠HED 平分线上， 00)km在R:△HA中.由句取定理，得AC=AH十CH,甲(r ,.∠ABC=10°-∠BAC-∠CA=1o”-8∠BAC.∠DBE=18 8,解：如落，击接入，作线段N的最直率分线/，交直线AB于点C,渊 .9)十1.2号，解得x一1,25，豆米的路线AC的长为1.25kL ∠BDE-∠ED=18-∠BD.∠BAC=∠BDE..∠A 点甲为所求 41证明：签案不壁一，如：达样小星的说达，过点A作AD⊥C于点 ∠DB品.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD.甲∠ABD=∠CBE.在 D.:∠ABC=3,∠BAC-1o,∠C-8m-∠A7C-∠BAC=0 A-BC, △ABD和△CBE中， ∠AHD=∠HE.△ABD☑△CBE《5AS) ∠C=∠ABC.5A=AC“AD⊥，D=CD=3B,AD BD-BE. ∠RADm∠CE 9.C10.C11.4 宁AC,∴CD=VAC-而-号AC=2 CD-AC.2)卵±过点P 2.(I)证明：△AHC和么AE都是等边三角形，.AH=AC,AD=AE, 12,(1)证明：”EF意直平分C.AE=:AD⊥以，D=DE: ∠IAC-∠DAE=O.,∠B4C-∠DAC-∠DAE-∠DAC.∠BAD AD看直平分BE..AB=AE..AB-CE.()解，，△ABC的同长为 作M⊥BE于点M.P是AC的中点：CP-号AC=2在△CM 18cm,AB++ACa18am.AC=8mLB+以=10cm.A月 -∠CAE在△ABD和△ACE中，∠HAD-∠CAE,.△ABD2△ACE p,∠C=3,PM=CP=1,h1)知=区AC=4,六Sm= AD-AE. -CE.BD-DE.:.CD-DE+CE-(AB+BC)-5 宁·PM=号×48×1=2，a (5A5,(81解：由(1》△AHD2△AE,∴BD=E=%△ADE是等 13,证明：ED1AB,∠EDH=∠ECB=0,在R1△BDE雅R1△以CE 边三角形，，DE一AE一2.，=BD+DE= BE-BER:△BD△R△CE(H,.ED-一点E在线双 果2果时直角三角那金子的料光 3,明：（们）△AHC与△ADE年是等限直角三角形，1H=ACAD= 中，BD= 1.02.D3.4 AE,:∠BAC-∠DAE=.∠BAC+∠CAE=∠DAE十∠CAE.周 CD的看直率分线上，：BD一BC··点B在线程CD的G直平分浅 4任明，(i》:E上A,DF⊥AC.∠AEB=∠D=90,AF=CE Ad-AC. E在直平分CD. AF一EF-CE一EF,即AE一F,在R△ABE和Rt△DF中 ∠BAE=∠CAD在△ABE南△ACD中，∠HAE=∠CAD,△AHE≌ 14,()证明：查接AC,:E是BC的中点，AE1C,AE重直半分C AH-CD,:R△ABER△CDF<HI,《2):△ABE2△CDF.∠A AE-AD. ,AB-A,闻用可得AC=AD,.AH一AD.〔2)解：∠EAF=∠BAE AFECF. △AN5AS,(2》h(1)知△ABG△AD.:∠甚=∠AD:∠H1C ∠DAF,任明矩下：南(I年AB=AC=A),AE⊥HC,AFD =∠C.AB∥D 0,∠8十∠AB=..∠ACD+∠AGB=0'.即∠BCD=90 ∴∠BAE-∠EAC.∠CAF-∠DAE·∠EAF-∠EAC+∠CAF 5.b DCLBE. ∠IAE+∠DAF, 6.解：(1)二(3'∠ADC=∠AB=90,∠BDC=∠CEB=0,在 +.证明：'△AC和△E富是等边三角形，CA=8,CD=CE 第2谋时三角影三煌的量是平分线 ∠BO-∠CEO. ∠BCA=∠CD=0'..∠BCD=1-∠C4-∠BCD=0 1.日2.3.14 △D指和△E以汇中，∠Bm∠六△B☑△《AAS；.E C1=B, 4.解：：D是线段，AB的看直平分线的交点，DA=DB=DC OB-OC. ∠ACD-∠BCE=20,在△AD和△BE中，∠ACD=∠CE, .∠DNA-∠DMC=32",∠DAB-∠Dk4=28°，∠DC=∠NB. -OE.在AA0素R△AB0中，0-论：.△A2R△AB0 CD-CE. △ACD2△BE(SAS1,∠DAC=∠EBC,在△A(CM韩△N中. ∠B-(I80'-∠DCA-∠DAC-∠DAB-∠DBA)-m Hl》.,.∠=∠2 ∠MAC-∠NBC. 5.L 6B 7,A 7.C8.79.5或10 4 △1N2△N《AsA.M=CN .解：如落，△AC即为新景 1M.(11E月：：PA⊥(A附.PB⊥N.∠AP-∠OHP=0在 ∠AM=∠BCN-60: R△0PA和△0PB中，R-O6:△0PA☑△0PaH ∠N=0,,△CfN是等边三角形. 5,屏：11①120由AE=D(2)①△AC和△DE都是等腹直角 ,PA=PR2)解：由(1)知Rt△PA@R△OPB,∴∠OP=∠P= 三角思，∠ACB=∠CE=,·A=CB,E=CD.∠CE-∠ACD= 是∠M0N=w,0M=0w.0D1∠0DA=g.AD=N ∠AB-∠ACD,山∠AE=∠D,∠CDE物∠C玉D=i..∠C1星 (第8题) 一4 -5