1.1 等腰三角形-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

乙AC一(2)知下。-”△AC是等三形。A一C。 参考答案 1AB-区. AD-乙A1-)-6C-乙ADB 乙ABC-乙ACB-.在△ABM和△BCN.乙AM-CN. 第一章 三角形的证明 1BM-CM. -28.乙AD-180*-A-180-X8-4.C-乙ADB 1 三角形 .ABMCV(SA.M-.OANCAM...HOM -2,综上所过,C的度数为34&28或2”. 第1课时 全等三形与等腰三影的性展 -NQAN-M-CAM-ACB-60 第3课时 等腰上角形的料定与及证法 7851 ,D1C 1.C2.A1-DC(答案不毫一) 1.B 2.D 3.乙8乙A(答案不一)4.55 第4课时 等边三角形的料定与含30角的直画三涌形的质 3.两直线早行,同位角相等 BD AB一DE SAS 全等三角形的对应是 1.72.A3: 相等 同位角相善,两直线平行 4AB-AC.C-B-3DAB-1..ADCB $.CD..A/BC.A...BC.B 4.B $.D 6.B 7.C 8.25' -DAB-7DAC-1-ADC-C-7DAC- 一一6△CE是三. AC.DCAC.AC是等规三角号 &...ABACADA角平分线CAD 2AF1ADAFB1-BC-2I-2 $.证BD平分ABC.2.CBD-乙ABD.ACB-90.CE 6.A7.:8.5 A DM.B 9.:AB-AC,乙BAC-120'.-C-(18-BAC-30 1.B1.C12C1312 141:CA.CF0ACABACD H BM.MCMD.CCDCM-CD..CDM AD1ABBAD-902.BD-2AD-1CAD乙BAC 是等三帮 -0ADB.AD-CAD--ACD- AD-32.CAD-CCD-AD-.2.8C-BD+CD-18. 6.A7.AC-1 (证:.ACAADCDBDCDCDE 14.:(1)△ABC为等.乙B-4-DAB/Fpr 10.D 11.B12.2.13.1 BD...CDFBDAA(证(2)CDEDF. -CF-BF2.AC-AB-AF+F-AF+CE. 8证:数设/./C是直或:则/B③0./C/ 90+90-1乙A++乙C一18这与三角形的内角和定 (2△AC 等边三形,乙AB乙ACB-60DEAB. -6F1。D-. F-80一D- 15.(1);,AD为ABC线..乙BAD-CAD由作图可 理相盾.设不成立,.等三角形的角是位角 9.B 10.B 11.2 17.0 社- .DEC-A-60EDC-B-DFCEDC-ECD AE-AF.在△ADE和△ADF中. 乙EAD-FAD..△ADE 13.B分/ACABDF.CBABAD 2.△CDE为等三角形2.D-C7.由1知F-30DEF-0° BDEEBD-BDE .BE-DEAB-AC.ABC-C 1Aō-AD. :DF-2Dt-4. DEA.CD'DEBC'E AADF(5AS(2D幅.AB-AC.AD为△AHC的角分线...EAD 15(1证.AC是等三角..BDQABOC. DCB+ADDCA凸ACA- 乙AC-40ADItC2.乙ADB-90作图可知AE-AD. 乙PQ-60.乙P乙POP-60PQR是等三形. B+BODBODPYO-PO{--.晚可& 14证AD ..BDCD1..BAD 90.C+CAD-90”ADBACBADCAD乙B- 1180*-乙EAD-70.:乙8DE-乙ADB- .AD-乙AD- (2解;21(3)等:△ABC是等三形2.乙A-乙B-60与(1 C.AB-AC.(2无长AD列āE.D-DA.接C.在AAD和 理可得△DQR是等三形。.D-RD又乙B[-乙ARD一0. 乙A-%. DA-DE. 1.BDARD(AA2BD-A”AD20-A-3 第2课时 等腰三角形的精殊质与等也三角形的质 △EDC中.乙ADBF..△ADBI△DC(SABAD- 1.解,ACCM一BN 明.CM是A边上的中线.BV是AC边上的 rD-D. AD-2AR-2DAB-gD+AD-3D-4em-BD-- 乙E.AB-ECAD平BAC.IAD-CADF-CAD 中线AM-AB:AN-ACAB-AC.AM-ANVA-乙A. AC-FCA-AC 1.D 2.A3.22 专题特识:乱用线!巧害三色形题语通法 -.△AMCANBCSAS.CM-HN 专题特训:利用等三角形的三线合一助线回目教材 4.(1)证:BF.CF分别平分ABC.ACG.2.乙DBF一CDP 2..AAC.AACB.C ABDIAC.BE 1证号:AD.ABAC.DBC点.FAD FAD.在 2.DBFDFB. FCE-EFCBD-FD.CE-EF(2):BD CFFCCD1.DFBCBF.FC-FCG -CDB-90又-BC-CB2△BEC△CDBAAS2BE-CD AE-Af. AED初△AFD.乙EAD-FAD△AED△AFD(SAS. 3D 4.D5.5 C-Df 6.:△ABC是等边三形.&乙ABC一4”HD是AC边上的高。 ADAD. 5.解:(1)八ODE是等过三角形,理由如下:?八ABC是等边三形。 .A-A. DBC乙ABC=3DE-D&F=DBC=a0'.BD 2.证:连提BDABC是等达三角形.7.ABC-乙ACB-60” D .ABC-ACB-60ODAB0EAC.0D-ABC-. -180-乙-乙DBC-12%. 1.OD0ED-DOF-60ODE是等三角形(2)B0平 0FDACB=602D=1-0DF-0ED=6. 是AC的..DBE=乙ABC=30”CE-CD.CDE-二F. 7.证明;.ABC和BDE是等三角形.AB一CB:B-BD. AC-CD-6.-3-DBE2BD-DEDF -C. 分AAADD 乙AIC一乙DBE一0'.在△ABE 和△CBD中.乙ABE-CBD. 1B..BF一FP 0-BD+C-C-10. DO2BDOD同可证CE-OE...OD的长为OD+DF l可-. 3.证,过点A作AE1BC干点E..乙AEB-0”2.乙BAE+- 明'.CDADCB.ICBBEAAC 6.证一:吐:AC-H。ABDM听ABCDMA. △A△CrSA-CD .BAC-2BAE2.乙BAC-2DCB另幅;过点A作AE分 乙M-BCDM-M.CD-CE。CDE-CEDCDM 8 93 10.D 11' 乙BAC.交BC干点E,或取BC的中点E,连接AE,再结合等题三角形的 +M+CDF+CED=180CDM+CD=po甲EDM I12.1语AC是等BHAC01AB “三合一“题. +乙EBC-40.△BEF是等选三形,-BF.乙EBF-00”。 正二:明:CDECDCED.BNDE 10...DIDNpAB..D1AB. 4.:【疫试】D .CBF+EC60.ABECFABE△CBF($A$. 5.正:.BC-D是AB中点.&AD-BBCD1ABCDA (2)-ABC是等三角形.乙BAC-乙ACB-402AD是乙BAC A+乙AlC+CBN-N-18乙AC+乙CB-0. CDE.CBN-CED-CBNAC-BC.A-ABC 一CDB-90又CCD..ACCD$A8.ACB11 的平分线A.乙BAF-乙BAC-30”由(1)△ABE△CBF2.乙BCF 7.明:过点E作EAC.交BC于&G.则BGE-ACB.GED 乙ABV-90'2.BN1AB.PBNDE.&DEIAB 可证BC-AB.AC-AB. 一7B30ACBCFACB0' 专精记:照三角形深夜多解的问题显情 1.C 2.103.【变式题1】0或6【变式题2】0或65或%0 (AC是等形.A-,AAC- 乙FAB-AC.ACBBBIE2.-△ 4.或40”5.120或7%凌30 和△CDP.DE-DF. GED-F. A-C. AABMCN中.ABM-乙BCN.ABMIBCN$A. EDG~FDC。 .△GDE△CDF(ASA)G=CF 1-C. 63428*①:乙ADB-乙A-68”^乙C-乙ADB-4 HE-CF. .AM-CB .BOMBAM +ABO-CBN+/ABO 8.(1)证明:ABC是等边三角是..ABCACB60F是A -2 -.0D-0-A-. 的中AE-BFCF分乙ACBCF-乙ACB-aCE -180-CDE-11在△ACF程BCD. .乙ACE-乙BCD. C-CD. pg乙DaC-aAl-D-nD- 11.()I.BN-CM.&$BN+M-CM+M.I即BM-CNAMI IC.DIBC.AM-DNC-.在Rt△ABM和Rt△DCN中. lCt-C. BE&BD一AE(2)解:成立.理由如下:过点E作EFBC,交AC干点 2.△ACE△BDSA$CEA=CDB-132.AEB-CEA F..AC三..AABCAC-6...DBE I-AIC-12EF BCAEF=乙ABC=60.乙AFE= -CED-②CM+AF-B现F:CM 为△DCEDF上 △DCN。AM-D.?A-乙DNO-0.AOMD。 ACB-60CEF-乙FCD.△AFF是等三角形.乙EFC-1- 的高。CMD-lIC-CD-CD- -△AODONCAASOM-O-BN-CM-.OM-MN AFE-12-DBE..AE-CFCE-DE.ECD-D.D DCMCM-DM①知△ACEBCD.&.AF-BDCM+AE D-F. DMD-BM(3EAB+FC-10.【析】ABC积DCE -(nC-8y-C- 一乙CEF 在△DEB△ECF中.DBE-EPC.△DEBECF 郡是等三角形,ACB乙DCE乙CEDCDE乙CA- 1DE一t. 12.证明.(1)2AD是ABC的中线.2.BD-CDB1ADCF1AD. CBA.易证△ACE公△BCD(SAS).CA-CDB.”CD- (AA..BD-F:BD-AE. 乙D-F。 CD-180.CBA+CEA-18得EAB-FCB-180 2 直角三角形 3 要直甲分线 .BED乙FD0在△BED和△CFD.乙BDECDF. 第1课时 直角三角形的性度与料定 B-CD. 第上课时 改段 查手分指的质与担堂 -△BED△CFD(AASHF-CF.()在R△BGE和RtCAF . 1.A 2.C 3.20 4.8 5.D 6.D 1.D1C31 7.解;在RtABD中,BD-AD-AB-0-60-1500,在8BCD 4.:AB-ACABC-乙C-(180-乙A-70.MV直 中.B+CD-30+60=400.BC+CD-BD△BCD是直 乙ABD-30. 平分AB:ADBDABDA40.DBCA1B 三角形.H区D一0。2CCD2.该车符合要全标准. AE.AG-FF.由(1)知BED△CFD2DE-DF-FFAG- 8.D 9.C10.D11.C12.(24-4) D. 7.明:AD分aCD-CDA-AC·A+B-D 5.D6.8 3.(1)是.理由如下:在△CHB中CHr+H-225.tC-2.. 专题特训:共项点的等题三角形-拉手模型 .CH+BH-B 2.△CHB是角三角形且/CIB-90.CH是 2AC+CD-DEDE-CD+C.AC-CEC在线段AF的 1.译 :.BA-C.BDBE...BACBCA.BDHFD 从社庄C到边的最路技。设AC二A&:判AH一( 闻上 .ABC-18-BAC-BCA-180-:BAC.DBF-18° 8.9)km.在R△CHA中.由句股定理,得AC-AH+CH.一Cr 乙BD-乙ED=18-:BD乙BACDEAC- 8.:如题,接AV.作线段MV的直率分线7.交直线AB于点C. 0.+1?,得一1.来的路线AC的为15m. 点C即为所. 14.(11匠明:答案不暗一,如:选择小是的说,过点A作ADBC干点 DBEABC+CBDDBE+CBD.甲ABD-CBE 在 D.ABC-BAC-12C-18-ABC-BAC-0。 △ABD和△CBE . ABD一CBE.△ABD△CB(8A A-. .C=乙ABCA-ACADI故CBD-Cn-BCAD D-B. .BAD-乙HCE -AC:CD-AC-AD-AC.BC-2cD-③AC():t点P 2.(1)证明:△AAC和△ADE部是三角形.2.A-AC.AD-AE. u.C 1.C 1.1 BAC-DAE-.AC-DAC-DAE-DAC.甲BAD 12.(1)证明..F分AC..AE(CE.AD1BC.BDDE 作PM1BC于点MP是AC的中点.2.CP-AC-2.在R△PCM A-AC. 18em.AB+BC+AC-18 em.-AC-8em.A+B-10cm.2AB AD平分E.AB-A..AB一C(2.AC的长% 中C-anPM-cr-1.th(Bc-Ac-1$- -乙CAE.在△ABD和△ACE中.BAD-CAE.△ABD△△ACE 1A-A. -CE.BD-DE.CD-D+C--(AB+BC]-5 (SAS)(2):由(1)短△ABD2△ACE.2BD-C-3.△ADE 是等 -1p.PM-x4vx1-2、. 1.证明:ED1AB..EDB ECB-.在B(△BDER.△BCE 三 形..DE-AEB-BDDF-. 。p-B BE一E:R△BDER△BCE(H11.2.ED-C点F在线段 累2深时 直角三角形会的判北 3.证明(1)V△A2C与△ADE是等幅直角三角形,2.A一AC,AD 1D2.D40 AF BAC/DAF.BAC+CADAE+CAF.周 CD的直分线上.-BD-BC.2.点B在线段CD的暴直平分线上. 4.IF(DBFACDF1AC..AEB-C¥D-0”-AF-CE. 1-AC。 14.(1D证明:接AC2E是BC的中点.AE1BC.2.AE直平分BC BA-CAD在△ABE△ACD中A-CAD△A 平分C. 2.AF-FF-CE-FF.AE-CF 在 R△ABE 初 R△CDF中。 1A-D. DAF证F:由(1)AACAD-AIaC.AF 1CD. 'AB-AC展理可得AC-AD.AB-AD(2)解.FAF- /BAF △ACNSAS(2D知ABFACD-ACDAC -7/C.AB/CD 10..B+ACBACD+乙ACB-0.HCD90 .BAE-EAC.CAF-DAF 2.EAF-EACCAF- . p -.C1. BA+/DA A.证明:AC和△CDE部是等三形,2.CAC,CD三CE. 6.:(1二(2)”乙AC-乙AEB-902乙BC-CFB-70在 BCA-乙FCD-402.aCD-1-乙BCA-乙ECD-0 1.目2.C 3.2 第课社 三角形三位的卖真平分线 Do-c8. Ct-C. AB和EC.DEC△B0BC(AAOD .乙ACD-BCE-1△ACD△BCE中.ACD-BE .DCA-DAC-32.DA-DBA-2.DPC-DCB 4.:D是线段AC.AB的直平分线的交点..DA一DB一DC 0B-OC. 0-0:b△A0R△AFO - -OE.在Bt△ADRAF0中. 0-O. .ACDBCE(ASI2.DACEBC在△ACMEN. .DCB-(18'-乙DCA-乙DAC-乙DAB-乙DaA)-。 MAC-NC。 (H.-2. 5.C 6.17.A 7.C8.79.或10 C。 . ACMBC(ASA).CM-CY. 8.:如除,△ABC即为. 1(1)证:PA OM.PB 10N.20AP-OP-90.在 乙MCN-60CMN是等近三角形. 乙ACM-BCN-60%。 5.:(11①120②AE=BD(2)①△ABC相△DC是等角 .PA-PB(2解:由(1)加 Rt△OPAoR△OPBAOP-n0- 乙ACB-ACDACE-乙CDCDECED-4CDB 三确.ACB-乙DCE-”.CA-CB.CE-CD.ICE一ACD (第8题图) (第1题团)第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时 全等三角形与等腰三角形的性质 A夯基础·逐点练 剪刀张开的角度为40°，则∠A的度数是 知识点1全等三角形的性质与判定 1.(2024·济南中考)如图，已知△ABC≌ A.40° B.50 C.60° D.70° △DEC,∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的 度数为 ( 0≥ A.40° B.60 C.80° D.100° (第5题图) (第6题图) 6.(2024·兰州中考)如图，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB的 度数为 () (第1题图) (第2题图) A.100° B.115° C.130°D.145 2.如图，AB∥CD,AD与BC交于点O,请添加 知识点3等腰三角形的“三线合一” 一个条件： ,使△AOB≌△DOC. 7.日常生活情境如图，衣架可以近似看成 3.把下面的证明过程补充完整，并在括号内注 等腰三角形ABC,其中AB=AC,AD⊥BC 明理由， 于点D.若BC=44cm,则BD的长为() 如图，BC∥EF,AD=BE,BC=EF,求证： A.44 cm B.40 cm C.22 cm D.20 cm AC∥DF 证明：，BC∥EF(已知)， ∴.∠ABC=∠E( ). AD=BE, (第7题图) (第8题图) 8.如图，在△ABC中，AB=AC.若D是BC的 ..AD+BD=BE+ 即 中点，∠C=65°，则∠CAD的度数为 (等式的基本性质) 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC :BC=EF,∴.△ABC≌△DEF( 的角平分线，AF⊥AD,垂足为A.求证： .∠A=∠EDF( ∠1=∠2. ∴.AC∥DF( 知识点2等边对等角 4.等腰三角形的底角是75°，则该等腰三角形 顶角的度数是 ) A.20° B.30 C.35° D.40° 5.日常生活情境如图，一把园林剪刀可以 抽象出等腰三角形OAB,其中OA=OB.若 】芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 (3)求证：AC=AF+CE. 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在线段 AB上，且AE=CE.若∠ACE=40°，则 ∠BCE的度数是 A.20 B.30 C.40° D.45 11.如图，索塔的顶端、拉索与桥面围成的图形 可看作等腰三角形ABC,其中AB=AC,D 是边BC上的一点.下列条件不能说明AD 是△ABC的角平分线的是 C培素养·拓展练 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为 △ABC的角平分线.以点A为圆心，AD A.∠ADB=∠ADCB.BD=CD 的长为半径画弧，分别与AB,AC交于点 C.BC=2AD D.S△ABD=SANCD E,F,连接DE,DF. 12.(教材P5习题T6变式)如图，在△ABC (1)求证：△ADE≌△ADF: 中，AB=AC,点D,E在BC上，连接AD, (2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数. AE.如果只添加一个条件使△ABD≌ △ACE,那么添加的条件不能是( A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD (第12题图) (第13题图) 13.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, △ABC的中线AD与角平分线BE交于点O. 若∠C=64°，则∠AOB的度数为 14.如图，在△ABC中，AC=AB,AD⊥BC于 点D,过点C作CE∥AB,∠BCE=50°，连 接ED并延长，交AB于点F. (1)求∠CAD的度数： (2)求证：△CDE≌△BDF: 第一章三角形的证明 2 第2课时等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质 A夯基础·逐点练 4.如图，AD是等边三角形ABC的中线，下列 知识点①等腰三角形中特殊的相等线段 结论错误的是 () 1.○注重过程性学习（教材P5例1变式）小明 A.∠B=60 B.∠BAD=30° 想要证明命题：等腰三角形两腰上的中线相等， C.∠ADB=90° D.AD=BC 请你将该命题的已知与求证补充完整，并完 成证明过程. 已知：如图，在△ABC中，AB= CM. B BN分别为AB,AC边上的中线. (第4题图) (第5题图) 求证： 5.如图，在等边三角形ABC中，CD平分∠ACB. 若AC=10cm,则BD的长为cm. 6.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上 的高，延长BC至点E,使DE=DB.求 ∠BDE的度数， 2.如图，在△ABC中，AB=AC,CE⊥AB于点 E,BD⊥AC于点D.求证：BE=CD. 7.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形， 点E在BC上，连接AE,CD.求证：AE=CD. 知识点2等边三角形的性质 3.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC 上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( A.25 B.60° C.85 D.95 3 芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 (2)求∠ACF的度数. 8.(2024·泰安中考)如图，直线l∥m,等边三 角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线I, m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是 ( ) A.45 B.39 C.29 D.21° C培素养·拓展练 D 13.注重类比探究（教材P7习题T3变式） (第8题图) (第9题图) 如图①，△ABC是等边三角形，M是线段 9.如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E BC上一点，N是线段CA上一点，BM= 在AC上，AE=AD,连接DE,则∠EDC的 CN,直线BN与AM相交于点Q. 度数为 ( (1)求∠BQM的度数. A.15 B.20° C.25 D.30 (2)如图②，若M,N两点分别在线段BC, 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别 CA的延长线上，其他条件不变，(1)中 在边AB和AC上，连接BE,CD,交点为 的结论是否仍然成立？若成立，请加以 E.若AD=专AB,AE=号AC,则下列结论 证明；若不成立，请说明理由. 不一定正确的是 A.BE=CD B.∠ABE=∠ACD C.DF=EF D.CF=CE 图① 图② (第10题图) (第11题图)》 11.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°， BD=BC,则∠1的度数是 12.如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC 的平分线，E为AD上一点，以BE为一边， 在BE下方作等边三角形BEF,连接CF, (1)求证：△ABE≌△CBF; 第一章三角形的证明 4 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 A夯基础·逐点练 5.(教材P10习题T2变式)如图，在△ABC中， 知识点1等腰三角形的判定 ∠ACB=90°，CE是斜边AB上的高，角平分 1.○日常生活情境将一个平板保护套展开放 线BD交CE于点M.求证：△CDM是等腰 置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示 三角形. 若∠ABC=∠ACB,AB=10cm,则AC的 长为 ( A.10 cm B.11 cm C.12 cm D.13 cm (第1题图) (第3题图)》 2.下列三角形中，不是等腰三角形的是( 150 45 A B 知识点2反证法 6.用反证法证明“若a<a,则a为负数”应先 100 假设 ( 409 C D A.a为非负数 B.a为正数 3.如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB, C.a为整数 D.a为负数 交AC于点E.若AC=6cm,EC=4cm,则 7.若要用反证法证明“在Rt△ABC中，∠C= DE的长为 cm. 90°，∠A≠45°，求证：AC≠BC”,第一步应先 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上 假设 一点，∠B=30°，∠DAB=45°.求证：△ADC 8.(教材P9例3变式)用反证法证明“等腰三 是等腰三角形 角形的底角都是锐角” 已知：在△ABC中，AB=AC 求证：∠B,∠C都是锐角. 5 芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 C培素养·拓展练 9.用反证法证明“三角形中至少有一个角不大 14.学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底 于60°”，应假设 ( 边上的中线及底边上的高线互相重合”之 A.三个角都小于609 后，小波同学有如下思考：如果把该定理的 B.三个角都大于60 条件和结论互换，所得的命题是否成立呢？ C.三个角都大于或等于60° 于是他做了如下探究： D.有两个角大于60 (1)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC, 10.如图，在△ABC中，∠BAC=46°，∠B= AD⊥BC,求证：AB=AC: 67°，AD⊥BC于点D.若BC=2cm,则BD (2)如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC, 的长为 ( BD=CD,求证：AB=AC A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm 11.(2024·重庆中考)如图，在△ABC中，AB= 图① 图② AC,∠A=36°，BD平分∠ABC,交AC于 点D.若BC=2,则AD的长为 (第11题图) (第12题图) 12.(教材P10习题T4变式)如图，一艘海轮位 于灯塔P的南偏东70方向的M处，它以 40 n mile/h的速度向正北方向航行，2h后 到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则 N处与灯塔P的距离为n mile. 13.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分 ∠ABC,DE∥AB.若AB=8,求BE+AD 的值. 第一章三角形的证明 6 专题特训：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线【回归教材】 一教材P5习题T6延伸与拓展 类型1利用等腰三角形的“三线合一”作辅类型②逆用“三线合一”构造等腰三角形 助线 方法点拨：如图，在△ABC中，有下列条件： 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 ①AD平分∠BAC:②AD⊥BC,③AD为 点，E,F分别是AB,AC上的点，且AE= BC边上的中线，知其中任意两个，易证 B AF.求证：∠AED=∠AFD.(利用等腰三角 △ABD≌△ACD,进而可得△ABC为等腰三角形. 形的“三线合一”证明) 简言之：三角形一边上的“两线合一”，必等腰 注：此结论在小题里可直接用，解大题时需要写出推 理过程，直接用会扣步骤分。 4.如图，在△ABC中，AB<BC,BP平分∠ABC, AP⊥BP于点P,连接PC.若△ABC的面积 为4，则△BPC的面积为 2.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中 点，延长BC至点E,使CE=CD,连接DE, (第4题图) (变式题图) DF⊥BC于点F.求证：BF=EF, 【变式题】如图，在△ABC中，CD平分 ∠ACB,BD⊥CD于点D,∠ABD=∠A.若 BD=1,BC=3,则AC的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD⊥ AB,BE⊥AC,CD与BE交于点F,求证： AC=AB. 3.一题多解如图，在△ABC中，AB=AC, CD⊥AB于点D.求证：∠BAC=2∠DCB. 7芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 专题特训：等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 类型1腰或底指向不明求等腰三角形的腰 补全该题解析： 长问题 【解析】由题意，得△ABD与△DBC均为等腰三 1.已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为 角形，分三种情况讨论： 5,则它的周长为 ( ①若AB=BD,BD=CD,如 A.18 B.21 C.18或21D.26 图①. 2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角 图① 形的周长分成9和15两部分，则等腰三角形 的腰长为 ②若AB=AD,BD=CD, 类型2腰或底（顶角或底角）指向不明求角 如图② 的度数问题 易错点拔：由三角形的内角和，易知等腰三角形的底角 图② 只可能为锐角。 3.若等腰三角形的一个内角为94°，则它的顶 角的度数为 ③若AD=BD,BD=CD,如 【变式题1】等腰三角形的一个内角为50°，则 图③. D 这个等腰三角形的底角的度数为 图③ 【变式题2】在等腰三角形ABC中，∠A 50°，则∠B的度数为 思维呈现： △ABC (∠A为项角→∠B为底角 类型3当三角形形状不确定时需分类讨论 为等腰分类 ∠B为底角 7.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 讨论 ∠A为底角 三角形 ∠B为顶角 70°，则底角的度数为 4.若等腰三角形的一个内角是50°，则一腰上 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 的高与底边的夹角的度数是 60°，则底角的度数为 5.如图，∠AOB=60°，OC平 类型④与等腰三角形的个数有关的问题 分∠AOB,点E在OA上， 9.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD 且△OCE为等腰三角形， 平分∠ACB,DE∥AC,则图中等腰三角形的 则∠OEC的度数为 个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 思维呈现： △OCE OE=CE1·∠COE1=∠OCE 为等腰分类 讨论 OC=OE→∠OEC=∠OCE 三角形 OC=CE→∠OEC=∠COE (第9题图) (第10题图) 6.有一张三角形纸片ABC,∠A=68°，D是 10.如图，在3×3的正方形网格中，点A,B在格 AC边上的点，沿BD将三角形纸片ABC剪 点上.若点C也在格点上，且△ABC是等腰三 开后，发现所得两部分均为等腰三角形，则 角形，则符合条件的点C的个数为（ ∠C的度数为 A.1 B.2 C.3 D.4 第一章三角形的证明 8 第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 A夯基础·逐点练 知识点2含30°角的直角三角形的性质 知识点①等边三角形的判定 6.日常生活情境如图，在一个斜坡上要栽 1.在△ABC中，∠B=60°，AB=BC=6,则AC 两棵树，BC⊥AC,∠BAC=30°，要求BC的 的长为 ( 长为3m,则AB的长为 ( A.4 B.6 C.8 D.10 A.6 m B.33 m C.9 m D.95m 2.下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形 的是 ( A.∠A=∠B=∠C 30 B.AB=AC,∠B=609 (第6题图) (第7题图) C.∠A=60°，∠B=60° 7.如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D D.AB=AC,∠B=∠C 是BC上一点，BD=3,过点D作DE⊥BC, 3.在△ABC中，∠B=∠C,若添加一个条件使 交AB于点E,则AE的长为 △ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 8.○学科融合·跨物理如图，CD是平面镜，光 ,(写出一个即可) 线从点A出发，经CD上的点O反射后照射 4.日常生活情境某种落地灯的 到点B.若入射角为a,反射角为（反射角等 简易示意图如图所示，已知悬杆 于入射角)，AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点 的CD部分的长度与支杆BC相 D,且∠a=60°，OB=10,则BD的长为 等，且∠BCE=120°.若CD的长 为55cm,则B,D两点之间的距 离为cm, D 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 在AB上，CE∥DA,∠ECB=60°.求证： 过点A作AD⊥AB,交BC于点D,AD=6,求 △BCE是等边三角形. BC的长. 9 芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 (2)若CD=2,求DF的长. 10.(教材P12习题T1变式)如图，△ADE是 等边三角形，DE∥BC.若AD=2,BD=3, 则BC的长为 ( A.1B.2 C.3 D.5 (第10题图) (第11題题图) C培素养·拓展练 11.(教材P12随堂练习变式)如图，在△ABC 15.(教材P35复习题T17变式)如图①，D是 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,CD是 边长是4cm的等边三角形ABC的边AB AB边上的高，则AD的长为 上的一点，作DQ⊥AB,交边BC于点Q, A.5 B.6 C.7 D.8 RQ⊥BC,交边AC于点R,RP⊥AC,交边 12.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所 AB于点E,交QD的延长线于点P. 示的方式放置，已知a=60°，点B,C对应的 (1)求证：△PQR是等边三角形； 刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 (2)若BD=1.3cm,则AE的长是 cm; cm. (3)如图②，当点E恰好与点D重合时，求 BD的长。 D(E 060 M NB (第12题图) (第13题图) 图① 图② 13.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上， OP=12,点M,N在边OB上，PM=PN. 若MN=4,则OM的长为 14.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别 在边BC,AC上，且DE∥AB,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； 提示 请完成几何专蕉（一） 第一章三角形的证明 10