第六单元 正比例和反比例-2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第六单元 正比例和反比例 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•衡水）税率一定，营业额和应交税费　　 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 2．（2分）（2024•临朐县）有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是　　 A．正方形的面积和它的边长。 B．坐高铁从潍坊到济南，火车行驶的速度和时间。 C．聪聪读《夏洛的网》，已读的页数和未读的页数。 D．购买《数学万花筒》的总价和数量。 3．（2分）（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 4．（2分）（2023春•泰安期末）速度一定，路程和时间　　 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 5．（2分）（2024春•湖里区期中）有两个相关联的量，它们的关系可以用如图表示。这两个量可能是　　 A．路程一定时，行驶的时间与行驶的速度。 B．正方体的体积和棱长。 C．某品牌足球的单价一定，购买的费用和数量。 D．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分13分） 6．（1分）（2024•历城区）从家到学校，小明每分钟走的路程和所用时间成 　　比例。 7．（2分）（2024•武宁县模拟）如果，那么和成 　　比例；如果，那么和 　　比例。 8．（2分）（2024春•平舆县期中）如果、均不为，那么与成 　　比例；如果，那么与成 　　比例。 9．（2分）（2024春•正定县期中）混凝土中沙子与石子的比值不变，两个量成 　　比例。如果沙子增加到原来的2倍，石子就 　　。 10．（1分）（2024•襄垣县）如果，那么和成 　　比例关系。 11．（1分）（2024春•瑞金市期中）下面几组相关联的量中，成正比例关系的是 　　。 总价一定，单价和数量。 正方体的底面积一定，体积和高。 圆的周长和半径。 儿童的年龄和身高。 12．（3分）（2023•淮安区）如图描述了一个水池进水管打开后进水情况。 （1）照这样的速度，要进水540立方米，需要 　　分钟；水管放水1.5小时，水池进水量是 　　立方米。 （2）水池的进水量与时间成 　　比例。 13．（1分）（2022•洪山区）已知购买一种苹果，付款金额（元与购买量（千克）之间的关系图像由如图所示的一条线段和一条射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 　　元。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024•立山区）总路程一定，已行的路程和剩下的路程成反比例． 　　．（判断对错） 15．（2分）（2024•茂名）平行四边形的面积一定，它的底和高成正比例． 　　．（判断对错） 16．（2分）（2024春•通道县期中）如果一定），那么和成正比例。 　　（判断对错） 17．（2分）（2024春•郸城县期中）等边三角形的周长和边长成正比例． 　　．（判断对错） 18．（2分）（2023•黄梅县模拟）如果，则与成反比例　 　（判断对错） 四．联系生活，解决问题（共5小题，满分22分） 19．（4分）（2024•鲅鱼圈区）买笔记本的数量和总价的关系如表： 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 6 （1）将表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）数量和总价之间成 　　比例。 （4）如果买9本笔记本，需要 　　元钱，19.5元能买 　　本笔记本。 20．（4分）（2024春•晋源区期中）小丽调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了25毫升蜂蜜和200毫升水，第二杯用了30毫升蜂蜜和270毫升水。 （1）请你判断两杯蜂蜜水中蜂蜜与水的体积比，看看它们能否组成比例。 （2）按照第二杯蜂蜜水中蜂蜜与水的体积比计算，配置500毫升蜂蜜水，需要蜂蜜和水各多少毫升？ 21．（6分）（2023•西双版纳）红星小学六（1）班正在研讨“一摞白纸大约有多少张？”的问题，实践后发现： （1）每10张白纸的质量是一定的，白纸总质量与总页数成正比例关系。 （2）先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。 （3）称得这摞白纸总质量是6600克。 请根据六（1）班的研究思路解答“这摞白纸大约有多少张？”的问题。 22．（4分）（2023•南京模拟）小美给一间房屋的地面铺方砖，可选方砖的尺寸与所需数量如表所示。（每块方砖都用完） 每块方砖的边长 2 3 4 6 每块方砖的面积 4 9 16 所需方砖的数量块 360 160 （1）将表格填写完整。 （2）每块方砖的 　　与所需方砖的数量成 　　比例。 （3）如果用边长为12分米的方砖铺这间房屋，需要多少块这样的方砖？ 23．（4分）（2023•五华县）下面是某辆汽车行驶路程与耗油量的对应数值表。 所行路程 0 5 10 15 20 25 耗油量 0 1 2 3 4 5 （1）汽车的行驶路程与耗油量成 　　比例关系。（填“正”或“反” （2）把这辆汽车的行驶路程与耗油量所对应的点在右下图中描出来，并连线。 （3）所行驶路程用表示，耗油量用表示，写出与的关系式。 （4）这辆汽车行驶125千米的耗油量是 　　升。 五．动手动脑，实践操作（共3小题，满分15分） 24．（4分）（2022•宁强县）某台榨油机的生产时间与产量的关系如下。 生产时间时 0 1 2 3 4 5 6 产量吨 0 4 8 12 16 20 24 （1）判断这台榨油机的生产时间与产量是不是成正比例，并说明理由。 （2）根据表中数据，在图中描出这台榨油机的生产时间与产量所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3）这台榨油机4.5时可以榨 　　吨油；榨70吨油需要 　　时。 25．（6分）（2022春•沭阳县校级月考）小红和小丽用计算机打字的数量和所用的时间如下表。 时间分 2 4 6 8 10 12 小红个数 100 200 300 400 500 600 小丽个数 150 250 350 500 600 700 （1）根据表中的数据在下图中描出每人打字时间和打字个数所对应的点，并按顺序连接起来。 （2）从图像可以看出，　　所打字时间和打字个数成 　　比例 （3）9分时小红大约打字 　　个，小丽大约打字 　　个。 （4）两个人相比，　　打字的平均速度快些。 26．（5分）（2016春•旅顺口区校级月考）如图是大连到沈阳次高速动车运行情况图．（假设匀速行驶） （1）从图上看，高速动车4分行驶　　千米； （2）高速动车的速度是　　千米时； （3）高速动车所行驶的路程和时间成　　比例； （4）大连到沈阳的里程是390千米，高速动车需　　时到达． （5）高速动车3.5分大约行驶到哪里，请你在图上标出来． 六．能力提升，突破自我（共5小题，满分30分） 27．（6分）（2024春•市南区期中）按要求做题。 小玲用计算机打字的个数和所用的时间如表： 时间分 2 4 6 8 10 12 数量个 100 200 300 400 500 600 （1）小玲打字的个数和所用的时间成 　　比例。 （2）根据表中的数据，在如图中描出打字数量与时间所对应的点，再把它们按顺序连接起来。 （3） 根据如图估计小玲5分钟能打 　　个字，打750个字需要 　　分钟。 28．（6分）（2024•保定）今年前两个月，雄安新区邮政行业寄递业务量完成2229.7万件，同比增长，其中快递业务量完成2104.1万件，同比增长。一个机器人分拣邮包的时间和数量如表： 分拣时间小时 1 2 3 4 5 6 分拣数量件 150 300 450 600 750 900 （1）表中变化的量是分拣 　　和分拣 　　。 （2）4小时分拣 　　件邮包；分拣1950件邮包需要 　　小时。 （4） 表中的两种量成 　　比例关系。 29．（6分）（2024•礼泉县）礼泉大棚杏是礼泉的特产之一，购买一种礼泉大棚杏的箱数与总价如下表。 箱数（箱 0 1 2 3 4 5 6 总价（元 0 25 50 75 100 125 150 （1）购买这种礼泉大棚杏的箱数与总价成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出表示箱数和总价相对应的点，再按顺序连起来。 （3）500元最多可以购买多少箱这种礼泉大棚杏？ 30．（6分）（2023•颍东区）王师傅每小时做30个零件，2小时、3小时各需要多少个？ （1）完成下表． 工作时间时 1 2 3 4 5 工作总量个 30 （2）工作时间与工作总量成正比例吗？ （3）根据表先在图中描出各点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点在这条直线上吗？这一点表示什么？ 31．（6分）（2023•紫阳县）一根弹簧挂上物体（质量不超过 20千克）后长度会伸长。如表是挂上物体的质量和弹簧伸长的长度的变化情况。 挂上物体的质量千克 0 2 4 6 8 10 12 弹簧伸长的长度厘米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （1）判断挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成什么比例？并说明理由。 （2）根据表中数据，在如图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3）如果挂上9千克的物体，那么弹簧伸长 　　厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第六单元 正比例和反比例 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024•衡水）税率一定，营业额和应交税费　　 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 【思路点拨】根据公式：应交税费营业额税率，结合成正比例的两个量的关系判断即可。 【规范解答】解：税率一定，营业额和应交税费成正比例关系。 故选：。 【考点评析】本题主要考查正比例、反比例的判断。 2．（2分）（2024•临朐县）有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是　　 A．正方形的面积和它的边长。 B．坐高铁从潍坊到济南，火车行驶的速度和时间。 C．聪聪读《夏洛的网》，已读的页数和未读的页数。 D．购买《数学万花筒》的总价和数量。 【思路点拨】由图像可知，两个相关联的量成正比例关系。两种相关联的量，如果这两种量的比值一定，这两种量成正比例关系；如果这两种量的乘积一定，这两种量成反比例关系。据此解答。 【规范解答】解：由图像可知，两个相关联的量成正比例关系。 正方形的面积边长边长，正方形的面积和它的边长不成比例，不符合题意； 速度时间路程（一定），乘积一定，火车行驶的速度和时间成反比例关系，不符合题意； 已读页数未读页数总页数（一定），和一定，已读页数和未读页数不成比例，不符合题意； 总价数量单价（一定），商一定，王老师购买《数学万花筒》的总价和数量成正比例关系，符合题意。 故选：。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，关键看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。 3．（2分）（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 【思路点拨】两种相关联的量，如果比值一定，就成正比例关系，如果乘积一定，就成反比例关系； （1）订同一份杂志时，钱数和份数的比值一定，据此分析； （2）正方形的面积边长边长，即正方形的面积与它的边长的比值不一定，据此分析； （3）圆的面积直径直径，由此判断； （4）三角形的底高面积，由此判断。 【规范解答】解：（1）订杂志的钱数份数每份的钱数，订同一份杂志时，每份的钱数不变，则订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系； （2）正方形的面积边长边长，因此正方形的面积和它的边长不成正比例关系； （3）圆的面积和它的直径不成反比例关系； （4）三角形的底高面积，则三角形的面积一定时，它的底和高成反比例关系。 综上所述，正确的是（1）（4），共2个。 故选：。 【考点评析】本题考查的是正比例和反比例的应用。 4．（2分）（2023春•泰安期末）速度一定，路程和时间　　 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【思路点拨】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：因为路程时间速度（一定）， 是比值一定，符合正比例的意义，所以速度一定，路程和时间成正比例； 故选：． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 5．（2分）（2024春•湖里区期中）有两个相关联的量，它们的关系可以用如图表示。这两个量可能是　　 A．路程一定时，行驶的时间与行驶的速度。 B．正方体的体积和棱长。 C．某品牌足球的单价一定，购买的费用和数量。 D．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。 【思路点拨】由图可知，这两个相关联的量成正比例关系，据此解答即可。 【规范解答】解：由图可知，这两个相关联的量成正比例关系。 速度时间路程（一定），路程一定，即乘积一定，所以行驶速度和行驶时间成反比例； 正方体的体积棱长棱长棱长（不一定），商不一定，所以正方体的体积和棱长不成比例； 总费用数量单价（一定），积一定，某品牌足球的单价一定，购买的费用和数量成正比例； 已读的页数未读的页数总页数（一定），和一定，所以已读的页数和未读的页数不成比例。 故选：。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分13分） 6．（1分）（2024•历城区）从家到学校，小明每分钟走的路程和所用时间成 　反　比例。 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】解：小明从家到学校，路程一定，即速度时间路程（一定），乘积一定，所以小明每分钟走的路程和所用时间成反比例。 故答案为：反。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 7．（2分）（2024•武宁县模拟）如果，那么和成 　反　比例；如果，那么和 　　比例。 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】解：由分析可得：由，所以（一定），是乘积一定，所以和成反比例； 由，所以（一定），是比值一定，所以和成正比例。 故答案为：反，正。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个变量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再判断即可。 8．（2分）（2024春•平舆县期中）如果、均不为，那么与成 　正　比例；如果，那么与成 　　比例。 【思路点拨】两种相关联量，一种量变化另一种量也随着变化，这两种相关联的量，如果比值一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。据此判断。 【规范解答】解：如果、均不为，那么与成正比例；如果，那么与成反比例。 故答案为：正，反。 【考点评析】熟练掌握辨别成正比例的量与成反比例的量的方法是解答本题的关键。 9．（2分）（2024春•正定县期中）混凝土中沙子与石子的比值不变，两个量成 　正　比例。如果沙子增加到原来的2倍，石子就 　　。 【思路点拨】正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系就叫作正比例关系；如果其中一个量增加到原来的2倍，为了保持比值不变，另一个量也应增加到相同的倍数。据此解答即可。 【规范解答】解：混凝土中沙子与石子的比值不变，说明沙子和石子的比值是一个定值，所以两个量成正比例，为了保持比值不变，沙子增加到原来的2倍，石子就增加到原来的2倍。 故答案为：正；增加到原来的2倍。 【考点评析】本题考查正比例的概念及应用。 10．（1分）（2024•襄垣县）如果，那么和成 　正　比例关系。 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】解：如果，那么，和的商一定，所以和成正比例关系。 故答案为：正。 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 11．（1分）（2024春•瑞金市期中）下面几组相关联的量中，成正比例关系的是 　　。 总价一定，单价和数量。 正方体的底面积一定，体积和高。 圆的周长和半径。 儿童的年龄和身高。 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】解：因为数量单价总价（一定），两个数的乘积一定，所以单价和数量成反比例，本选项不符合题意； 正方体的底面积一定，说明高和体积是个定值，不存在变量，所以高和体积不成比例。本选项不符合题意； 圆的周长半径，两个数的比值一定，所以圆的周长和半径成正比例，本选项符合题意； 儿童的年龄和身高不成比例，本选项不符合题意。 故答案为：。 【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断。 12．（3分）（2023•淮安区）如图描述了一个水池进水管打开后进水情况。 （1）照这样的速度，要进水540立方米，需要 　27　分钟；水管放水1.5小时，水池进水量是 　　立方米。 （2）水池的进水量与时间成 　　比例。 【思路点拨】（1）先求进水的速度，，再求需要的时间，；根据，求水池的进水量。 （2）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。 【规范解答】解：（1）（立方米分） （分钟） （立方米） （2）（立方米分） （立方米分） （立方米分） （立方米分） （立方米分） 水池的进水量与时间成正比例。 故答案为：（1）27，1800。 （2）正。 【考点评析】此题考查了正比例在生活中的应用和如何判断正比例和反比例，要求学生理解。 13．（1分）（2022•洪山区）已知购买一种苹果，付款金额（元与购买量（千克）之间的关系图像由如图所示的一条线段和一条射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 　2　元。 【思路点拨】根据图象可知，当购买不多于2千克时，每千克苹果的价格为：（元； 所以分三次购买1千克这种苹果需要（元； 当时，每千克苹果单价是（元，则一次购买3千克这种苹果则需要（元，因此可节省：（元。 【规范解答】解：（元 分三次购买1千克这种苹果需要：（元 每千克苹果单价是（元 则一次购买3千克这种苹果：（元 节省：（元 答：则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克苹果可节省2元。 故答案为：2。 【考点评析】考查分级计算计费的知识点，图像是解题的依据。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024•立山区）总路程一定，已行的路程和剩下的路程成反比例． 　　．（判断对错） 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：因为已走的路程剩下的路程总路程（一定），是和一定， 所以已走的路程和剩下的路程不成反比例； 故答案为：． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 15．（2分）（2024•茂名）平行四边形的面积一定，它的底和高成正比例． 　　．（判断对错） 【思路点拨】判断平行四边形的底和高是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例． 【规范解答】解：因为底高平行四边形的面积（一定） 是对应的乘积一定， 符合反比例的意义，所以平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例； 故判断为：． 【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，再做出判断． 16．（2分）（2024春•通道县期中）如果一定），那么和成正比例。 　　（判断对错） 【思路点拨】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【规范解答】解：如果，一定，则一定，即、的乘积一定，那么和成反比例。原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是辨识成正比例的量与成反比例的量的应用。 17．（2分）（2024春•郸城县期中）等边三角形的周长和边长成正比例． 　　．（判断对错） 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例 【规范解答】解：等边三角形周长边长（一定），所以等边三角形的周长和边长成正比例． 故答案为：． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 18．（2分）（2023•黄梅县模拟）如果，则与成反比例　　（判断对错） 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：如果，即，是乘积一定，则与成反比例； 故答案为：． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 四．联系生活，解决问题（共5小题，满分22分） 19．（4分）（2024•鲅鱼圈区）买笔记本的数量和总价的关系如表： 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 6 （1）将表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）数量和总价之间成 　正　比例。 （4）如果买9本笔记本，需要 　　元钱，19.5元能买 　　本笔记本。 【思路点拨】（1）根据表格中的数据规律，相对应数的商相等填表即可； （2）根据表格中的数据描点画图即可； （3）根据两个数量相对应的数的商一定，再根据正比例的意义可进行判断； （4）利用单价一定，总价与数量成正比例解答即可。 【规范解答】解：（1） 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 （2）； （3），，， 所以数量和总价之间成正比例； （4）设需要元。 设可以买本。 所以如果买9本笔记本，需要13.5元钱，19.5元能买13本笔记本。 故答案为：（1）4.5；7.5；9；10.5；（3）正；（4）13.5；13。 【考点评析】本题考查的是正反比例的相关知识，关键是看这两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例；会运用正反比例知识解决问题。 20．（4分）（2024春•晋源区期中）小丽调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了25毫升蜂蜜和200毫升水，第二杯用了30毫升蜂蜜和270毫升水。 （1）请你判断两杯蜂蜜水中蜂蜜与水的体积比，看看它们能否组成比例。 （2）按照第二杯蜂蜜水中蜂蜜与水的体积比计算，配置500毫升蜂蜜水，需要蜂蜜和水各多少毫升？ 【思路点拨】（1）根据每杯中蜂蜜和水的数量写出比，如果比值相等，就能成比例，否则不成比例。 （2）设需要蜂蜜毫升，则水是毫升，根据蜂蜜和水的比是，列出比例式：，再解比例即可。 【规范解答】解：（1） ，所以不能组成比例。 答：它们不能组成比例。 （2）设需要蜂蜜毫升，则水是毫升。 水位：（毫升） 答：需要蜂蜜50毫升，需要水450毫升。 【考点评析】此题考查比例的认识和比的应用。解答的关键是掌握比例的意义和比例的灵活应用。 21．（6分）（2023•西双版纳）红星小学六（1）班正在研讨“一摞白纸大约有多少张？”的问题，实践后发现： （1）每10张白纸的质量是一定的，白纸总质量与总页数成正比例关系。 （2）先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。 （3）称得这摞白纸总质量是6600克。 请根据六（1）班的研究思路解答“这摞白纸大约有多少张？”的问题。 【思路点拨】根据题意，先数出50张白纸，再称出这50张白纸，正好是220克。可知一张白纸的质量，然后称得这摞白纸总质量是6600克。用总质量除以一张纸的质量，解答即可。 【规范解答】解：（克 （张 答：这摞白纸大约有1500张。 【考点评析】此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量的实际应用，结合题意分析解答即可。 22．（4分）（2023•南京模拟）小美给一间房屋的地面铺方砖，可选方砖的尺寸与所需数量如表所示。（每块方砖都用完） 每块方砖的边长 2 3 4 6 每块方砖的面积 4 9 16 所需方砖的数量块 360 160 （1）将表格填写完整。 （2）每块方砖的 　面积　与所需方砖的数量成 　　比例。 （3）如果用边长为12分米的方砖铺这间房屋，需要多少块这样的方砖？ 【思路点拨】（1）根据方砖的边长，利用正方形面积公式：，计算每块方砖的面积；求出房屋地面的面积，再用房屋地面的面积分别除以方砖的面积，就能求出方砖的块数； （2）两种相关联的量如果是乘积一定，就成反比例，如果比值一定，就成正比例。据此进行判断即可完成填空； （3）根据方砖的边长，利用正方形面积公式：，计算每块方砖的面积，再用房屋地面的面积除以方砖的面积，计算所需方砖的块数。 【规范解答】解：（1）（平方分米） （块 （块 如表： 每块方砖的边长 2 3 4 6 每块方砖的面积 4 9 16 36 所需方砖的数量块 360 160 90 40 （2）（一定） 答：每块方砖的面积与所需方砖的数量成反比例。 （3） （块 答：需要12块这样的方砖。 故答案为：面积，反。 【考点评析】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 23．（4分）（2023•五华县）下面是某辆汽车行驶路程与耗油量的对应数值表。 所行路程 0 5 10 15 20 25 耗油量 0 1 2 3 4 5 （1）汽车的行驶路程与耗油量成 　正　比例关系。（填“正”或“反” （2）把这辆汽车的行驶路程与耗油量所对应的点在右下图中描出来，并连线。 （3）所行驶路程用表示，耗油量用表示，写出与的关系式。 （4）这辆汽车行驶125千米的耗油量是 　　升。 【思路点拨】（1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。 （2）根据给出的信息作图即可。 （3）定值。 （4）解比例即可。 【规范解答】解：（1）汽车的行驶路程与耗油量的比是一个定值，所以汽车的行驶路程与耗油量成正比例关系。 （2） （3）。 （4） 答：这辆汽车行驶125千米的耗油量是25升。 故答案为：（1）正。（3）。（4）25。 【考点评析】此题考查了判断正比例和反比例，以及正比例画图和解比例，要求学生掌握。 五．动手动脑，实践操作（共3小题，满分15分） 24．（4分）（2022•宁强县）某台榨油机的生产时间与产量的关系如下。 生产时间时 0 1 2 3 4 5 6 产量吨 0 4 8 12 16 20 24 （1）判断这台榨油机的生产时间与产量是不是成正比例，并说明理由。 （2）根据表中数据，在图中描出这台榨油机的生产时间与产量所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3）这台榨油机4.5时可以榨 　18　吨油；榨70吨油需要 　　时。 【思路点拨】（1）求出产量与生产时间的比，求出比值后即可判断。 （2）依据表中的数据描点并连线。 （3）根据生产时间、产量和每小时的生产量之间的关系解答。 【规范解答】解：（1） 产量与生产时间的比值一定，产量与生产时间成正比例。 （2） （3）（吨 （时 故答案为：18，7.5。 【考点评析】本题考查了成正比例关系的判断、正比例图像的画法及利用正比例关系解决问题，属于基础知识，需熟练掌握。 25．（6分）（2022春•沭阳县校级月考）小红和小丽用计算机打字的数量和所用的时间如下表。 时间分 2 4 6 8 10 12 小红个数 100 200 300 400 500 600 小丽个数 150 250 350 500 600 700 （1）根据表中的数据在下图中描出每人打字时间和打字个数所对应的点，并按顺序连接起来。 （2）从图像可以看出，　小红　所打字时间和打字个数成 　　比例 （3）9分时小红大约打字 　　个，小丽大约打字 　　个。 （4）两个人相比，　　打字的平均速度快些。 【思路点拨】（1）根据表中的数据在图中描点、连线即可； （2）根据正比例的图像是一条直线，且比值一定，反比例的图像是一条曲线，且乘积一定，据此解答； （3）用小红每分钟打字的个数乘9，由表中小丽打字的时间与个数的关系：前2分钟打150个字，以后每增加2分钟，增加100个字，据此解答； （4）根据（1）中的图像进行判断。 【规范解答】解：（1） （2）从图像可以看出，小红所打字时间和打字个数成正比例； （3） （个 （个 答：9分时小红大约打字450个，小丽大约打450个； （4）根据（1）中的图像可知，小丽打字的平均速度快些。 故答案为：小红，正；450，450；小丽。 【考点评析】能利用表中的数据，描点连线、明确正比例图像的特点、会求每分钟打字的字数是解题的关键。 26．（5分）（2016春•旅顺口区校级月考）如图是大连到沈阳次高速动车运行情况图．（假设匀速行驶） （1）从图上看，高速动车4分行驶　16　千米； （2）高速动车的速度是　　千米时； （3）高速动车所行驶的路程和时间成　　比例； （4）大连到沈阳的里程是390千米，高速动车需　　时到达． （5）高速动车3.5分大约行驶到哪里，请你在图上标出来． 【思路点拨】（1）通过观察折线统计图可知：高速动车4分钟行驶16千米； （2）高速动车的速度是千米时； （3）因为速度（一定），所以高速动车所行驶的路程和时间成正比例； （4）根据时间路程速度，据此列式解答； （5）首先根据速度时间路程，求出3.5分钟行驶多少千米，然后在图中标出来即可． 【规范解答】解：（1）答：高速动车4分钟行驶16千米． （2）（千米时）； 答：高速动车的速度是240千米时． （3）因为速度（一定），所以高速动车所行驶的路程和时间成正比例． （4）（小时）； 答：高速动车需要1.625小时． （5）（千米）； 故答案为：16；4；正；1.625． 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题． 六．能力提升，突破自我（共5小题，满分30分） 27．（6分）（2024春•市南区期中）按要求做题。 小玲用计算机打字的个数和所用的时间如表： 时间分 2 4 6 8 10 12 数量个 100 200 300 400 500 600 （1）小玲打字的个数和所用的时间成 　正　比例。 （2）根据表中的数据，在如图中描出打字数量与时间所对应的点，再把它们按顺序连接起来。 （3）根据如图估计小玲5分钟能打 　　个字，打750个字需要 　　分钟。 【思路点拨】（1）每分钟打字的数量是定值，即打字数量时间打字速度（定值），商一定即成正比例； （2）根据表中的数据绘制即可； （3）根据图示（2）直接作答即可。 【规范解答】解：（1）（个分钟），即小玲打字的个数和所用的时间成正比例。 （2）如下图所示： （3）根据（2）图示可知，小玲5分钟能打250个字，打750个字需要15分钟。 故答案为：（1）正；（3）250，15。 【考点评析】本题考查了正比例的辨识方法。 28．（6分）（2024•保定）今年前两个月，雄安新区邮政行业寄递业务量完成2229.7万件，同比增长，其中快递业务量完成2104.1万件，同比增长。一个机器人分拣邮包的时间和数量如表： 分拣时间小时 1 2 3 4 5 6 分拣数量件 150 300 450 600 750 900 （1）表中变化的量是分拣 　时间　和分拣 　　。 （2）4小时分拣 　　件邮包；分拣1950件邮包需要 　　小时。 （3）表中的两种量成 　　比例关系。 【思路点拨】（1）观察统计表可知； （2）由统计表可知4小时分拣多少件邮包，1小时分拣150件，用1950除以150即可求出分拣1950件邮包需要的时间； （3）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 【规范解答】解：（1）表中变化的量是分拣时间和分拣数量。 （2）（小时） 答：4小时分拣600件邮包；分拣1950件邮包需要13小时。 （3）分拣时间和分拣数量这两种量中相对应的两个数的比值都等于150，所以表中的两种量成正比例关系。 故答案为：（1）时间；数量；（2）600；13；（3）正。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用，两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 29．（6分）（2024•礼泉县）礼泉大棚杏是礼泉的特产之一，购买一种礼泉大棚杏的箱数与总价如下表。 箱数（箱 0 1 2 3 4 5 6 总价（元 0 25 50 75 100 125 150 （1）购买这种礼泉大棚杏的箱数与总价成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出表示箱数和总价相对应的点，再按顺序连起来。 （3）500元最多可以购买多少箱这种礼泉大棚杏？ 【思路点拨】（1）总价数量单价，单价一定，所以购买这种礼泉大棚杏的箱数与总价成正比例； （2）根据统计表制作统计图即可解答； （3）总价单价数量，代入数值即可解答。 【规范解答】解：（1）（元箱） （元箱） （元箱） （元箱） （元箱） （元箱） 单价一定，所以购买这种礼泉大棚杏的箱数与总价成正比例； （2） （3）（箱 答：500元最多可以购买20箱这种礼泉大棚杏。 【考点评析】本题主要考查正比例、反比例的应用，掌握正比例、反比例的意义是解答题目的关键。 30．（6分）（2023•颍东区）王师傅每小时做30个零件，2小时、3小时各需要多少个？ （1）完成下表． 工作时间时 1 2 3 4 5 工作总量个 30 （2）工作时间与工作总量成正比例吗？ （3）根据表先在图中描出各点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点在这条直线上吗？这一点表示什么？ 【思路点拨】（1）根据“工作量工作效率工作时间”即可分别求出加工2小时、3小时的个数，然后填表． （2）工作效率（一定，都是30个），根据两种相关联的量、，当（一定）时，这两种量成正比例即可判定． （3）根据统计表中的数据，在图中描出加式时间与对应的个数的点，然后依次连接并标上数据．会发现这些点在一条直线上． （4）只要是纵数上的数（加工的总个数）除以横轴上的数（时间）的商（即工作效率一定（都是，这个点就在这条直线上．该点纵轴上数据表示加工的个数，横轴上的数据表示时间． 【规范解答】解：（1）（个，（个，（个，（个 根据计算结果填表如下： 工作时间时 1 2 3 4 5 工作总量个 30 60 90 120 150 　答：作时间与工作总量成正比例． （3）根据表先在图中描出各点，再顺次连接各点（下图） 答：我发现这些点在一条直线上． （4） 答：点在这条直线上，表示8时加工240个零件． 【考点评析】此题主要是考查正、反比例的意义．两种相关联的量，一种量变化另一种量也随关变化，如果这两种量的商一定，这两种量成正比例，如下积一定，这两种量成反比例． 31．（6分）（2023•紫阳县）一根弹簧挂上物体（质量不超过 20千克）后长度会伸长。如表是挂上物体的质量和弹簧伸长的长度的变化情况。 挂上物体的质量千克 0 2 4 6 8 10 12 弹簧伸长的长度厘米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （1）判断挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成什么比例？并说明理由。 （2）根据表中数据，在如图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3）如果挂上9千克的物体，那么弹簧伸长 　2.25　厘米。 【思路点拨】（1）根据物体的质量与弹簧伸长的长度是两种相关联的量，求出每个相对应的物体的质量与弹簧伸长的长度的比值，挂上物体的质量：弹簧伸长的长度（比值一定），就可以得出结论。 （2）根据题干给出的数据描出物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把它们连接起来即可。 （3）先求出物体的质量与弹簧伸长的长度的比值，再根据它们之间的关系，用物体的质量除以质量与弹簧伸长的长度的比值，列式求解即可。 【规范解答】解：（1）挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。因为，，，，，，挂上物体的质量：弹簧伸长的长度（比值一定），所以挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。 （2）根据表中数据，在下图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。（如图） （3） （厘米） 所以如果挂上9千克的物体，那么弹簧应伸长2.25厘米。 故答案为：2.25。 【考点评析】此题考查了绘制单式折线统计图，考查了学生分析数据的能力，还考查了正比例的知识的应 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$