（同步讲练篇）第一单元（圆柱、圆锥的体积·9大考点+知识点）-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册（北师大版）

六年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度六年级数学下册·同步讲练篇 第一单元 圆柱与圆锥 （圆柱、圆锥的体积） 考点详解 2 考点1：圆柱的体积计算 2 考点2：圆柱的容积 3 考点3：立体图形的切拼（圆柱） 4 考点4：圆柱与圆锥体积的关系 6 考点5：圆锥的体积（容积）计算 7 考点6：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 9 考点7：立体图形的切拼（圆锥） 10 考点8：组合体的体积（圆柱、圆锥） 11 考点9：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 13 巩固提升 14 一、仔细想，认真填。 14 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 14 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 15 四、计算小能手。 16 五、解决问题。 16 考点详解 考点1：圆柱的体积计算 知识点：圆柱体积 = 底面积×高。 公式变形： 已知底面半径和高：； 已知底面直径和高：； 已知底面周长和高：。 例题： 西游记中的孙悟空正直勇敢、嫉恶如仇，他有一件神奇的兵器叫如意金箍棒，可以任意缩小或放大。如果孙悟空把如意金箍棒变化成底面周长是6.28分米，长是100分米的圆柱形铁棒，那么此时，它的体积是多少立方分米？ 练习： 1．李师傅要做一个零件（如图），有一个棱长6厘米的正方体铁块，在它的两个底面之间挖一个圆柱形圆孔，圆孔的底面直径是4厘米，剩下的部分就是这个零件了，此时零件的体积是多少立方厘米？ 2．如下图所示，李叔叔在院子里用砖和水泥砌一个圆柱形的鱼池，墙厚20厘米（底面利用原来的水泥地）。 （1）这个鱼池墙体的体积是多少立方米？ （2）如果给这个鱼池的内部和外部的所有面都贴上瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？ 3．学校一个自来水管的内直径是2厘米，水管内水流的速度是每秒5厘米。一位同学洗手后忘记关水龙头，10分钟可以浪费多少升水？ 考点2：圆柱的容积 知识点：圆柱形容器的容积计算方法与体积相同（），但需从容器内部测量数据，容积单位常用升（L）、毫升（mL），且升 立方分米，毫升 立方厘米。 例题： 一块长12.56分米、宽10分米的长方形铁皮，以宽为高，将长方形铁皮卷成一个圆柱形水桶的侧面，再配一个底面，制成一个水桶，这个水桶的客积是多少升？（铁皮厚度、按口处均忽略不计） 练习： 1．如图是一块长20.7分米的长方形铁皮，阴影部分的铁皮刚好能做一个一系盖的圆柱形水桶，这个水桶的容积是多少立方分米？ 2．一个圆柱形木桶，底面内圆的周长为6.28分米，桶口距底面最大高度为9分米，最低高度为7分米。这个木桶如下图放置时，最多能装多少升水？ 3．把一瓶2升的可乐倒入底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中（杯壁厚度忽略不计），最多能倒满多少杯？ 考点3：立体图形的切拼（圆柱） 知识点： 横切圆柱：每切一次增加两个底面的面积； 把圆柱切拼成近似长方体：体积不变，表面积增加两个以圆柱的高和底面半径为边长的长方形面积。 例题： 王大爷要给在上海工作的儿子快递4罐茶叶（如图所示），为便于堆放，快递公司决定用长方体纸箱包装。请你帮忙设计一种包装方案（画出草图），并计算所需纸皮的面积（拼接部分忽略不计）。 底面直径8cm，高10cm 练习： 1．如图是实验小学10周年校庆纪念品示意图（单位：厘米）。加工时，一个底面半径3厘米的圆柱形的有机玻璃正好可以截成两个这样的纪念品。一个纪念品的体积是多少？ 2．在探究圆柱体积公式的过程中，宁宁把一个圆柱的底面分成若干个相等的小扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图），拼成的近似长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了200平方厘米。已知圆柱的高是10厘米，则圆柱的体积是多少？ 3．一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 考点4：圆柱与圆锥体积的关系 知识点：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的倍，圆锥体积是圆柱体积的。 例题： 一个圆柱形橡皮泥，底面积是12平方厘米，高是5厘米。 （1）如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是多少？ （2）如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少？ 练习： 1．积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？取 2．如图，长方形ABCD的长是4厘米。宽是3厘米，对角线AC把长方形分成阴影和空白两个三角形。以AB所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是多少？ 3．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 考点5：圆锥的体积（容积）计算 知识点：圆锥体积 = ×底面积×高。 公式变形： 已知底面半径和高：； 已知底面直径和高：； 已知底面周长和高：。 例题： 一个粮仓如图，如果每立方米粮食的质量为700千克，这个粮仓最多能装多少千克粮食？ 练习： 1．张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得它的底面周长是9.42米，高是2米，这堆小麦的体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量为多少千克？ 2．如图，测量中经常使用铅锤。这个铅锤的体积是多少立方厘米？（结果保留两位小数） 3．一个长方体的木块，它的长、宽、高的比是。这个长方体木块的长是24厘米，现在将这个长方体木块削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 考点6：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 知识点：在体积不变的情况下，圆柱和圆锥的底面积与高成反比例关系。例如，将圆柱熔铸成等体积的圆锥，若底面积不变，圆锥的高是圆柱高的倍。 例题： 一个圆锥形的沙堆，底面积是1884平方米，高4米，把这堆沙铺在宽10米的公路路面上，如果铺0.02米厚，能铺多长？ 练习： 1．一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 2．一个无盖的圆柱形小水桶，底面直径是2分米，高是3分米，制作这样一个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？若水桶装满水后再放入一个和圆柱等底等高的圆锥形铁块（铁皮厚度忽略不计），则水会溢出多少升？ 3．在一个从里面量底面周长为12.56分米，高为3分米的圆锥形量杯里装满水，把它倒入一个从里面量底面长为4分米，宽为2分米的空的长方体容器里。这个长方体容器里的水面高度是多少分米？ 考点7：立体图形的切拼（圆锥） 知识点：沿着圆锥底面直径且经过顶点切开，表面积增加两个三角形的面积，三角形的底是圆锥底面直径，高是圆锥的高。 例题： 用下面的正方体木块制作一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少？ 练习： 1．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 2．将一块底面周长是12.56厘米、高是6厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半（如图），切面是什么图形？每个切面的面积是多少平方厘米？ 3．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 考点8：组合体的体积（圆柱、圆锥） 知识点：将组合体分解为圆柱、圆锥等基本立体图形，分别计算各部分体积后再求和或求差。例如，由圆柱和等底圆锥组成的组合体，体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积。 例题： 用等底等高的圆柱和圆锥合在一起做成水箱，高都是3米，圆柱的底面周长为6.28米，现往水箱内每分注入0.8立方米水，从空箱到注满，一共需要多少分？（厚度忽略不计） 练习： 1．如图，当梯形以AB为轴旋转一周后，所形成立体图形的体积是多少？（单位：厘米） 2．2023年5月30日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得园满成功。整流置是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。学校创客小组制作了运载火箭整流置的模型（如图所示），请问这个整流置模型的体积是多少？ 3．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 考点9：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 知识点：借助排水法，将不规则物体放入盛有液体的圆柱或圆锥形容器中，不规则物体体积 = 容器底面积×液体高度变化量。 例题： 一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 练习： 1．在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 2．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 3．一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 巩固提升 一、仔细想，认真填。 1．一个圆柱体木材，长1米，底面直径是6分米，从它上面挖出一个最大的圆锥体，这个圆锥的体积是 立方分米，剩余部分的体积是 立方分米。 2．3.5( )    3400( ) 2300( )    6.5L( ) 0.083( )    4000( )( ) 3．已知一个圆锥与一个圆柱等底等高，且它们的体积和是32立方厘米，那么这个圆锥的体积是( )立方厘米。 4．一根圆木长3米，横截成2段后，表面积增加0.3平方米，则这根圆木的体积是( )立方米。 5．一个长方形，长8厘米，宽6厘米，以长为轴旋转一周，形成圆柱，以宽为轴旋转一周，形成圆柱（如图）。圆柱和圆柱体积的最简整数比是( )∶( )。 6．把一根长5米的圆柱木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是( )立方米。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 7．将两根完全一样的圆柱拼成一个大圆柱，拼成后的大圆柱与原来两的两个圆柱相比体积不变，表面积变了。( ) 8．如果两个圆柱的侧面积相等，那么它们的体积也相等。( ) 9．体积相等的两个圆柱，它们一定等底等高。( ) 10．一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是6∶1，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。( ) 11．等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积比圆锥大30立方分米，则圆柱的体积是30立方分米。( ) 12．一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积和是251.2立方米，这个圆锥的体积是62.8立方米。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 13．将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了（    ）。 A．0.4m2 B．0.6m2 C．0.8m2 D．0.2m2 14．一个长方形的长是4厘米，宽是3厘米，分别以长和宽为轴旋转一周后形成两个圆柱（如图），关于这两个圆柱的说法正确的是（    ）。 A．两个圆柱底面积相等 B．两个圆柱的体积相等 C．两个圆柱的表面积相等 D．两个圆柱的侧面积相等 15．甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍（容器直立放置）。现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？（容器内的水都未加满）（    ）。 A． B． C． D． 16．等底等高的圆柱和圆锥的体积相差6.28立方厘米，它们的体积之和是（    ）立方厘米。 A．18.84 B．15.7 C．9.42 D．12.56 17．一个圆锥形铁块的底面半径是3cm，高是5cm。把它浸没在盛有水的内底面面积是20cm2的圆柱形容器里（水没有溢出），水面升高了（    ）cm。 A．7.065 B．4.71 C．2.355 D．2.1 18．观察图中，说法正确的是（    ）。 A．①号圆锥的体积是③号圆柱体积的9倍。 B．①号、③号、④号的体积相等。 C．②号圆柱的体积是③号圆柱体积的3倍。 D．只有①号和④号的体积相等。 四、计算小能手。 19．计算下面图形的体积。 20．求体积。 五、解决问题。 21．油桶的表面要刷漆，每平方米需油漆0.6千克。每个油桶的底面直径是40厘米，高是60厘米，刷100个油桶需要多少油漆？ 22．把三角形ABC（如图）沿着边AB和BC分别旋转一周，得到两个圆锥，谁的体积大？大多少立方厘米？ 23．一个圆柱形木块沿直径切成四块（如图1），表面积增加了36平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加了50.24平方厘米。若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少了多少立方厘米？ 24．如图所示茶杯。 （1）茶杯中的一圈装饰，是为防烫手贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头忽略不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？ 25．下面三个长方形的面积相等，用这三个长方形的长做底面周长，围成三个不同的圆柱。 （计算时π取3.14，单位：厘米。） （1）哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小？ （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是多少，画出示意图，标出数据，并计算围出的圆柱的体积。 （3）你有什么发现？ 26．（1）设计师为高30厘米的汾酒设计了精美的圆柱体外包装。外包装的展开图如下，制作这样一个圆柱体的外包装至少需要多少平方厘米的纸板？（圆柱底面直径10厘米，粘贴处忽略不计。） （2）上题中的汾酒每六瓶装一箱（如下图）。则长方体纸箱的容积最少是多少立方分米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$六年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度六年级数学下册·同步讲练篇 第一单元 圆柱与圆锥 （圆柱、圆锥的体积） 考点详解 2 考点1：圆柱的体积计算 2 考点2：圆柱的容积 5 考点3：立体图形的切拼（圆柱） 7 考点4：圆柱与圆锥体积的关系 10 考点5：圆锥的体积（容积）计算 13 考点6：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 16 考点7：立体图形的切拼（圆锥） 19 考点8：组合体的体积（圆柱、圆锥） 21 考点9：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 24 巩固提升 27 一、仔细想，认真填。 27 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 30 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 32 四、计算小能手。 37 五、解决问题。 39 考点详解 考点1：圆柱的体积计算 知识点：圆柱体积 = 底面积×高。 公式变形： 已知底面半径和高：； 已知底面直径和高：； 已知底面周长和高：。 例题： 西游记中的孙悟空正直勇敢、嫉恶如仇，他有一件神奇的兵器叫如意金箍棒，可以任意缩小或放大。如果孙悟空把如意金箍棒变化成底面周长是6.28分米，长是100分米的圆柱形铁棒，那么此时，它的体积是多少立方分米？ 答案：314立方分米 分析：用底面周长除以圆周率再除以2得出圆柱形铁棒的半径，再根据圆柱体积底面积高计算即可。 详解： （分米） ＝3.14×1×100 （立方分米） 答：它的体积是314立方分米。 练习： 1．李师傅要做一个零件（如图），有一个棱长6厘米的正方体铁块，在它的两个底面之间挖一个圆柱形圆孔，圆孔的底面直径是4厘米，剩下的部分就是这个零件了，此时零件的体积是多少立方厘米？ 答案：140.64立方厘米 分析：根据题意可知，这个最大圆柱的高等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积差即可。 详解： ＝ ＝6×6×6－3.14×4×6 （立方厘米） 答：这个零件的体积是140.64立方厘米。 2．如下图所示，李叔叔在院子里用砖和水泥砌一个圆柱形的鱼池，墙厚20厘米（底面利用原来的水泥地）。 （1）这个鱼池墙体的体积是多少立方米？ （2）如果给这个鱼池的内部和外部的所有面都贴上瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？ 答案：（1）1.6956立方米 （2）20.096平方米 分析：（1）根据题意可知，鱼池墙体的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 （2）需要贴瓷砖的面积＝大圆柱的侧面积＋大圆柱的底面积＋小圆柱侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面积公式：底面积＝，代入数据，即可解答。 详解：（1）20厘米＝0.2米 1.6÷2＝0.8（米） 0.8＋0.2＝1（米） 3.14×12×1.5－3.14×0.82×1.5 ＝3.14×1×1.5－3.14×0.64×1.5 ＝3.14×1.5－2.0096×1.5 ＝4.71－3.0144 ＝1.6956（立方米） 答：这个鱼池墙的体积是1.6956立方米。 （2）3.14×1×2×1.5＋3.14×12＋3.14×1.6×1.5 ＝3.14×2×1.5＋3.14×1＋5.024×1.5 ＝6.28×1.5＋3.14＋7.536 ＝9.42＋3.14＋7.536 ＝12.56＋7.356 ＝20.096（平方米） 答：需要贴瓷砖的面积是20.096平方米。 3．学校一个自来水管的内直径是2厘米，水管内水流的速度是每秒5厘米。一位同学洗手后忘记关水龙头，10分钟可以浪费多少升水？ 答案：9.42升 分析：根据1分钟＝60秒，用乘法求出10分钟相当于600秒，然后用600秒乘水流的速度，即可求出10分钟流出的水流的长度，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出水流出的体积，再根据1升＝1000立方厘米，将单位换算成升即可。 详解：10×60＝600（秒） 600×5＝3000（厘米） 3.14×（2÷2）2×3000 ＝3.14×12×3000 ＝3.14×1×3000 ＝9420（立方厘米） 9420立方厘米＝9.42升 答：10分钟可以浪费9.42升水。 考点2：圆柱的容积 知识点：圆柱形容器的容积计算方法与体积相同（），但需从容器内部测量数据，容积单位常用升（L）、毫升（mL），且升 立方分米，毫升 立方厘米。 例题： 一块长12.56分米、宽10分米的长方形铁皮，以宽为高，将长方形铁皮卷成一个圆柱形水桶的侧面，再配一个底面，制成一个水桶，这个水桶的客积是多少升？（铁皮厚度、按口处均忽略不计） 答案：125.6升 分析：因为用一块长12.56分米，宽10分米的长方形铁皮，以宽为高做一个圆柱形水桶侧面，所以圆柱形水桶的底面周长是12.56分米，根据 （是圆的周长，是圆的半径）求出底面半径，再根据圆的面积公式2求出桶底的底面面积；最后再根据圆柱体积（容积）公式，列式求出水桶的容积。 详解：（分米） （平方分米） （立方分米） 125.6立方分米升 答：这个水桶的客积是125.6升。 点睛：此题主要考查圆柱的底面积和体积的计算方法在实际生活中的应用。 练习： 1．如图是一块长20.7分米的长方形铁皮，阴影部分的铁皮刚好能做一个一系盖的圆柱形水桶，这个水桶的容积是多少立方分米？ 答案：98.125立方分米 分析：观察图形可知，长方形阴影部分是这个圆柱形水桶的侧面展开图，水桶的底面周长与底面直径的和是20.7分米，水桶的高等于它的底面直径。设这个圆柱的底面直径是d分米，则圆柱的底面周长是3.14d分米，根据题意可列出方程：3.14d＋d＝20.7，解出方程求出水桶的底面直径后，再根据圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h即可求出这个水桶的容积。 详解：解：设这个圆柱的底面直径是d分米。 3.14d＋d＝20.7 4.14d＝20.7 d＝20.7÷4.14 d＝5 3.14×（5÷2）2×5 ＝3.14×2.52×5 ＝3.14×6.25×5 ＝98.125（立方分米） 答：这个水桶的容积是98.125立方分米。 2．一个圆柱形木桶，底面内圆的周长为6.28分米，桶口距底面最大高度为9分米，最低高度为7分米。这个木桶如下图放置时，最多能装多少升水？ 答案：21.98升 分析：根据圆的周长公式，则，据此可计算出圆柱的底面半径。木桶最多能装水的高度是由木桶的最低高度决定的，求木桶的容积，高只能取最低高度7分米，再根据圆柱的体积（容积），即可算出这个木桶的容积。 详解： （分米） （立方分米） 21.98立方分米＝21.98升 答：最多能装21.98升水。 3．把一瓶2升的可乐倒入底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中（杯壁厚度忽略不计），最多能倒满多少杯？ 答案：7杯 分析：已知圆柱形玻璃杯的底面周长，则底面半径，据此算出底面半径，再根据圆柱的体积公式，计算出一个玻璃杯的容积，可乐的总体积除以每个杯子的容积，商的小数部分表示不满一杯的量，故结果采用去尾法，保留整数即可。 详解：（厘米） （立方厘米） 2升＝2000立方厘米 （杯） 答：最多能倒满7杯。 考点3：立体图形的切拼（圆柱） 知识点： 横切圆柱：每切一次增加两个底面的面积； 把圆柱切拼成近似长方体：体积不变，表面积增加两个以圆柱的高和底面半径为边长的长方形面积。 例题： 王大爷要给在上海工作的儿子快递4罐茶叶（如图所示），为便于堆放，快递公司决定用长方体纸箱包装。请你帮忙设计一种包装方案（画出草图），并计算所需纸皮的面积（拼接部分忽略不计）。 底面直径8cm，高10cm 答案：画图见详解；1312平方厘米 分析：根据题意，用长方体纸箱包装4罐底面直径是8厘米，高是10厘米的茶叶，长方体的长可以是（厘米），宽是8厘米，高是10厘米，然后根据长方体的表面积公式解答即可。（方法不唯一） 详解：（厘米） 如图： （平方厘米） 答：所需纸皮的面积是1312平方厘米。（设计方法不唯一，答案不唯一，合理即可。 练习： 1．如图是实验小学10周年校庆纪念品示意图（单位：厘米）。加工时，一个底面半径3厘米的圆柱形的有机玻璃正好可以截成两个这样的纪念品。一个纪念品的体积是多少？ 答案：141.3立方厘米 分析： 根据题意，把一个圆柱形的有机玻璃截成两个完全一样的纪念品，从图中可知，完整的圆柱形有机玻璃的底面半径是3厘米、高是（4＋6）厘米；先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出完整的圆柱形有机玻璃的体积，再除以2，即是一个纪念品的体积。 详解：3.14×32×（4＋6）÷2 ＝3.14×9×10÷2 ＝282.6÷2 ＝141.3（立方厘米） 答：一个纪念品的体积是141.3立方厘米。 2．在探究圆柱体积公式的过程中，宁宁把一个圆柱的底面分成若干个相等的小扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图），拼成的近似长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了200平方厘米。已知圆柱的高是10厘米，则圆柱的体积是多少？ 答案：3140立方厘米 分析：根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么近似长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于圆柱的体积。拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；已知表面积增加了200平方厘米，先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径。最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积。 详解：圆柱的底面半径： 200÷2÷10＝10（厘米） 圆柱的体积： 3.14×102×10 ＝3.14×100×10 ＝3140（立方厘米） 答：圆柱的体积是3140立方厘米。 3．一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 答案：785立方厘米 分析：由题可知，高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，减少部分就是高4厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，即可求得这个圆柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积；再把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。 详解：圆柱的底面半径为：125.6÷2÷3.14÷4 ＝62.8÷3.14÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 减少部分的体积为：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 原来圆柱的体积为：314÷（1－） ＝314÷ ＝314× ＝785（立方厘米） 答： 这个圆柱形零件原来的体积是785立方厘米。 点睛：抓住高减少4厘米时，表面积减少125.6平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。 考点4：圆柱与圆锥体积的关系 知识点：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的倍，圆锥体积是圆柱体积的。 例题： 一个圆柱形橡皮泥，底面积是12平方厘米，高是5厘米。 （1）如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是多少？ （2）如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少？ 答案：（1）15厘米； （2）36平方厘米 分析：由题意可知，把圆柱形橡皮泥捏成圆锥形橡皮泥后，虽然橡皮泥的形状发生变化，但是橡皮泥的体积不变。当圆柱和圆锥的体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的；当圆柱和圆锥的体积和高相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的，据此解答。 详解：（1）5×3＝15（厘米） 答：这个圆锥的高是15厘米。 （2）12×3＝36（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是36平方厘米。 练习： 1．积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？取 答案：301.44立方厘米 分析：把这个圆柱削成一个等底等高的圆锥形，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削求部分的体积相当于圆柱体积的。根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 详解： （立方厘米） 答：加工制作过程中削去木料的体积是301.44立方厘米。 2．如图，长方形ABCD的长是4厘米。宽是3厘米，对角线AC把长方形分成阴影和空白两个三角形。以AB所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是多少？ 答案：1∶2 分析：根据题意可知，长方形扫过的空间是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；空白三角形出扫过的空间是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，由此可知，圆柱与圆锥的等底等高；圆柱的体积是圆锥体积的3倍；阴影三角形扫过的体积等于圆柱的体积－圆锥的体积；可以将圆锥的体积看做1，那么圆柱的体积就是3，那么阴影扫过的空间的大小就是3－1＝2，据此求出空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小的比。 详解：长方形扫过的空间是一个圆柱体；空白三角形扫过的空间是一个圆锥体；它们是等底等高； 设圆锥的体积是1； 则圆柱的体积是：1×3＝3； 阴影三角形扫过的体积是：3－1＝2； 三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是＝1∶2。 答：三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是1∶2。 3．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 答案：（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 分析：（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 详解：（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 考点5：圆锥的体积（容积）计算 知识点：圆锥体积 = ×底面积×高。 公式变形： 已知底面半径和高：； 已知底面直径和高：； 已知底面周长和高：。 例题： 一个粮仓如图，如果每立方米粮食的质量为700千克，这个粮仓最多能装多少千克粮食？ 答案：3736.6千克 分析：从图中可知，粮仓的上面是圆锥、下面是圆柱；根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱、圆锥的容积，再相加，即是这个粮仓的容积；然后用每立方米粮食的质量乘粮仓的容积，即可求出这个粮仓最多能装粮食的质量。 详解：2÷2＝1（米） 3.14×12×1.5＋×3.14×12×0.6 ＝3.14×1×1.5＋×3.14×1×0.6 ＝4.71＋0.628 ＝5.338（立方米） 700×5.338＝3736.6（千克） 答：这个粮仓最多能装3736.6千克粮食。 练习： 1．张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得它的底面周长是9.42米，高是2米，这堆小麦的体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量为多少千克？ 答案：4.71立方米；3297千克 分析：先根据圆锥的底面周长求出底面半径，再利用“”求出这堆小麦的体积，这堆小麦的质量＝这堆小麦的体积×每立方米小麦的质量，据此解答。 详解：9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（米） ＝ ＝ ＝ ＝1.5×3.14 ＝4.71（立方米） 4.71×700＝3297（千克） 答：这堆小麦的体积是4.71立方米，这堆小麦的质量为3297千克。 2．如图，测量中经常使用铅锤。这个铅锤的体积是多少立方厘米？（结果保留两位小数） 答案：16.75立方厘米 分析：由图可知，铅锤的底面半径是4÷2＝2（厘米），铅锤的高是4厘米，利用“”求出铅锤的体积，注意结果保留两位小数；据此解答。 详解： ＝ ＝ ＝ ≈16.75（立方厘米） 答：这个铅锤的体积是16.75立方厘米。 3．一个长方体的木块，它的长、宽、高的比是。这个长方体木块的长是24厘米，现在将这个长方体木块削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 答案：1017.36立方厘米 分析：长方体的12条棱分为三组，互相平行的一组是4条，根据题意，可知长占长＋宽＋高的和的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，先求出长＋宽＋高的和，再用乘法分别求出它的宽、高，再确定“将这个长方体削成一个体积最大的圆锥”，这个圆锥体的底面直径应该是长方体的宽，圆锥体的高等于长方体的高，根据圆锥的体积计算公式解答。 详解： （厘米） （厘米） （厘米） 体积： （立方厘米） 答：这个圆锥的体积是1017.36立方厘米。 考点6：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 知识点：在体积不变的情况下，圆柱和圆锥的底面积与高成反比例关系。例如，将圆柱熔铸成等体积的圆锥，若底面积不变，圆锥的高是圆柱高的倍。 例题： 一个圆锥形的沙堆，底面积是1884平方米，高4米，把这堆沙铺在宽10米的公路路面上，如果铺0.02米厚，能铺多长？ 答案：12560米 分析：已知圆锥形沙堆的底面积是1884平方米，高4米，根据圆锥的体积公式VSh，求出沙堆的体积； 再把这堆沙铺在宽10米、厚0.02米的公路路面上，根据长方体的体积公式V＝abh，可知长方体的长a＝V÷b÷h，据此求出能铺的长度。 详解：1884×4 ＝628×4 ＝2512（立方米） 2512÷10÷0.02 ＝251.2÷0.02 ＝12560（米） 答：能铺12560米。 练习： 1．一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 答案：9.42厘米 分析：根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥铁块熔铸成长方体，体积不变，用圆锥的体积除以长方体的宽，再除以长方体的高，即可求出长方体的长。 详解：3.14×32×20×÷5÷4 ＝3.14×9×20×÷5÷4 ＝28.26×20×÷5÷4 ＝565.2×÷5÷4 ＝188.4÷5÷4 ＝37.68÷4 ＝9.42（厘米） 答：长方体的长是9.42厘米。 2．一个无盖的圆柱形小水桶，底面直径是2分米，高是3分米，制作这样一个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？若水桶装满水后再放入一个和圆柱等底等高的圆锥形铁块（铁皮厚度忽略不计），则水会溢出多少升？ 答案：21.98平方分米；3.14升 分析：已知水桶无盖，需要铁皮的面积＝这个圆柱的侧面积＋一个底面的面积，根据圆柱的侧面积公式：，圆的面积公式：，把数据代入公式求出需要铁皮的面积；等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以把圆锥放入盛满水的水桶中，溢出水的体积就等于这个圆锥的体积，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 详解： （平方分米） （立方分米） 3.14立方分米升 答：做这个水桶至少需要铁皮21.98平方分米，水会溢出3.14升。 3．在一个从里面量底面周长为12.56分米，高为3分米的圆锥形量杯里装满水，把它倒入一个从里面量底面长为4分米，宽为2分米的空的长方体容器里。这个长方体容器里的水面高度是多少分米？ 答案：1.57分米 分析：底面周长÷π÷2＝底面半径，先求出圆锥的底面半径，圆锥的体积＝πr2h，再用圆锥的体积公式计算出圆锥的容积；长方体的体积＝长×宽×高，那么长方体的高＝长方体的体积÷（长×宽），再计算出长方体的高，也就是这个长方体容器里的水面高度；据此解答。 详解：圆锥的底面半径：＝2（分米） 圆锥的体积：3.14×22×3×＝12.56（立方分米） 水面高度： ＝12.56÷8 ＝1.57（分米） 答：这个长方体容器里的水面高度是1.57分米。 考点7：立体图形的切拼（圆锥） 知识点：沿着圆锥底面直径且经过顶点切开，表面积增加两个三角形的面积，三角形的底是圆锥底面直径，高是圆锥的高。 例题： 用下面的正方体木块制作一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少？ 答案：2093立方厘米 分析：用这个正方体木块制成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径是20厘米，高是20厘米，根据圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，代入数据计算即可解答。 详解：3.14×（20÷2）2×20× ＝3.14×102×20× ＝3.14×100×20× ＝6280× ＝2093（立方厘米） 答：圆锥的体积是2093立方厘米。 练习： 1．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 答案：25.12立方厘米 分析：把一个圆锥沿着高切开，增加两个等腰三角形，等腰三角形的底＝圆锥底面半径，等腰三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝一个等腰三角形的面积，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出圆锥底面半径，再根据圆锥体积＝底面积×高×，列式解答即可。 详解：24÷2＝12（平方厘米） 12×2÷6＝4（厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是25.12立方厘米。 2．将一块底面周长是12.56厘米、高是6厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半（如图），切面是什么图形？每个切面的面积是多少平方厘米？ 答案：等腰三角形；12平方厘米 分析：当把一个圆锥分成形状、大小完全相同的两部分时，增加2个等腰三角形的面，等腰三角形的底和高分别是圆锥的底面直径和高。 三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据进行解答。 详解：12.56÷3.14＝4（厘米） 4×6÷2＝12（平方厘米） 答：切面是等腰三角形，每个切面的面积是12平方厘米。 3．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 答案：130平方厘米 分析：要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 详解：26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 考点8：组合体的体积（圆柱、圆锥） 知识点：将组合体分解为圆柱、圆锥等基本立体图形，分别计算各部分体积后再求和或求差。例如，由圆柱和等底圆锥组成的组合体，体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积。 例题： 用等底等高的圆柱和圆锥合在一起做成水箱，高都是3米，圆柱的底面周长为6.28米，现往水箱内每分注入0.8立方米水，从空箱到注满，一共需要多少分？（厚度忽略不计） 答案： 15.7分 分析：根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，求出圆柱、圆锥的底面半径；然后根据体积公式V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，求出圆柱、圆锥的体积，再相加，就是水箱的体积；最后用水箱的容积除以每分钟注入水的容积，即可求出水箱注满需要的时间。 详解： （米） （分） 答：一共需要15.7分。 练习： 1．如图，当梯形以AB为轴旋转一周后，所形成立体图形的体积是多少？（单位：厘米） 答案：351.68立方厘米 分析：以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周而得到的旋转体为：上部是一个底面半径为4厘米，高为（9－6）厘米的圆锥体，下部是一个底面半径为4厘米，高为6厘米的圆柱体，由此利用圆柱的体积公式：V＝πr2h与圆锥的体积公式：V＝πr2h代入数据即可解答。 详解：3.14×42×（9－6）× ＝3.14×42×3× ＝3.14×16×3× ＝50.24（立方厘米） 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 50.24＋301.44＝351.68（立方厘米） 答：所形成立体图形的体积是351.68立方厘米。 2．2023年5月30日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十六号载人飞船顺利升空并取得园满成功。整流置是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。学校创客小组制作了运载火箭整流置的模型（如图所示），请问这个整流置模型的体积是多少？ 答案：18.84立方分米 分析：这个整流置模型的体积等于底面直径是2分米，高是5分米的圆柱的体积加上底面直径是2分米，高是（8－5）分米的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 详解：3.14×（2÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×（8－5）× ＝3.14×12×5＋3.14×12×3× ＝3.14×1×5＋3.14×1×3× ＝3.14×5＋3.14×3× ＝15.7＋9.42× ＝15.7＋3.14 ＝18.84（立方分米） 答：这个整流置模型的体积是18.84立方分米。 3．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 答案：（1）200.96千克 （2）455.3平方分米 分析：（1）漏斗的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此求出漏斗的容积，漏斗的容积×每立方分米油菜籽的质量＝漏斗最多装的油菜籽质量。 （2）防尘罩没有下底面，防尘罩的表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 详解：（1）3.14×42×6＋3.14×42×6÷3 ＝3.14×16×6＋3.14×16×6÷3 ＝301.44＋100.48 ＝401.92（立方分米） 401.92×0.5＝200.96（千克） 答：这个漏斗最多能装200.96千克油菜籽。 （2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×12 ＝3.14×52＋376.8 ＝3.14×25＋376.8 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方分米） 答：至少需要455.3平方分米铁皮。 考点9：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 知识点：借助排水法，将不规则物体放入盛有液体的圆柱或圆锥形容器中，不规则物体体积 = 容器底面积×液体高度变化量。 例题： 一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 答案：12厘米 分析：圆锥体铁块浸没在容器中，从容器中拿出来后，水面下降了2厘米，则圆锥的体积即下降的水的体积，根据圆柱的体积公式：，求出上升水的体积，再根据圆锥的体积公式：，变式求高：，代入数值计算即可。 详解：下降的水的体积为： （立方厘米） 圆锥铁块的高为： ＝12（厘米） 答：这个圆锥体的高是12厘米。 练习： 1．在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 答案：1570立方厘米 分析：由题意知：铅锤取出来后，下降的水的体积就是圆锥的体积；根据圆柱的体积V＝Sh可求出下降的水的体积，即铅锤的体积，注意单位换算，据此解答即可。 详解：1分米＝10厘米 铅锤体积： （立方厘米） 答：这个铅锤的体积是1570立方厘米。 点睛：本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握下降的水的体积就是圆锥的体积。 2．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 答案：56.52立方厘米 分析：根据题意可知，把圆锥铁块浸没到水中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，上升的部分恰好是一个圆柱，底面直径是6厘米，底面半径是3厘米，高是2厘米，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 详解： （立方厘米） 答：这个圆锥体铁块的体积是56.52立方厘米。 3．一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 答案：112平方厘米 分析：根据题意可知，水面升高部分等圆锥浸在水中的部分体积，升高部分的高等于水面升高减去容器里水的高度，即12－8＝4厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出浸在水中部分的圆锥的体积；水面升高到12厘米，这好是圆锥高的，则露在水面上部分的高是12厘米的小圆锥；高是圆锥的，半径也是大圆锥的；所以露出水面的小圆锥的体积是大圆锥的（）3＝；即露在水面上小圆锥体积与大圆锥的体积比是1∶8；所以浸在水中的体积是大圆锥体积的1－；再用求出圆锥在水中部分的体积，除以（1－），求出大圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷（高×）。代入数据，即可解答。 详解：浸在水中部分体积： 14×14×（12－8） ＝196×4 ＝784（立方厘米） 露出水面部分的小圆锥的高为12厘米；则大锥的高是12×2＝24（厘米）； 其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的； 露在水面上小圆锥的体积是大圆锥体积的（）3＝ 小圆锥体积∶大圆锥＝体积1∶8 浸在水中部分体积： （1－）＝ 784÷ ＝784× ＝896（立方厘米） 大圆锥底面积： 896÷（12×2×） ＝896÷（24×） ＝896÷8 ＝112（平方厘米） 答：圆锥的底面积是112平方厘米。 点睛：解答本题的关键是明确露在水面外面的小圆锥的体积与大圆锥的体积之间的关系，即求出小圆锥是大圆锥的几分之几，进而解答问题。 巩固提升 一、仔细想，认真填。 1．一个圆柱体木材，长1米，底面直径是6分米，从它上面挖出一个最大的圆锥体，这个圆锥的体积是 立方分米，剩余部分的体积是 立方分米。 答案： 94.2 188.4 分析：圆柱内最大的圆锥与原圆柱等底等高，所以这个圆锥的体积就是原圆柱的体积的，则剩余的部分体积就是原圆柱的体积的，根据圆柱的体积＝πr2h，据此代入数据即可解答。 详解：1米＝10分米 3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方分米） 282.6×＝94.2（立方分米） 282.6×＝188.4（立方分米） 圆锥的体积是94.2立方分米，剩余部分的体积是188.4立方分米。 2．3.5( )    3400( ) 2300( )    6.5L( ) 0.083( )    4000( )( ) 答案： 350 34 2.3 6500 83 4000 4 分析：根据1＝100，1＝100，1＝1000，1L＝1000，1＝1，1＝1000，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 详解：3.5×100＝350（）；3400÷100＝34（） 2300÷1000＝2.3（）；6.5×1000＝6500（） 0.083×1000＝83（）；4000÷1000＝4（） 3.5350；340034 23002.3；6.5L6500 0.08383；400040004 3．已知一个圆锥与一个圆柱等底等高，且它们的体积和是32立方厘米，那么这个圆锥的体积是( )立方厘米。 答案：8 分析：因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的倍，用它们的体积和除以，据此解答即可。 详解： （立方厘米） 所以这个圆锥的体积8立方厘米。 4．一根圆木长3米，横截成2段后，表面积增加0.3平方米，则这根圆木的体积是( )立方米。 答案：0.45 分析：一根圆木长3米，横截成2段后，表面积增加的是两个截面的面积，由此可以求出圆木的底面积，然后根据圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答即可。 详解：0.3÷2×3 ＝0.15×3 ＝0.45（立方米） 所以这根圆木的体积是0.45立方米。 5．一个长方形，长8厘米，宽6厘米，以长为轴旋转一周，形成圆柱，以宽为轴旋转一周，形成圆柱（如图）。圆柱和圆柱体积的最简整数比是( )∶( )。 答案： 3 4 分析：以长为轴旋转一周，形成圆柱体，将得到一个底面半径是6厘米，高是8厘米的圆柱。以宽为轴旋转一周，形成圆柱体，将得到一个底面半径是8厘米，高是6厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式分别求出这两个圆柱的体积，再求最简整数比即可。 详解： 则圆柱与圆柱的体积的最简整数比是。 6．把一根长5米的圆柱木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是( )立方米。 答案：0.3 分析：由题意可知：把这根木料锯成3段，是把这个木头锯了两次，每锯一次增加2个面，总共增加了4个底面，再据表面积增加0.24平方米即可求出这根木料的底面积，从而利用圆柱的体积公式即可求出木料的体积。 详解： （立方米） 这根木料原来的体积是0.3立方米。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 7．将两根完全一样的圆柱拼成一个大圆柱，拼成后的大圆柱与原来两的两个圆柱相比体积不变，表面积变了。( ) 答案：√ 分析：根据两根圆柱拼组一个大圆柱的方法，体积不变，拼组后的圆柱的表面积比原来减少了2个圆柱的底面积，据此即可判断。 详解：根据题干分析可得，拼组后的圆柱的表面积比原来减少了2个圆柱的底面积，即拼组后的圆柱额表面积减少了，体积不变。 故答案为：√ 8．如果两个圆柱的侧面积相等，那么它们的体积也相等。( ) 答案：× 分析：圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的侧面积＝底面周长×高，因为它们的侧面面积相等，但底面半径和高不一定相等，所以体积也不一定相等，据此即可解答。 详解：因为圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的侧面积＝底面周长×高。 因为它们的侧面面积相等，仅仅说明底面周长和高的积相等，但底面半径和高不一定相等，所以体积也不一定相等。 故答案为：× 9．体积相等的两个圆柱，它们一定等底等高。( ) 答案：× 分析：根据圆柱的体积公式V＝sh，可以通过举反例的方法进行判断。 详解：设圆柱1：底面积是5，高是10，则体积是：5×10＝50； 设圆柱2：底面积是10，高是5，则体积是：10×5＝50； 由上述计算可知，两个圆柱的体积相等，底面积和高不一定相等， 所以原题说法错误。 故答案为：× 10．一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是6∶1，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。( ) 答案：√ 分析：假设圆柱和圆锥的底面积为S平方分米，已知圆柱的高是54分米，圆锥的高是27分米，根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，分别用字母表示出圆柱和圆锥的体积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出圆柱和圆锥的体积比，化简是6∶1即可。 详解：假设圆柱和圆锥的底面积为S平方分米。 54S∶（27S÷3）＝54S∶9S＝（54S÷9S）∶（9S÷9S）＝6∶1 原题说法正确。 故答案为：√ 11．等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积比圆锥大30立方分米，则圆柱的体积是30立方分米。( ) 答案：× 分析：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，假设圆锥的体积是1份，圆柱的就是3份，圆柱比圆锥多2份，根据题意圆柱比圆锥的体积大30立方分米，即2份是30立方分米，求得一份是15立方分米，也就是圆锥的体积，再乘3求出圆柱的体积。 详解： （立方分米） （立方分米） 即圆柱的体积是45立方分米，所以原题说法错误。 故答案为：× 12．一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积和是251.2立方米，这个圆锥的体积是62.8立方米。( ) 答案：√ 分析：根据圆柱与圆锥的体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，则等底等高圆柱体积＋圆锥体积＝圆锥体积×4，据此可计算得出答案。 详解：等地等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，则等底等高圆柱体积＋圆锥体积＝圆锥体积×4，体积和是251.2立方米，则圆锥体积为：251.2÷4＝62.8（立方米）。题干表述正确。 故答案为：√ 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 13．将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了（    ）。 A．0.4m2 B．0.6m2 C．0.8m2 D．0.2m2 答案：C 分析：圆柱木头锯成同样长的3段，增加4个截面的面积，也就是圆柱的底面积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，底面积＝体积÷高，代入数据，求出圆柱的底面积，再用底面积×4，即可求出增加的面积，据此解答。 详解：1.2÷6×4 ＝0.2×4 ＝0.8（m²） 将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了0.8m2。 故答案为：C 14．一个长方形的长是4厘米，宽是3厘米，分别以长和宽为轴旋转一周后形成两个圆柱（如图），关于这两个圆柱的说法正确的是（    ）。 A．两个圆柱底面积相等 B．两个圆柱的体积相等 C．两个圆柱的表面积相等 D．两个圆柱的侧面积相等 答案：D 分析：根据题意可知，甲圆柱的半径是3厘米，高是4厘米。乙圆柱的半径是4厘米，高是3厘米。 A．根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，分别求出两个圆柱的底面积，再进行比较； B．根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出两个圆柱的体积，再进行比较； C．根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，分别求出两个圆柱的表面积，再进行比较； D．根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，分别求出两个圆柱的侧面积，再进行比较。 详解：A。甲圆柱的底面积： π×32＝9π（平方厘米） 乙圆柱的底面积： π×42＝16π（平方厘米） 9π≠16π，两个圆柱的底面积不相等，原题干说法错误。 B．甲圆柱的体积： π×32×4 ＝9π×4 ＝36π（立方厘米） 乙圆柱的体积： π×42×3 ＝16π×3 ＝48π（立方厘米） 36π≠48π，两个圆柱的体积不相等，原题干说法错误； C．甲圆柱的表面积： π×32×2＋π×3×2×4 ＝9π×2＋3π×2×4 ＝18π＋6π×4 ＝18π＋24π ＝42π（平方厘米） 乙圆柱的表面积： π×42×2＋π×4×2×3 ＝16π×2＋4π×2×3 ＝32π＋8π×3 ＝32π＋24π ＝56π（平方厘米） 42π≠56π，两个圆柱的表面积不相等，原题干说法错误； D．甲圆柱的侧面积： π×3×2×4 ＝3π×2×4 ＝6π×4 ＝24π（平方厘米） 乙圆柱的侧面积： π×4×2×3 ＝4π×2×3 ＝8π×3 ＝24π（平方厘米） 24π＝24π，两个圆柱的侧面积相等，原题干说法正确。 一个长方形的长是4厘米，宽是3厘米，分别以长和宽为轴旋转一周后形成两个圆柱，这两个圆柱的说法正确的是两个圆柱的侧面积相等。 故答案为：D 15．甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍（容器直立放置）。现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？（容器内的水都未加满）（    ）。 A． B． C． D． 答案：D 分析：圆柱的体积公式为：V＝πr2h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高。甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍，则甲圆柱形容器底面积是乙圆柱形容器底面积的22＝4倍，从题目中可知以相同的流量同时向这两个容器内注入水，则说明注入水的体积相同。假设注入水的体积为1，根据体积公式算出甲容器和乙容器的水面高度，再化成比的形式即可。 详解：假设注入水的体积为1 甲容器水面高度＝1÷＝ 乙容器水面高度＝1÷1＝1 甲、乙两个容器内水面的高度比是∶1＝1∶4 故答案为：D 点睛：本题考查圆柱体积公式的应用，因为题目中给出注入的水是相同的，所以可以假设水的体积是1，有助于解题。 16．等底等高的圆柱和圆锥的体积相差6.28立方厘米，它们的体积之和是（    ）立方厘米。 A．18.84 B．15.7 C．9.42 D．12.56 答案：D 分析：根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍；把圆锥的体积看作l份，则圆柱的体积是3份，一共是（3＋1）份，相差（3－1）份；已知等底等高的圆柱和圆锥的体积相差6.28立方厘米，用体积差除以份数差，求出一份数，再用一份数乘份数和，即是它们的体积之和。 详解：6.28÷（3－1）×（3＋1） ＝6.28÷2×4 ＝12.56（立方厘米） 它们的体积之和是12.56立方厘米。 故答案为：D 17．一个圆锥形铁块的底面半径是3cm，高是5cm。把它浸没在盛有水的内底面面积是20cm2的圆柱形容器里（水没有溢出），水面升高了（    ）cm。 A．7.065 B．4.71 C．2.355 D．2.1 答案：C 分析：根据题意，把一个圆锥形铁块浸没在盛有水的圆柱形容器里（水没有溢出），那么水上升部分的体积等于圆锥的体积； 先根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，水面上升的高度h＝V÷S，代入数据计算即可求解。 详解：×3.14×32×5 ＝×3.14×9×5 ＝×3.14×9×5 ＝47.1（cm3） 47.1÷20＝2.355（cm） 水面升高2.355cm。 故答案为：C 18．观察图中，说法正确的是（    ）。 A．①号圆锥的体积是③号圆柱体积的9倍。 B．①号、③号、④号的体积相等。 C．②号圆柱的体积是③号圆柱体积的3倍。 D．只有①号和④号的体积相等。 答案：D 分析：根据圆柱的体积，圆锥的体积分别计算出四个立体图形的体积。再比较 ① ② ③ ④ 详解：A．，①号圆锥的体积是③号圆柱体积的3倍，该说法错误。 B．①号和④号的体积相等，该说法错误。 C．，②号圆柱的体积是③号圆柱体积的9倍，该说法错误。 D．只有①号和④号的体积相等。该说法正确。 故答案为：D 四、计算小能手。 19．计算下面图形的体积。 答案：183.69cm3；100.48cm3；260cm3；64cm3 分析：（1）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积； （2）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积； （3）根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出长方体的体积； （4）根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出正方体的体积。 详解：（1）3.14×32×6.5 ＝3.14×9×6.5 ＝183.69（cm3） 圆柱的体积是183.69cm3。 （2）×3.14×（8÷2）2×6 ＝×3.14×42×6 ＝×3.14×16×6 ＝100.48（cm3） 圆锥的体积是100.48cm3。 （3）8×5×6.5 ＝40×6.5 ＝260（cm3） 长方体的体积是260cm3。 （4）4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 正方体的体积是64cm3。 20．求体积。 答案：188.4cm3 分析：组合体体积＝底面直径是6cm，高是4cm的圆柱的体积＋底面直径是6cm，高是（12－4）cm的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据，即可解答。 详解：3.14×（6÷2）2×4＋3.14×（6÷2）2×（12－4）× ＝3.14×32×4＋3.14×32×8× ＝3.14×9×4＋3.14×9×8× ＝28.26×4＋28.26×8× ＝113.04＋226.08× ＝113.04＋75.36 ＝188.4（cm3） 组合体的体积是188.4cm3。 五、解决问题。 21．油桶的表面要刷漆，每平方米需油漆0.6千克。每个油桶的底面直径是40厘米，高是60厘米，刷100个油桶需要多少油漆？ 答案：60.288千克 分析：根据题意，给圆柱形油桶的表面刷漆，那么刷漆的面积就是圆柱的表面积；根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算，求出一个油桶需刷漆的面积，再根据进率“1平方米＝10000平方厘米”换算成以“平方米”为单位的数； 然后用每平方米需油漆的质量乘一个油桶需刷漆的面积，求出一个油桶需油漆的质量，最后乘100，即是100个油桶需油漆的总质量。 详解：3.14×40×60＋3.14×（40÷2）2×2 ＝125.6×60＋3.14×202×2 ＝7536＋3.14×400×2 ＝7536＋2512 ＝10048（平方厘米） 10048平方厘米＝1.0048平方米 0.6×1.0048×100＝60.288（千克） 答：刷100个油桶需要60.288千克油漆。 22．把三角形ABC（如图）沿着边AB和BC分别旋转一周，得到两个圆锥，谁的体积大？大多少立方厘米？ 答案：以BC边旋转得到的圆锥的体积大；大169.56立方厘米 分析：沿着边AB旋转一周，得到的是底面半径是6厘米，高是9厘米的圆锥； 沿着边BC旋转一周，得到的是底面半径是9厘米，高是6厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；代入数据，求出两个圆锥的体积，再进行比较；再用大体积的圆锥－小体积的圆锥，进而解答。 详解：以AB边旋转：圆锥的底面半径6厘米，高是9厘米； 体积：3.14×62×9× ＝3.14×36×9× ＝113.04×9× ＝1017.36× ＝339.12（立方厘米） 以BC边旋转：圆锥的底面半径是9厘米，高是6厘米。 体积：3.14×92×6× ＝3.14×81×6× ＝254.34×6× ＝1526.04× ＝508.68（立方厘米） 508.68＞339.12，以BC边旋转得到的圆锥的体积大； 508.68－339.12＝169.56（立方厘米） 答：以BC边旋转得到的圆锥的体积大，大169.56立方厘米。 23．一个圆柱形木块沿直径切成四块（如图1），表面积增加了36平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加了50.24平方厘米。若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少了多少立方厘米？ 答案：18.84立方厘米 分析：如图1切成4块，表面积增加了8个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱底面半径，增加的表面积÷8＝1个长方形面积；如图2切成三块，表面积增加4个底面，增加的表面积÷4＝底面积，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，确定圆柱底面半径，图1切成的1个长方形的面积÷底面半径＝圆柱的高，将圆柱体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的（1－），根据圆柱体积＝底面积×高，求出圆柱体积，圆柱体积×削去部分对应分率＝减少的体积。 详解：36÷8＝4.5（平方厘米） 50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4＝22 4.5÷2＝2.25（厘米） 12.56×2.25×（1－） ＝28.26× ＝18.84（立方厘米） 答：体积减少了18.84立方厘米。 点睛：关键是看懂图示，先求出圆柱的底面半径和高，通过圆柱和圆锥体积之间的关系，求出减少的体积。 24．如图所示茶杯。 （1）茶杯中的一圈装饰，是为防烫手贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头忽略不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？ 答案：（1）31.4厘米（2）1177.5毫升 分析：（1）装饰带的长就是圆柱的底面周长，根据圆的周长C＝πd，代入数据计算，即可求出这条装饰带长至少是多少厘米。 （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，即可求出这个茶杯的容积。据此解答。 详解：（1）10×3.14＝31.4（厘米） 答：长至少是31.4厘米。 （2）10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15 ＝3.14×25×15 ＝1177.5（立方厘米） 1177.5立方厘米＝1177.5毫升 答：这个茶杯的容积大约是1177.5毫升。 25．下面三个长方形的面积相等，用这三个长方形的长做底面周长，围成三个不同的圆柱。 （计算时π取3.14，单位：厘米。） （1）哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小？ （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是多少，画出示意图，标出数据，并计算围出的圆柱的体积。 （3）你有什么发现？ 答案：（1）①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小 （2）长为37.68厘米，宽为1厘米；图形见详解；113.04立方厘米 （3）见详解 分析：（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，据此分别求出三个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此分别求出三个圆柱的体积，再进行对比即可； （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。根据圆柱的体积公式解答。 （3）长方形的面积相当于圆柱的侧面积，则圆柱的侧面积相等，底面底面半径大，体积就越大。 详解：（1） ①3.14×（18.84÷3.14÷2）2× 2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方厘米） ②3.14×（12.56÷3.14÷2）2×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方厘米） ③3.14×（6.28÷3.14÷2）2×6 ＝3.14×1×6 ＝3.14×6 ＝18.84（立方厘米） 56.52＞37.68＞18.84 答：①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小。 （2）37.68×1＝18.84×2＝12.56×3＝6.28×6 如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。 如图所示： 3.14×（37.68÷3.14÷2）2×1 ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方厘米） 答：这个长方形纸的长可能是37.68，宽可能是1厘米，围出的圆柱的体积是113.04立方厘米。 （3）我发现：当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面半径越大，圆柱的体积就越大。 26．（1）设计师为高30厘米的汾酒设计了精美的圆柱体外包装。外包装的展开图如下，制作这样一个圆柱体的外包装至少需要多少平方厘米的纸板？（圆柱底面直径10厘米，粘贴处忽略不计。） （2）上题中的汾酒每六瓶装一箱（如下图）。则长方体纸箱的容积最少是多少立方分米？ 答案：（1）1099平方厘米； （2）18立方分米 分析：（1）根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，侧面展开是一个长方形，侧面积＝长×宽＝底面周长×高，把数据代入公式解答。 （2）通过观察图形可知，这个长方体包装箱的长等于圆柱底面直径的3倍，宽等于圆柱底面直径的2倍，高等于圆柱的高，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 详解：（1）3.14×10×30＋2×3.14×（10÷2）2 ＝31.4×30＋2×3.14×25 ＝942＋6.28×25 ＝942＋157 ＝1099（平方厘米） 答：制作这样一个圆柱体的外包装至少需要1099平方厘米的纸板。 （2）长方体纸箱的长是10×3＝30（厘米） 长方体纸箱的宽是10×2＝20（厘米） 30×20×30 ＝600×30 ＝18000（立方厘米） 18000立方厘米＝18（立方分米） 答：长方体纸箱的容积最少是18立方分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$