7.2.2复数的乘、除运算-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 7.2.2复数的乘、除运算 题型一：复数代数形式的乘法运算 复数代数形式的乘法运算的策略： （1）按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致.在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算. （2）可类似多项式的乘法运算，最后再化简为即可. 【例1】已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，则（    ） A．10 B． C．5 D． 【变式1-1】已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式1-2】设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ． 【变式1-3】若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 题型二： 复数的乘方 利用i幂值的周期性解题的技巧： （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时，相应的幂值分别为． （2）对于，有 ． 【例3】（    ） A． B． C． D． 【例4】已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【变式2-1】若，，则的取值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2】复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】知，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：复数代数形式的除法运算 复数代数形式的除法运算的策略： 根据复数的除法法则，通过分子，分母都乘以分母的共轭复数，使＂分母实数化＂，这个过程与＂分母有理化＂类似． 【例5】在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 【例6】i是虚数单位，，若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】复数是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（多选）已知为复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 题型四：共轭复数 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 【例7】复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 【例8】关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【变式4-1】已知复数是虚数单位. (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 【变式4-2】（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若，则 C．复数的共轭复数为 D．关于复数的方程（）有实数根，则 【变式4-3】已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 题型五：复数范围内方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程 的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ； ②当时， ． （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，将其代入方程 ，化简后利用复数相等的定义求解. 【例9】（多选）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若是方程的一个根，则 【例10】已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【变式5-1】若关于的方程有两个虚根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【变式5-3】在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 1．已知，且，其中i是虚数单位，则（    ） A．20 B．12 C． D． 2．数学试题）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 3．已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．数学试题）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第三象限 D． 6．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（多选）已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若复数满足，则的最大值为6 8．（多选）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 9．已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（多选）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 7.2.2复数的乘、除运算 题型一：复数代数形式的乘法运算 复数代数形式的乘法运算的策略： （1）按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致.在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算. （2）可类似多项式的乘法运算，最后再化简为即可. 【例1】已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设. 故选：A 【例2】已知，则（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解法一：， 解法二：因为，所以， 故选：A. 【变式1-1】已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【详解】 已知，即. 则可得.由可得，将代入中， 得到，解得或. 当时，，； 当时，，. 所以. 故选：C. 【变式1-2】设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ． 【答案】/ 【详解】是实数，则，． 故答案为：. 【变式1-3】若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，因此， 则，，即，所以. 故选：A 题型二： 复数的乘方 利用i幂值的周期性解题的技巧： （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时，相应的幂值分别为． （2）对于，有 ． 【例3】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【例4】已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A 【变式2-1】若，，则的取值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】 因为，所以，，． 故选：A. 【变式2-2】复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 由得，， ， 故. 故选：A 【变式2-3】知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得 ， 故. 故选：A. 题型三：复数代数形式的除法运算 复数代数形式的除法运算的策略： 根据复数的除法法则，通过分子，分母都乘以分母的共轭复数，使＂分母实数化＂，这个过程与＂分母有理化＂类似． 【例5】在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以复数对应的点为， 因为复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数对应的点为， 所以， 故选：D. 【例6】i是虚数单位，，若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 可得：， 所以， 故选：B 【变式3-1】欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由题可得， 所以 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限， 故选：C 【变式3-2】复数是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时， 再计算： ， 所以当时，成立，充分性成立. 由，则：， 即或，所以当时，不一定等于，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以复数是成立的充分不必要条件， 故选：A. 【变式3-3】（多选）已知为复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 【答案】ABD 【详解】A选项，因为， 所以，故A正确； B选项，设，，则， 又，， 所以成立，故B正确； C选项，当时，有成立，但此时为实数，故C错误； D选项，设，，由于，则，即， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，故D正确． 故选：ABD 题型四：共轭复数 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 【例7】复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 【答案】1 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 【例8】关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】D 【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误： 对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误； 对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意； 若，则方程的两个复数根为和， 此时两根互为共轭复数，因此D正确. 故选：D 【变式4-1】已知复数是虚数单位. (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以， 解得，所以 （2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以， 所以， 所以，所以. 【变式4-2】（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若，则 C．复数的共轭复数为 D．关于复数的方程（）有实数根，则 【答案】ABD 【详解】设，，则为实数，A选项正确． 设，，则，正确． ，其共轭复数是，C选项错误． 设是方程的实根， 则，，．D选项正确． 故选：ABD． 【变式4-3】已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】C 【解析】求出，即可得出，求出虚部. 【详解】，，其虚部是1. 故选：C. 题型五：复数范围内方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程 的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ； ②当时， ． （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，将其代入方程 ，化简后利用复数相等的定义求解. 【例9】（多选）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若是方程的一个根，则 【答案】BC 【详解】由题设，令且， 所以，即， 所以，则，可得， 所以，，则，A错，B对； ，C对； 若是方程的一个根， 则，，故，D错. 故选：BC 【例10】已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】(1) (2) (3)，，另一根为 【详解】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 【变式5-1】若关于的方程有两个虚根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于的方程化为：， 假定方程有实根，而，则且，解得， 因此由原方程没有实根，得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【变式5-2】已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】将代入中可得，解得， 故，故， 因此另一个虚数根为，故其虚部为1， 故选：A 【变式5-3】在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】设，那么原方程即为， 得故或或 所以，故方程的解的个数为6. 故选：C 1．已知，且，其中i是虚数单位，则（    ） A．20 B．12 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，解得，， 所以. 故选：C. 2．数学试题）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 3．已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，则，可得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．数学试题）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以.， 所以， 故选：. 5．（多选）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第三象限 D． 【答案】ABD 【详解】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得，所以方程无实数根，故A正确； 对于C，方程，由韦达定理可知，得， 对应的点为，在第四象限，故C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ABD． 6．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，则， 所以复数在复平面内所对应的点为位于第三象限. 故选：C 7．（多选）已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【详解】对于A，因，则等价于， 等价于，即，故A正确； 对于B，由可得， 当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误； 对于C，因对于， ， 则， 于是，故C正确； 对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆， 而可看成点到该圆上点的距离， 易得的最大值即，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：ABD． 9．已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数模长公式计算可得，再利用共轭复数定义及其几何意义可求得结果. 【详解】设，则，解得， 则， 则在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 10．（多选）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$