精品解析：河南省焦作市2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学试题

2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列由相同的小正方体搭成的几何体中，其主视图和左视图相同的是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年9月中国的半导体迎来了重大的突破，上海宣布中国实现纳米（纳米米）芯片量产，量产的意义和影响深远．14纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 坐地铁时对乘客行李的安检 B. 对班级内的卫生死角进行检查 C. 开学前学校对各班级桌椅数量的调查 D. 对全国初中生目前睡眠情况的调查 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长 短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何．大致意思是：有一根竹竿不知 道有多长，量出它在太阳下的影子长尺，同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺（丈尺，尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（ ） A. 25尺 B. 35尺 C. 45尺 D. 55尺 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点 是 边上一点，且平分，若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点在x轴上，．将绕点O旋转，当点B落在x轴的负半轴上时，点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1）所示，实验小组的同学设计了一种测量温度的电路．已知电源电压为，其允许通过的最大电流为，是定值电阻，阻值为，是热敏电阻，其阻值随温度变化的图像如图（2）所示．下列说法正确的是（ ） A. 随着温度的升高，热敏电阻的阻值增大 B. 随着温度的升高，电流表的示数减小 C. 随着温度的升高，定值电阻两端的电压增大 D. 当环境温度是时，电流表的示数是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算： _______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是_______． 13. 如图是一个并联电路图，电路连接完好，且各元件正常，随机闭合开关中的两个，能使灯泡发亮的概率是_______． 14. 如图（），在矩形 中， 是对角线，动点从点 出发，沿折线运动到点停止，过点作 于点 ． 设点 运动的路程为 ， （当点， 或 ， 重合时，设或），与 的函数关系的图象如图（ ）所示，则的值为______． 15. 如图，矩形 中，，M为 的中点，把矩形沿着过点M的直线折叠，点A刚好落在边 上的点E处，则的长为 ___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）下面是小彬解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解答过程 自我检查 解：去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 第一步正确，其依据是： ； 移项，得，…第三步 第二步符合去括号法则，也正确； 合并同类项，得，…第四步 系数化为，得．…第五步 第三步出错了！ ①第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容： ； ②第三步出错的原因是 ； ③请从第三步开始，写出正确的解答过程． 17. A，B两校各随机抽取100名学生进行自救自护安全知识测试．将所抽取的学生的测试得分x（单位：分）分为5组（优秀：；良好：；中等：；及格：；不及格：），并对数据进行整理、分析，部分信息如下： a． b．A，B两校学生测试得分的平均数、方差、优秀率（优秀人数所占百分比）、及格率（及格及以上人数所占百分比）如下表： 学校 平均数 优秀率 及格率 方差 A 80 3.9 B 80 2.5 c．A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样． 请根据以上信息解决下列问题： （1）填空：________，________，__________． （2）根据以上数据，你认为哪所学校学生的自救自护的能力较强？请说明理由（一条即可）． 18. 如图，直线与双曲线交于点和点． （1）求直线 和双曲线的表达式 （2）直接写出不等式的解集 （3）连接，，点D是双曲线上一点，且，请直接写出点D的坐标（写出一个即可） 19. 如图，一艘轮船位于灯塔 的北偏东方向，距离灯塔海里的 处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔 的南偏东方向上的避风港处． （1）问避风港处距离灯塔 有多远． （2）如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，， 20. 为建设新农村，某村从某厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知每盏甲种路灯的价格比每盏乙种路灯的价格贵80元，用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同． （1）求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元． （2）该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏．为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠：甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半，则购买这批路灯最少需要花费多少元？ 21. 综合与实践 【问题情境】 如图（1）为一个圆形喷水池，水池的圆心 处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，所以无法直接测量直径，需要如何进行呢（水池边缘厚度忽略不计） 【方案解决】 出发前，同学们设计了如下两种方案： 方案一：如图（2），先在水池边上取 ，两点，使得 ， ，三点共线，再在水池外取一点 ，测得，的长，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点 ，使得，最后测得的长即为直径 的长； 方案二：如图（3），先在水池边上取 ，两点，使得 ， ，三点共线，再在水池外取一点 ，测得，的长，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点 ，使得，最后测得的长，便可求出 的长． （1）请你选择其中一个方案判断理论上是否可行，并说明理由； （2）同学们去实地考察后，发现喷水装置较大，阻挡视线，难以保证 ， ，三点共线，经过讨论，同学们利用《圆》一章的知识，设计并实施了方案三：如图（4），在水池边上取三点 ，， ，使得，测得米，米，通过计算，可以求得圆形水池的直径．请根据测量的数据，求出水池的直径．（结果精确到米，其中） 22. 新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）若抛物线与 轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． （2）已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 23. 问题发现 （1）小明在解决问题“如图（1），中，，E为 的中点，于点D．求证：．”时，由E为 的中点联想到构造三角形的中位线．如图（2），取 的中点F，连接， ，则是的中位线，故且，从而可得．要证，只需证即可．请你帮助小明完成证明过程． 深入探究 （2）如图（3），中，，，E为 的中点， 平分 ，交 的延长线于点F，求的长． 拓展应用 （3）如图（4），中，，，将 绕点A逆时针旋转α（）得到，连接，E为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解： 的相反数是2， 故选D． 2. 下列由相同的小正方体搭成的几何体中，其主视图和左视图相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到主视图、左视图和俯视图是全等图形的选项即可． 【详解】解：A、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1，不符合题意； B、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1，不符合题意； C、主视图从左往右2列正方形的个数依次为1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1，不符合题意； D、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1；左视图3列正方形的个数依次为2，1，1，符合题意． 故选：D． 3. 2024年9月中国的半导体迎来了重大的突破，上海宣布中国实现纳米（ 纳米米）芯片量产，量产的意义和影响深远．14纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：14纳米用科学记数法可表示为米 故选：D． 4. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 坐地铁时对乘客行李的安检 B. 对班级内的卫生死角进行检查 C. 开学前学校对各班级桌椅数量的调查 D. 对全国初中生目前睡眠情况的调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．逐项判断即可． 【详解】解：A、坐地铁时对乘客行李的安检，必须保证安全，故必须普查； B、此种情况数量不是很大，故必须普查； C、此种情况数量需要准确，适合普查； D、全国初中生的人数比较多，适合采取抽样调查． 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，有理数的乘方，二次根式的性质，零指数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键；根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长 短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何．大致意思是：有一根竹竿不知 道有多长，量出它在太阳下的影子长尺，同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺（ 丈尺， 尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（ ） A. 25尺 B. 35尺 C. 45尺 D. 55尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为 尺，依题意， ， 解得（尺）， 故选：C． 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点．熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．先根据反比例函数判断此函数图像所在的象限，再根据结合选项，可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴该双曲线经过第二、四象限，且在每一象限内随 的增大而增大， ∵点，在反比例函数的图像上， ， 当时，则点位于第二象限，点 位于第四象限， ∴，故C选项正确，不合题意； 当时，点，都在第四象限，则，故A选项正确，不合题意； 当时，点，都在第二象限，则，故B选项正确，不合题意； 当时，，不满足，故D选项不正确，故符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，，点 是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用；根据平行四边形的性质，角平分线的定义得出，等角对等边可得，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴； ∵ ∴ ∴, ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的周长为， 故选：B． 9. 如图，在中，，点在x轴上，．将绕点O旋转，当点B落在x轴的负半轴上时，点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，旋转的性质，锐角三角函数的计算，掌握旋转的性质，锐角三角函数的计算是关键． 根据题意运用锐角三角函数可得，则，，，如图所示，将绕点O旋转得到平行四边形，当点B的对应点在x轴的负半轴上，过点作轴于点 ，，，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，点在x轴上， ∴，即轴，且点 在轴上， ∴轴，即 ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 如图所示，将绕点O旋转得到平行四边形，当点B的对应点在x轴的负半轴上，过点作轴于点 ， ∴，， ∴，即，， ∴，， ∴， 故选：B ． 10. 如图（1）所示，实验小组的同学设计了一种测量温度的电路．已知电源电压为，其允许通过的最大电流为，是定值电阻，阻值为，是热敏电阻，其阻值随温度变化的图像如图（2）所示．下列说法正确的是（ ） A. 随着温度的升高，热敏电阻的阻值增大 B. 随着温度的升高，电流表的示数减小 C. 随着温度的升高，定值电阻两端的电压增大 D. 当环境温度是时，电流表的示数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图像获取信息，根据题目给的条件得到，结合函数图像逐个判断即可． 【详解】解：A、由函数图像可得，随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，原说法错误，不符合题意； B、由可以发现，随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，电流表的示数增大，原说法错误，不符合题意； C、随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，电流表的示数增大，定值电阻两端的电压增大，原说法正确，符合题意； D、由图像可得，当环境温度是时，，此时电流表的示数是，原说法错误确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算： _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂进行计算即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．解一元一次一次不等式即可得出结果．根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可． 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， ，且， ，且， 满足此条件的k值均可以． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图是一个并联电路图，电路连接完好，且各元件正常，随机闭合开关中的两个，能使灯泡发亮的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有4种等可能性，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得 由树状图得共有6种等可能性，其中能让小灯泡同时发光有4种等可能性，所以概率为． 故答案为： 14. 如图（ ），在矩形 中，是对角线，动点从点 出发，沿折线运动到点停止，过点作 于点 ． 设点 运动的路程为 ， （当点， 或 ， 重合时，设或），与 的函数关系的图象如图（ ）所示，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，动点问题的函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据图象可得，由题图（ ）可知，当时，，即，此时点在线段上，则，，又当时，点在上，，此时，，然后用线段和差即可求解． 【详解】解：当点运动到点处时，， ∴， ∴， 由题图（ ）可知，当时，，即，此时点在线段上， ∴，， 如图，在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴，， 如图，当时，点在上，， 此时，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，矩形 中，，M为 的中点，把矩形沿着过点M的直线折叠，点A刚好落在边上的点E处，则的长为 ___________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图1，连接，过M作于H，根据矩形的性质得到，求得，由折叠的性质知是线段的垂直平分线，得到，根据勾股定理得到，如图2，连接 ，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵M为 的中点， ∴， 如图1，连接，过M作于H， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠的性质知是线段的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 如图2，连接 ， ∵把矩形沿着过点M的直线折叠，点A刚好落在边上的点E处， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴BF=， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理，全等三角形的性质和判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）下面是小彬解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解答过程 自我检查 解：去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 第一步正确，其依据是： ； 移项，得，…第三步 第二步符合去括号法则，也正确； 合并同类项，得，…第四步 系数化为 ，得．…第五步 第三步出错了！ ①第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容： ； ②第三步出错的原因是 ； ③请从第三步开始，写出正确的解答过程． 【答案】（1） （2）①不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； ②移项没有变号； ③移项，得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算；一元一次不等式的解法，正确的计算是解题的关键； （1）根据二次根式的性质，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解； （2）①根据解一元一次不等式的一般步骤，第一步去分母，依据是不等式的基本性质2； ②第三步是移项，移项时注意要变号； ③根据第三步移项，第四步把x的系数化为1，解不等式即可，注意不等号方向的变化． 【详解】解：（1） ； （2）①第一步的依据是不等式性质2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变． 故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变． ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号． 故答案为：移项没有变号． ③略 17. A，B两校各随机抽取100名学生进行自救自护安全知识测试．将所抽取的学生的测试得分x（单位：分）分为5组（优秀：；良好：；中等：；及格：；不及格：），并对数据进行整理、分析，部分信息如下： a． b．A，B两校学生测试得分的平均数、方差、优秀率（优秀人数所占百分比）、及格率（及格及以上人数所占百分比）如下表： 学校 平均数 优秀率 及格率 方差 A 80 3.9 B 80 2.5 c．A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样． 请根据以上信息解决下列问题： （1）填空：________，________，__________． （2）根据以上数据，你认为哪所学校学生的自救自护的能力较强？请说明理由（一条即可）． 【答案】（1）10；10；95 （2） B校学生的自救自护的能力较强． 理由：因为A，B两校学生测试得分的平均数相同，但B校学生测试得分的优秀率、及格率均比A校的高，且B校学生测试得分的方差比A校的小，所以B校学生的自救自护的能力较强． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图，读懂题意理解统计图的意义是解题的关键． （1）用100分别减去优秀，中等，良好，不及格的人数即可求出a的值，用及格的人数除以总人数即可求出c的值，由B校学生测试得分为“良好”的人数为40可得出A校学生测试得分为“良好”的人数所占百分比为，用1减去其他的占比即可求出优秀率b． （2）根据优秀率，及格率，方差作决策即可． 【小问1详解】 解：， B校学生测试得分的及格率为， 即． 因为A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样，B校学生测试得分为“良好”的人数为40， 所以A校学生测试得分为“良好”的人数所占百分比为， 所以， 即． 故答案为：10；10；95 【小问2详解】 略 18. 如图，直线与双曲线交于点和点． （1）求直线和双曲线的表达式 （2）直接写出不等式的解集 （3）连接，，点D是双曲线上一点，且，请直接写出点D的坐标（写出一个即可） 【答案】（1）， （2）或 （3）当时，则点D的坐标为或或或（任意写出一种即可） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入反比例函数解析式得出k的值，然后再把点，进而问题可求解； （2）根据（1）及函数图象可直接进行求解； （3）延长交双曲线于点D，由题意易得点C、D关于原点O对称，然后可得此时点D的坐标，或延长交双曲线于一点，或将直线向上平移2个单位长度，得到直线l，则当点D为直线l与双曲线的交点时满足，进而分类求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点代入得：， ∴， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）及图象可知：当不等式时，x的解集为或； 【小问3详解】 解：延长交双曲线于点D，如图所示： ∵双曲线与直线均关于原点O对称， ∴点C、D关于原点O对称， ∴此时满足， ∴此时； 同理延长交双曲线于一点，此时也满足，则点， 由直线的解析式为可知：与y轴的交点坐标为，将直线向上平移2个单位长度，得到直线l，则当点D为直线l与双曲线的交点时满足， ∴由直线平移可知：直线l的解析式为， 令， 解得：， ∴点D的坐标为或， 综上所述：当时，则点D的坐标为或或或． 19. 如图，一艘轮船位于灯塔 的北偏东方向，距离灯塔海里的 处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔 的南偏东方向上的避风港处． （1）问避风港处距离灯塔 有多远． （2）如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，， 【答案】（1）海里 （2）能 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）如图，过点 作于点，则．解，，求得，即可求解； （2）解，得出，进而根据，求得的距离，根据路程除以速度，即可求解． 【小问1详解】 由题意得，，海里． 如图，过点 作于点，则． 在中，， 海里． 在中，， 海里． 答：避风港处距离灯塔 约海里． 【小问2详解】 如图，在中， 海里． 在中，，海里， 海里， 海里． 小时， 故轮船能在小时内赶到避风港处． 20. 为建设新农村，某村从某厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知每盏甲种路灯的价格比每盏乙种路灯的价格贵80元，用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同． （1）求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元． （2）该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏．为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠：甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半，则购买这批路灯最少需要花费多少元？ 【答案】（1）乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元 （2）购买这批路灯最少需要花费元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和一次函数解析式是解此题的关键． （1）设乙种路灯每盏的价格为 元，则甲种路灯每盏的价格为元，根据“用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购买这批路灯花费元，其中购买甲种路程盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得出关于的关系式，再根据“甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半”求出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙种路灯每盏的价格为 元，则甲种路灯每盏的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际， ∴， ∴乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元； 【小问2详解】 解：设购买这批路灯花费元，其中购买甲种路程盏，则购买乙种路灯盏， 由题意得：， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴购买这批路灯最少需要花费元． 21. 综合与实践 【问题情境】 如图（1）为一个圆形喷水池，水池的圆心处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，所以无法直接测量直径，需要如何进行呢（水池边缘厚度忽略不计） 【方案解决】 出发前，同学们设计了如下两种方案： 方案一：如图（2），先在水池边上取 ，两点，使得 ，，三点共线，再在水池外取一点 ，测得，的长，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点 ，使得，最后测得的长即为直径 的长； 方案二：如图（3），先在水池边上取 ，两点，使得 ，，三点共线，再在水池外取一点 ，测得，的长，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点 ，使得，最后测得的长，便可求出 的长． （1）请你选择其中一个方案判断理论上是否可行，并说明理由； （2）同学们去实地考察后，发现喷水装置较大，阻挡视线，难以保证 ，，三点共线，经过讨论，同学们利用《圆》一章的知识，设计并实施了方案三：如图（4），在水池边上取三点 ，， ，使得，测得米，米，通过计算，可以求得圆形水池的直径．请根据测量的数据，求出水池的直径．（结果精确到米，其中） 【答案】（1） 解：方案一可行，理由如下； 在与中， ∴， ∴，测得的长，即可得出的长； 方案二可行，理由如下： ∵ ∴，即 又， ∴， ∴ ∴，测得的长，即可得出的长； （2） 【解析】 【分析】（1）选择方案一，证明，测得的长，即可得出的长；选择方案二，证明，得出，测得的长，即可得出的长； （2）过点 作于点，则点在 上，连接，进而根据垂径定理以及勾股定理求得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点 作于点，则点在 上，连接， ∵ ，， ∴， ∴ 设，则 在中，，即 解得：， ∴水池的直径为（米）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）若抛物线与 轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． （2）已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） ①证明：将代入，得， ∴在抛物线上. ∴该抛物线为“定点抛物线”. ； ② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）根据题意“定点抛物线”与 轴只有一个公共点，且经过点，得出，解方程组，即可求解； （2）①将代入解析式，即可求解； ②根据题意才抛物线的对称轴为直线，进而分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 ∵“定点抛物线”与 轴只有一个公共点，且经过点， ∴解得 ∴. 【小问2详解】 ①略. ②∵， ∴抛物线的开口向下. 由①知抛物线经过点 ∴当抛物线的顶点在处时，抛物线的顶点在最低位置. ∵点在 轴上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随 的增大而减小，当时，随 的增大而增大. ∴抛物线上有两点，，且， ∴当点在对称轴右侧时，则， 当点在对称轴左侧时， ∵， ∴离对称轴更近， ∴ 解得：， 当点在对称轴上时，则. 综上，当时，的取值范围为． 23. 问题发现 （1）小明在解决问题“如图（1），中，，E为的中点，于点D．求证：．”时，由E为的中点联想到构造三角形的中位线．如图（2），取的中点F，连接， ，则是的中位线，故且，从而可得．要证，只需证即可．请你帮助小明完成证明过程． 深入探究 （2）如图（3），中，，，E为的中点， 平分 ，交 的延长线于点F，求的长． 拓展应用 （3）如图（4），中，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，连接，E为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围． 【答案】 （1）证明： 如图（2）， 取的中点 ， 连接， ∵ 是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∴， ∵， ∴， ∵， 为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理 ，三角形三边关系 ， 勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. （1）取的中点 ， 连接，则是的中位线，推出且，再由直角三角形斜边中线的性质求得，进而得到据此求解即可； （2）延长交于点 ，证明，推出，再由三角形中位线定理求解即可； （3）取的中点 ，连接，，由直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理结合三角形三边关系即可求解. 【详解】（1）略 (2)如图， 延长交于点 ， ， 平分 ， ，又 ， ， ， ， ， ∵为的中点，， ； （3）， 如图（3）， 由题意知点在以 为圆心，为半径的圆上运动，取的中点 ，连接， ， ， ， 由旋转的性质可得 ∵ 为的中点， 为的中点， ， ∴ ， ∴当 在上时， 最小， 为；当 在的延长线上时，最大，为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $