第5章 图形的轴对称-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第5章 图形的轴对称 试题满分：100分 难度系数：0.45（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 3．（本题2分）（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，平分于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（本题2分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（2018九年级·全国·专题练习）如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，如图2所示．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 8．（本题2分）（23-24七年级下·河北保定·期末）题目：“如图，在中，，M、N分别是边上的点，将沿折叠得到．若与的边平行，求的度数． ”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答案对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙答案合在一起才完整 9．（本题2分）（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（本题2分）（21-22八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，的面积是30cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作于点D，连接BD，则的面积是（  ） A．15cm2 B．14cm2 C．13cm2 D．12cm2 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，是上一点，交于点，交于点，则点到的距离 点到的距离（填“”“”或“”）． 12．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 13．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，是折痕，．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 14．（本题2分）（20-21七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 15．（本题2分）（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为 ． 16．（本题2分）（23-24七年级下·河南郑州·期末）古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图，在等腰三角形的房梁中， ，，，，是边上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高上找一点E，在边上找一点F，使得绳子从C点出发，先绕到点E，再绕到点F，要使所用的绳子最短，则的最小值为 ． 17．（本题2分）（21-22八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，点D在边上，，垂足为F，与交于点E，则的长是 ． 18．（本题2分）（21-22八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 19．（本题2分）（20-21七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 20．（本题2分）（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知，、分别平分和且度，则 度． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，试问的度数是多少？ 22．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕分别与交于点E和点F． (1)试说明：； (2)若，求四边形的面积． 23．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 24．（本题8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 25．（本题8分）（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： (1)以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； (2)以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； (3)以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为 ． 26．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 27．（本题8分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 28．（本题8分）（20-21七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，点D在边上，．将沿对折得到，交于点F． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，请说明； （3）若，将绕点B逆时针方向旋转一个角度，记旋转中的为．在旋转过程中，直线分别与直线、直线交于点M、点N，是否存在这样的点M、点N，使与相等？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第5章 图形的轴对称 试题满分：100分 难度系数：0.45（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，过点作于点，于点，于点F，根据角平分线的性质，得到，进而得到，即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 【规范解答】解：过点作于点，于点，于点F， ∵的平分线与的平分线相交于点P， ∴， ∴， 即：点P到直线的距离为3； 故选：C． 2．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离． 【规范解答】解：如图，过点作，交于点，交于点， ，， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故选：C． 3．（本题2分）（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，平分于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可. 【规范解答】平分， ，①错误； 平分， ， ， ， ， ， ②正确： ， ， ③正确； 当时， 不一定等于， ④错误； ，， ， ⑤错误． 综上，正确的结论有个， 故选D． 4．（本题2分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质得出，，根据折叠的性质可得出∶，，进而得到，，即可解答． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， 根据折叠的性质可得出：，， ∴． ， ∴ ． 故选：A 5．（本题2分）（2018九年级·全国·专题练习）如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键．由等腰三角形三线合一的性质，得到垂直平分，则，从而得出，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ，是的中线， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值是线段的长， 故选：C． 6．（本题2分）（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 【规范解答】解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 7．（本题2分）（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，如图2所示．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠前后对应角相等可得，结合三角形外角的性质可得，由此可解． 【规范解答】解：如图，标记与的交点为点B，    由三角形外角的性质得，，， 由折叠得， ， ， ， ， 故选B． 8．（本题2分）（23-24七年级下·河北保定·期末）题目：“如图，在中，，M、N分别是边上的点，将沿折叠得到．若与的边平行，求的度数． ”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答案对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，分和两种情况求解即可，正确处理的位置是解答本题的关键． 【规范解答】解：当时，如图1中， ， ， ， ， 由折叠得，； 当时，如图2， ， 由折叠得，， 的度数为或， 故甲、乙答案合在一起才完整， 故选：C． 9．（本题2分）（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据旋转性质得，结合，得到，，，结合旋转性质，三角形内角和定理计算即可，本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【规范解答】根据旋转性质得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 10．（本题2分）（21-22八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，的面积是30cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作于点D，连接BD，则的面积是（  ） A．15cm2 B．14cm2 C．13cm2 D．12cm2 【答案】A 【思路点拨】由题意得AP平分∠BAC，延长CD交AB于点E，则易得△ADC≌△ADE，则有CD=ED，，由CD=ED可得，最后可得，从而求得结果． 【规范解答】由题意得AP平分∠BAC， 即∠CAD=∠EAD 延长CD交AB于点E ∵CD⊥AP ∴∠ADC=∠ADE=90° ∵AD=AD ∴△ADC≌△ADE(ASA) ∴CD=ED， ∴BD是△BEC的边CE上的中线 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【考点评析】本题考查了用尺规作角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形中线平分三角形面积的性质等知识；关键和难点是作辅助线． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，是上一点，交于点，交于点，则点到的距离 点到的距离（填“”“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由是的平分线，可得，由平行线的性质可得：，，推出，得到是的角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【规范解答】解：是的平分线， ， ，， ，， ， 是的角平分线， 点到的距离等于点到的距离， 故答案为：． 12．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【思路点拨】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【规范解答】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 13．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，是折痕，．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，即可判断①③；再利用平行线的性质可得、的度数，即可判断② ；再根据平行线的性质可得的度数，即可判断④． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， ， 由折叠的性质可得，故①正确； ， ，故③正确； ∵， ，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴故④正确． 故答案为：①③④． 14．（本题2分）（20-21七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【规范解答】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 15．（本题2分）（22-23七年级下·江苏南通·期中）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为 ． 【答案】/45度 【思路点拨】此题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，角的计算是解决问题的关键．据长方形的性质及，则，由折叠的性质得即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， ∴， ∵将沿着折叠，点C刚好落在上的点处， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（本题2分）（23-24七年级下·河南郑州·期末）古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图，在等腰三角形的房梁中， ，，，，是边上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高上找一点E，在边上找一点F，使得绳子从C点出发，先绕到点E，再绕到点F，要使所用的绳子最短，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形三线合一，垂直平分线的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交于点，交于点，根据等腰三角形三线合一，可知，从而知道是线段的垂直平分线，推导出，那么，当点和重合时，与重合时，最短，且此时，最后结合，求得的长度，得到的最小值． 【规范解答】过点作交于点，交于点，连接、、，如图所示： ，， 是线段的垂直平分线 ， 根据垂线段最短，可知当点与点重合，与重合时，最短 此时 ，，， 的最小值为 故答案为：． 17．（本题2分）（21-22八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，点D在边上，，垂足为F，与交于点E，则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是的垂直平分线，则，证明，则，在中，由勾股定理得，则，根据求出，在中，由勾股定理即可得到的长． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 18．（本题2分）（21-22八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质，如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【规范解答】解：如图，作B关于的对称点D，连接， ∴，， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，即此时的值最小， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 19．（本题2分）（20-21七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【思路点拨】连接AQ，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得： ，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论． 【规范解答】解：连接AQ，过点D作于H． ∵面积为18，BC=6， ∴， ∴， ∵MN垂直平分线段AB， ∴， ∴， ∴当AQ的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小， ∵， ∴AQ=DH=6， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键． 20．（本题2分）（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知，、分别平分和且度，则 度． 【答案】60 【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根据角平分线的定义可得∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，然后整理得到∠BEC=∠BAC，过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EF=EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE平分∠CAH，然后列式计算即可得解． 【规范解答】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD， ∴∠BEC+∠EBC=（∠BAC+∠ABC）， ∴∠BEC=∠BAC， ∵∠BEC=30°， ∴∠BAC=60°， 过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD， ∴EF=EH，EF=EG， ∴EF=EG=EH， ∴AE平分∠CAH， ∴∠EAC=（180°∠BAC）=（180°60°）=60°． 故答案为：60°． 【考点评析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，试问的度数是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查几何图形中角度的计算，折叠的性质，理解并掌握折叠的性质是解题关键．根据折痕是角平分线，以及平角的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：由折叠可知，， ∵， ∴． 22．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕分别与交于点E和点F． (1)试说明：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)48 【思路点拨】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再证明即可； （2）由，结合全等三角形的性质证明，再证明即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是长方形， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：由折叠的性质可知，． 由（1）知，， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴； 23．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 【规范解答】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 24．（本题8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）作于E，作于F，先根据角平分线的性质得出，再证明，证明即可得出结论； （2）作于F．首先证明，再证明，得出，即可解决问题； 【规范解答】（1）证明：如图②中，作于E，作于F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）作于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（本题8分）（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： (1)以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； (2)以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； (3)以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【思路点拨】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线；分射线在的内部和外部两个情况求解即可． 【规范解答】（1） 解：． （2） 解：． （3）解：由作图可知，， 当射线在的内部时，如图： ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图，当射线在的外部时， ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴． 故答案为：或． 26．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②存在，当时，直线，同时把三等分．理由见解析 【思路点拨】（1）过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，根据平移的性质表示出，，，即可解答； （2）①根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质表示出相关角度的和差倍分即可解答； ②根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质求出相关角度即可解答． 【规范解答】（1）解：， 理由如下： 由平移性质可得，， 过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，如图所示： ，， 的面积为，的面积为，的面积为， ，，， ， ， ， （2）解：①如图，由平移性质可得， ， 直线， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ； ②存在时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分， 理由如下： 由平移性质可得， ， ， 直线， ， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、把三等分， 时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分． 【考点评析】本题是几何变换的综合应用，主要考查折叠的性质，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，掌握折叠的性质，平移的性质是解题的关键． 27．（本题8分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 【思路点拨】（）根据“减余角”的定义即可求解； （）根据“减余角”的定义即可求解； 存在．分三种情况根据“减余角”的定义解答即可求解； 本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“减余角”的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“减余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； 存在． 由折叠可得，，， 设，，则， 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 28．（本题8分）（20-21七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，点D在边上，．将沿对折得到，交于点F． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，请说明； （3）若，将绕点B逆时针方向旋转一个角度，记旋转中的为．在旋转过程中，直线分别与直线、直线交于点M、点N，是否存在这样的点M、点N，使与相等？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠AFB =70°；（2）见解析；（3）存在，旋转角α的度数为60°或150°． 【思路点拨】（1）利用直角三角形的性质求得∠ADB=50°，再利用三角形的外角性质以及折叠的性质求得∠EBD=∠CBD=20°，最后利用三角形的外角性质即可求解； （2）利用三角形的外角性质以及折叠的性质求得∠2+∠3=90°，∠2=2∠3+∠C，再在△FED中利用三角形内角和定理即可计算证明∠4=4∠3； （3）分当∠AMN=∠ANM=20°和∠AMN=∠ANM=70°时两种情况讨论，分别画出图形，利用折叠和旋转的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】（1）∵∠ABD=90°，∠A=40°， ∴∠ADB=50°， 由折叠的性质得∠EBD=∠CBD， ∵∠ADB=∠CBD+∠C，∠C=30°， ∴∠CBD=50°-30°=20°， ∴∠AFB=∠FBC+∠C=2∠CBD +∠C =70°； （2）∵∠ABD=90°，∠1=∠2，∠EBD=∠CBD=∠3， ∴∠1+∠EBD=90°，即∠2+∠3=90°， ∵∠2=∠FBC+∠C=2∠3+∠C， ∴90°-∠3=2∠3+∠C，即∠C=90°-3∠3， 由折叠的性质得∠E=∠C， 在△FED中，∠EFD=∠2=2∠3+∠C=2∠3+90°-3∠3=90°-∠3， ∴∠4=180°-∠EFD-∠E=180°-(90°-∠3+90°-3∠3)= 4∠3； （3）存在， 如图，当∠AMN=∠ANM时， ∵∠BAC= 40°，则∠AMN=∠ANM=20°， ∵∠ABD=90°，∠BAC =40°， ∴∠ADB=50°， 由折叠和旋转的性质得：∠EBD=∠CBD=∠E1BD1，∠C=∠E=∠BE1D1， ∵∠ADB=∠CBD+∠C=50°，则∠BD1N=∠E1BD1+∠BE1D1=50°， ∴∠BFD=∠BD1N+∠ANM=70°， ∴∠D1BD=180°-70°-50°=60°， 即旋转角度为60°； 如图，当∠AMN=∠ANM时， ∵∠BAC= 40°，则∠AMN=∠ANM=70°， 同理，∠BD1N =50°， ∴∠D1MB=∠AMN=70°， ∴∠D1BM=180°-70°-50°=60°， ∴∠D1BD=60°+90°=150°， 即旋转角度为150°； 综上，旋转角α的度数为60°或150°． 【考点评析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形、灵活运用所学知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$