第4章 三角形-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第4章 三角形 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，表示两根长度相等的铁条，铁条的长度为．若O是的中点，，则容器的内径的长度是（  ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 3．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（   ） A．点A B．点B C．点 D．点 5．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 7．（本题2分）（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 8．（本题2分）（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（本题2分）（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（本题2分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，太阳光线与是平行的，表示一棵松树，表示一棵杨树，同一时刻两棵树的影长相等．已知杨树高，则松树高 ． 12．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 ． 13．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 14．（本题2分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 15．（本题2分）（20-21七年级下·山东济南·期末）如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与，的角平分线交于点E；如果，那么下列结论：②垂直平分﹔③﹔④﹔其中正确的是 ﹔（只填写序号） 16．（本题2分）（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过 秒时，． 17．（本题2分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．    18．（本题2分）（21-22七年级下·山东东营·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①；②；③AF平分；④．其中正确结论的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 19．（本题2分）（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 20．（本题2分）（21-22七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处观察E处，测得其视线与水平线之间的夹角为，小华站在E处观察楼顶A处，测得其视线与水平线之间的夹角为，发现与互余．已知，，，试求单元楼的高． 22．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知和均为直角三角形，于点． (1)试说明：； (2)连接，若平分，求的度数． 23．（本题8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）生活中的数学： (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支架作为支撑，这种设计应用的几何原理是_______； (2)如图②，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为B，沿挖水沟即可．这里所运用的几何知识是_______； (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且是线段的中点．要想知道之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 24．（本题8分）（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】 （1）如图①，在中，，的平分线交于点，于点． ①试说明：； ②如图②，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）若图②中的是某市的一块空地，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 25．（本题8分）（23-24七年级下·广东深圳·期中）两个三角形中，存在一组对顶角，另外一组角也分别相等，那么两个三角形的第三组角也相等，这样的模型俗称八字模型，八字模型对于寻找全等带来极大便利，如图所示，图1中，是的高，与相交于点F， (1)根据模型可以得到第三组角____________； (2)如图1所示，若的面积是12，．则______，______；的面积是______． (3)在非直角三角形中八字模型依然成立，同时，添加辅助线是解决一些几何问题的关键，如图2所示，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积． 26．（本题8分）（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 27．（本题8分）（22-23七年级下·四川成都·期中）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．    (1)如图1，已知、分别是和的角平分线， ①当时，求的度数； ②点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出的大小； (2) 如图2，将沿所在直线折叠，点落在的点处，折痕与交于点，连接、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数． 28．（本题8分）（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，，垂足为点D． （1）试说明点D为的中点； （2）如果，将线段绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结、，试说明//； （3）如果的度数为n，将线段绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段，//，求直线与直线的夹角的度数（用含n的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第4章 三角形 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，表示两根长度相等的铁条，铁条的长度为．若O是的中点，，则容器的内径的长度是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．只要证明，即可推出． 【规范解答】解：是的中点，， 在和中， 故选：B． 2．（本题2分）（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等． 利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点C到的垂线段长度，然后根据等面积法求解即可． 【规范解答】解：在上取一点， 使，连接， ， ， ， ， 则最小值时垂直， 这时，，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：D． 3．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查全等的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据题意以及全等三角形的性质可得，即可得到答案． 【规范解答】解：图中两个三角形全等， ， ， ． 故选：C． 4．（本题2分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（   ） A．点A B．点B C．点 D．点 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点． 【规范解答】解：∵， ∴因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上，故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上．所以点Q是图中点D的位置，如下图： ， 故选：D． 5．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等，找出其中规律是解题的关键；根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，联立化简可得：，进一步找出其中规律，即可求出； 【规范解答】解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴①，②， ②得：， ∴③， 由①和③得：， ∵， ∴， 同理：，，……， ∴， ∴， 故选：C； 6．（本题2分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；点在上、点在上，点未到达终点A时，或点到达终点A时，继续运动；三种情况，根据列方程计算即可，舍去不合题意情况 【规范解答】∵，， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时，， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时，， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时，． 当点未到达终点A时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点A时，继续运动，如图③． 此时点与点A重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故选：D．            7．（本题2分）（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 8．（本题2分）（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【规范解答】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：C 9．（本题2分）（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【规范解答】解：，，， ，①能证明，不符合题意； ，，， ②不能证明，符合题意； ，，， ，③能证明，不符合题意； ，，， ，④能证明，不符合题意； 故选：B． 10．（本题2分）（23-24七年级下·河北石家庄·期中）《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了余角有关的计算，根据题意可知，，然后余角知识即可求得的度数，解答本题的关键是明确题意，正确解答． 【规范解答】解：∵1宣矩，1欘宣，1矩，矩，欘， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，太阳光线与是平行的，表示一棵松树，表示一棵杨树，同一时刻两棵树的影长相等．已知杨树高，则松树高 ． 【答案】/5米 【思路点拨】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 用证明，由全等三角形的性质得出答案． 【规范解答】解：由题意，得，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作于，可证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【规范解答】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 【答案】/90度 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 由，证明，再证明 ，得，即可解决问题． 【规范解答】解∶ ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为： 15．（本题2分）（20-21七年级下·山东济南·期末）如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与，的角平分线交于点E；如果，那么下列结论：②垂直平分﹔③﹔④﹔其中正确的是 ﹔（只填写序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】首先通过题意得出，得出，证明结论①正确；得出，得出为等腰三角形，又因为，得出垂直平分，证明结论②正确；然后再利用等边对等角，得出，再利用三角形外角的性质得出，再利用等边对等角，得出，进而得出，证明结论③错误；然后再根据题意，得出，进而得出，算出的度数，再根据的度数，算出的度数，得出，进而得出，再利用等边对等角，得出，进而得出，最后利用内错角相等，两直线平行，得出，证明结论④正确． 【规范解答】解：依题意有， ∴，故结论①正确； ∵， ∴为等腰三角形，又， ∴垂直平分，故结论②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16．（本题2分）（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过 秒时，． 【答案】2或4 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，假设，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含t的代数式表示和，得到关于t的方程，从而求出t的值． 【规范解答】解：动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，． 理由如下： ①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． 综上可知，当或时． 故答案为：2或4． 17．（本题2分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．    【答案】16 【思路点拨】证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【规范解答】解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 18．（本题2分）（21-22七年级下·山东东营·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①；②；③AF平分；④．其中正确结论的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【答案】①②④ 【思路点拨】如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可判断①②，再证明结合角平分线的性质可判断③，由AF平分逆向推导出与题干互相矛盾的结论，可判断④，从而可得答案． 【规范解答】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O． ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴EC=BD，∠BDA=∠AEC，故①符合题意； ∵∠DOF=∠AOE， ∴∠DFO=∠EAO=90°， ∴BD⊥EC，故②符合题意， ∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC， ∴AM=AN， ∴FA平分∠EFB，而   ∴∠AFE=45°，故④符合题意， 若③成立，则∠EAF=∠BAF， ∵∠AFE=∠AFB， ∴∠AEF=∠ABD=∠ADB，推出AB=AD， 由题意知，AB不一定等于AD， 所以AF不一定平分∠CAD，故③不符合题意， 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19．（本题2分）（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同高的两个三角形的面积之比等于底边之比．连接，，，找出延长各边后得到的三角形与原三角形面积的倍数规律，然后利用规律求延长第次后的面积． 【规范解答】解：连接，， 设， ， 中边上的高，与中边上的高相同 ， ，中边上的高，与中边上的高相同 ， 同理可得，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 20．（本题2分）（21-22七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【思路点拨】过作于点，连接，可得到，从而得到，，再由，可得，作点关于的对称点，连接，则，可得到点在直线上，，从而得到的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合，即可求解． 【规范解答】解：如图，过作于点，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接，则， ∴点在直线上，， ∴的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合， ∴的最小值为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称——最短距离问题，根据题意得到的最小值为是解题的关键． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处观察E处，测得其视线与水平线之间的夹角为，小华站在E处观察楼顶A处，测得其视线与水平线之间的夹角为，发现与互余．已知，，，试求单元楼的高． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，过点作，垂足为，根据题意可得：，，后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， 与互余，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴单元楼的高为． 22．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知和均为直角三角形，于点． (1)试说明：； (2)连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和角的运算，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题得关键． （1）先求出，再根据判定三角形全等即可； （2）由，得，可求得，由平分，求得，根据角的和差计算即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 在和中，， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以， 因为平分，所以， 所以， 所以． 23．（本题8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）生活中的数学： (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支架作为支撑，这种设计应用的几何原理是_______； (2)如图②，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为B，沿挖水沟即可．这里所运用的几何知识是_______； (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且是线段的中点．要想知道之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2)垂线段最短 (3)合适，见解析 【思路点拨】本题考查三角形的稳定性，垂线段最短，全等三角形的判定和性质： （1）根据三角形的稳定性进行作答即可； （2）根据垂线段最短，作答即可； （3）根据全等三角形的判定和性质，进行说明即可． 【规范解答】（1）解：这种设计应用的几何原理是三角形具有稳定性； （2）这里所运用的几何知识是：垂线段最短； （3）合理，理由如下： 因为， 所以． 在与中， 所以， 所以． 24．（本题8分）（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】 （1）如图①，在中，，的平分线交于点，于点． ①试说明：； ②如图②，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）若图②中的是某市的一块空地，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2） 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）①证明即可得到； ②由（1）得，得到，即可证明，得到； （2）由的面积为，，得到，由（1）可知，，则，再根据，得到，求出，最后根据求解即可． 【规范解答】证明：（1）① ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴； ② ； 理由：由（1）得， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 即种植鲜花的面积是． 25．（本题8分）（23-24七年级下·广东深圳·期中）两个三角形中，存在一组对顶角，另外一组角也分别相等，那么两个三角形的第三组角也相等，这样的模型俗称八字模型，八字模型对于寻找全等带来极大便利，如图所示，图1中，是的高，与相交于点F， (1)根据模型可以得到第三组角____________； (2)如图1所示，若的面积是12，．则______，______；的面积是______． (3)在非直角三角形中八字模型依然成立，同时，添加辅助线是解决一些几何问题的关键，如图2所示，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)4；2；6 (3)64 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等． （1）根据等角的余角相等即可得出结果； （2）根据三角形面积公式即可求出，再证明，推出，求出，由即可解答； （3）在上截取，连接，先证明，证明，推出，根据已知求出，求出，即可解答． 【规范解答】（1）解：根据模型可以得到第三组角，理由如下： ，是的高， ， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：是的高， ， 又的面积是12，， ， ， 是的高， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：4，2，6； （3）解：在上截取，连接，如图所示： ，是高， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， ， ， ． 26．（本题8分）（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路点拨】(1)先根据平行线的性质，得出，由可得，由可得，进而即可得解； (2)先证明，得，再证明，进而即可得解． 【规范解答】（1）证明：如图， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴平分； （2）证明：如图2： 点为中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 27．（本题8分）（22-23七年级下·四川成都·期中）直线与直线垂直相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．    (1)如图1，已知、分别是和的角平分线， ①当时，求的度数； ②点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出的大小； (2)如图2，将沿所在直线折叠，点落在的点处，折痕与交于点，连接、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，请求出的度数． 【答案】(1)①，②大小发生变化，随着的增大而减小 (2)或． 【思路点拨】（1）①根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理，即可求解； ②同①的方法根据三角形的内角和定理求得，即可求解． （2）连接，根据三角形的角平分线交于一点可得是的角平分线，进而根据题意分类讨论，求得，根据角平分线的定义，以及折叠的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵于点， ∴， ∵，、分别是和的角平分线， ∴ ∴    ②∵于点， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴ ∴ ∴随着的增大而减小； （2）解：∵是的角平分线， ∴ ∴， ∴ 连接，如图所示， ∵三角形的三条角平分线交于一点， ∴是的角平分线， ∵折叠， ∴是的角平分线，      ①当时，则， ∵ ∴，故此情形不存在，同理可得不存在 ②当时， 则， ∴， ∴， ③当， 则， ∴， ∴， 综上所述，或． 【考点评析】本题考查了垂直的定义，三角形角平分线的应用，折叠的性质，分类讨论是解题的关键． 28．（本题8分）（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，，垂足为点D． （1）试说明点D为的中点； （2）如果，将线段绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结、，试说明//； （3）如果的度数为n，将线段绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段，//，求直线与直线的夹角的度数（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线与直线的夹角的度数是或． 【思路点拨】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质，利用“等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合”即可解答． （2）根据等边三角形的判定和性质，先推出（SAS），再根据全等三角形性质和平行线的判定可求出解； （3）根据等腰三角形性质可得，结合题意，分3种情况分析：，，；根据题意画出图形，借助全等三角形的判定和性质可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴△ABC是等腰三角形 ∵（已知）， ∴点D为的中点. （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合） （2）解： ∵，（已知）， ∴是等边三角形 （有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形）， ∴（等边三角形的三内角等于60°）. ∵（已知）， ∴ （等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合）， ∴（等式性质）. ∵，（旋转的意义）， ∴是等边三角形 （有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形）， ∴（等边三角形的三边相等）， （等边三角形的三内角等于60°）. ∴（等式性质）， 即， ∴（等量代换）. 在与中， ∴（SAS）. ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴（等量代换）， ∴（等式性质）， 即， ∴（等式性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）. （3）解：∵（已知）， ∴（等边对等角）， ∵（已知）， （三角形的内角和等于180°）， ∴（等式性质）， ∴（等式性质）. ∵（已知）， ∴（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）， （等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合）. 当的度数为n，n有三种可能情况：，，. （i）当时： 延长、交于点G. ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等式性质）， ∴（等量代换）. 在与中， ∴（ASA）， ∴（全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）. ∵（旋转的意义）， ∴（等量代换）， ∴（等边对等角）， ∴（等量代换）. ∵ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴（等式性质）， ∴（等式性质）. ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴直线与直线的夹角的度数是. （ii）当时： 延长交于点G. ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）. 在与中， ∴（ASA）， ∴（全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）. ∵（旋转的意义）， ∴（等量代换）， ∴（等边对等角）， ∴（等量代换）. ∵ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴（等式性质）， ∴（等式性质）. ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴直线与直线的夹角的度数是. （iii）当时： ∵（已知）， ∴，（等式性质）， ∴（等量代换）， ∴（等边对等角）， ∵（旋转的意义）， ∴（等量代换）， ∴， ∴∠ADF=180° ∴不符合题意，舍去. 综合上述，直线与直线的夹角的度数是或. 【考点评析】本题主要考查平行线、等腰三角形与全等三角形的有关概念，辅助线的添加、方程思想，以及问题的多样性，解题过程中要注意考虑完整，正确添加辅助线，解题过程如上． 学科网（北京）股份有限公司 $$