第1章 整式的乘除-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第1章 整式的乘除 试题满分：100分 难度系数：0.39（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2025•苏家屯区开学）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024秋•济宁期末）如果，，那么的值为　　 A． B．4 C． D．6 3．（2分）（2024春•青白江区校级期中）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024春•武冈市期中）计算的结果是： ①； ②； ③； ④．其中正确的是　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2分）（2024春•新城区校级期中）已知，，且，则，，三者之间的数量关系是　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024秋•海门区期中）如果的乘积中不含一次项， 则为　　 A ． B ． 2 C ． D ． 7．（2分）（2025•镇海区校级模拟）已知，则的值是　　 A．5 B．9 C．13 D．17 8．（2分）（2023春•拱墅区期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则　　 A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 9．（2分）（2023•湛江二模）定义：如果，那么叫做以为底的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为　　 ①； ②； ③若，则； ④． A．4 B．3 C．2 D．1 10．（2分）（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数” ，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为　　 A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2025•市北区校级开学）已知，则的值为 　　． 12．（2分）（2024秋•新城区期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒．若把数字0.00000023用科学记数法表示为的形式，则　　． 13．（2分）（2024秋•分宜县期末）计算：　 　． 14．（2分）（2023秋•浦东新区校级期末）若，则　 　． 15．（2分）（2024春•武侯区校级期中）已知关于的方程，求　　． 16．（2分）（2024春•梅列区校级月考）观察下列各式及其展开式 ； ； ； ． 请你猜想的展开式中含项的系数是 　　． 17．（2分）（2023春•全椒县期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1）与的大小关系为：　　（填“”“ ”或“” ； （2）若满足的整数有且只有2个，则的值是 　　． 18．（2分）（2022春•薛城区期中）有一个棱长的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　　立方厘米． 19．（2分）（2023秋•蒸湘区校级月考）计算：　 　． 20．（2分）（2022春•李沧区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是 　　． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024春•金牛区校级期中）已知，． （1）求的值； （2）求的值． 22．（6分）（2025•西安开学）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，， （1）比较，的大小． （2）比较，，的大小． 23． （8分）（2024春•宝丰县期中）数学老师布置了一道题：计算，求当和时的值．小红和小新展开了讨论，小红：我发现这个式子，当和时，它的值始终是相等的．小新：不可能，代入不同的值，结果应该不同．你认为他们两人谁说的对？请说明理由． 24．（8分）（2024春•西安校级期中）对于任意有理数，，，，我们规定☆． （1）填空：对于有理数，，若☆，，则　　； （2）对于有理数，，若，☆． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，点在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 25．（8分）（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当　　时，有最小值是 　　（2）多项式有最 　　（填“大”或“小” 值，该值为 　　（3）已知，求的最值 （4）已知△的三边长、、都是正整数，且满足，求△的周长． 26．（8分）（2024春•桃源县期末）阅读下列材料 若满足，求的值． 设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 27．（8分）（2024秋•沈阳期中）定义：如果，为正数），那么我们把叫做的数，记作． （1）根据数的定义，填空：（2）　　，　　． （2）数有如下运算性质：，，其中． 根据运算性质，计算： ①若（a），求； ②若已知（3），（5），试求，，，的值（用、、表示）． 28．（8分）（2023春•扶绥县校级期中）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第1章 整式的乘除 试题满分：100分 难度系数：0.39（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2025•苏家屯区开学）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据幂的运算法则，完全平方公式，合并同类项的法则，逐一进行计算后，判断即可． 【规范解答】解：根据幂的运算法则，完全平方公式，合并同类项的法则，逐一进行计算可得： 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查整式的运算，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（2分）（2024秋•济宁期末）如果，，那么的值为　　 A． B．4 C． D．6 【思路点拨】利用平方差公式，整体代入计算． 【规范解答】解：，， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运用． 3．（2分）（2024春•青白江区校级期中）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据判定即可． 【规范解答】解：、，不能用平方差公式计算，符合题意； 、，能用平方差公式计算，不符合题意； 、，能用平方差公式计算，不符合题意； 、，能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键． 4．（2分）（2024春•武冈市期中）计算的结果是： ①； ②； ③； ④．其中正确的是　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【思路点拨】根据同底数幂的乘法法则判断即可． 【规范解答】解：， 所以正确的有②④． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 5．（2分）（2024春•新城区校级期中）已知，，且，则，，三者之间的数量关系是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意得出，，再根据即可得出答案． 【规范解答】解：，，且， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，灵活运用同底数幂的乘法、幂的乘方是解题的关键． 6．（2分）（2024秋•海门区期中）如果的乘积中不含一次项， 则为　　 A ． B ． 2 C ． D ． 【思路点拨】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积， 并且把看作常数合并关于的同类项， 令的系数为 0 ，得出关于的方程， 求出的值 ． 【规范解答】解：， 又乘积中不含的一次项， ， 解得． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算， 根据乘积中不含哪一项， 则哪一项的系数等于 0 列式是解题的关键 ． 7．（2分）（2025•镇海区校级模拟）已知，则的值是　　 A．5 B．9 C．13 D．17 【思路点拨】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解． 【规范解答】解：令，则原式可化简为，则， 解得：，即． 故选：． 【考点评析】本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案． 8．（2分）（2023春•拱墅区期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则　　 A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 【思路点拨】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出，，再分析即可． 【规范解答】解： ， ， 多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为， ，， ，且，均为正整数， ， 整理得：． 又，， ，． ，． ． ，均为正整数， 的取值为1，2，3，4，5． 的最大值为1，的最小值为． ，， ． ，均为正整数， 的取值为1，2，3，4，5． 的最大值为1，的最小值为． 故选项正确，符合题意． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了整式的变形，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 9．（2分）（2023•湛江二模）定义：如果，那么叫做以为底的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为　　 ①； ②； ③若，则； ④． A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】根据对数的定义和乘方解题即可． 【规范解答】解：， ，说法①符合题意； 由于，设，， 则，， 于是，说法④符合题意； 则，说法②符合题意； 设，则， 两边同时取以为底的对数， ，则， 所以即， 则， ， ，说法③符合题意； 故选：． 【考点评析】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确． 10．（2分）（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数” ，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为　　 A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 【思路点拨】设相邻的两奇数分别为，，且为正整数），求出和谐数的表达式，根据和谐数不超过2017，列出不等式，求得的范围，进而可以知道最大的，求出此时的相邻两个奇数，然后把这些和谐数加起来计算即可． 【规范解答】解：设相邻的两奇数分别为，，且为正整数）， ， 根据题意得：， ， 最大为252，此时，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了平方差公式的应用，求出和谐数的表达式是解题的关键． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2025•市北区校级开学）已知，则的值为 　　． 【思路点拨】根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【规范解答】解：， ， ，， ，． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件找到等量关系是解题的关键． 12．（2分）（2024秋•新城区期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒．若把数字0.00000023用科学记数法表示为的形式，则　　． 【思路点拨】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，为整数，的值等于把原数变为时小数点移动的位数． 【规范解答】解：0.00000023科学记数法表示为， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，为整数，的值等于把原数变为时小数点移动的位数． 13．（2分）（2024秋•分宜县期末）计算：　　． 【思路点拨】将分式的分母根据平方差公式变形得到，再约分即可求解． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了平方差公式，解答本题的关键是掌握平方差公式的形式，这是需要我们熟练记忆的内容． 14．（2分）（2023秋•浦东新区校级期末）若，则　 10 　． 【思路点拨】利用非负数的性质求出与的值， 利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值 ． 【规范解答】解：， ，，即，， 则． 故答案为： 10 ． 【考点评析】此题考查了完全平方公式， 以及非负数的性质， 熟练掌握公式是解本题的关键 ． 15．（2分）（2024春•武侯区校级期中）已知关于的方程，求　　． 【思路点拨】先求出，，，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【规范解答】解：， ，，， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 16．（2分）（2024春•梅列区校级月考）观察下列各式及其展开式 ； ； ； ． 请你猜想的展开式中含项的系数是 　　． 【思路点拨】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数． 【规范解答】解：， ， ， ， 依据规律可得到： 倒数第三项的系数为1， 倒数第三项的系数为， 倒数第三项的系数为， 展开式有12项，其中含有的是第10项为：， 含有项的系数为：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了完全平方公式，数字的规律变化，多项式．关键要能够写出11次方时候倒数第三项的系数，将、分别换成、． 17．（2分）（2023春•全椒县期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1）与的大小关系为：　　（填“”“ ”或“” ； （2）若满足的整数有且只有2个，则的值是 　　． 【思路点拨】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出，根据整数有且只有2个，列出关于的不等式组，解不等式组得出的取值范围，再根据为正整数求得的值． 【规范解答】解：（1）， ， ， 为正整数， ， ， ， 故答案为：． （2）， 的整数有且只有2个， 这2个整数解为2022，2023， ， 解得：， ． 故答案为：1011． 【考点评析】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键． 18．（2分）（2022春•薛城区期中）有一个棱长的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　　立方厘米． 【思路点拨】直接利用棱长变化规律进而得出3秒后该正方体的棱长，进而得出答案． 【规范解答】解：由题意可得，3秒后该正方体的棱长为：， 故3秒后该正方体的体积是：， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了幂的乘方运算，正确得出3秒后该正方体的棱长是解题关键． 19．（2分）（2023秋•蒸湘区校级月考）计算：　　． 【思路点拨】观察式子的特点，发现两个幂的底数互为倒数，因而可以逆用积的乘方运算性质． 【规范解答】解：， ， ， ． 【考点评析】本题考查了积的乘方的性质，转化为同指数相乘逆用积的乘方的性质是解题的关键． 20．（2分）（2022春•李沧区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是 　2699　． 【思路点拨】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别、，设，即智慧数，因为，是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【规范解答】解：设两个数分别为，，其中，且为整数．则． 设两个数分别为，，其中，且为整数．则，时，， 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 且为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，采用题目中小颖的方法，得到特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： 假设是智慧数，那么必有两个正整数和，使得， ①， 和这两个数的奇偶性相同， 等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． 把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又， 第2022个智慧数在（组，并且是第三个数，即，是个奇数， 根据小明的方法可得： ，解得，， 即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解． 故答案为：2699． 【考点评析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024春•金牛区校级期中）已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【思路点拨】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1），， ； （2），， ， ． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．（6分）（2025•西安开学）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，， （1）比较，的大小． （2）比较，，的大小． 【思路点拨】（1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【规范解答】解：（1），， ， 即； （2），，， 又，，， ． 【考点评析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． 23．（8分）（2024春•宝丰县期中）数学老师布置了一道题：计算，求当和时的值．小红和小新展开了讨论，小红：我发现这个式子，当和时，它的值始终是相等的．小新：不可能，代入不同的值，结果应该不同．你认为他们两人谁说的对？请说明理由． 【思路点拨】先根据完全平方公式、平方差公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解． 【规范解答】解： ， ， 原式均等于． 小红说的对． 【考点评析】本题考查完全整式的混合运算，解题的关键是明确完全平方公式、平方差公式和去括号的计算方法． 24．（8分）（2024春•西安校级期中）对于任意有理数，，，，我们规定☆． （1）填空：对于有理数，，若☆，，则　　； （2）对于有理数，，若，☆． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，点在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）由新定义可得☆，，从而可得答案； （2）①由新定义可得：，结合可得，从而可得答案； ②先表示；把，代入计算即可． 【规范解答】解：（1）☆， ☆，， ． 故答案为：； （2）①由题意知， ☆， ， ， ， ， ； ②由图可知，， ，， ． 【考点评析】本题考查了完全平方式，掌握全平方公式的含义是关键． 25．（8分）（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当　　时，有最小值是 　　（2）多项式有最 　　（填“大”或“小” 值，该值为 　　（3）已知，求的最值 （4）已知△的三边长、、都是正整数，且满足，求△的周长． 【思路点拨】（1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （4）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【规范解答】解：（1）， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是； 故答案为：，； （2）， ， 当时，的值最大，最大值是0， ， 当时，的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是； 的最小值是； （4）， ， ，， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为4， △的周长为． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 26．（8分）（2024春•桃源县期末）阅读下列材料 若满足，求的值． 设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）设，，根据已知等式确定出所求即可； （2）①由正方形边长为，即可表示出与； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【规范解答】解：（1）设，，则，， ； （2）①，， 故答案为：；； ②， 阴影部分的面积． 设，，则，， ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是28． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 27．（8分）（2024秋•沈阳期中）定义：如果，为正数），那么我们把叫做的数，记作． （1）根据数的定义，填空：（2）　1　，　　． （2）数有如下运算性质：，，其中． 根据运算性质，计算： ①若（a），求； ②若已知（3），（5），试求，，，的值（用、、表示）． 【思路点拨】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简． 【规范解答】解：（1）， （2）， ， ， 故答案为：1；4． （2）①， ． ． ． ②， （3）（5） ， ． ， （3）（3）（3）（2）（2） （3）（2） ． ， （3）（3）（3）（5）（2）（2） （3）（5）（2） ， 【考点评析】主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力． 28．（8分）（2023春•扶绥县校级期中）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 【思路点拨】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 【规范解答】解： ． 【考点评析】本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键 学科网（北京）股份有限公司 $$