第6章 变量之间的关系（思维导图+知识梳理+4大考点讲练+优选真题难度分层练 共42题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第6章 变量之间的关系 （思维导图+知识梳理+4大考点讲练+优选真题难度分层练 共42题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：变量、常量的概念 2 知识点02：用表格表示变量间关系 2 知识点03：用关系式表示变量间关系 2 知识点04：用图象表示变量间关系 2 重点知识考点讲练 3 考向一：现实中的变量 3 考点讲练01：常量与变量 3 考点讲练02：函数的概念 4 考向二：用关系式表示变量之间的关系 6 考点讲练03：函数关系式 6 考向三：用图象表示变量之间的关系 7 考点讲练04：函数的图象 7 优选真题难度分层练 9 基础夯实真题练 9 培优拔尖真题练 19 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 【易错点剖析】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量. 知识点02：用表格表示变量间关系 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 【易错点剖析】表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 知识点03：用关系式表示变量间关系 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 【易错点剖析】关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 知识点04：用图象表示变量间关系 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量. 【易错点剖析】图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 考向一：现实中的变量 考点讲练01：常量与变量 【典例精讲01】（2024秋•任城区期末）调研某品牌手机电池待机时长，需要的数据是 　定量数据　．（填“定量数据”或“定性数据”） 【思路点拨】根据“定量数据是指具体的数值”，即可作答． 【规范解答】解：根据“定量数据是指具体的数值”，可知调研某品牌手机电池待机时长，需要的数据是定量数据． 故答案为：定量数据． 【考点评析】本题主要考查常量和变量，理解“定量数据是指具体的数值”是解题的关键． 【变式训练1】（2024春•海阳市期末）在圆的周长计算公式C＝2πR中，对于变量和常量的说法正确的是（　　） A．2是常量，C，π，R是变量 B．2，π是常量，C，R是变量 C．2，C，π是常量，R是变量 D．2，π，R是常量，C是变量 【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量． 【规范解答】解：在圆的周长计算公式C＝2πR中，C和R是变量，2、π是常量， 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握变量和常量的定义． 【变式训练2】（2024春•金水区校级期中）一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是（　　） A．a是常量 B．a是变量 C．t是常量 D．y是常量 【思路点拨】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【规范解答】解：一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，则在这个变化过程中，a是常量，t，y是变量， 故选项A符合题意． 故选：A． 【考点评析】此题考查的是常量与变量，掌握其定义是解决此题的关键． 考点讲练02：函数的概念 【典例精讲02】（2024春•西安校级期中）第四届铁一陆港运动会男子100米决赛在风雨操场上进行，随着一声发令枪响，健儿们像离弦的箭一般冲了出去．看着赛场上激烈的角逐，求知小组的同学也展开了激烈的讨论：声音传播的速度和什么有关系呢？好学的小陆同学利用五一假期查阅资料，找到声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s 【思路点拨】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【规范解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快， ∴选项B说法正确，不符合题意； 由列表可知，当空气温度为20℃时，声速为342m/s， 声音5s可以传播5×342＝1710m ∴选项C说法不正确，符合题意； ∵∵324﹣318＝6（m/s）（m/s），330﹣324＝6（m/s）（m/s），336﹣330＝6（m/s）（m/s），342﹣336＝6（m/s）（m/s），348﹣342＝6（m/s）（m/s）， ∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s， ∴选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了函数的定义，表格表示自变量与因变量．掌握函数的定义是关键． 【变式训练1】（2024春•佛山期末）当圆的半径r由小到大变化时，圆的面积S也随之发生变化．在这一变化过程中，以下说法错误的是（　　） A．S，r是变量 B．S是r的函数 C．r是S的函数 D．S随r的增大而增大 【思路点拨】A．根据变量的定义判断即可； BC．根据函数的定义判断即可； D．根据圆的面积公式，写出圆的面积S与半径r之间的关系式判断即可． 【规范解答】解：在这一变化过程中，S，r是变量，S是r的函数， ∴AB正确，不符合题意；C错误，符合题意； 圆的面积S与半径r之间的关系式为S＝πr2， ∴S随r的增大而增大， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查函数的概念等，掌握函数及变量的定义、圆的面积公式是解题的关键． 【变式训练2】（2023春•贵阳期末）在利用太阳能热水器加热水的过程中，热水器的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 【思路点拨】根据函数的定义解决问题即可． 【规范解答】解：这个问题的因变量是水的温度， 故选：B． 【考点评析】本题考查函数的概念，解题的关键是理解函数的定义，属于中考基础题． 考向二：用关系式表示变量之间的关系 考点讲练03：函数关系式 【典例精讲03】（2024秋•奉贤区期末）如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+1+n C．y＝2n+n D．y＝2n+n+1 【思路点拨】根据题意得：第1个图：y＝1+2，第2个图：y＝2+4＝2+22，第3个图：y＝3+8＝3+23，…以此类推第n个图：y＝n+2n，即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意得： 第1个图：y＝1+2， 第2个图：y＝2+4＝2+22， 第3个图：y＝3+8＝3+23， … 以此类推 第n个图：y＝n+2n， 故选：C． 【考点评析】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 【变式训练1】（2024秋•固镇县期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为a，b，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝2b C．a＝4b D．a＝5b 【思路点拨】首先设“”的质量是c，根据两个天秤可得两个等式c＝2b，a+b＝2c+b，等量代换可得a与b的关系． 【规范解答】解：根据题意，设“”的质量是c， 根据第一个天秤平衡可得：c＝2b， 根据第二个天秤平衡可得：a+b＝2c+b， 把c＝2b代入a+b＝2c+b， 得到：a+b＝2×2b+b， 整理得：a＝4b． 所以a与b的关系是a＝4b． 故选：C． 【考点评析】本题考查了等式的性质，函数关系式，关键是相关知识的熟练掌握． 【变式训练2】（2023秋•无锡期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 　y＝0.5x+7　． 【思路点拨】根据挂重后弹簧的长度＝不挂物体时弹簧的长度+弹簧伸长的长度列出函数关系式即可． 【规范解答】解：由题意得，y＝0.5x+7， 故答案为：y＝0.5x+7． 【考点评析】本题考查了函数关系式，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 考向三：用图象表示变量之间的关系 考点讲练04：函数的图象 【典例精讲04】（2024春•渭滨区期末）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离S（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在途中停留了0.5小时； ②汽车行驶3小时后离出发地最远； ③汽车共行驶了120千米； ④汽车返回时的速度是80千米/小时． 其中正确的说法共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据题意，读图分析，注意纵横轴的意义，可得①②④正确，进而可得答案． 【规范解答】解：读图可得：BC间的位移不变，其时间为2﹣1.5＝0.5，故汽车在途中停留了0.5小时，①正确； t＝3时，位移达到最大值，则汽车行驶3小时后离出发地最远，②正确； 汽车的最大位移为120千米，来回的路程为240千米，③错误； 汽车返回时的速度是80千米/小时，④正确； 故选：C． 【考点评析】本题考查学生读图、分析的能力，注意结合纵横轴的意义来分析． 【变式训练1】（2024•徐汇区三模）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【规范解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选：C． 【考点评析】此题考查了函数的图象，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 【变式训练2】（2024春•芝罘区期末）某复印店复印收费y（元）与复印面数x面的函数图象如图所示，从图象中可以看出，复印超过100面的部分，每面收费 　0.4　元． 【思路点拨】由图象可知，不超过100面时，每面收费50÷100＝0.5元，超过100面的部分每面收费（70﹣50）÷（150﹣100）＝0.4（元）． 【规范解答】解：超过100面部分每面收费（70﹣50）÷（150﹣100）＝0.4（元）， 故答案为：0.4． 【考点评析】本题考查了函数的图象，解题的关键是仔细观察图象，并从图象中整理出进一步解题的有关信息． 基础夯实真题练 1．（2024秋•梓潼县期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【思路点拨】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【规范解答】解：根据题意和图象可知： 小汽车共行驶：2×120＝240（km），故选项A说法正确，不符合题意； 小汽车中途停留0.5h，故选项B说法正确，不符合题意； 小汽车出发后前3小时的平均速度为：120÷3＝40（千米/时），故选项C说法正确，不符合题意； 小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 【考点评析】此题考查了函数的图象以及学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”． 2．（2024春•深圳期末）下列实际情境中的变量关系可以用如图近似地刻画的是（　　） A．匀速骑行的自行车（速度与时间的关系） B．篮球运动员投出去的篮球（高度与时间的关系） C．燃烧的蜡烛（蜡烛长度与时间的关系） D．早晨升旗仪式（国旗高度与时间的关系） 【思路点拨】该图象是函数值随着自变量的增大而减小，针对各选项的含义分析即可． 【规范解答】解：该图象是函数值随着自变量的增大而减小． A、匀速骑行的自行车：速度随着时间的增长而不变，故本选项不符合题意； B、篮球运动员投出去的篮球，高度随着时间的增长先增加后减小，故本选项不符合题意； C、燃烧的蜡烛，蜡烛长度随着时间的增长而减小，故本选项符合题意； D、早晨升旗仪式，高度随着时间的高度先随着时间增长而增大，故本选项不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了函数的图象，掌握函数图象的增减性即可解题，需要具备读图能力． 3．（2024春•兴庆区校级期末）如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定，住满烧杯后，继续注水，直至住满水槽）．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的关系大致是图中的（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】利用水槽的形状，探究水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象． 【规范解答】解：开始向水槽底部烧杯注水的一段时间h＝0，烧杯注满后，水开始进入水槽中直至到烧杯顶部时，h的变化较快，继续注入时的变化较慢． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别，关键是得出第一段从注水开始到水注满烧杯结束，在这段时间内水槽的水面高度为零，第三段时间内水高上升的速度要比第二段时间内上升的缓慢． 4．（2024春•浦东新区校级期末）如图所示的图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法中错误的是（　　） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 【思路点拨】根据观察函数图象的纵坐标，判断A、B，根据观察函数图象的横坐标，可判断C，根据观察纵坐标、横坐标，可得路程与时间，根据路程除以时间，可得答案． 【规范解答】解：A、由纵坐标看出体育场离张强家2.5千米，故A正确，此选项不符合题意； B、由横坐标看出锻炼时间为30﹣15＝15分钟，故B正确，此选项不符合题意； C、2.5﹣1.5＝1千米，体育场离早餐店1千米，故C正确，此选项不符合题意； D、由纵坐标看出早餐店距家1.5千米，由横坐标看出回家时间是100﹣65＝35分钟小时，回家速度是1.5（千米/小时），故D错误，此选项符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 5．（2024春•邻水县期末）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（　　） A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量 【思路点拨】在一个变化过程中，如果变量A因为变量B的变化而变化，那么变量B叫做自变量，变量A叫做因变量，据此求解即可． 【规范解答】解：由题意可知，随着高度的不断增加，燃料的体积不断减少，则自变量为火箭飞行的高度， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了函数的概念，掌握其概念是解决此题的关键． 6．（2024•西安校级开学）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行 　80　米． 【思路点拨】根据图象分析出小明家距学校的路程为800米，步行回家的时间是15﹣5＝10（分），接下来根据路程、时间、速度的关系进行计算，即可使问题得解，试试吧． 【规范解答】解：小明家距学校800米，小明从学校步行回家的时间是：15﹣5＝10（分）， 所以小明回家的速度是每分钟：800÷10＝80（米）． 故答案为：80． 【考点评析】本题考查函数的图象的性质，正确读懂函数的图象是解题的关键． 7．（2024秋•徐汇区校级期末）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，求y关于x的函数解析式 　yx　． 【思路点拨】根据组成圆柱后，底面圆的周长等于剩余长方形的长列出方程，再化成函数关系式即可． 【规范解答】解：由题意得： y， ∴y， 即yx， 故答案为：yx． 【考点评析】本题考查了函数关系式，展开图折叠成几何体，根据题目的已知条件并结合图形找到等量关系是解题的关键． 8．（2024春•金凤区校级期中）若一个长方形的周长为20cm，一条边长为x cm（x＞0），面积为y cm2，则y与x之间满足的关系式为 　y＝x•（10﹣x）　． 【思路点拨】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积＝长×宽列出函数关系式． 【规范解答】解：∵一个长方形的周长为20cm，一条边长为x cm（x＞0）， ∴长方形的另一边长为：（10﹣x）cm， 根据题意可得：y＝x•（10﹣x）． 故答案为：y＝x•（10﹣x）． 【考点评析】此题主要考查列二次函数关系式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．（2024春•陈仓区期中）小丽给新办的饭卡充值100元，学校餐厅每顿午饭均为5元，则饭卡余额y（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系是 　y＝100﹣5x　． 【思路点拨】用100减去x次的消费，即可确定函数关系式． 【规范解答】解：依题意，饭卡余额y（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系为y＝100﹣5x， 故答案为：y＝100﹣5x． 【考点评析】本题考查了函数关系式，理解题意列出关系式是解题的关键． 10．（2024春•西安校级期中）2024世界泳联跳水世界杯总决赛4月19﹣21日在西安奥体中心游泳跳水馆举行，小陆同学和家人一同从家出发观赛，由于距离较远，决定打车前往．已知西安市出租车的收费标准是起步价8.5元（行程小于或等于3公里），超过3公里每增加1公里（不足1公里按1公里计算）加收2元，则出租车费y（元）与行程x（公里）（x是大于3的整数）之间的关系式为 　y＝2x+2.5　． 【思路点拨】根据出租车的收费标准，用含有x的代数式表示车费即可． 【规范解答】解：由题意得，y＝8.5+2（x﹣3）＝2x+2.5， 故答案为：y＝2x+2.5． 【考点评析】本题考查函数关系式，理解出租车的收费标准是正确解答的前提． 11．（2024秋•霍邱县期末）3月21日，西安滨河学校开展了校园安全宣讲活动，同学们在上下学途中特别要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后维续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是 　离家的时间　，因变量是 　离家的距离　； （2）小明家到学校的路程是 　1500　米．小明在书店停留了 　4　分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【思路点拨】（1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）因为y轴表示离家距离，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的路程是1500米；与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可； （3）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可． 【规范解答】解：（1）根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离家的时间，因变量是离家的路程， 故答案为：离家的时间，离家的距离； （2）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校， ∴小明家到学校的路程是1500米， 由图象可知：小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟）， 故答案为：1500；4； （3）由图象可知：0～6分钟时，平均速度（米/分）， 6～8分钟时，平均速度（米/分）， 12～16分钟时，平均速度（米/分）， ∴在整个上学的途中0～6分钟时速度最快，在安全限度内． 【考点评析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 12．（2024秋•济宁期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是　所挂物体的质量xkg　，因变量是　弹簧的长度ycm　． （2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为　24　cm；不挂重物时，弹簧的长度为　18　cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 【思路点拨】（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量； （2）设y＝kx+b，然后将表中的数据代入求解即可，从图表中直接得出当所挂重物为3kg时，弹簧的长度和不挂重物时弹簧的长度； （3）把y＝36代入（2）中求得的函数关系式，求出x的值即可； 【规范解答】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量． （2）设弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式为y＝kx+b， 将x＝0，y＝18；x＝1，y＝20代入得： k＝2，b＝18， ∴y＝2x+18． 当x＝3时，y＝24；当x＝0时，y＝18． 所以，当所挂重物为3kg时，弹簧有24cm长；不挂重物时，弹簧有18cm长． （3）把y＝36代入y＝2x+18， 得出：x＝9， 所以，弹簧的长度为36cm时，此时所挂重物的质量是9kg． 故答案为：所挂物体的质量xkg；弹簧的长度ycm；24；18 【考点评析】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式． 13．（2024秋•金寨县期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 53 56 59 … （1）按照上表所示的规律，当排数为6时，此时座位数为 　65　． （2）写出座位数y与排数x之间的关系式：　y＝3x+47　． （3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 【思路点拨】（1）根据座位数与排数变化规律得出答案； （2）根据变化规律得出一般性的函数关系式； （3）代入计算即可． 【规范解答】解：（1）由表格中座位数与排数的变化规律可知，排数每增加1排，座位数就增加3个， 所以第6排的座位数为：50+3×（6﹣1）＝65（个）， 故答案为：65； （2）由座位数随着排数增加的变化规律可得， y＝50+3（x﹣1）＝3x+47， 故答案为：y＝3x+47； （3）把y＝90代入得，90＝3x+47， 解得x，不符合题意， 所以不可能某一排90个座位． 【考点评析】本题考查函数关系式，理解题目中的数量关系是正确解答的前提． 14．（2024春•金水区期中）甲车和乙车先后从同一起点出发驶向目的地，已知乙车比甲车晚出发1.5小时，两车距目的地的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，请你根据图象解答下列问题： （1）当乙车到达目的地时，求甲车与起点之间的距离； （2）乙车出发多长时间后追上甲车？ （3）甲车出发多长时间后，甲乙两车相距15千米？ 【思路点拨】（1）先求出甲车的速度，然后根据路程、速度、时间关系计算距离即可解题； （2）求出乙车在2.5～4.5小时的速度，设设乙车出发a小时后追上甲车，根据追及问题列方程解题即可； （3）设在乙车出发b小时后，两车相距15千米，分相遇前和相遇后两种情况列方程解题即可． 【规范解答】解：（1）根据图象可知，甲车的速度是：300÷5＝60（千米/小时）， 4.5×60＝270（千米）， 所以当乙车到达目的地时，甲车与起点之间的距离是270千米； （2）因为乙车在2.5～4.5小时的速度是：（300﹣80）÷（4.5﹣2.5）＝110（千米/小时）， 设乙车出发a小时后追上甲车， 因为乙车比甲车晚出发1.5小时， 所以60（a+1.5）＝80+110（a﹣1）， 解得a＝2.4，所以乙车出发2.4小时后追上甲车； （3）设在乙车出发b小时后，两车相距15千米， 因为60×2.5＝150（千米）， 所以乙车出发1小时后， 两车相距150﹣80＝70（千米）， 所以b＞1， ①两车相遇之前，得 60（b+1.5）﹣[80+110（b﹣1）]＝15，解得b＝2.1， ②两车相遇之后，得80+110（b﹣1）﹣60（b+1.5）＝15，解得b＝2.7， 综上所述，乙车出发2.1 小时或2.7小时后，甲、乙两车相距15千米． 【考点评析】本题考查函数的图象，能正确识别图象，从中提取相关信息是解题的关键． 15．（2024春•雁塔区校级期中）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该情境中的自变量和因变量分别是 　时间，路程　； （2）小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 　1200　米； （3）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 　450　米/分钟； （4）小红在骑车 　1、3、6、　分钟时，距离商店300米． 【思路点拨】（1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和路程； （2）根据题意以及图象可知，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个600米； （3）根据图象中的数据用返回后去往的路程除以所用的时间即可； （4）分开始去往和返回后去往两种情况解答即可． 【规范解答】解：（1）该情境中的自变量和因变量分别是时间，路程． 故答案为：时间，路程； （2）小红途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了：（1200﹣600）×2＝1200（米）． 故答案为：1200； （3）（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450（米/分钟）． 即小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是450米/分钟； 故答案为：450； （4）小红刚开始时的速度为：1200÷4＝300（米/分钟）， 300÷300＝1（分钟）； 12+（300÷450）（分钟）； 故答案为：1、3、6、． 【考点评析】本题考查了函数的图象，函数的常量与变量，解题的关键是熟练掌握函数的图象，函数的常量与变量的定义． 培优拔尖真题练 16．（2024秋•霸州市期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全部池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：t/h）之间的关系如下表： 出水速度v/（t/h） 12 8 6 4 … 时间t/h 1 1.5 2 3 … 用式子表示t与v的关系为（　　） A．t＝12v B．v＝12t C．v﹣t＝11 D． 【思路点拨】由表格可知变量与变量的乘积为一个常数，继而可得vt＝12，即可求解． 【规范解答】解：由表格可知： 故选：D． 【考点评析】本题考查了列代数式，成反比例，正确理解题意是解题的关键． 17．（2024春•鼓楼区期末）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　） A．点P表示老刘出发5h，他一共骑行80km B．老刘实际骑行时间为5h C．0～2h老刘的骑行速度为15km/h D．老刘的骑行在0～2h的速度比3～5h的速度慢 【思路点拨】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【规范解答】解：根据图象可知：点P所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A不符合题意； 根据图象可知2～3h内的路程没有变化， ∴老刘实际骑行时间为5﹣1＝4h，故B错误，符合题意； 根据图象可知0～2h老刘骑行的路程为30km， ∴0～2h的速度为，故C不符合题意； 根据图象可知3～5h骑行的路程为80﹣30＝50km， ∴3～5h的速度为， 根据15＜25， 得出老刘的骑行在0～2h的速度比3～5h的速度慢，故D不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键． 18．（2024秋•驻马店期中）如图，下列各三角形中的三个数之间存在一定的规律，根据你发现的规律，确定最后一个三角形中y与n之间的关系式是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+n﹣1 C．y＝2n﹣1+n﹣1 D．y＝2n+n 【思路点拨】根据题意得：第1个图：y＝1+2，第2个图：y＝2+4＝2+22，第3个图：y＝3+8＝3+23，…以此类推第（n﹣1）个图：y＝n﹣1+2n﹣1，即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意得： 第1个图：n＝2，y＝1+2， 第2个图：n＝3，y＝2+4＝2+22， 第3个图：n＝4，y＝3+8＝3+23， …， 以此类推第（n﹣1）个图：y＝2n﹣1+n﹣1． 故选：C． 【考点评析】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 19．（2024•徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（　　） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【思路点拨】根据函数图象分析即可． 【规范解答】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速行驶， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 20．（2024春•兰州期中）按如图的方式用火柴棒摆放正方形，若用n表示正方形个数，y表示摆放正方形所用火柴棒根数，则y与n之间的关系式为（　　） A．y＝3n+1 B．y＝4n﹣1 C．y＝4+3n D．y＝n+n+（n﹣1） 【思路点拨】1个正方形用火柴棒4根，2个正方形用火柴棒7根，3个正方形用火柴棒10根，…由此可知，每增加1个正方形，所用火柴棒增加3根，据此作答即可． 【规范解答】解：1个正方形用火柴棒4根，2个正方形用火柴棒7根，3个正方形用火柴棒10根，… 由此可知，每增加1个正方形，所用火柴棒增加3根， 据此可得y﹣4＝3（n﹣1），即y＝3n+1， ∴y与n之间的关系式为y＝3n+1． 故选：A． 【考点评析】本题考查函数关系式，找到正方形的个数与火柴棒根数的变化规律是解题的关键． 21．（2024春•揭阳期末）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢． 【规范解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：C． 【考点评析】本题考查函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 22．（2024秋•宁明县期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 　4　秒恰好将水槽注满． 【思路点拨】根据函数图象和图象中的数据，可以求得如果将正方体铁块取出，又经过多少秒恰好将水槽注满． 【规范解答】解：由图形可知， 圆柱体的高是20cm，正方体铁块的高是10cm，圆柱体一半注满水需要28﹣12＝16（秒）， 故如果将正方体铁块取出，又经过16﹣12＝4（秒）恰好将水槽注满， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答． 23．（2024春•振兴区校级期中）某人开车由深圳出发前往200km的目的地广州，车速为120km/时，则他距广州的路程y km与行驶的时间x小时之间的关系式为 　y＝﹣120x+200　． 【思路点拨】根据两地相距200km，减去汽车行走的路程即可． 【规范解答】解：由题意得，他距广州的路程y km与行驶的时间x小时之间的关系式为： y＝﹣120x+200， 故答案为：y＝﹣120x+200． 【考点评析】本题考查了函数关系式，解题的关键是正确理解路程，速度，时间的关系． 24．（2024春•乐平市期末）在一条笔直的航道上依次有甲、乙、丙三个港口，一艘船从甲港出发，沿直线匀速行驶经过乙港驶向丙港，最终到达丙港，设行驶x（h）后，与乙港的距离为y（km），y与x的关系如图所示，下列结论： ①甲港与丙港的距离是90km； ②船在中途休息了0.5h； ③船的行驶速度是45km/h； ④a的值为2． 其中正确的 　④　．（只填序号） 【思路点拨】由船行驶的函数图象可以看出，船从甲港出发，0.5h后到达乙港，a h后到达丙港，进而解答即可． 【规范解答】解：甲港与丙港的距离是30+90＝120（km），故①结论错误； 船在中途没有休息，故②结论错误； 船的行驶速度是60（km/h），故③结论错误； a的值为0.52，故④结论正确； 所以正确的是④． 故答案为：④． 【考点评析】主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 25．（2024春•大荔县期末）在球的表面积公式S＝4πr2中，常量是 　4π　． 【思路点拨】根据常量、变量的定义，可得答案． 【规范解答】解：在球的表面积公式S＝4πr2中，4π是常量，S、r是变量， 故答案为：4π． 【考点评析】本题考查了常量与变量，常量是在事物的变化中保持不变的量． 26．（2024春•章丘区期中）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖60米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x＝6．正确的有 　①③　. 【思路点拨】通过观察图象，明确横纵坐标、起点、折点、交点、终点及每一段表示的含义，从而判断出选项是否正确． 【规范解答】解：横坐标为挖掘时间x（天），纵坐标为所挖管道长度y（米）， 由甲的图象知，（6，600）表示甲队挖掘6天，所挖管道长度为600米，6天完成任务，则甲队每天挖100米．①正确． 由乙的图象知，（2，300）表示乙队前2天挖了300米，（6，500）表示乙队第6天时，所挖管道长度为500米，第2﹣6天的4天内，共挖管道500﹣300＝200（米），平均每天挖200÷4＝50（米/天）．②错误． 乙队完成任务所用的时间＝6+（100÷50）＝8天，则甲队比乙队提前完成任务的天数＝8﹣6＝2（天）．③正确． 甲队第二天是所挖管道长度为200米，此时乙队所挖管道长度为300米，相差100米；由图象知，当x＝6时，乙两队所挖管道长度相差100米．由此得出，甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x＝2或6．④错误． 故答案为：①③． 【考点评析】本题考查函数的图象，能从函数图象中提取有用的信息，并结合题目信息解决问题是本题的关键． 27．（2024春•高新区校级期中）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）小明从家到学校的路程共多少米？ （3）从家出发到学校，小明共用了多少分钟？ （4）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【思路点拨】（1）所给图象中横轴为自变量，纵轴为因变量； （2）根据图象中的数据可直接得出答案； （3）根据图象中的数据可直接得出答案； （4）根据速度等于路程除以时间求解． 【规范解答】解：（1）由题意得：自变量是离家时间，因变量是离家的距离； （2）由图图象可得：小明从家到学校的路程共2000米； （3）由图象可得：从家出发到学校，小明共用了20分钟； （4）由图象可得，小明修车前的速度为：1000÷10＝100（米/分钟）； 小明修车后的速度为：（2000﹣1000）÷（20﹣15）＝200（米/分钟）． 即小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 【考点评析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． 28．（2024春•新城区校级期中）小明从大明宫丹凤门出发．沿公园游览步道步行参观大明宫国家遗址公园，已知他离丹凤门的距离y（千米）与出发时间x（分钟）之间的关系如图示．请根据图象回答下列问题： （1）图象中的C点表示什么？ （2）小明游览过程中离丹凤门的最远距离是 　3　千米，小明在游览过程中共休息了 　40　分钟． （3）计算小明在CD路段内的步行速度是多少千米/时？ 【思路点拨】（1）根据图像回答即可； （2）根据函数图象直接可得小明游览过程中离丹凤门的最远距离是3千米，以及DE、BC段路程没有变化的时间和即可求解； （3）根据CD段的路程与时间的关系即可求解． 【规范解答】解：（1）图象中的C点表示小明在游览过程中第一次休息了20分钟后继续前行； （2）由图象知，小明游览过程中离丹凤门的最远距离是3千米； 小明在游览过程中共休息（40﹣20）+（80﹣60）＝40分钟； 故答案为：3；40； （3）小明在CD路段的路程为3﹣1.5＝1.5（千米） 所用的时间为（小时）． 故小明在CD路段内的步行速度是（千米/时）． 【考点评析】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息，数形结合是解题的关键． 29．（2024春•和平区校级月考）刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： （1）图象中的自变量是 　x　，因变量是 　y　；（只填字母） （2）这次赛龙舟的全程是 　1200　米，　乙　队先到达终点； （3）求甲队和乙队相遇时乙队的速度是 　320　米分钟； （4）求甲队和乙队相遇时，甲队走了 　1008　米； （5）从甲队出发开始计时，经过 　1或3.7或4.7或　分钟时，甲乙两队相距40米． 【思路点拨】（1）根据图象中横纵坐标的含义进行作答即可； （2）结合图象，进行作答即可； （3）结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可； （4）设甲队和乙队相遇时用了t分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解． （5）分别进行分四种情况进行讨论，结合路程等于速度乘时间进行列式，计算即可作答． 【规范解答】解：（1）由图象可知，自变量是时间，因变量是路程， 即自变量是x，因变量是y， 故答案为：x，y； （2）由图象可知：这次龙舟的全程是1200米，乙到达终点共用了4.8分钟，甲到达终点共用了5分钟， ∵4.8＜5， ∴乙队先到达终点， 故答案为：1200，乙； （3）由图象可知， 甲队和乙队相遇时乙队的速度是（1200﹣400）÷（4.8﹣2.3）＝800÷2.5＝320（米/分钟）， 故答案为：320； （4）由图象可知，甲的速度为：1200÷5＝240（米/分钟）， 设甲队和乙队相遇时用了t分钟，则：240t＝400+320（t﹣2.3）， 解得：t＝4.2， ∴甲队走了：240×4.2＝1008（米）； 故答案为：1008； （5）如图： 由（4）知道相遇时间为4.2分钟， 设时间为t分钟，甲乙两队相距40米， ∴当0＜t≤2时，此时乙的速度为400÷2＝200（米/分钟）， ∵甲的速度为：1200÷5＝240（米/分钟）， ∴240t﹣200t＝40， ∴t＝1， ∴当2.3＜t≤4.2时，此时乙的速度为320（米/分钟）， ∵甲的速度为：1200÷5＝240（米/分钟）， ∴240t﹣[320（t﹣2.3）+400]＝40， ∴t＝3.7； ∴当4.2＜t≤4.8时，此时乙的速度为320（米/分钟）， ∵甲的速度为：1200÷5＝240（米/分钟）， ∴[320（t﹣2.3）+400]﹣240t＝40， ∴t＝4.7； ∴当4.8＜t≤5时，此时乙的速度为320（米/分钟）， ∵甲的速度为：1200÷5＝240（米/分钟）， ∴（1200﹣4.8×240）﹣240（t﹣4.8）＝40， ∴； 综上：时间为1或3.7或4.7或分钟满足条件． 【考点评析】本题考查函数图象的实际应用，正确的识图，从图象中有效的获取信息是解题的关键． 30．（2024春•振兴区校级期中）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1小时，然后按原路原速返回、快车比慢车晚1小时到达甲地，快慢两车距各自山发地的路程y（km）与所用的时间x（h）的关系如图所示． （1）图中表示的自变量是 　快慢车出发的时间　，因变量是 　快慢两车距各自出发地的路程　． （2）甲乙两地之间的路程为 　420　km；快车的速度为 　140　km/h；慢车的速度为 　70　km/h． （3）出发 　　小时，快慢两车距各自出发地的路程相等． （4）快慢两车出发 　或或　小时相距180km． 【思路点拨】（1）根据一次函数图象信息即可求解； （2）根据图象可得快车出发到乙地的时间为3小时，慢车的时间为6小时，由此即可求解； （3）分别计算出快慢车各段的函数解析式，分类讨论即可求解； （4）分类列方程讨论即可． 【规范解答】解：（1）根据函数图象可知，快慢车出发的时间，快慢两车距各自出发地的路程， 故答案为：快慢车出发的时间，快慢两车距各自出发地的路程； （2）根据题意，甲乙两地之间的路程为420km， 快车行驶全程的时间为4﹣1＝3（h），慢车行驶全程的时间为6h， ∴快车的速度为，慢车的速度为， 故答案为：420，140，70； （3）根据题意，A（3，420），B（4，420），E（6，420），D（7，0）， ∴设直线OA的解析式为：y1＝k1x（k1≠0）， ∴3k1＝420， 解得k1＝140，即直线OA的解析式为y1＝140x； 同理，设直线OE的解析式为y2＝k2x（k2≠0）， ∴6k2＝420， 解得y2＝70x； 设直线BD的解析式为y3＝k3x+b（k3≠0）， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为y3＝﹣140x+980； 当快车与慢车距各组出发地路程相等时，y2＝y3， ∴70x＝﹣140x+980， 解得； 故答案为：； （4）解：第一次未相遇时相距180km， ∴140x+70x+180＝420， 解得，； 第二次相遇后相距180km， ∴140x+70x﹣420＝180， 解得； 第三次快车返回时相距180km， 70x﹣140（x﹣4）＝180， 解得； ∴快慢出出发或或时相距180km， 故答案为：或或． 【考点评析】本题主要考查一次函数图象与行程问题的运用，理解一次函数图象的性质，掌握行程问题的数量关系，准确列式时解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第6章 变量之间的关系 （思维导图+知识梳理+4大考点讲练+优选真题难度分层练 共42题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：变量、常量的概念 2 知识点02：用表格表示变量间关系 2 知识点03：用关系式表示变量间关系 2 知识点04：用图象表示变量间关系 2 重点知识考点讲练 3 考向一：现实中的变量 3 考点讲练01：常量与变量 3 考点讲练02：函数的概念 3 考向二：用关系式表示变量之间的关系 4 考点讲练03：函数关系式 4 考向三：用图象表示变量之间的关系 5 考点讲练04：函数的图象 5 优选真题难度分层练 6 基础夯实真题练 6 培优拔尖真题练 6 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 【易错点剖析】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量. 知识点02：用表格表示变量间关系 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 【易错点剖析】表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 知识点03：用关系式表示变量间关系 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 【易错点剖析】关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 知识点04：用图象表示变量间关系 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量. 【易错点剖析】图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 考向一：现实中的变量 考点讲练01：常量与变量 【典例精讲01】（2024秋•任城区期末）调研某品牌手机电池待机时长，需要的数据是 　 　．（填“定量数据”或“定性数据”） 【变式训练1】（2024春•海阳市期末）在圆的周长计算公式C＝2πR中，对于变量和常量的说法正确的是（　　） A．2是常量，C，π，R是变量 B．2，π是常量，C，R是变量 C．2，C，π是常量，R是变量 D．2，π，R是常量，C是变量 【变式训练2】（2024春•金水区校级期中）一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是（　　） A．a是常量 B．a是变量 C．t是常量 D．y是常量 考点讲练02：函数的概念 【典例精讲02】（2024春•西安校级期中）第四届铁一陆港运动会男子100米决赛在风雨操场上进行，随着一声发令枪响，健儿们像离弦的箭一般冲了出去．看着赛场上激烈的角逐，求知小组的同学也展开了激烈的讨论：声音传播的速度和什么有关系呢？好学的小陆同学利用五一假期查阅资料，找到声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s 【变式训练1】（2024春•佛山期末）当圆的半径r由小到大变化时，圆的面积S也随之发生变化．在这一变化过程中，以下说法错误的是（　　） A．S，r是变量 B．S是r的函数 C．r是S的函数 D．S随r的增大而增大 【变式训练2】（2023春•贵阳期末）在利用太阳能热水器加热水的过程中，热水器的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 考向二：用关系式表示变量之间的关系 考点讲练03：函数关系式 【典例精讲03】（2024秋•奉贤区期末）如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+1+n C．y＝2n+n D．y＝2n+n+1 【变式训练1】（2024秋•固镇县期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为a，b，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝2b C．a＝4b D．a＝5b 【变式训练2】（2023秋•无锡期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 　 　． 考向三：用图象表示变量之间的关系 考点讲练04：函数的图象 【典例精讲04】（2024春•渭滨区期末）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离S（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在途中停留了0.5小时； ②汽车行驶3小时后离出发地最远； ③汽车共行驶了120千米； ④汽车返回时的速度是80千米/小时． 其中正确的说法共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（2024•徐汇区三模）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024春•芝罘区期末）某复印店复印收费y（元）与复印面数x面的函数图象如图所示，从图象中可以看出，复印超过100面的部分，每面收费 　 　元． 基础夯实真题练 1．（2024秋•梓潼县期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 2．（2024春•深圳期末）下列实际情境中的变量关系可以用如图近似地刻画的是（　　） A．匀速骑行的自行车（速度与时间的关系） B．篮球运动员投出去的篮球（高度与时间的关系） C．燃烧的蜡烛（蜡烛长度与时间的关系） D．早晨升旗仪式（国旗高度与时间的关系） 3．（2024春•兴庆区校级期末）如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定，住满烧杯后，继续注水，直至住满水槽）．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的关系大致是图中的（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•浦东新区校级期末）如图所示的图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法中错误的是（　　） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 5．（2024春•邻水县期末）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（　　） A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量 6．（2024•西安校级开学）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行 　 　米． 7．（2024秋•徐汇区校级期末）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，求y关于x的函数解析式 　 　． 8．（2024春•金凤区校级期中）若一个长方形的周长为20cm，一条边长为x cm（x＞0），面积为y cm2，则y与x之间满足的关系式为 　 　． 9．（2024春•陈仓区期中）小丽给新办的饭卡充值100元，学校餐厅每顿午饭均为5元，则饭卡余额y（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系是 　 　． 10．（2024春•西安校级期中）2024世界泳联跳水世界杯总决赛4月19﹣21日在西安奥体中心游泳跳水馆举行，小陆同学和家人一同从家出发观赛，由于距离较远，决定打车前往．已知西安市出租车的收费标准是起步价8.5元（行程小于或等于3公里），超过3公里每增加1公里（不足1公里按1公里计算）加收2元，则出租车费y（元）与行程x（公里）（x是大于3的整数）之间的关系式为 　 　． 11．（2024秋•霍邱县期末）3月21日，西安滨河学校开展了校园安全宣讲活动，同学们在上下学途中特别要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后维续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是 　 　，因变量是 　 　； （2）小明家到学校的路程是 　 　米．小明在书店停留了 　 　分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 12．（2024秋•济宁期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是　 　，因变量是　 　． （2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为　 　cm；不挂重物时，弹簧的长度为　 　cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 13．（2024秋•金寨县期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 53 56 59 … （1）按照上表所示的规律，当排数为6时，此时座位数为 　 　． （2）写出座位数y与排数x之间的关系式：　 　． （3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 14．（2024春•金水区期中）甲车和乙车先后从同一起点出发驶向目的地，已知乙车比甲车晚出发1.5小时，两车距目的地的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，请你根据图象解答下列问题： （1）当乙车到达目的地时，求甲车与起点之间的距离； （2）乙车出发多长时间后追上甲车？ （3）甲车出发多长时间后，甲乙两车相距15千米？ 15．（2024春•雁塔区校级期中）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该情境中的自变量和因变量分别是 　 　； （2）小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 　 　米； （3）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 　 　米/分钟； （4）小红在骑车 　 　分钟时，距离商店300米． 培优拔尖真题练 16．（2024秋•霸州市期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全部池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：t/h）之间的关系如下表： 出水速度v/（t/h） 12 8 6 4 … 时间t/h 1 1.5 2 3 … 用式子表示t与v的关系为（　　） A．t＝12v B．v＝12t C．v﹣t＝11 D． 17．（2024春•鼓楼区期末）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　） A．点P表示老刘出发5h，他一共骑行80km B．老刘实际骑行时间为5h C．0～2h老刘的骑行速度为15km/h D．老刘的骑行在0～2h的速度比3～5h的速度慢 18．（2024秋•驻马店期中）如图，下列各三角形中的三个数之间存在一定的规律，根据你发现的规律，确定最后一个三角形中y与n之间的关系式是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+n﹣1 C．y＝2n﹣1+n﹣1 D．y＝2n+n 19．（2024•徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（　　） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 20．（2024春•兰州期中）按如图的方式用火柴棒摆放正方形，若用n表示正方形个数，y表示摆放正方形所用火柴棒根数，则y与n之间的关系式为（　　） A．y＝3n+1 B．y＝4n﹣1 C．y＝4+3n D．y＝n+n+（n﹣1） 21．（2024春•揭阳期末）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A． B． C． D． 22．（2024秋•宁明县期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 　 　秒恰好将水槽注满． 23．（2024春•振兴区校级期中）某人开车由深圳出发前往200km的目的地广州，车速为120km/时，则他距广州的路程y km与行驶的时间x小时之间的关系式为 　 　． 24．（2024春•乐平市期末）在一条笔直的航道上依次有甲、乙、丙三个港口，一艘船从甲港出发，沿直线匀速行驶经过乙港驶向丙港，最终到达丙港，设行驶x（h）后，与乙港的距离为y（km），y与x的关系如图所示，下列结论： ①甲港与丙港的距离是90km； ②船在中途休息了0.5h； ③船的行驶速度是45km/h； ④a的值为2． 其中正确的 　 　．（只填序号） 25．（2024春•大荔县期末）在球的表面积公式S＝4πr2中，常量是 　 　． 26．（2024春•章丘区期中）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖60米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x＝6．正确的有 　 　. 27．（2024春•高新区校级期中）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）小明从家到学校的路程共多少米？ （3）从家出发到学校，小明共用了多少分钟？ （4）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 28．（2024春•新城区校级期中）小明从大明宫丹凤门出发．沿公园游览步道步行参观大明宫国家遗址公园，已知他离丹凤门的距离y（千米）与出发时间x（分钟）之间的关系如图示．请根据图象回答下列问题： （1）图象中的C点表示什么？ （2）小明游览过程中离丹凤门的最远距离是 　 　千米，小明在游览过程中共休息了 　 　分钟． （3）计算小明在CD路段内的步行速度是多少千米/时？ 29．（2024春•和平区校级月考）刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： （1）图象中的自变量是 　 　，因变量是 　 　；（只填字母） （2）这次赛龙舟的全程是 　 　米，　 　队先到达终点； （3）求甲队和乙队相遇时乙队的速度是 　 　米分钟； （4）求甲队和乙队相遇时，甲队走了 　 　米； （5）从甲队出发开始计时，经过 　 　分钟时，甲乙两队相距40米． 30．（2024春•振兴区校级期中）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1小时，然后按原路原速返回、快车比慢车晚1小时到达甲地，快慢两车距各自山发地的路程y（km）与所用的时间x（h）的关系如图所示． （1）图中表示的自变量是 　 　，因变量是 　 　． （2）甲乙两地之间的路程为 　 　km；快车的速度为 　 　km/h；慢车的速度为 　 　km/h． （3）出发 　 　小时，快慢两车距各自出发地的路程相等． （4）快慢两车出发 　 　小时相距180km． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$