第4章 三角形（思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第4章 三角形 （思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：三角形的内角和 2 知识点02：三角形的分类 3 知识点03：三角形的三边关系 3 知识点04：全等三角形的性质与判定 4 知识点05：用尺规作三角形 4 重点知识考点讲练 5 考向一：认识三角形 5 考点讲练01：三角形 5 考点讲练02：三角形的角平分线、中线和高 6 考点讲练03：三角形的重心 8 考点讲练04：三角形三边关系 10 考点讲练05：三角形内角和定理 11 考向二：全等三角形 13 考点讲练06：全等三角形的性质 13 考点讲练07：全等三角形的判定 15 考向三：探究三角形全等的条件 17 考点讲练08：全等三角形的判定与性质 17 考点讲练09：作图一基本作图 20 考向四：利用三角形全等测距离 22 考点讲练10：全等三角形的应用 22 优选真题难度分层练 24 基础夯实真题练 24 培优拔尖真题练 34 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：三角形的内角和 【高频考点精讲】 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 【易错点剖析】应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点02：三角形的分类 【高频考点精讲】 1.按角分类： 【易错点剖析】 ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 【易错点剖析】 ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点03：三角形的三边关系 【高频考点精讲】 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【易错点剖析】 （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 2.三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 知识点04：全等三角形的性质与判定 【高频考点精讲】 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “ 全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 【易错点剖析】 （1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点05：用尺规作三角形 【高频考点精讲】 1.基本作图 利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等； 【易错点剖析】要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达. 考向一：认识三角形 考点讲练01：三角形 【典例精讲01】（2024春•镇平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【思路点拨】根据三角形的特征解答即可． 【规范解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选：C． 【考点评析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【变式训练1】（2023秋•南岗区校级期末）在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示．按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 　20　个三角形． 【思路点拨】根据图形的变化，通过归纳总结得到规律． 【规范解答】解：1个三角形需要火柴棍3根， 2个三角形需要火柴棍5根， 3个三角形需要火柴棍7根， …， 发现规律：n个三角形需要火柴棍2n+1根， ∴2n+1＝41， 解得：n＝20． 故答案为：20． 【考点评析】本题考查了图形的变化类，关键是通过归纳总结得到规律． 【变式训练2】（2023春•高邑县期末）下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【思路点拨】根据三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义一一判断即可． 【规范解答】解：①等腰三角形一定不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误； ②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故②错误； ③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：B． 【考点评析】本题考查三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义等知识，解题的关键是掌握三角形的分类． 考点讲练02：三角形的角平分线、中线和高 【典例精讲02】（2025•泸县校级开学）下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 【规范解答】解：A．CD不是任何边的高，故此选项错误，不符合题意； B．AD不是任何边的高，故此选项错误，不符合题意； C．BD是AC边的高，故此选项错误，不符合题意； D．AD是BC边的高，故此选项正确，符合题意 故选：D． 【考点评析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是相关知识的熟练掌握． 【变式训练1】（2024秋•召陵区期末）下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解． 【规范解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误； ②直角三角形有三条高，故错误； ③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确； ④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误； 故选：A． 【考点评析】本题考查三角形的中线、角平分线和高，解题的关键是清楚这三条线的定义和在三角形中的位置． 【变式训练2】（2024春•蒸湘区校级期末）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　3或7　cm． 【思路点拨】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后依据△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，代入数据计算即可得解． 【规范解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 【考点评析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差＝|BA﹣AC|是解题关键． 考点讲练03：三角形的重心 【典例精讲03】（2024秋•峰峰矿区期中）有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（　　） A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点 【思路点拨】根据三角形重心的意义选择即可． 【规范解答】解：通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心， 由图可知点N为该三角形的重心． 故选：A． 【考点评析】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键． 【变式训练1】（2024春•曹县期末）如图，点D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，AB＝4，△ABE的周长比△ACE的周长大1.8，则AC＝　2.2　． 【思路点拨】根据三角形重心的定义，得出点E是BC的中点，再根据△ABE的周长比△ACE的周长大1.8即可解决问题． 【规范解答】解：∵点D是△ABC的重心，且AD的延长线交BC于点E， ∴点E是BC的中点， 即BE＝CE． ∵△ABE的周长比△ACE的周长大1.8， ∴AB+BE+AE﹣（AC+CE+AE）＝1.8， 即AB﹣AC＝1.8． 又∵AB＝4， ∴AC＝4﹣1.8＝2.2． 故答案为：2.2． 【考点评析】本题主要考查了三角形的重心，熟知三角形重心的定义是解题的关键． 【变式训练2】（2022春•成都期末）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（　　） A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线 C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心 【思路点拨】根据作图痕迹判断即可． 【规范解答】解：由作图可知AD平分∠BAC， ∴线段AD是△ABC的角平分线． 故选：C． 【考点评析】本题考查作图﹣基本作图，三角形的角平分线，高，中线等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 考点讲练04：三角形三边关系 【典例精讲04】（2024秋•汶上县期末）下列长度的线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．3，5，7 C．5，6，11 D．2，2，5 【思路点拨】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析得出答案． 【规范解答】解：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析如下： ∵3+4＜8， ∴选项A不能组成三角形； ∵3+5＞7， ∴选项B能组成三角形； ∵5+6＝11， ∴选项C不能组成三角形； ∵2+2＜5， ∴选项D不能组成三角形； 故选：B． 【考点评析】此题考查的知识点是三角形三边关系，关键是根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边判断各选项． 【变式训练1】（2024秋•荆州区期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．4，6，10 B．3，9，5 C．8，6，1 D．5，7，9 【思路点拨】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【规范解答】解：根据三角形的三边关系，知 A、4+6＝10，不能组成三角形，故A错误； B、3+5＜9，不能组成三角形；故B错误； C、1+6＜8，不能组成三角形；故C错误； D、5+7＞9，能够组成三角形，故D正确． 故选：D． 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 【变式训练2】（2024秋•安徽期末）一个三角形的三条边长分别为3，6，x，则x的取值范围为　3＜x＜9　． 【思路点拨】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【规范解答】解：∵三角形的两边长分别为3和6， ∴第三边长x的取值范围是：6﹣3＜x＜6+3， 即：3＜x＜9， 故答案为3＜x＜9． 【考点评析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键． 考点讲练05：三角形内角和定理 【典例精讲05】（2024秋•定陶区期末）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【思路点拨】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【规范解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD） ∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）， ∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC） ∴∠BDC＝90°∠A， ∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 【变式训练1】（2024秋•新兴县期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【思路点拨】由题意设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x，根据三角形内角和定理，进而可解决此题． 【规范解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+7x＝180°． ∴x＝（）°． ∴7x＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查三角形内角和定理以及解一元一次方程，熟练掌握三角形内角和定理以及解一元一次方程是解决本题的关键． 【变式训练2】（2024秋•渭源县期末）如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为 　120°　． 【思路点拨】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解． 【规范解答】解：∵∠C＝135°，∠A＝15°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣15°﹣135°＝30°， ∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′， ∴∠ADE＝∠B＝30°， ∠A′DE＝∠ADE＝30°， ∴∠A′DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 故答案为120°． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 考向二：全等三角形 考点讲练06：全等三角形的性质 【典例精讲06】（2025•沙坪坝区校级开学）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ 　60°　． 【思路点拨】根据三角形内角和定理，全等三角形的性质得到∠1＝180°﹣50°﹣70°＝60°，即可求解． 【规范解答】解：如图所示， 在△ABC中， ∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠1＝∠A＝60°， 故答案为：60°． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式训练1】（2023秋•黔西南州期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝13，则AB等于（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【思路点拨】由全等三角形的性质推出AB＝CD，BC＝DE＝4，求出CD＝BD﹣BC＝13﹣4＝9，即可得到AB的长． 【规范解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD，BC＝DE＝4， ∵BD＝13， ∴CD＝BD﹣BC＝13﹣4＝9， ∴AB＝CD＝9． 故选：C． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【变式训练2】（2024秋•上思县期中）如图，△ABC≌△DEF，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝DE B．AC＝DF C．BE＝FC D．∠B＝∠F 【思路点拨】两三角形全等，根据全等三角形的性质，利用条件推出BC＝EF和AC＝DF，然后依据选项分析三角形即可． 【规范解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D、∠B＝∠DEF， ∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC， 即BE＝FC， A，B，C都是正确的； ∠F与∠B不是对应角， ∴∠B＝∠F是错误的， D选项错误． 故选：D． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，解题时应注意对应边和对应角． 考点讲练07：全等三角形的判定 【典例精讲07】（2024秋•石家庄期末）在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【规范解答】解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意； B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意； C、如图： ∵∠DFC＝∠DFE+∠EFC且∠DFC＝∠B+∠BDF， ∴∠DFE+∠EFC＝∠B+∠BDF， ∵∠B＝∠DFE＝50°， ∴∠EFC＝∠BDF， ∵BD＝FC，∠B＝∠C， ∴△DBF≌△FCE（ASA）． 根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意； D、如图： 由C选项可得：∠EFC＝∠BDF，∠B＝∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定定理． 【变式训练1】（2024秋•冷水江市期末）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可． 【规范解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， 故选：B． 【考点评析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式训练2】（2024秋•天长市期末）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为 　2或　． 【思路点拨】分两种情形分别求解即可． 【规范解答】解：当△ACP≌△BPQ， ∴AP＝BQ， ∵运动时间相同， ∴P，Q的运动速度也相同， ∴x＝2． 当△ACP≌△BQP时， AC＝BQ＝4，PA＝PB， ∴t＝1.5， ∴x 故答案为2或． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 考向三：探究三角形全等的条件 考点讲练08：全等三角形的判定与性质 【典例精讲08】（2024秋•营口期末）如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　） A．30° B．32° C．33° D．35° 【思路点拨】根据已知条件证明△BDE≌△BCA，再根据三角形内角和定理和外角性质即可得结论． 【规范解答】解：在△BDE和△BCA中， ， ∴△BDE≌△BCA（SAS）， ∴∠BDE＝∠CBA＝75°， ∴∠C＝62°， ∴∠A＝180°﹣75°﹣62°＝43°， ∴∠AFD＝∠BDE﹣∠A＝75°﹣43°＝32°． 故选：B． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 【变式训练1】（2024秋•宁明县期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（　　） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【思路点拨】根据已知易得：∠CBM＝∠ABC＝65°，∠MCB＝∠ACB＝30°，然后利用ASA证明△ABC≌△MBC，从而利用全等三角形的性质可得AB＝MB＝15米，即可解答． 【规范解答】解：∵∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，∠CBM＝65°，∠MCB＝30°， ∴∠CBM＝∠ABC＝65°，∠MCB＝∠ACB＝30°， 在△ABC和△MBC中， ， ∴△ABC≌△MBC（ASA）， ∴AB＝MB＝15米， ∴A，B两点间的距离为15米， 故选：B． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练2】（2024秋•信丰县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　2或5　s时，CF＝AB． 【思路点拨】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移动了2s． 【规范解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠ECF＝∠A， ∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F， ∴∠CEF＝90°＝∠ACB， 在△CEF和△ACB中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE＝AC＝7cm， ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：5（s）； ②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：2（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB； 故答案为：2或5． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 考点讲练09：作图一基本作图 【典例精讲09】（2024秋•赵县期末）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质判断即可． 【规范解答】解：选项C正确． 理由：如图，连接AP，由作图可知，EF垂直平分线段AC， ∴PA＝PC， ∴PA+PB＝PC+PB＝BC， 故选：C． 【考点评析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练1】（2023秋•庆云县期末）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝32°，则∠BOD的度数为（　　） A．32° B．54° C．64° D．68° 【思路点拨】根据题意得出OF＝OD，EF＝DE证△DOE≌△EOF即可求解． 【规范解答】解；根据作图过程可知：OF＝OD，EF＝DE， 在△EOF和△DOE中， ， ∴△EOF≌△DOE（SSS）， ∴∠DOE＝∠AOB＝32°， ∴∠BOD＝∠DOE+∠AOB＝64°， 故选：C． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定． 【变式训练2】（2024春•昌平区校级期中）如图，点A在∠O的一边OA上．按要求画图并填空： （1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B； （2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C； （3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D； （4）∠CDB＝　90　°； （5）如果OA＝8，AB＝6，OB＝10，则点A到直线OB的距离为　4.8　． 【思路点拨】（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B； （2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C； （3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D； （4）利用两直线平行同位角相等即可确定答案； （5）利用等积法即可求得线段AC的长． 【规范解答】解：（1）如图； （2）如图； （3）如图； （4）∵CD∥OA， ∴∠CDB＝∠OAB＝90°； （5）AC4.8． 【考点评析】本题考查了基本作图的知识，正确的根据题意作出图形是解答本题的关键，难度不大． 考向四：利用三角形全等测距离 考点讲练10：全等三角形的应用 【典例精讲10】（2024秋•纳雍县期末）如图，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝70m，则A，B两点间的距离为（　　） A．60m B．70m C．100m D．130m 【思路点拨】首先证明△AOB和△DOC全等，再根据全等三角形对应边相等可得答案． 【规范解答】解：∵AC＝DB，AO＝DO， ∴AC﹣AO＝BD﹣OD， 即OB＝OC， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD＝70m， 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及两点之间的距离，关键是掌握全等三角形对应边相等． 【变式训练1】（2024秋•阳信县期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【思路点拨】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【规范解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：C． 【考点评析】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式训练2】（2024春•汉中期末）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为　8m　． 【思路点拨】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【规范解答】解：在△CDE和△CAB中， ， ∴△CDE≌△CAB（SAS）， ∴DE＝AB＝8m， 故答案为：8m． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 基础夯实真题练 1．（2024秋•崆峒区期末）如图，△ACE≌△DBF，∠A＝65°，∠F＝75°，则∠ACE的度数为（　　） A．30° B．40° C．65° D．75° 【思路点拨】由△ACE≌△DBF，得到∠E＝∠F＝75°，由三角形内角和定理，求出∠ACE的度数，从而解决问题． 【规范解答】解：∵△ACE≌△DBF， ∴∠E＝∠F＝75°， ∵∠A＝65°， ∴∠ACE＝180°﹣∠A﹣∠E＝40°， 故选：B． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质是解题的关键． 2．（2024秋•崆峒区期末）下列各图中，正确画出AB边上的高的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形高的定义即可判断求解． 【规范解答】解：只有D选项中的CE是边AB的高， 故选：D． 【考点评析】本题考查了画三角形的高，掌握三角形高的定义是解题的关键． 3．（2024秋•南平期末）如图，△ACB≌△A′CB′，∠A＝70°，∠B＝65°，则∠A′CB′的度数为（　　） A．70° B．65° C．55° D．45° 【思路点拨】由△ACB≌△A′CB′，则∠A′＝∠A＝70°，∠B′＝∠B＝65°，然后用三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∠A＝70°，∠B＝65°， ∴∠A′＝∠A＝70°，∠B′＝∠B＝65°， ∴∠A′CB′＝180°﹣∠A′﹣∠B′＝45°， 故选：D． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（2024秋•太湖县期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【思路点拨】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“ASA”即可画出一个与原来完全样的三角形． 【规范解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是ASA． 故选：B． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 5．（2025•朝阳区校级开学）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE 【思路点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【规范解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； D、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 6．（2024秋•微山县期末）如图．AB，CD相交于点E，DE＝CE，请你补充一个条件 　∠A＝∠B（答案不唯一）　，使△ADE≌△BCE． 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【规范解答】解：补充一个条件：∠A＝∠B， 理由：在△ADE和△BCE中， ， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， 故答案为：∠A＝∠B（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 7．（2024秋•招远市期末）如图，在六边形ABCDEF中，已知AB∥DE，AF∥CD，BC∥FE，AB＝DE，AF＝CD，BC＝FE，FD⊥BD，FD＝22cm，BD＝16cm，六边形ABCDEF的面积为 　352cm2　． 【思路点拨】连接AC交BD于点P，连接AD，由AF∥CD，且AF＝CD，证明四边形AFDC是平行四边形，则CA∥FD，CA＝FD＝22cm，所以∠APB＝∠FDB＝90°，则AC⊥BD，所以S四边形ABCDAC•BD＝176cm2，再证明△ABC≌△DEF，△ACD≌△DFA，则S四边形ABCD＝S四边形DEFA＝176cm2，求得S六边形ABCDEF＝352cm2，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接AC交BD于点P，连接AD， ∵AF∥CD，且AF＝CD， ∴四边形AFDC是平行四边形， ∵FD⊥BD，FD＝22cm，BD＝16cm， ∴CA∥FD，CA＝FD＝22cm， ∴∠APB＝∠FDB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADCAC•PBAC•PDAC•BD22×16＝176（cm2）， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴S△ABC＝S△DEF， 在△ACD和△DFA中， ， ∴△ACD≌△DFA（SSS）， ∴S△ACD＝S△DFA， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△DEF+S△DFA＝S四边形DEFA＝176cm2， ∴S六边形ABCDEF＝S四边形ABCD+S四边形DEFA＝176+176＝352（cm2）， 故答案为：352cm2． 【考点评析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．（2024秋•朝天区期末）已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是　6　cm． 【思路点拨】本题还可根据全等三角形的对应边上的高相等，求出BC边上的高，即可得到EF边上的高． 【规范解答】解：∵△ABC≌△DEF ∴S△DEF＝S△ABC＝18cm2， 设EF边上的高为h，则•EF•h＝18 即6×h＝18 h＝6 故答案为：6． 【考点评析】本题考查全等三角形的面积相等的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边． 9．（2024秋•平邑县期末）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝3cm，BC＝9cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 　0或6或12或18　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【思路点拨】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可． 【规范解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝3cm， ∴BP＝3cm， ∴CP＝9﹣3＝6cm， ∴点P的运动时间为6÷1＝6（秒）； ②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等， 这时BC＝PB＝9cm，CP＝0，因此时间为0秒； ③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝3cm， ∴BP＝3cm， ∴CP＝3+9＝12cm， ∴点P的运动时间为12÷1＝12（秒）； ④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝9cm， ∴BP＝9cm， ∴CP＝9+9＝18， 点P的运动时间为18÷1＝18（秒）， 故答案为：0或6或12或18． 【考点评析】本题考查三角形全等的判定方法，解题时注意斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 10．（2024秋•湘西州期末）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为 　70°或60°　． 【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∵两个三角形全等， ∴∠1＝∠2＝70°或∠1＝60°， 故答案为：70°或60°． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键． 11．（2024秋•蒙城县期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长． 【思路点拨】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜c＜10； （2）由2＜c＜10，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出△ABC的周长． 【规范解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：6﹣4＜c＜6+4， ∴2＜c＜10； （2）由（1）知2＜c＜10， ∵c的长为小于6的偶数， ∴c＝4， ∴△ABC的周长＝4+6+4＝14． 【考点评析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 12．（2024秋•徐水区期末）已知：如图，BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，∠B＝40°． （1）求证：△BEC≌△DEA； （2）求∠BAF的度数． 【思路点拨】（1）由BE⊥CD，得∠BEC＝∠DEA＝90°，而BC＝DA，BE＝DE，即可根据“HL”证明Rt△BEC≌Rt△DEA； （2）由全等三角形的性质得∠B＝∠D＝40°，则∠BAF＝∠DAE＝90°﹣∠D＝50°，所以∠BAF的度数是50°． 【规范解答】（1）证明：∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠DEA＝90°， 在Rt△BEC和Rt△DEA中， ， ∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）． （2）解：由（1）∠DEA＝90°，得Rt△BEC≌Rt△DEA， ∴∠B＝∠D＝40°， ∴∠BAF＝∠DAE＝90°﹣∠D＝50°， ∴∠BAF的度数是50°． 【考点评析】此题重点考查全等三角形判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出∠BEC＝∠DEA＝90°，进而证明Rt△BEC≌Rt△DEA是解题的关键． 13．（2024秋•栖霞市期末）如图，在△ABF和△DCE中，AB＝CD，AF＝DE，BE＝CF，且点B，E，F，C在同一条直线上．∠DEB和∠AFC相等吗？请说明理由． 【思路点拨】由BE＝CF，推导出BF＝CE，而AB＝DC，AF＝DE，即可根据“SSS”证明△ABF≌△DCE，则∠AFB＝∠DEC，即可由∠DEB+∠DEC＝180°，∠AFC+∠AFB＝180°，证明∠DEB＝∠AFC． 【规范解答】解：∠DEB和∠AFC相等， 理由：∵BE＝CF，且点B，E，F，C在同一条直线上． ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）， ∴∠AFB＝∠DEC， ∴∠DEB+∠DEC＝180°，∠AFC+∠AFB＝180°， ∴∠DEB＝∠AFC． 【考点评析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出BF＝CE，进而证明△ABF≌△DCE是解题的关键． 14．（2024秋•巩义市期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF． 【思路点拨】（1）根据题意可以求得∠DCB+∠ACD的度数，从而可以解答本题； （2）根据题意和（1）中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立． 【规范解答】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵在△ABC中，CD是高，∠A＝∠DCB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠DCB+∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）证明：∵AE是角平分线， ∴∠DAF＝∠BAE， ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEA＝90°， ∴∠AFD＝∠CEA， ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA， 即∠CFE＝∠CEF． 【考点评析】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 15．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，点P在射线BA上，使用尺规作图法在BC上求一点D，使∠BPD＝∠B．（不写作法，保留作图痕迹） 【思路点拨】根据作一个角等于已知角的作法作出图形即可． 【规范解答】解：如图所示． 【考点评析】本题考查作图﹣基本作图，尺规作图作角平分线，熟练掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键，难点是分析所给条件证明点D在∠BAC的角平分线． 培优拔尖真题练 16．（2025•池州开学）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【思路点拨】连接BC，设BE与CD交于点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠MBC+∠MCB＝40°，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出∠D+∠E的度数． 【规范解答】解：连接BC，设BE与CD交于点M，如图所示． 在△ABC中，∠A＝70°，∠ABM＝40°，∠ACM＝30°， ∴根据三角形内角和定理， ∠MBC+∠MCB ＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠ACM ＝180°﹣70°﹣40°﹣30° ＝40°． 又∵∠D+∠E+∠DME＝180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠DME＝∠BMC， ∴∠D+∠E＝∠MBC+∠MCB＝40°，即∠D+∠E的度数为40°． 故选：B． 【考点评析】本题考查三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 17．（2024秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，D为AC上一点，BD＝CD，E为BD上一点，∠A＝∠DEC，若要求△ABD和△ECD的周长之差，则只需要知道（　　） A．AD﹣ED的值 B．AB﹣ED的值 C．BC﹣BE的值 D．CD﹣BE的值 【思路点拨】解：在AD上取一点F，使∠BFD＝∠BDF，即可△AFB≌△EDC，因此AB＝CE，而BD＝CD所以△ABD和△ECD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（EC+CD+DE）＝（CE+CD+AD）﹣（EC+CD+DE）＝AD﹣DE． 【规范解答】解：在AD上取一点F，使∠BFD＝∠BDF，则BF＝BD，∠AFB＝∠EDC ∵BD＝CD， ∴BF＝CD， 在△AFB和△EDC中， ， ∴△AFB≌△EDC（AAS） ∴AB＝CE， ∴△ABD和△ECD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（EC+CD+DE）＝（CE+CD+AD）﹣（EC+CD+DE）＝AD﹣DE． 要求△ABD和△ECD的周长之差，则只需要知道AD﹣DE的值． 故选：A． 【考点评析】这道题主要考查了三角形全等的判定以及三角形周长的计算和等量代换的数学思想． 18．（2024秋•张店区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点O，添加条件AB＝DC后，可使得△ABC≌△DCB成立，则判断△ABC和△DCB全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【思路点拨】根据∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，结合BC为公共边，利用SAS可判定△ABC≌△DCB，即可解答． 【规范解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，BC＝BC， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴依据是SAS， 故选：B． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 19．（2024秋•吴忠期末）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝8m，PB＝6m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　　） A．11.5m B．12.5m C．13.5m D．14.5m 【思路点拨】设AB＝d m，根据三角形的三边关系，即可求解． 【规范解答】解：根据题意，设AB＝d m，PA＝8m，PB＝6m， ∴由三角形的三边关系得，8﹣6≤d≤8+6， ∴2≤d≤14， 所以点A与点B之间的距离不可能是14.5m， 故选：D． 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的三边关系是解题的关键． 20．（2024秋•界首市期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA＝45°，继而得出∠APB的度数，即可判断①；推出∠APB＝∠FPB，根据ASA证明即可，即可判断②；证明△PAH≌△PFD（ASA），得AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【规范解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△P F D中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 21．（2024秋•巩义市期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD，则 　　． 【思路点拨】根据△BED≌△CFD得CF＝BE，FD＝ED，结合∠G＝∠BAD得到△GFC≌△AEB，得到GF＝AE，从而得到GA＝FE，即可得到答案． 【规范解答】解：BE⊥AD，CF⊥AD于点F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在△ABC中，AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BED与△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴CF＝BE，FD＝ED， 在△GFC与△AEB中， ， ∴△GFC≌△AEB（AAS）， ∴GF＝AE， ∴GA＝FE， 又∵FD＝ED， ∴GA＝2DE， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 22．（2024秋•漳州期末）如图，若∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝50°，则∠2的度数是　40°　． 【思路点拨】证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）得到∠2＝∠ACB，再利用三角形内角和求解即可． 【规范解答】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠2＝∠ACB， ∵∠1＝50°， ∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝40°， 故答案为：40°． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是全等三角形判定定理的应用． 23．（2024秋•淄川区期末）如图，△ABD≌△EBC，EB＝4cm，BC＝6cm，则DE＝ 　2　cm． 【思路点拨】根据全等三角形的性质得出BD＝BC＝6cm，计算BD﹣EB即可得到答案 【规范解答】解：由三角形全等可知BC＝6cm，BD＝BC＝6cm， ∴DE＝BD﹣EB＝6﹣4＝2cm， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 24．（2024秋•临高县期末）如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，则∠E的度数是 　36　°． 【思路点拨】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠ABD＝∠ADE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABD＝70°，求出∠DAE和∠ADE，再根据三角形内角和定理求出∠E即可． 【规范解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠BAD＝40°， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣∠BAD）＝70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠ABD＝70°， ∵∠BAE＝114°，∠BAD＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝114°﹣40°＝74°， ∴∠E＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣70°﹣74°＝36°， 故答案为：36． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应角相等是解此题的关键． 25．（2024秋•新余期末）如图，△ADB≌△EDB≌△CDE，B，E，C在一直线上，则∠C的度数为　30°　． 【思路点拨】根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠BED＝∠CED，∠C＝∠ABD＝∠EBD，再根据平角等于180°求出∠BED＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【规范解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△CDE， ∴∠A＝∠BED＝∠CED，∠C＝∠ABD＝∠EBD， ∵∠BED+∠CED＝180°， ∴∠BED＝90°， ∴∠C+（∠ABD+∠EBD）＝90°， 即3∠C＝90°， 解得∠C＝30°． 故答案为：30°． 【考点评析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，关键在于利用平角求出∠BED＝90°． 26．（2024秋•宽城县期末）如图，已知，AB∥CF，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝9，CF＝5，求BD的长． 【思路点拨】（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE即可； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：∵AB∥CF， ∴∠A＝∠FCE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． （2）解：由（1）可知，△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF， ∵CF＝5， ∴AD＝5， ∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4， 所以BD的长为4． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 27．（2024秋•蒙城县期末）如图1，在Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点．∠EAD＝90°，且AE＝AD，连接CE，BD的延长线与CE交于点F． （1）求证：BD＝CE，BD⊥CE； （2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°． ①判断AF与DC的位置关系，并说明理由； ②当F是线段CE中点时，直接写出线段AD与线段BD的关系：　AD⊥BD　． 【思路点拨】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再利用三角形内角和定理可证BD⊥CE； （2）作AG⊥BF，AH⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFD＝∠FDC＝45°，从而证出平行； （3）连接DE．由∠EAD＝90°，且AE＝AD，推出∠AED＝∠ADE＝45°，由（1）BD⊥CE，F是线段CE中点，推出∠EDF＝∠CDF＝45°，从而得出∠ADB＝90°，即可证明AD⊥BD． 【规范解答】证明（1）如图1，设AC与BF交于O点， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 又∵∠AOB＝∠COF， ∴∠BFC＝∠BAC＝90°， ∴BD⊥CE； （2）AF∥CD， 理由如下： 如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H， 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE， ∴AG＝AH， 又∵AG⊥BF，AH⊥CE， ∴AF平分∠BFE， 又∵∠BFE＝90°， ∴∠AFD＝45°， ∵∠BDC＝135°， ∴∠FDC＝45°， ∴∠AFD＝∠FDC， ∴AF∥CD． （3）连接DE． ∵∠EAD＝90°，且AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝45°， ∵∠BDC＝135°， ∴∠CDF＝45°， 由（1）BD⊥CE， ∵F是线段CE中点， ∴∠EDF＝∠CDF＝45°， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD． 【考点评析】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键． 28．（2024秋•麻章区期末）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由． 【思路点拨】首先连接EM、MF，再证明△BEM≌△CFM可得ME＝MF． 【规范解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， 又∵M为BC中点， ∴BM＝MC． 在△BEM和△CFM中， ， ∴△BEM≌△CFM（SAS）， ∴ME＝MF． 即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． 29．（2024秋•株洲期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED． （1）求证：BD＝CD． （2）若∠A＝135°，∠BCE＝55°，求∠DBC的度数． 【思路点拨】（1）由题意，由AAS证明△ABD≌△EDC即可； （2）由△ABD≌△EDC得∠CED＝∠A＝135°，由三角形的外角性质即可求得结果． 【规范解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（AAS）， ∴BD＝CD． （2）解：∵△ABD≌△EDC（AAS），∠A＝135°， ∴∠CED＝∠A＝135°， ∵∠BCE＝55°， ∴∠DBC＝∠CED﹣∠BCE＝80°． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，证明两个三角形全等是解题的关键． 30．（2024秋•凉州区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明； ②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？ （2）若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 【思路点拨】（1）①先求得BP＝CQ＝3，PC＝BD＝6，然后根据等边对等角求得∠B＝∠C，最后根据SAS即可证明； ②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝4.5，根据全等得出CQ＝BD＝6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度； （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【规范解答】解：（1）①∵t＝1（秒）， ∴BP＝CQ＝3（厘米） ∵AB＝12，D为AB中点， ∴BD＝6（厘米） 又∵PC＝BC﹣BP＝9﹣3＝6（厘米） ∴PC＝BD ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD与△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）， ②∵VP≠VQ， ∴BP≠CQ， 又∵∠B＝∠C， 要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5， ∵△BPD≌△CPQ， ∴CQ＝BD＝6． ∴点P的运动时间t1.5（秒）， 此时VQ4（厘米/秒）． （2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x＝3x+2×12， 解得x＝24（秒） 此时P运动了24×3＝72（厘米） 又∵△ABC的周长为33厘米，72＝33×2+6， ∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇． 【考点评析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第4章 三角形 （思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：三角形的内角和 2 知识点02：三角形的分类 3 知识点03：三角形的三边关系 3 知识点04：全等三角形的性质与判定 4 知识点05：用尺规作三角形 4 重点知识考点讲练 5 考向一：认识三角形 5 考点讲练01：三角形 5 考点讲练02：三角形的角平分线、中线和高 6 考点讲练03：三角形的重心 6 考点讲练04：三角形三边关系 7 考点讲练05：三角形内角和定理 7 考向二：全等三角形 8 考点讲练06：全等三角形的性质 8 考点讲练07：全等三角形的判定 9 考向三：探究三角形全等的条件 10 考点讲练08：全等三角形的判定与性质 10 考点讲练09：作图一基本作图 10 考向四：利用三角形全等测距离 12 考点讲练10：全等三角形的应用 12 优选真题难度分层练 12 基础夯实真题练 12 培优拔尖真题练 12 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：三角形的内角和 【高频考点精讲】 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 【易错点剖析】应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点02：三角形的分类 【高频考点精讲】 1.按角分类： 【易错点剖析】 ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 【易错点剖析】 ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点03：三角形的三边关系 【高频考点精讲】 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【易错点剖析】 （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 2.三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 知识点04：全等三角形的性质与判定 【高频考点精讲】 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “ 全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 【易错点剖析】 （1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点05：用尺规作三角形 【高频考点精讲】 1.基本作图 利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等； 【易错点剖析】要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达. 考向一：认识三角形 考点讲练01：三角形 【典例精讲01】（2024春•镇平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【变式训练1】（2023秋•南岗区校级期末）在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示．按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 　　个三角形． 【变式训练2】（2023春•高邑县期末）下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 考点讲练02：三角形的角平分线、中线和高 【典例精讲02】（2025•泸县校级开学）下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024秋•召陵区期末）下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（2024春•蒸湘区校级期末）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　cm． 考点讲练03：三角形的重心 【典例精讲03】（2024秋•峰峰矿区期中）有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（　　） A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点 【变式训练1】（2024春•曹县期末）如图，点D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，AB＝4，△ABE的周长比△ACE的周长大1.8，则AC＝　 　． 【变式训练2】（2022春•成都期末）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（　　） A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线 C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心 考点讲练04：三角形三边关系 【典例精讲04】（2024秋•汶上县期末）下列长度的线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．3，5，7 C．5，6，11 D．2，2，5 【变式训练1】（2024秋•荆州区期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．4，6，10 B．3，9，5 C．8，6，1 D．5，7，9 【变式训练2】（2024秋•安徽期末）一个三角形的三条边长分别为3，6，x，则x的取值范围为　 　． 考点讲练05：三角形内角和定理 【典例精讲05】（2024秋•定陶区期末）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式训练1】（2024秋•新兴县期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式训练2】（2024秋•渭源县期末）如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为 　 　． 考向二：全等三角形 考点讲练06：全等三角形的性质 【典例精讲06】（2025•沙坪坝区校级开学）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ 　 　． 【变式训练1】（2023秋•黔西南州期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝13，则AB等于（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练2】（2024秋•上思县期中）如图，△ABC≌△DEF，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝DE B．AC＝DF C．BE＝FC D．∠B＝∠F 考点讲练07：全等三角形的判定 【典例精讲07】（2024秋•石家庄期末）在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024秋•冷水江市期末）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【变式训练2】（2024秋•天长市期末）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为 　 ． 考向三：探究三角形全等的条件 考点讲练08：全等三角形的判定与性质 【典例精讲08】（2024秋•营口期末）如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFD的度数等于（　　） A．30° B．32° C．33° D．35° 【变式训练1】（2024秋•宁明县期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（　　） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【变式训练2】（2024秋•信丰县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　 　s时，CF＝AB． 考点讲练09：作图一基本作图 【典例精讲09】（2024秋•赵县期末）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2023秋•庆云县期末）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝32°，则∠BOD的度数为（　　） A．32° B．54° C．64° D．68° 【变式训练2】（2024春•昌平区校级期中）如图，点A在∠O的一边OA上．按要求画图并填空： （1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B； （2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C； （3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D； （4）∠CDB＝　 　°； （5）如果OA＝8，AB＝6，OB＝10，则点A到直线OB的距离为　 　． 考向四：利用三角形全等测距离 考点讲练10：全等三角形的应用 【典例精讲10】（2024秋•纳雍县期末）如图，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝70m，则A，B两点间的距离为（　　） A．60m B．70m C．100m D．130m 【变式训练1】（2024秋•阳信县期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【变式训练2】（2024春•汉中期末）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为　 　． 基础夯实真题练 1．（2024秋•崆峒区期末）如图，△ACE≌△DBF，∠A＝65°，∠F＝75°，则∠ACE的度数为（　　） A．30° B．40° C．65° D．75° 2．（2024秋•崆峒区期末）下列各图中，正确画出AB边上的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•南平期末）如图，△ACB≌△A′CB′，∠A＝70°，∠B＝65°，则∠A′CB′的度数为（　　） A．70° B．65° C．55° D．45° 4．（2024秋•太湖县期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 5．（2025•朝阳区校级开学）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE 6．（2024秋•微山县期末）如图．AB，CD相交于点E，DE＝CE，请你补充一个条件 　 　，使△ADE≌△BCE． 7．（2024秋•招远市期末）如图，在六边形ABCDEF中，已知AB∥DE，AF∥CD，BC∥FE，AB＝DE，AF＝CD，BC＝FE，FD⊥BD，FD＝22cm，BD＝16cm，六边形ABCDEF的面积为 　 　． 8．（2024秋•朝天区期末）已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是　 　cm． 9．（2024秋•平邑县期末）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝3cm，BC＝9cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 　 　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 10．（2024秋•湘西州期末）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为 　 　． 11．（2024秋•蒙城县期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长． 12．（2024秋•徐水区期末）已知：如图，BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，∠B＝40°． （1）求证：△BEC≌△DEA； （2）求∠BAF的度数． 13．（2024秋•栖霞市期末）如图，在△ABF和△DCE中，AB＝CD，AF＝DE，BE＝CF，且点B，E，F，C在同一条直线上．∠DEB和∠AFC相等吗？请说明理由． 14．（2024秋•巩义市期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF． 15．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，点P在射线BA上，使用尺规作图法在BC上求一点D，使∠BPD＝∠B．（不写作法，保留作图痕迹） 培优拔尖真题练 16．（2025•池州开学）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 17．（2024秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，D为AC上一点，BD＝CD，E为BD上一点，∠A＝∠DEC，若要求△ABD和△ECD的周长之差，则只需要知道（　　） A．AD﹣ED的值 B．AB﹣ED的值 C．BC﹣BE的值 D．CD﹣BE的值 18．（2024秋•张店区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点O，添加条件AB＝DC后，可使得△ABC≌△DCB成立，则判断△ABC和△DCB全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 19．（2024秋•吴忠期末）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝8m，PB＝6m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　　） A．11.5m B．12.5m C．13.5m D．14.5m 20．（2024秋•界首市期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2024秋•巩义市期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD，则 　 　． 22．（2024秋•漳州期末）如图，若∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝50°，则∠2的度数是　 　． 23．（2024秋•淄川区期末）如图，△ABD≌△EBC，EB＝4cm，BC＝6cm，则DE＝ 　 　cm． 24．（2024秋•临高县期末）如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，则∠E的度数是 　 　°． 25．（2024秋•新余期末）如图，△ADB≌△EDB≌△CDE，B，E，C在一直线上，则∠C的度数为　 　． 26．（2024秋•宽城县期末）如图，已知，AB∥CF，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝9，CF＝5，求BD的长． 27．（2024秋•蒙城县期末）如图1，在Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点．∠EAD＝90°，且AE＝AD，连接CE，BD的延长线与CE交于点F． （1）求证：BD＝CE，BD⊥CE； （2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°． ①判断AF与DC的位置关系，并说明理由； ②当F是线段CE中点时，直接写出线段AD与线段BD的关系：　 　． 28．（2024秋•麻章区期末）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由． 29．（2024秋•株洲期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED． （1）求证：BD＝CD． （2）若∠A＝135°，∠BCE＝55°，求∠DBC的度数． 30．（2024秋•凉州区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明； ②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？ （2）若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$