精品解析：江苏省南通市如东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024~2025学年度第一学期期末调研测试卷 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标是． 由抛物线顶点式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线顶点坐标是， 故选：C． 2. 下列四个关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数解析式的形式为是解题的关键． 根据反比例函数的一般形式逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是反比例函数，故该选项不符合题意； B． 是反比例函数，故该选项符合题意； C． 不是反比例函数，故该选项不符合题意； D． 不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列条件中，不能解直角三角形的是（ ） A. 已知两条直角边 B. 已知斜边和一条直角边 C. 已知两锐角 D. 已知一边与一锐角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知解直角三角形所需的条件是解题的关键．根据四个选项中所给条件，结合解直角三角形的步骤依次进行判断即可． 【详解】解：当已知两条直角边时， 可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数， 所以这个直角三角形可解． 故A选项不符合题意． 当已知斜边和一条直角边时， 可利用勾股定理求出斜边长，再分别求出两个锐角的正弦值， 可利用勾股定理求出另一条直角边长，再分别求出两个锐角的正弦值，进而得出两个锐角度数， 所以这个直角三角形可解． 故B选项不符合题意． 当已知两锐角时， 此直角三角形的大小无法确定， 所以这个直角三角形不可解． 故C选项符合题意． 当已知一边与一锐角时， 可先求出另一个锐角，再借助正弦或余弦求出剩余的边即可， 所以这个直角三角形可解． 故D选项不符合题意． 故选：C． 4. 若，且，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，且，，， ，即， ， 故选：D． 5. 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，有种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种， ∴； 故选D． 6. 已知的半径为5，点在内，且，则经过点的弦的长不可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理．过点作弦，连接，如图，根据垂径定理得到，由于为过点的最短弦，所以利用勾股定理计算出，从而求出即可． 【详解】解∶过点作弦，连接，如图， 则． 圆心到弦的距离越大，弦越短， 为过点的最短弦， ， ． 经过点的的最短弦的长为8，即经过点的弦的长不可能为7， 故选∶A． 7. 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，矩形中，为中点，连接．点为点关于的对称点，连接，，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设交于点，根据对称性，得到垂直平分，进而得到为中位线，得到，解，求出，利用面积公式求出关于的表达式，进行判断即可． 【详解】解：设交于点， ∵点为点关于的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴设， 则：， ∴， ∴， ∴，当时，， ∴与的函数图象大致为： 故选D． 【点睛】本题考查对称的性质，中垂线，三角形的中位线定理，解直角三角形，二次函数的图象等知识点，解题的关键是得到为的中位线． 9. 如图，平面直角坐标系中，点为双曲线上任意一点，将点绕原点顺时针旋转后得到点，点在直线上．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到是等边三角形，得到点重合，设，得到，，得出，因为是等边三角形，得到的高为，根据三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 将点绕原点顺时针旋转后得到点， ，， 是等边三角形， ， ， 点重合， 设， 点为双曲线上任意一点，点在直线， ，， ，， 是等边三角形， 设边上的高为， ， ， 故选：B． 10. 如图，为的直径，的弦与弦相交于点，，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、30度所对的直角边是斜边是一半，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，因为，再得，即，即，则，，得，设半径为，在中，得，解得，即可作答． 【详解】解：连接交于点H，如图所示： ∵， 则， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵为的直径， ∴， 即， 则， ∴， 得， 设半径为， 在中，， ， 解得， ∴， 故选：C 二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记双曲线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 由反比例函数的图象经过点，可得出，解之即可得出值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 故答案为：12． 12. 已知中，，，，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】∵，，， ∴， 故答案为：． 13. 为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放回鱼塘．过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞出50条鱼，发现其中10条有记号．则鱼塘中总鱼数大约为__________． 【答案】500 【解析】 【分析】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．首先求出有记号的10条鱼在50条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：由题意可得， 鱼塘中鱼总数大约为：（条）， 故答案为：500． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 是常数，与一次函数图象的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 利用抛物线与直线的两个交点的意义得到当或时，，于是得到方程的解，从而确定方程较小的根。 【详解】解：抛物线与直线两个交点坐标分别为，， 当或时，， 方程的解为，， 方程较小的根是， 故答案为：． 15. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______． 【答案】160°##160度 【解析】 【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π， ∵母线长90cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π， ∴=3600π， 解得：n=160． 【点睛】此题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式和展开的扇形面积公式． 16. 如图，矩形的面积为84，双曲线经过矩形的对角线的中点，则的值为____________________． 【答案】21 【解析】 【分析】此题考查了反比例和几何结合，矩形的性质， 根据反比例函数解析式设，则，然后根据矩形的面积得，进而求解即可． 【详解】∵双曲线经过矩形的对角线的中点， ∴设，则 ∴， ∵矩形的面积为84 ∴ 解得． 故答案为：21． 17. 如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长交与点，同角的补角相等，得到，三角形的内角和定理推出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：延长交与点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 求得直线，当时的函数值为，根据题意当时，抛物线的函数值小于1，得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解∶直线中，当时，， 关于轴的对称点始终在直线的上方， 当时，， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为∶ ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算； （2）如图，，，相交于点．若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）5 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． （1）根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， ． 20. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5． （1）如图1，在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率为___________； （2）如图2，请用列表或画树状图的方法，求在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率． 提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）结合概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及C，D之间电流能够正常通过的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，A，B之间电流能够正常通过的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知，电流经过，D之间时两个电子元件的状态共有4种等可能的结果，其中，之间电流能够正常通过的结果共有3种． （，D之间电流能够正常通过）． 21. 如图，为的直径，为上一点，弦的延长线与过点的直线互相垂直，垂足为，且，连接． （1）求证是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，由为的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）连接，由，，求得，，而，所以，则，即可根据弧长公式求得的长是． 【小问1详解】 证明：连接． 是的直径， ． ， ， ， ， 又， ，即， 为上一点， 是的切线． 【小问2详解】 解：如上图，连接． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为1， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 学校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机的机翼图纸．已知图纸中，均与水平方向垂直，机翼前缘、机翼后缘与水平方向形成的夹角度数分别为，，，点到直线的距离为．求机翼外缘的长度（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，交的延长线于，过点作于，根据正切的定义求出，进而求出，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 由题意可得，，，， 则四边形、四边形为矩形， ，． 在中，， 则， ， 在中，， 则， ， 答：机翼外缘的长度为． 23. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，沿这个菜园垂直于墙的一边的长为，与墙平行的边的长为． （1）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时围成的矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当的值为10时，围成的矩形菜园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，易错点是根据平行于墙的一边长应大于0而不大于墙长得到相应的的取值范围． （1）篱笆长垂直于墙的一边长，进而根据大于0且不大于可得的取值范围； （2）设矩形菜园的面积为，得到与的关系比，整理成顶点式，根据抛物线的开口方向和的取值范围可为何值时围成的矩形菜园的面积最大以及最大面积是多少． 【小问1详解】 解： 由题意得：， ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：设矩形菜园的面积为． 则． ， 当时，有最大值200． 当的值为10时，围成的矩形菜园的面积最大，最大面积是． 24. 如图，点为正方形内一点，以为边作正方形，顶点恰好落在边上，连接． （1）求的度数； （2）若，连接，求长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等．解题的关键是正确作出辅助线． （1）通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质以及正方形内角的性质来求解的度数． （2）先根据已知条件求出正方形的边长等相关线段长度，再利用勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 解：连接，， 四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接， 四边形是正方形， ， 由（1）得， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ． 25. 已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． （1）若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； （2）在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； （3）当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． 【答案】（1）2 （2） （3）或5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化——平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数的图象交轴于点，可得，又将点向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解； （2）依据题意，由点，在二次函数的图象上，从而，，结合，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，分当、和进行分类讨论，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，二次函数的图象交轴于点， ， 将点向右平移4个单位得到， 又此时在二次函数上， ， ， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：∵点，在二次函数的图象上， ， ， ， ， ． 小问3详解】 解：①当时， 二次函数在的范围内随的增大而增大， 当时，的最小值为3． ， 解得，（舍去）； ②当时， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去； ③当时， 二次函数在的范围内随的增大而减小， 当时，的最小值为3． ， 解得（舍去），． 综上可知，的值为或5． 26. 综合与实践：九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动． 【问题探究】 如图①，为的角平分线，求证． 甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形的相似”可证结论； 乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作于点，作于点，利用“等面积法”也可证结论； 丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还有新发现：如果交换命题的题设和结论，得到“如图①，为的边上一点，如果，那么是的角平分线”仍为真命题． 问题解决】 （1）你认为丙同学的新发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由； （2）如图②，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．若，，，求的长； （3）如图③，为的内角平分线，的外角平分线交的延长线于点，且，请直接写出的长． 【答案】（1）正确，见解析 （2）6 （3）1 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． (1)如图1，过点作，与的延长线交于点，利用相似三角形的性质证明即可； (2)证明，推出，延长求解可得结论； (3)如图③中，设，过点作交于点，证明，构建方程求解． 【小问1详解】 解：正确， 理由：如图1，过点作，与的延长线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线； 【小问2详解】 解：为的角平分线， ，， 中，，，， ， ， 的垂直平分线交的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为6； 【小问3详解】 解：如图③，设，过点作交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末调研测试卷 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能解直角三角形的是（ ） A. 已知两条直角边 B. 已知斜边和一条直角边 C. 已知两锐角 D. 已知一边与一锐角 4. 若，且，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知的半径为5，点在内，且，则经过点的弦的长不可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，为中点，连接．点为点关于的对称点，连接，，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，点为双曲线上任意一点，将点绕原点顺时针旋转后得到点，点在直线上．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的直径，的弦与弦相交于点，，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 12. 已知中，，，，则____________________． 13. 为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放回鱼塘．过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞出50条鱼，发现其中10条有记号．则鱼塘中总鱼数大约为__________． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是____________________． 15. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______． 16. 如图，矩形的面积为84，双曲线经过矩形的对角线的中点，则的值为____________________． 17. 如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为__________． 18. 已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是____________________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （1）计算； （2）如图，，，相交于点．若，，，求长． 20. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5． （1）如图1，在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率为___________； （2）如图2，请用列表或画树状图的方法，求在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率． 提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等． 21. 如图，为的直径，为上一点，弦的延长线与过点的直线互相垂直，垂足为，且，连接． （1）求证是的切线； （2）若，，求的长． 22. 学校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示模型飞机的机翼图纸．已知图纸中，均与水平方向垂直，机翼前缘、机翼后缘与水平方向形成的夹角度数分别为，，，点到直线的距离为．求机翼外缘的长度（结果保留根号）． 23. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，沿这个菜园垂直于墙的一边的长为，与墙平行的边的长为． （1）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时围成矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 24. 如图，点为正方形内一点，以为边作正方形，顶点恰好落在边上，连接． （1）求的度数； （2）若，连接，求长． 25. 已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． （1）若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； （2）在（1）条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； （3）当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． 26. 综合与实践：九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动． 【问题探究】 如图①，为的角平分线，求证． 甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形的相似”可证结论； 乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作于点，作于点，利用“等面积法”也可证结论； 丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还有新发现：如果交换命题的题设和结论，得到“如图①，为的边上一点，如果，那么是的角平分线”仍为真命题． 【问题解决】 （1）你认为丙同学的新发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由； （2）如图②，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．若，，，求的长； （3）如图③，为的内角平分线，的外角平分线交的延长线于点，且，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$