精品解析：江苏省苏州市部分校2024-2025学年高二上学期期末迎考数学试题（B卷）

2024—2025学年高二第一学期期末迎考卷 数 学 注意事项: 1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在密封线内. 一、 单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件可得，则，可得答案. 【详解】椭圆方程可化为 ，椭圆的一个焦点坐标是(0，1)，则焦点在轴上， 所以，由题意知 解得 故选：B 2. 已知数列的首项，且（），则这个数列的第4项是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】可根据数列的递推公式，由首项逐步求出、，进而求出 【详解】已知，将代入递推公式中， 可得： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 这个数列的第项是. 故选：A. 3. 已知P是所在平面外一点，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可得，可求值. 【详解】由，得， 即，所以，，， 故. 故选：A. 4. 直线关于直线：对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 5. 在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式1的代换，可求的最小值. 【详解】由等差数列的性质得，且， 则=≥=， 当且仅当，即时取等号，即的最小值是 故选：A. 6. 已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 7. 若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 8. 已知曲线，是曲线E上任意一点，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析曲线对应的曲线形状，利用点到直线的距离公式，分析的几何意义，结合图象，并根据同角三角函数关系式，及辅助角公式，可求得的最大值. 【详解】当时，，此时曲线是椭圆在第一象限的部分； 当时，，此时曲线是双曲线在第二象限的部分； 当时，，此时曲线是双曲线在第四象限的部分； 当时，，不表示任何曲线. 双曲线和双曲线的渐近线均为. 因为点到直线的距离为， 所以可以看作是的倍. 由渐近线的几何特征知，当或时，， 所以当点在第一象限，即满足时，可以取得最大值. 令，. 则. 显然当时，取得最大值，此时取得最大值. 故选：C. 二、 多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和，则（ ） A. 该数列的公差为 B. C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D. 【详解】设等差数列的公差为，因为， ， 当时，有， 得， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC 10. 如图，在正三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在上，且，则（ ） A. 直线平面 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 设，分别在线段和上，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标法，结合选项，依次判断. 【详解】如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，， 设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则， 又，，故，又平面，所以平面，故A正确； ，点到平面的距离，故B错误； ，，故C正确； 设，，，则，， 即,， 所以, 所以，易知当λ=时，，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，在点处的切线为，过作与平行的直线，交于另一点.记与轴的交点为，则（ ） A. B. ，，成等差数列 C. D. 面积的最小值为16 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到；C选项，求出，，结合焦半径公式求出，C正确；D选项，弦长公式和点到直线的距离公式，表示出的面积，从而得到面积最小值. 【详解】如图： 由题知，直线，的斜率存在. 对于A，如图，设直线：，联立，消去，整理得， 所以，， 所以，故A错误. 对于B，因为，所以，所以抛物线在点处的切线的斜率为， 所以直线：，即. 联立，消去，整理得， 所以，故B正确. 对于C，由：，令，得，所以. 又，，故C正确. 对于D，. 结合图象可知，，， 又由，得，， 所以点到直线的距离， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、 填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与垂直，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件计算即可求得的值. 【详解】直线与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则________． 【答案】88 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论为奇数和偶数时的通项关系式，分组求和可计算出，再根据已知结论求解. 【详解】当n为偶数时，，两式相加，得. 当n为奇数时，，两式相减，得. 所以 ， 所以. 又，所以， 因为，所以，同理可得， 所以，而，所以. 故答案为：88. 四、 解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; （2）设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. 【小问1详解】 已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 16. 已知为数列的前n项和，，且且. （1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式; （2）若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】（1） 当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， （2） 由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 【解析】 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【小问1详解】 所以，所以； 【小问2详解】 略 17. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则. 依题意，是平面的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证明线面平行； （2）分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； （3）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于长度的方程，解方程可得的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的法向量，则，即. 不妨令，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意. 所以，线段的长为. 18. 已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 当时，； 当时，. 又也符合上式，所以（）. 因为， 所以数列是等差数列. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可； （2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解； （3）判断数列的单调性，求出最大项得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 故， ， 则， 两式相减得 ， 即. 【小问3详解】 因为， 当时，，即，当时，易得， 所以，故是数列中的最大项，且. 要使对一切恒成立，只需即可， 故实数m的取值范围为. 19. 已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. （1）求双曲线E的方程. （2）过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 【答案】（1）. （2） ①易得直线AD和直线BD斜率存在且不为零，且不为. 设直线AD的方程为，直线BD的方程为，则均不为零且不为. 设，直线AB的方程为且， 联立，消去x得， ， ，， 从而. 故直线AD和直线BD的斜率之积为定值； ②，理由： 方法一：联立，消去x得， 解得.同理可得. 线段AD的中点，线段BD的中点， 线段AD的中垂线方程为，线段BD的中垂线方程为. 联立两直线方程得=， 即， 化简得.联立和， 得，从而点， ， =， . 由①知，所以， 故和的关系为. 方法二：设，直线AB的方程为且， 设的外接圆的方程为， 因为点在该圆上，所以1，即， 联立，消去x得①， ， 联立， 消去x得②， 因为方程①和②的两个不同的根均是， 所以==， 代入得==， 即，即，. 又点，所以. 又，所以. 【解析】 【分析】（1）由已知可得的关系式，求解即可得双曲线E的方程； （2）①设，直线AB的方程为且，与双曲线联立方程组，可得，，设直线AD的方程为，直线BD的方程为，计算可得为定值，进而可得结论；②方法一：联立，可求得，进而求得，求得线段AD的中垂线方程，线段BD的中垂线方程，求得的坐标，计算可得结论. 方法二：设，直线AB的方程为且，设出外接圆的方程，分别与直线方程联立方程组，利用消去后的方程的根均是，计算可求解. 【小问1详解】 由点在E上，且E的离心率为2，得， 解得，故双曲线E的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：关键在于联立直线方程求得.同理可得，进而用表示，进而计算可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二第一学期期末迎考卷 数 学 注意事项: 1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在密封线内. 一、 单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知数列的首项，且（），则这个数列的第4项是（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知P是所在平面外一点，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 直线关于直线：对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 6. 已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线，是曲线E上任意一点，则的最大值为 A. B. C. D. 二、 多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和，则（ ） A. 该数列的公差为 B. C. 有最小值 D. 有最小值 10. 如图，在正三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在上，且，则（ ） A. 直线平面 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 设，分别在线段和上，且，则的最小值为 11. 已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，在点处的切线为，过作与平行的直线，交于另一点.记与轴的交点为，则（ ） A. B. ，，成等差数列 C. D. 面积的最小值为16 三、 填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与垂直，则________． 13. 已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是________． 14. 已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则________． 四、 解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; （2）设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 16. 已知为数列的前n项和，，且且. （1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式; （2）若，记为数列的前n项和，求证：. 17. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 18. 已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. （1）求双曲线E的方程. （2）过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $