4.4利用三角形全等测距离 教学设计2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第四节 利用三角形全等测距离 教学设计 一、教学内容和内容解析 （一）教学内容 教材110～111页，《利用三角形全等测距离》 （二）教学内容解析 这节课是在学生学习了全等三角形的性质及其判定条件之后的一节综合应用课.利用三角形全等解决实际问题就是把实际问题转化为三角形全等问题，培养学生构建数学模型，并用数学知识来解决实际问题的能力，为今后学习几何证明打下良好的基础.本节内容在全等三角形中，起着承上启下的作用. 二、课程标准内容要求 数学眼光方面：引导学生观察生活中需要测量不可直接到达两点间距离的场景，如测量河对岸两点的距离、测量建筑物之间的距离等，感受利用三角形全等测距离在实际中的应用价值。能从这些实际场景中抽象出三角形全等的数学模型，理解将实际距离测量问题转化为三角形全等问题的本质。 数学思维方面：学生要能根据全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），对所构造的全等三角形进行逻辑推理和证明，理解为什么通过这样的构造可以得出对应边相等，从而得到需要测量的距离。培养学生将实际问题转化为数学问题并建立数学模型的能力，能运用三角形全等的知识设计测量方案，解决生活中诸如测量不可直接到达的两点间距离等实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。 数学语言方面：要求学生准确使用数学符号和术语来表达利用三角形全等测距离的过程和原理，如用“≅”表示全等关系，规范书写三角形全等的条件和结论等。鼓励学生在小组合作或交流中，用数学语言清晰地表达自己的测量方案、思路和结果，倾听他人的意见和建议，共同探讨和解决问题。 三、教学目标和目标解析 （一）教学目标 数学抽象 学生能够从生活中需要测量距离的实际情境，抽象出利用三角形全等测距离的数学模型，理解将实际问题转化为数学问题的过程，提炼出其中三角形全等的本质特征，明确可通过证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质来间接测量距离。 逻辑推理 引导学生依据全等三角形的判定条件（“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”），对所构造的全等三角形进行严谨的逻辑推理，有条理地分析已知条件与结论之间的逻辑关系，证明两个三角形全等，进而得出对应边相等，以此确定不可直接测量的距离，培养学生的演绎推理能力。 数学建模 让学生学会将实际生活中测量不可直接到达两点间距离的问题，构建为利用三角形全等的数学模型。通过分析实际问题中的条件和关系，选择合适的三角形全等判定方法来设计测量方案，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识。 直观想象 借助画图、实物演示等方式，帮助学生直观地理解利用三角形全等测距离的原理，让学生在脑海中形成清晰的图形表象，想象出两个全等三角形的对应边和对应角的关系，以及如何通过测量已知边和角来确定未知距离，提升学生的空间想象能力。 数学运算 在利用三角形全等测距离的过程中，学生需要准确测量已知线段的长度和角度，运用测量工具和方法获取精确的数据，为构建全等三角形和计算未知距离提供基础，提高学生的测量技能和数据处理能力。 （二）目标解析 《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出： 目标1的要求是：在生活中，存在众多像测量河流宽度、两建筑物间距等难以直接测量距离的情况。学生需学会观察这些实际情境，提取出关键的几何信息，构建出三角形的模型。进而理解到可以通过构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，将不可直接测量的距离转化为可测量的边，实现从实际问题到数学模型的抽象过程，培养学生从具体到抽象的思维能力。 目标2的要求是：学生需要牢固掌握全等三角形的“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”等判定条件。在面对具体的测量问题时，能够依据已知条件，有条理地分析判断应该使用哪种判定方法来证明所构造的两个三角形全等。在实际测量中，问题往往不会直接给出所有明显的全等条件，可能需要学生添加辅助线或对已知条件进行转化。这就要求学生具备灵活运用逻辑推理的能力，通过合理的猜想和尝试，探索解决问题的思路。 目标3的要求是：学生要深刻理解数学与生活的紧密联系，学会将生活中测量不可直接到达两点间距离的实际问题，准确地转化为利用三角形全等的数学模型。这需要学生分析问题中的各种条件和关系，确定哪些边和角是已知的，哪些是需要求解的，然后选择合适的三角形全等判定方法来设计测量方案。 目标4的要求是：通过画图、使用教具或多媒体演示等方式，让学生直观地看到利用三角形全等测距离的过程。例如，展示两个全等三角形如何通过平移、旋转等方式重合，以及对应边和对应角的关系。 目标5的要求是：在利用三角形全等测距离时，学生首先要学会准确使用测量工具，如卷尺测量线段长度、量角器测量角度等，获取构建全等三角形所需的已知数据。 四、学生学情分析 学生基础情况 从知识技能角度来看，多数学生能够准确识别全等三角形的对应边和对应角，也能较为熟练地运用判定定理证明两个三角形全等，并且依据全等三角形性质得出对应边相等、对应角相等的结论。在尺规作图方面，学生具备了基本的作图能力，能够完成一些简单的几何图形绘制，这为理解和构造用于测量距离的全等三角形提供了操作基础。 在思维能力上，七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段。部分学生已经能够进行简单的逻辑推理，但对于较为复杂的、需要综合运用多种知识的几何问题，他们的分析和推理能力还有待提高。在以往的学习中，学生通过小组合作、自主探究等方式积累了一定的学习经验，具备了一定的合作交流和自主学习能力，但在深度和有效性方面仍需进一步培养和引导。 学生学习难点 实际问题转化为数学模型：学生在面对生活中需要测量不可直接到达两点间距离的实际问题时，难以将其准确地转化为利用三角形全等的数学模型。他们可能无法清晰地分析出问题中的条件和关系，确定哪些边和角是已知的，哪些是需要通过构造全等三角形来求解的，导致无法找到解决问题的切入点。 学生学习需求 直观形象的学习材料：由于学生仍处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们需要更多直观形象的学习材料来帮助理解利用三角形全等测距离的原理和方法。 实际应用案例的讲解：学生对数学知识在实际生活中的应用有较高的兴趣，希望能够通过具体的实际应用案例来加深对知识的理解和掌握。教师可以多提供一些与生活密切相关的例子。 合作与交流的机会：学生渴望在小组合作和交流中学习，通过与同伴的讨论和互动，分享自己的想法和见解，同时学习他人的思路和方法，拓宽自己的思维。教师应组织更多的小组合作活动，鼓励学生积极参与，培养他们的团队合作精神和交流能力。 五、教学策略分析 （一）情境导入策略 通过展示生活中测量不可直接到达两点间距离的实际案例，引发学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和探究欲望。从而自然地引入利用三角形全等测距离的课题。 （二）直观演示策略 在讲解利用三角形全等测距离的原理时，借助多媒体课件、教具等进行直观演示。还可以让学生自己动手制作简单的三角形模型，通过实际操作和拼接，直观感受全等三角形在测量距离中的应用，增强学生的空间想象能力和对知识的理解。 （三）小组合作探究策略 组织学生进行小组合作学习，让他们共同探讨不同的测量方案。教师给出一些实际问题情境，要求小组设计出利用三角形全等测距离的方法。在小组讨论过程中，学生可以相互交流想法，分享各自的思路，培养团队合作精神和创新思维。 （四）及时反馈评价策略 在教学过程中，通过课堂提问、小组讨论表现、作业完成情况等方式及时了解学生的学习情况。对于学生的表现给予及时的反馈和评价，对表现优秀的学生给予肯定和鼓励，对存在问题的学生提出针对性的建议和指导。根据学生的反馈情况，及时调整教学策略和方法，确保教学目标的顺利实现。 六、教学重难点 （一）重点：利用三角形全等解决实际问题。 （二）难点：在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 七、教学过程 教学流程 活动一：复习旧知，引出新课 【复习引入】 问题1三角形全等的条件有哪些? 问题2如图，已知线段AB和线段CD相交于点O，AO=BO，CO=DO，AC=18m。你能求出BD的长度吗? 这样的问题是如何运用到实际生活的测量中的呢？就让我们一起进入今天的学习！ 设计意图：通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础。 活动二：实践探究，获取新知 探究点 利用三角形全等测距离 【情境1】 一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事： 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出来这样一个办法： 如图，他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上;接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。 操作 按这名战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证。 教师可将同学分组（如5人一组），再按战士的做法在操场或教室实践。 问题1 “调整帽子”“保持刚才的姿态”的数学意义是什么？ 问题2 战士所讲述的方法中，已知条件是什么？要求的是什么？战士的结论是什么？请结合下面的示意图说明。 由战士所讲述的方法可知已知条件：①战士的身高AH不变；②战士与地面是垂直的(AH⊥BC)；③视角∠HAC=∠HAB。 要求的是：敌碉堡（B）与我军阵地(H)的距离。 战士的结论：只要按要求(如图)测得HC的长度即可。(即BH=HC) 问题3 请用所学的数学知识说明BH=CH的理由。 解：在△AHB与△AHC中，因为∠BAH=∠CAH，AH=AH，∠BHA=∠CHA， 根据全等三角形的判定条件“ASA”，所以△AHB≌△AHC，所以BH=CH。 【情境2】 如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意： 如图②，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。 问题1你能说出其中的道理吗？ 由学生交流讨论，教师可请代表发言。 师：小丽的思考过程如下： 问题2 你能说出小丽每一步的理由吗？ 在△ABC和△DEC中，因为AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE（对顶角相等），BC=EC（已知），所以△ABC≌△DEC(SAS)，所以AB=DE(全等三角形的对应边相等)。 【对应训练】 教材P111随堂练习第1题。 设计意图：通过情境的引入，使学生对利用三角形全等测距离的知识进行了深入探究、分析和总结，深化了学生对利用三角形全等测距离的理解。 活动三：典例精讲，升华提高 例 如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由。 解：能。如图，沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取CD=BC，过点D作DE⊥BF，使点E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是两座宝塔A，B间的距离。理由如下： 在△ACB和△ECD中， 因为∠ACB=∠ECD,BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°, 所以△ACB≌△ECD，所以AB=ED。即DE的长就是两座宝塔A,B间的距离。 【对应训练】 如图，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一只小石凳E，M，F，且E，M，F在同一直线上，M恰好为BC的中点。在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗?请说明其中的道理。 解：测量出CF的长，即是B，E之间的距离。利用ASA（或AAS）判定△BME≌△CMF，从而得到BE=CF。 设计意图：进一步深化学生对三角形全等知识的理解和应用，提高学生利用三角形全等知识解决生活中实际问题的能力，锻炼学生的思维能力和培养学生举一反三、触类旁通的数学学习习惯。 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 如何求不能直接测量的距离?依据是什么？方法是什么？ 【作业布置】 1.教材P112习题4.4第1，2，3题。 2.相应课时训练。 八、板书设计 4 利用三角形全等测距离 1.利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离。 2.依据：全等三角形的性质。 3.方法：构造全等三角形。 九、教学反思 （一）课前反思 教学目标的合理性：设定的教学目标是否符合学生的实际认知水平和课程标准要求？“利用三角形全等测距离”这一内容，对于学生将实际问题转化为数学模型的能力要求较高，教学目标中对于不同层次学生在这方面的能力提升预期是否明确且合理，是否能让每个学生都有所收获，需要进一步思考。 教学内容的难易度：教学内容的难易梯度是否恰当？在引入利用三角形全等测距离的方法时，是否充分考虑了学生已有的全等三角形知识基础？对于构造全等三角形这一关键内容，所选取的例子是否从简单到复杂，逐步引导学生掌握？同时，教学内容是否过于理论化，缺乏与实际生活更紧密的联系，需要补充更多生动有趣且具有代表性的实例，以帮助学生更好地理解和应用知识。 教学方法的适用性：计划采用的教学方法，如讲授法、小组合作法、直观演示法等，是否能满足不同学生的学习需求？在小组合作中，如何确保每个学生都能积极参与，避免出现个别学生主导或部分学生参与度不高的情况？直观演示法是否能清晰地展示利用三角形全等测距离的过程和原理，是否需要借助更多的多媒体资源或实物教具来增强直观效果？ 学生学情的把握：虽然对学生之前全等三角形的学习情况有一定了解，但对于他们在将实际问题转化为数学问题时可能遇到的具体困难，是否有足够准确的预判？不同学生在逻辑思维、空间想象等方面的能力差异，会对学习效果产生影响，如何在教学中关注这些差异，提供个性化的学习支持，使每个学生都能在原有基础上得到提高，是需要深入思考的问题。 （二）课后反思 教学目标达成情况：通过课堂提问、学生讨论表现以及课后作业等方式，评估学生对利用三角形全等测距离的掌握程度。 教学内容的教学效果：教学内容的讲解是否清晰易懂，是否符合学生的认知规律？在讲解构造全等三角形的方法时，部分学生理解起来有困难，可能是因为所举的例子不够典型或讲解不够详细。对于一些抽象的概念，如如何根据实际情况选择合适的全等判定定理，学生掌握得不够好。这表明在教学内容的设计和讲解上，需要更加注重深入浅出，增加更多的实例和练习，帮助学生理解和掌握。 教学方法的实施效果：讲授法在传递基础知识方面发挥了一定作用，但在引导学生主动思考和探究方面效果有限。小组合作学习中，部分小组讨论热烈，学生能够积极交流想法，但也有一些小组存在讨论不深入、偏离主题的情况。在今后的教学中，需要进一步明确小组讨论的任务和要求，加强对小组讨论的引导和监督，提高小组合作学习的有效性。直观演示法对于展示测量原理和过程起到了很好的辅助作用，但在与实际问题的结合上还可以更加紧密，让学生更好地理解如何将演示中的方法应用到实际测量中。 学生的课堂表现及反馈：观察学生在课堂上的表现，发现部分学生积极参与课堂讨论，主动提出问题和解决问题，但也有一些学生比较被动，参与度不高。通过与学生的交流和课后反馈，了解到一些学生对利用三角形全等测距离的知识很感兴趣，但由于理解困难而产生了畏难情绪。在今后的教学中，要更加关注学生的情绪和心理状态，及时给予鼓励和指导，帮助他们克服困难，增强学习数学的信心。 3 学科网（北京）股份有限公司 $$