2025年中考数学复习专题3函数动点问题

第3讲答案 1．如图，中，，，．点是斜边上一点．过点作，垂足为，交边（或边于点，设，的面积为，求与之间的函数关系. 【解答】解：当点在上时， ，， ， 当点在上时，如下图所示： ，，， ，， ． ． 2．如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于，两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与轴和轴分别相交于，两点，运动时间为秒(0<t<4)，以为斜边作等腰直角三角形，两点分别在两侧）．若和的重合部分的面积为，求与之间的函数关系. 【解答】解：当0<t<2时，， 当2<4<4时，， 3．已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点、分别作边的垂线，与的其它边交于、两点，线段运动的时间为秒． （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形并求出该矩形的面积； （2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为，求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【解答】解：（1）过点作，垂足为，则， 当运动到被垂直平分时，四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， 秒时，四边形是矩形， ， ， ； （2）①当时，点、都在上，并且四边形为直角梯形， 在中， ，，， ， 在中， 而， ， ； ②当时， 点在上，点在上， ， ， 在中， ， ； ③当时，点、都在上， ，， ，， ． 综上所述：当时，；当时，； 当时，． （10分） 4．如图，在等腰梯形中，，，，．等腰直角三角形的斜边，点与点重合，和在一条直线上，设等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以的速度向右移动，直到点与点重合为止． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由　等腰直角三角　形变化为　 　形； （2）设当等腰直角三角形移动时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式； （3）当①，②时，求等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积． 【解答】解：（1）等腰直角， ， ， ， 是等腰直角三角形， 如图②，， 四边形是等腰梯形， 故答案为：等腰直角三角，等腰梯． （2）可分为以下两种情况： ①当时，重叠部分的形状为等腰直角三角形（如图①， 此时， 过点作于点，则平分， ， ， ②当时，重叠部分的形状是等腰梯形（如图②， 此时，， 可求得，， 过点作于，过点作于， 则，， ． 答：与之间的函数关系式是或． （3）①当时， ， ②当时， ， 答：①当时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积是，②当时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积是． 5．如图，在平行四边形中，在轴上，点轴上，，，点坐标为．点是边上一点，且．点、分别从、同时出发，以1厘米秒的速度分别沿、向点运动（当点运动到点时，点随之停止运动），、的延长线交于点，交于点．半径为，设运动时间为秒． （1）求直线的解析式； （2）当为何值时，； （3）在（2）问条件下，与直线是否相切？如果相切，加以证明，并求出切点的坐标；如果不相切，说明理由． 【解答】解：（1）． （2）， ， ， 又，且， ， 又， ， ， ， 又， 当时，． （3）相切， 过作的垂线，设垂足为，延长交轴于，过作交轴于，由于，，因此，在直角三角形中，，因此，那么，那么在直角三角形中，，，因此，由此可得出与相切． 求切点即点坐标时，可过作轴的垂线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 切点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是坐标原点，点在第二象限，点在第三象限，点的坐标为，，，．点是线段上的一个动点（点不与点、重合），以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，过点与轴平行的直线交边或边于点，交边或边于点，设点运动时间为秒，线段的长度为．已知时，直线恰好经过点． （1）点的坐标　　；点的坐标　　； （2）当时，求关于的函数关系式； （3）当时，请直接写出的值； （4）点出发时点也同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动．点停止时点也停止，请直接写出当时，的值　　． 【解答】解：（1）如图1中，作于． ，，， ， ， ， 由题意，， ，， ， ． 故答案为，． （2）如图2中，当时，作于． 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ． （3）①当时，，则有， 解得． ②如图3中，当时， 同法可得，， ， 解得， 综上所述，满足条件的的值为或． （4）①如图中，当点在上时， ， ， ， ， 解得． ②如图中，当点在上时， ， ， ， ， 解得． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等边三角形，点的坐标是，，点在第一象限，是的平分线，并且与轴交于点，点为直线上一个动点，把绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到． （1）求直线的解析式； （2）当与点重合时，求此时点的坐标； （3）是否存在点，使的面积等于？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），；； （2）如图1，由题意，度， 此时，即点，； （3）过作轴，设， 如图2，当在轴上方时， 由， ，， ， 解得， 当等在的下方时， 可得：， 方程无解． 如图3，当在轴下方时，由， ，， ， 解得， ，，，． 8．综合与探究 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴相交于点．当和时，二次函数的函数值相等，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若点、同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为秒时，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的处，则的值为　　，点的坐标为　　； （4）抛物线对称轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【解答】解：（1）在抛物线中，当和时，二次函数的函数值相等， 抛物线的对称轴为， 又抛物线与轴交于、两点， 由对称性可知， 可设抛物线的解析式为， 将代入， 得，， 解得，， 此抛物线的解析式为； （2）为直角三角形，理由如下： ，，， ，，， ，，， ，， ， 是直角三角形； （3）点、同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动， ， 由翻折知，， ， 四边形是菱形， ， ，设与轴交于， ， 即， 解得，，， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入， 得，， 直线的解析式为， 将代入， ， ， 故答案为：，； （4）设直线的解析式为， 将点代入， 得，， 直线的解析式为， 由（2）知为直角三角形，， 如图2，当时， 点，，在一条直线上， 在中，当时，， ，； 当时，， 可设直线的解析式为， 将点代入， 得，， 直线的解析式为， 在中，当时，， ； 点的坐标为，，． 9．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为点，动点从点出发沿以每秒3个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）以为直径的与交于点，当为何值时，与相切？请说明理由． （3）在点从点出发的同时，动点从点出发沿以每秒3个单位长度的速度向点运动，动点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，运动时间和点相同． ①记的面积为，当为何值时，最大，最大值是多少？ ②是否存在为直角三角形的情形？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在 中，令，得；令，得． ，． 又抛物线经过，两点，，解得 ． 于是令，得， 解得，．． （2）当秒时，与相切．连接． 是的直径，．． 是的半径，，是的切线． 而是的切线，．． 又，，．． ．．此时（秒． 当秒，与相切． （3）①过点作于点． ，．．． 又，，，，解得． ．即． ．故当时，最大，最大值为． ②存在为直角三角形的情形． ，，即． 欲为直角三角形，，只存在和两种情况． 当时，，， ．．，解得． 当时，，， ．．，解得． 综上，存在为直角三角形的情形，的值为和． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/16 15:45:46；用户：初中数学02；邮箱：xhjyzsczsx02@xyh.com；学号：38020895 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 函数动点问题 题型 1 面积与函数解析式 【例1】 如图，中，，，．点是斜边上一点．过点作，垂足为，交边（或边于点，设，的面积为，求与之间的函数关系. 【例2】如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于，两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与轴和轴分别相交于，两点，运动时间为秒（0<t<4），以为斜边作等腰直角三角形，两点分别在两侧）．若和的重合部分的面积为，求与之间的函数关系. 【例3】已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点、分别作边的垂线，与的其它边交于、两点，线段运动的时间为秒． （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形并求出该矩形的面积； （2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为，求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【例4】如图，在等腰梯形中，，，，．等腰直角三角形的斜边，点与点重合，和在一条直线上，设等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以的速度向右移动，直到点与点重合为止． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由　 　形变化为　 　形； （2）设当等腰直角三角形移动时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式； （3）当①，②时，求等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积． 题型 2 代数几何综合 【例5】如图，在平行四边形中，在轴上，点轴上，，，点坐标为．点是边上一点，且．点、分别从、同时出发，以1厘米秒的速度分别沿、向点运动（当点运动到点时，点随之停止运动），、的延长线交于点，交于点．半径为，设运动时间为秒． （1）求直线的解析式； （2）当为何值时，； （3）在（2）问条件下，与直线是否相切？如果相切，加以证明，并求出切点的坐标；如果不相切，说明理由． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是坐标原点，点在第二象限，点在第三象限，点的坐标为，，，．点是线段上的一个动点（点不与点、重合），以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，过点与轴平行的直线交边或边于点，交边或边于点，设点运动时间为秒，线段的长度为．已知时，直线恰好经过点． （1）点的坐标　　；点的坐标　　； （2）当时，求关于的函数关系式； （3）当时，请直接写出的值； （4）点出发时点也同时从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动．点停止时点也停止，请直接写出当时，的值　　． 【例7】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等边三角形，点的坐标是，，点在第一象限，是的平分线，并且与轴交于点，点为直线上一个动点，把绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到． （1）求直线的解析式； （2）当与点重合时，求此时点的坐标； （3）是否存在点，使的面积等于？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例8】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴相交于点．当和时，二次函数的函数值相等，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若点、同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为秒时，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的处，则的值为　　，点的坐标为　　； （4）抛物线对称轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【例9】如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为点，动点从点出发沿以每秒3个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）以为直径的与交于点，当为何值时，与相切？请说明理由． （3）在点从点出发的同时，动点从点出发沿以每秒3个单位长度的速度向点运动，动点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，运动时间和点相同． ①记的面积为，当为何值时，最大，最大值是多少？ ②是否存在为直角三角形的情形？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$