专题2三角形、四边形综合2025年九年级中考数学复习

第2讲答案 1．如图，把两个含角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点是边的中点，连接交于点，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接，如图， 设， ，， ，， 点是边的中点， ． ，， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是 　　． 【解答】解：，， ， ， ， ． ． ， ， ． ． 故答案为：． 3．如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， ，故选项正确，不符合题意； ， ，， ①，②， ①②得， ， ， ， ，， ， ， ，故，选项正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．故选项错误，符合题意． 故选：． 4．已知，如图，为中线上一点，，延长、分别交、于点、，交于点． （1）； （2）； （3）； （4）． 上述结论中，正确的有　（3）（4）　． 【解答】解：延长到，使，连接、， 是中线， ， 四边形是平行四边形， ，， 即，， ，， ， ； ，， ， ，而与不一定相等，故（1）错误； ，， ，， ，故（2）错误； ， ， ；故（3）正确； ， ，， ．故（4）正确． 故答案为：（3）（4）． 5．如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为 　　． 【解答】解：设正方形的边长为，设与交于点，如图， 四边形为正方形， ，， ，， ， ． ， ， ， ， 解得：． 正方形的边长为． 故答案为：． 6．如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点、在边上，、分别在、上，则内接矩形的最大面积为 　80　． 【解答】解：四边形为矩形， ，． ， ， 设，则． ， ， ， ， ． 矩形的面积 ． ， 当时，内接矩形的最大面积为80． 故答案为：80． 7．如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为 　13　． 【解答】解：过点作交的延长线于点，如图所示， ，是的平分线， ， ． 是中点，， 为的中位线， ． 故答案为：13． 8．已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明： 由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，把绕点逆时针旋转到，交于点， 同（1）可证得， ，且， ． 9．已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明： 由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，把绕点逆时针旋转到，交于点， 同（1）可证得， ，且， ． 10．在四边形中，，，，为上一点，，且，的延长线于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中结论正确的是 　①②③④　．（填序号） 【解答】解：①，， ． ， ， ． 在和中， ， ．故①正确； ②， ． 又， 是的垂直平分线． 即垂直平分．故②正确； ③取的中点，连接， ，， ． ， ． ， ． ， ． ． ， 即，故③正确． ④， ， ， ， ， ， 平分；故④正确； 结论正确的是：①②③④． 故答案为：①②③④． 11．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 　①②③　．（把正确结论的序号都填上） 【解答】解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故①正确； ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 平分， ，故②正确； ③， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ， ，， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 12．在直角梯形中，，，，为边上一点，，且，连接交对角线于，连接，下列结论： ①；②；③；④ 其中结论正确的是　①②④　 【解答】解：①，， ， 又， ， 又，， ；故①正确； ②同理， ， ， ， ， 为等边三角形，设，则，，， ， ， ，故②正确， ③由②可知，， ， ，故③错误， ④由②③可知； ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 13．如图，已知正方形，延长至点使，连接、，与交于点，取的中点，连接，，交于点，交于点，则下列结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的是 　①③④⑤　（只填序号） 【解答】解：四边形为正方形，， ，， ， ， ，，故①正确； 如图，连接， ，， ， ，， ，故②错误； ，，是的中点， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 如图，作于，则， ， ， ，故④正确； ， ， ， ， 是的中点， ， ，故⑤正确； ， 设，， ， ， ， ，故③正确； 故答案为：①③④⑤． 14．如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点，的坐标分别是，，点，把线段三等分，延长、分别交、于点，，连接．则下列结论： ①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④ 其中正确的结论是　①③　（填写所有正确结论的序号）． 【解答】解：①四边形是平行四边形， ，， ， ， 、为的三等分点， ， ， ， ， 是的中点； 所以①结论正确； ②如图2，延长交轴于， 由知：，， ， ， ， ， ， ， 不成立， ，且与相交， ， 不成立， 同理可知为的中点，即， 由勾股定理得：， ， ， ， 所以②结论不正确； ③由①知：为的中点， 由②知：是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 所以③结论正确； ④在中，由勾股定理得：， ， ， 所以④结论不正确； 故本题结论正确的有：①③； 故答案为：①③． 15．如图，在正方形中，，是边上一点，连接，将沿直线翻折，得到，延长交于，连接，对角线分别与、交于、，连接、，下列结论：①；②；③；④若，则，其中，正确的有 　①②③　（填序号）． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ，， 又， ， ，， ，故①正确； ， ， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ，， ， 又， ， ， ， ；故②正确； ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ；故③正确； ，则， ， ， ，故④错误； 故答案为：①②③． 16．如图，在正方形中，、是射线上一动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接；在下列结论中①；②；③；④；⑤若，则；⑥．其中一定正确的是 　①③④⑥　．（把正确的序号写在横线上） 【解答】解：四边形是正方形， ，， 又， ， ，故①正确； 不一定为， 不一定与相等， 即与不一定全等，故②错误； 如图1，在上截取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，故③正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，， ，故④正确； ， 设，则， ， 如图1，在上截取，连接， 由③可得：， 设，则， ， ， ， ， ，故⑤错误； 如图1， ， ， ，故⑥正确； 故答案为：①③④⑥． 17．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 　①②④　（填入正确的序号）． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又，， ， ，故④正确； ，，， ， ，，， ， ， ， ，故②正确； ，， ，故③错误． 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 18．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与交于点，，，垂足分别为，，连接，，．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的序号是 　①②③④⑥　． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ，， ，故①正确； 设正方形的边长为，则， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 如图，延长交于， 点是中点， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ，， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误； ，， ，故⑥正确； 故答案为：①②③④⑥． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 三角形、四边形综合 题型1 相似模型 【例1】如图，把两个含角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点是边的中点，连接交于点，则的值为　　 A． B． C． D． 【例2】如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是 　　． 【例3】如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【例4】已知，如图，为中线上一点，，延长、分别交、于点、，交于点． （1）； （2）； （3）； （4）． 上述结论中，正确的有　　． 【例5】如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为 　　． 【例6】如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点、在边上，、分别在、上，则内接矩形的最大面积为 　　． 【例7】如图，中，是中点，是的平分线，交 于．若，，则的长为 　　． 题型 2 半角模型 【例8】已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【例9】当几何图形中，两个共顶点的角存在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”． （1）如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． （2）如图2，如果四边形中，，，，且，，，求的长． （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于 　　． （4）如图4，边长为6的正方形中，的顶点、分别在、边上，且，连接分别交、于点，，若，求的长． 题型 3 四边形综合 【例10】在四边形中，，，，为上一点，，且，的延长线于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中结论正确的是 　　．（填序号） 【例11】如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 　　．（把正确结论的序号都填上） 【例12】在直角梯形中，，，，为边上一点，，且，连接交对角线于，连接，下列结论： ①；②；③；④ 其中结论正确的是　　 【例13】如图，已知正方形，延长至点使，连接、，与交于点，取的中点，连接，，交于点，交于点，则下列结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的是 　　（只填序号） 【例14】如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点，的坐标分别是，，点，把线段三等分，延长、分别交、于点，，连接．则下列结论： ①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④ 其中正确的结论是　　（填写所有正确结论的序号）． 【例15】如图，在正方形中，，是边上一点，连接，将沿直线翻折，得到，延长交于，连接，对角线分别与、交于、，连接、，下列结论：①；②；③；④若，则，其中，正确的有 　　 （填序号）． 【例16】如图，在正方形中，、是射线上一动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接；在下列结论中①；②；③；④；⑤若，则；⑥．其中一定正确的是 　　．（把正确的序号写在横线上） 【例17】如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 　　（填入正确的序号）． 【例18】如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与交于点，，，垂足分别为，，连接，，．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的序号是 　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$