2025年中考数学复习专题1 二次函数存在性问题

专题1 二次函数存在性问题 题型 1 四边形存在性问题 题型：平行四边形存在性 【例1】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）点在坐标平面内，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边且面积为12的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2】 如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？不存在，则说明理由；若存在，请求出点的坐标． 题型：菱形存在性 【例3】 如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标； （3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． ​ 【例4】 如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，直线是抛物线的对称轴，直线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点在直线上，且，点，是抛物线上的动点，点在点的左侧，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5】 平面直角坐标系中，已知抛物线过、两点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将该抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点是抛物线与原抛物线的对称轴的交点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型：矩形存在性 【例6】 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例7】 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若是第一象限抛物线上的一个动点，连接，，当四边形的面积最大时，求点的坐标，此时四边形的最大面积是多少； （3）点在直线上，点在平面内，当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的坐标． 题型2 特殊角存在性问题 【例8】 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求抛物线解析式； （2）若为抛物线上第一象限内一点，为抛物线的顶点，且满足，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例9】 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，两点，与轴交于点，其中，连结． （1）求点的坐标及此抛物线的表达式； （2）点为轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度； （3）当和时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出的取值范围． 【例10】 如图，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，，顶点，对称轴交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线与对称轴形成的夹角为，动点在对称轴上运动且位于点下方时，是否存在和相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【例11】 如图，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【例12】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，连接，点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式： （2）若是上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； （3）是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例13】 如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，若，求点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲答案 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）点在坐标平面内，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边且面积为12的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）对于， 令．则． ， 令．则， 解得：或6， ，； 故点、、的坐标分别为：、、； （2）存在，理由： ， ， 如图： 设以、、、为顶点组成的平行四边形的面积为， 则， ， 当 时 ； 当 时 ； 故点的坐标为或． 2．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？不存在，则说明理由；若存在，请求出点的坐标． 【解答】解：（1）把代入得：， 解得：． 这个抛物线的解析式为：； （2）抛物线的解析式为：， ，对称轴为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， 轴， ，则， 由题意得，当点在对称轴右侧时，矩形的周长最大， 矩形的周长 ， 当时，矩形周长的最大值56， 此时点的坐标为； （3）存在，点的坐标为或或．理由如下： 设，， 分三种情况： ①当为对角线时，如图1， ，， ，解得， ， 点的坐标为； ②当为平行四边形的边，为对角线时， ，， ， 解得： ， 点的坐标为； ③当为平行四边形的边，为对角线时， ，解得， ， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或或． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标； （3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． ​ 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝3， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 故点P作y轴的平行线交CB于点H， 设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3）， 则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤， 即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）； （3）存在，理由： ∵B（3，0），C（0，3）， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴对称轴为：x＝1， 设点M（1，t），N（x，y）， 若BC为菱形的边长，菱形BCMN， 则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2， 解得：t1＝+3，t2＝﹣+3， ， ∴x＝4，y＝t﹣3， ∴N1（4，），N2（4，﹣）； 若BC为菱形的边长，菱形BCNM， 则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2， 解得：t3＝，t4＝﹣， ， ∴x＝﹣2，y＝3+t， ∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）； 即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）． 4．如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，直线是抛物线的对称轴，直线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点在直线上，且，点，是抛物线上的动点，点在点的左侧，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把点，代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）将抛物线化为顶点式为：， 点在直线上， 垂直于轴， 以点、、、为顶点的四边形是菱形， ①当为边时，要使，即轴， 点、是抛物线上的动点，点在点的左侧， 此时不存在、使得以点、、、顶点的四边形是菱形， ②当为对角线时， ．点在轴上方时，过的中点作轴的平行线，与抛物线的交点分别是、． ， ，即， ，解得，， ，， ⅱ．点在轴下方时，过的中点作轴的平行线，与抛物 线的交点分别是、， ， ， 解得，， ，， 综上，存在点、使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点、的坐标分别是、或、． 5．平面直角坐标系中，已知抛物线过、两点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将该抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点是抛物线与原抛物线的对称轴的交点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线过、两点， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形． ， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 将抛物线向右平移2个单位得到抛物线的解析式为，对称轴为轴， ， 点为抛物线对称轴上的一点，点是平面直角坐标系中一点， 设，， 点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， 有以下两种情况： ①当、为菱形的对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：或， 或； ②当、为菱形的对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：或， 或； 综上所述，存在点，使以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， 符合条件的点的坐标为或或或． 6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：存在． 理由如下： 当时，， 解得，， ，， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 当四边形为矩形时，， 的解析式为， 解方程组得或， 点坐标为，， 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，即，； 当四边形为矩形时，， 设的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组得或， 点坐标为，， 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，即，； 综上所述，点的坐标为，或，． 7．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若是第一象限抛物线上的一个动点，连接，，当四边形的面积最大时，求点的坐标，此时四边形的最大面积是多少； （3）点在直线上，点在平面内，当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的坐标． 【解答】解：（1），在二次函数的图象上， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）连接，如图： 当时，， 解得：，， 点的坐标为， ， 设点的坐标为，， ， ， 当时，取最大值，最大值为12， 此时的坐标为， 点的坐标为时，四边形的最大面积是12； （3）设，， 又，， ①当，为对角线时，，的中点重合，且， ， 解得：或， 或； ②当，为对角线时，，的中点重合，且， ， 解得：， ； ③当，为对角线时，，的中点重合，且， ， 解得：， ； 综上所述，的坐标为或或或． 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求抛物线解析式； （2）若为抛物线上第一象限内一点，为抛物线的顶点，且满足，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线经过点，， ， 解得：， 该抛物线解析式为； （2）设抛物线的对称轴交轴于点，过点作轴于点，如图1， ， 抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为， ， ， ，， ， ， ， ， 令， 解得：，， 点在第一象限， ； （3）抛物线上存在点，使． 设，如图2，过点作于，过点作轴，过点作于，过点作于， 则， 设直线的解析式为，把、分别代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 解得：（不符合题意，舍去），， 当时，， 点的坐标为，． 9．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，两点，与轴交于点，其中，连结． （1）求点的坐标及此抛物线的表达式； （2）点为轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度； （3）当和时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出的取值范围． 【解答】解：（1）对称轴为直线， ， ， 抛物线 与轴交于点，代入得： ， 抛物线的解析式为， 由抛物线的表达式知，点； （2），， 是等腰直角三角形， 则， 直线和直线的夹角为， 或， 在中，， ， 当 时，如图1所示： ， 则， 则； 当 时，如图2所示： ， ， 的长度为 或； （3）当和在对称轴两侧时， 此时，抛物线在时，取得最小值， 当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，的值为最大值， 此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值， 此时， 即，函数的最大值与最小值的差是一个定值． 10．如图，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，，顶点，对称轴交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线与对称轴形成的夹角为，动点在对称轴上运动且位于点下方时，是否存在和相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由顶点设， ， ，代入得：， 解得：， 抛物线对应二次函数的表达式为：． （2）存在点，使得和相似，如图： 连接，设， ， ， 由题知，， ，， 为等腰直角三角形， ，， ，， ①当时， ， 解得， ， ②当时， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或． 11．如图，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由已知得， ， ． （2）作于，于． 当时， ， 点坐标为． 设解析式为：， ， 解得． ． ， ． 于，于， ， ， 设点坐标为， 点坐标为， 点坐标为，， 点坐标为，． 点在抛物线上， ， ， ． 点坐标为． （3）作过、、三点的圆，连接，，，作于， ， ， ，， 又， ， 点坐标为， ， ， 设点坐标为， ，， ， ． ， ，（不合题意舍去），． ， ， ，， 点坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，连接，点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式： （2）若是上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； （3）是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）与轴交于点， 令，， ， ， ， ，，， 把，，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式：； （2）设直线的解析式为， 把，，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设过点作于，如图所示： ， ， ， ， 时，面积有最大值，最大值为；4 （3）存在， ，或，， ①如图所示：①当在上方，过点作轴于点，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， 设， ， ， 过点作轴于，过点作轴于， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 解得， ，； ②当在下方， 由①得，， ， ， ， ，， 设直线的解析式：， 把，，，代入得， 解得， ， 联立方程组， 解得（舍去）或， ，， 综上所述：，或，， 是存在这样的点． 13．如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，若，求点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将，两点代入， ， 解得， ； （2）令，则， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得或， 或； （3）存在点，使得，理由如下： ， 抛物线的对称轴为， 在对称轴上取点使， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ，； 点关于轴对称的点为，； 综上所述：点的坐标为，或，． 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