第三节 等可能事件的概率第3课时 教学设计 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第三节 等可能事件的概率第3课时 教学设计 一、教学内容和内容解析 （一）教学内容 教材第75～76页，等可能事件的概率（第3课时） （二）教学内容解析 从教材地位来看，前两课时学生已初步认识了随机事件、必然事件、不可能事件等概念，以及简单的概率计算方法。第三课时在此基础上进一步深入，是对概率知识的深化和拓展，为后续学习更复杂的概率模型和统计方法奠定基础。 在内容结构上，这一课时重点聚焦于利用频率估计概率。通过大量重复试验，让学生观察并记录事件发生的频率，进而发现当试验次数足够多时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可作为该事件发生概率的估计值。教材会安排丰富的实际案例，如抛硬币试验、掷骰子试验等，让学生亲身体验和操作，从数据收集、整理到分析，逐步理解频率与概率之间的关系。 二、课程标准内容要求 1.会用数学的眼光观察现实世界 会用数学的眼光观察现实世界 观察随机现象：引导学生观察生活中与面积概率相关的随机现象，如商场抽奖转盘、小球在不同颜色区域的滚动等，让学生理解这些现象的不确定性以及概率在其中的体现，感受概率在现实生活中的普遍性。 理解随机事件：通过具体实例，如分析指针落在转盘某一颜色区域、小球停在地板某颜色方砖上等事件，帮助学生明确这些与面积有关的随机事件的特点，能准确判断必然事件、不可能事件和随机事件。 2.会用数学的思维思考现实世界 运用逻辑思维分析随机现象：引导学生运用逻辑思维分析与面积有关的随机现象背后的规律。比如在分析转盘指针指向不同区域的概率时，要能根据区域面积大小来判断指针落在该区域可能性的大小，理解等可能事件在与面积相关情境中的应用。 理解频率与概率的关系：在与面积有关的概率问题中，通过大量重复试验，如多次转动转盘观察指针落在某区域的情况，让学生记录并分析频率，理解频率的波动性和稳定性，进而理解频率与概率的关系，把握概率的本质特征。 运用概率知识解决实际问题：鼓励学生运用与面积有关的概率知识解决实际问题，如计算在某个不规则图形区域内投中目标的概率、根据房间地砖颜色分布计算小球停在特定颜色地砖上的概率等，培养学生的数学建模能力和问题解决能力。 3.会用数学的语言表达现实世界 用数学符号表达概率：要求学生能用数学符号表达与面积有关的概率问题。例如，用表示事件（如指针落在某特定颜色区域、小球停在黑色方砖上）发生的概率，能根据面积关系写出相应的概率表达式。 用数学语言描述随机现象：引导学生用数学语言描述与面积相关的随机现象。比如，在描述转盘问题时，可以说 “指针落在红色区域的概率等于红色区域面积与转盘总面积的比值”，在描述小球在方砖上滚动问题时，能准确说出 “小球停在白色方砖上的概率是白色方砖面积之和与房间地面总面积的比” 等。 用数学模型解决实际问题：让学生学会建立与面积有关的概率数学模型来解决实际问题。例如，在设计抽奖活动的转盘时，能根据奖品设置和中奖概率要求，通过计算面积比来合理划分转盘区域；在规划城市绿地分布时，能根据不同区域的功能需求和概率期望，利用面积概率模型进行合理布局等，培养学生的数学应用意识和创新能力。 三、教学目标和目标解析 （一）教学目标 1. 数学抽象 能够从实际生活中的抽奖、转盘游戏等具体情境中，抽象出与面积有关的概率模型。例如，在商场抽奖活动中，面对不同奖项区域分布在转盘上的情况，学生可以忽略抽奖的具体场景细节，如商场的环境、参与抽奖的人群等，将其简化为一个几何图形（转盘），并明确不同颜色区域（代表不同奖项）与整个转盘面积之间的关系，从而抽象出概率计算的数学模型。 2. 逻辑推理 在理解与面积相关概率的基本概念和原理的基础上，学生能够运用逻辑推理来分析和解决问题。例如，已知一个转盘被等分成若干个扇形，每个扇形的面积不同，当给定指针落在某个区域的概率条件时，学生能够通过逻辑推理，判断出该区域扇形面积与总面积的关系，进而解决诸如计算该区域扇形圆心角度数等问题。在解决实际问题时，学生能够根据已知条件，有条理地进行推理，逐步得出结论。 3. 数学运算 熟练掌握与面积相关的概率计算公式，即某事件发生的概率等于该事件发生的所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果所组成的图形的总面积的比值。能够准确计算各种几何图形的面积，如三角形、矩形、圆形等，并运用这些面积计算结果进行概率运算。例如，在计算一个圆形转盘中某扇形区域的概率时，学生可以先根据圆的面积公式和扇形圆心角的度数，准确计算出扇形面积，再除以圆的总面积得出概率。同时，在进行概率运算过程中，学生能够正确处理分数、小数等运算形式，保证计算结果的准确性。 4. 直观想象 借助转盘、几何图形等直观教具和图形，培养学生的空间观念和几何直观能力。在解决指针落在不同区域概率的问题时，学生能够在脑海中构建出转盘转动的动态画面，以及不同颜色区域在转盘上的分布情况。当遇到复杂的几何图形概率问题时，学生可以通过直观想象，将图形进行分割、拼接等操作，从而找到解决问题的思路。比如，对于一个不规则图形中某部分区域的概率计算，学生可以想象将其转化为规则图形的组合，进而进行面积计算和概率求解。 5. 数学建模 引导学生学会将实际问题转化为数学模型，建立与面积相关的概率模型来解决生活中的实际问题。例如，在设计抽奖活动方案时，学生可以根据活动的预算、预期的中奖人数和奖品价值等因素，构建一个基于面积概率的抽奖模型，确定不同奖项区域在转盘上的面积大小和分布情况。通过这样的实践活动，学生不仅能够掌握数学建模的方法，还能体会到数学在实际生活中的广泛应用。 （二）目标解析 《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出： 目标1的要求是：引导学生从实际生活中涉及面积的概率问题里，抽象出面积性概率的概念，比如从飞镖盘、转盘抽奖等实例中，提炼出通过事件所占面积与总面积的比值来计算概率这一数学模型，使学生理解概率的本质可以通过面积的比例关系来体现，培养学生从具体情境中抽象出数学概念和规律的能力。 目标2的要求是：在讲解面积性概率的计算方法和相关原理时，帮助学生依据已知的概率公理和规则，从特殊的面积概率例子推理到一般情况，比如从简单的正方形区域内事件概率计算，推理到任意多边形区域。同时，引导学生通过分析事件发生的条件和几何图形的关系，判断不同事件发生概率的大小，提升逻辑推理能力。 目标3的要求是：学生需要深刻理解通过几何图形面积来计算概率的原理。即某事件发生的概率等于该事件发生的所有可能结果所组成图形的面积，与所有可能结果所组成图形的总面积的比值。例如，在一个被等分成若干扇形的转盘中，指针落在某一特定颜色扇形区域的概率，就等于该颜色扇形的面积与整个转盘面积的比。这要求学生熟练掌握各种几何图形面积的计算方法，如三角形、矩形、圆形等。只有准确计算出相关图形的面积，才能正确得出概率值，这是数学运算的基础环节。 目标4的要求是：帮助学生从具体的图形表象逐步深入理解抽象的概率概念，搭建起从形象思维到抽象思维过渡的桥梁。让学生在面对概率问题时，不再仅仅依赖公式计算，而是能通过直观的图形想象去分析问题、找到解决思路，培养了学生的空间观念、几何直观能力，为后续学习更复杂的概率知识以及其他数学内容奠定坚实的思维基础 。 目标5的要求是：让学生学会将生活中的实际问题，如射箭射中不同区域得分的概率、洒水车洒水覆盖区域的概率等，转化为数学中的面积性概率模型。通过确定事件对应的几何图形、计算面积并得出概率的过程，掌握用数学方法构建模型解决实际问题的步骤，体会数学建模在解决实际问题中的重要性。 四、学生学情分析 学生基础情况 知识掌握：学生在之前的学习中已经对随机事件、必然事件、不可能事件等概念有了一定的了解，知道事件发生的可能性是有大小的，能对一些简单事件发生的可能性大小进行定性描述。学习了用频率估计概率的方法，通过大量重复试验，了解了频率的稳定性，知道当试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 技能水平：学生具备了一定的观察、分析和归纳能力，能够从简单的实例中发现规律，并进行初步的归纳总结。在之前的学习过程中，通过对一些数据的收集、整理和分析，锻炼了数据处理能力。具有一定的逻辑思维能力，能够进行简单的推理和判断，但逻辑思维还不够严谨和完善，在解决复杂问题时可能会出现思维混乱的情况。 学生学习难点 1.概念理解方面 频率与概率的区别和联系：学生容易混淆频率和概率的概念。频率是在多次重复试验中，某一事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有随机性，会随着试验次数的不同而有所变化。而概率是事件在大量重复试验下发生的可能性大小的稳定值，是一个确定的常数。学生可能难以理解为什么频率可以用来估计概率，以及频率在什么情况下会趋近于概率。 对大量重复试验的理解：学生可能难以理解 “大量重复试验” 的意义。在实际教学中，由于时间和条件限制，无法进行真正意义上的大量试验，学生只能通过有限次的试验来感受频率的稳定性，这可能导致他们对 “当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近” 这一结论缺乏直观的理解和深刻的认识。 2.知识应用方面 用频率估计概率的条件判断：学生在判断何时可以用频率来估计概率时可能会出现困难。并不是所有的试验都可以用频率来估计概率，需要满足试验是在相同条件下进行的，且试验次数足够多等条件。学生可能会忽略这些条件，在不满足条件的情况下盲目地用频率来估计概率。 利用频率估计概率解决实际问题：将实际问题转化为用频率估计概率的数学模型对学生来说有一定难度。他们需要从实际情境中抽象出相关的事件和试验，确定如何通过收集数据、计算频率来估计概率，进而解决问题。例如，在分析产品质量抽检、抽奖等实际问题时，学生可能不知道如何确定试验次数、如何统计事件发生的频率。 数据处理与分析：在进行试验收集数据后，学生需要对数据进行整理、分析和计算频率。这涉及到数据的统计和处理技能，一些学生可能在数据处理方面存在困难，如计算错误、不会绘制频率分布图表等，从而影响对频率稳定性的观察和对概率的估计。 3.思维层面 随机观念的建立：概率问题具有随机性和不确定性，与学生以往学习的确定性数学知识有很大不同。学生习惯了确定性的思维方式，对于随机事件的结果不可预测性以及频率的波动性等概念，可能在思维上难以适应，难以建立起正确的随机观念。 归纳推理能力的要求：从有限次试验的频率数据归纳出概率的估计值，需要学生具备一定的归纳推理能力。学生要能够观察频率的变化趋势，分析数据的规律，从而得出合理的结论。这对于七年级的学生来说，在思维能力上是一个挑战，他们可能不善于从数据中归纳出一般性的结论。 学生学习需求 1.知识理解需求 期望清晰理解用频率估计概率的原理，明白为何在大量重复试验时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就能作为概率的估计值。 对于不同试验场景下如何准确判断频率与概率的关系存在疑惑，例如在抛硬币、摸球等简单试验以及更复杂的生活实际问题中，如何分析频率数据并得出合理的概率估计。 2.技能掌握需求 希望熟练掌握通过设计试验并记录数据，计算频率从而估计概率的方法。包括如何合理确定试验次数、怎样准确记录试验结果，以及运用统计图表（如频率分布直方图）直观展示频率变化情况。 学会利用概率知识解决实际问题，如根据某事件发生的频率估计概率，进而预测未来事件发生的可能性，像预测彩票中奖概率、产品合格率等。 3.学习兴趣激发需求 渴望接触更多有趣且贴近生活的概率实例，如抽奖活动、体育赛事中的胜率分析等，以增强对概率知识的学习兴趣和应用意识。 希望通过小组合作试验、数学游戏等多样化的学习方式，在实践中感受概率的魅力，提高学习积极性和参与度。 六、教学重难点 （一）重点：了解概率的大小与面积的关系，掌握与面积有关的概率计算方法。 （二）难点：能结合游戏公平的原则，以及与面积相关的概率的特点设计符合要求的简单概率模型。 七、教学过程 教学流程 活动一：创设情境，新课导入 【情境导入】 如图是某商店为电话手表的打折活动所做的转盘，你以几折买下电话手表的概率大？为什么会有这种感觉？ 以七折买下电话手表的概率大。因为“七折”的面积比“五折”的面积大，所以转到“七折”的可能性更大。 设计意图：引入转盘问题，为探究与面积有关的概率问题做铺垫。 活动二：交流合作，探究新知 探究点 与转盘有关的概率 问题1 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像图那样涂上颜色。商场规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券。 （1）自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有多少种？这些结果是等可能的吗？ （2）某顾客购物消费120元，获得一次转动转盘的机会。他获得100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？他能获得购物券的概率是多少？ 思考 你觉得获得每种购物券的概率大小与什么有关？ 与每种颜色区域所占扇形面积大小有关，其所占扇形面积越大，获得购物券的概率越大。 （1）共有20种。是等可能的。 (2)由（1）知转盘被等分成20个扇形，其中1个是红色、2个是黄色、4个是绿色，因此，对于该顾客来说，P（获得100元购物券）=，P（获得50元购物券）=，P（获得20元购物券）=，P（获得购物券）=。 问题2 如图是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红 色区域和白色区域的概率分别是多少？我们看看小颖是怎么做的。 你认为小颖的做法有道理吗？ 小颖的做法有道理。 问题3 下图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针 落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 把白色区域等分成25份，红色区域等分成11份，这样转盘被等分成36个扇形区域，其中11个是红色，25个是白色，所以P(落在红色区域)=，P(落在白色区域)=。 问题4 求等可能事件的概率时有什么需要注意的事项？你积累了哪些经验？ 需要注意确定运用概率公式时，每一种情况都是等可能发生的，如果可能性不同，需要利用类似上述等分转盘面积的方法化成每一种情况等可能发生的概率模型，再利用公式求解。 【对应训练】 教材P76随堂练习第1，2题。 设计意图：引入可化为古典概型的与面积有关的概率的计算方法，了解如何把转盘中非等可能发生的情况转化为等可能发生的情况。 活动三：发散思维，演练提升 例 如图是一个可以自由转动的转盘，它被等分成6个扇形。请在转盘上涂上适当的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动后，分别满足以下的条件： (1)指针指向红色区域的概率大于指向蓝色区域的概率； (2)指针指向红色区域的概率为。 解：(1)答案不唯一，如图①所示。 (2)答案不唯一，如图②所示。 【对应训练】 如图①是没有涂色且可以自由转动的转盘，该转盘被分成6个相等的扇形区域。 (1)请你在转盘的适当地方涂上不同的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动后，指针落在涂有颜色的区域的概率是。 (2)如果利用你涂好颜色的转盘来决定甲、乙两位同学谁今天值日，你认为公平吗?若认为公平，请简要说明理由；若认为不公平，请提出公平合理的涂色方案。 (答案不唯一)。如：（1）如图②所示。 （1） 不公平，因为概率不相等。建议平均分成两份，分别涂色即可。 设计意图:使学生经历设计转盘游戏的过程，巩固本节课所学。 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.如何计算类似转盘游戏这类与面积有关的概率？ 2.你可以把面积问题中可能性不同的情况转化为可能性相同的情况吗？能根据面积相关的概率的特点设计符合要求的简单概率模型吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P78～79习题3.3第7，8，12，14题。 2.相应课时训练。 八、板书设计 第3课时 与转盘有关的概率 九、教学反思 （一）课前反思 从教学目标来看，本课时旨在让学生进一步理解等可能事件的概率，学会运用概率公式解决较复杂的实际问题。回顾过往教学经验，部分学生在理解概率概念时容易出现混淆，这可能是由于实际问题情境的复杂性导致他们难以准确判断事件是否等可能。因此，在教学中要更注重通过简单直观的例子引入，逐步引导学生理解复杂概念。 教学内容方面，教材中提供的案例对于部分基础薄弱的学生来说可能有一定难度。考虑到这一点，在备课过程中，需要补充更多贴近学生生活、难度适中的案例，帮助学生更好地将理论知识与实际应用相结合。例如，以抽奖、掷骰子等常见活动为例，让学生更容易理解和计算概率。 在教学方法上，以往单纯的讲授法难以充分调动学生的积极性和主动性。所以这节课计划采用小组合作探究的方式，让学生在讨论和交流中深化对概率知识的理解。同时，借助多媒体辅助教学，通过动画演示等方式，直观展示概率问题的解决过程，降低学生的理解难度。 （二）课后反思 从教学目标达成来看，大部分学生能够理解并运用本节课所学的概率知识解决简单问题，教学目标基本达成。在讲解概率公式的推导过程中，通过引入生活中的实际例子，如抽奖、掷骰子等，帮助学生直观地感受概率的概念，学生表现出较高的兴趣，积极参与课堂讨论和互动。 然而，教学过程中也存在一些不足之处。在课堂练习环节，发现部分学生对概率公式的应用不够熟练，尤其是在处理一些较为复杂的问题时，容易混淆概念。这可能是由于练习的题目类型不够丰富，没有充分考虑到学生的个体差异。另外，在时间把控上也存在一定问题，导致最后的拓展延伸环节较为仓促，未能充分引导学生深入思考。 - 23 - 学科网（北京）股份有限公司 $$