精品解析：广东省 佛山市萌茵实验学校 2024—2025 学年下学期 八年级数学学科第一学月综合素养跟踪试卷

佛山市萌茵实验学校2024-2025学年第二学期 八年级数学学科第一学月综合素养跟踪试卷 说明：本试卷共4页，23题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10道小题，每题3分，共30分） 1. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，8，15 D. 5，12，17 2. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形一个底角等于，则它的顶角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 4. 若，下列不等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形内角和为 B. 内错角相等 C. 垂直线最短 D. 同位角相等 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A 2 B. 6 C. 9 D. 15 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别平分和，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知为等边三角形，则______． 12. 在中，一个锐角，则另一个锐角为________度． 13. 已知a，b，c是的三边长，且，，，则的最大内角的度数为______． 14. 等腰三角形的腰长为5，底边长为9，则它的周长为_______________ 15. 如图，在中，，，线段垂直平分线交于点，则的周长为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 17. 如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 18. 如图，已知是等边三角形，D是的中点，延长到，使，，求的长度． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，． 【实践与操作】（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 【应用与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 20. 如图，是的角平分线，在上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 21. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 五、解答题（二）（本大题共2小题，每小12分，共24分） 22. 已知：如图，在中，是边的中点，，，点为垂足， （1）______，______， （2）求证：； （3）是等边三角形吗？如果是，请写出证明过程，如果不是，请说明理由． 23. 【问题情境】在学完等边三角形后，老师拿了两个大小不一样的等边三角形，让同学们开展了摆放活动，如图1，和都是等边三角形， （1）【问题初探】证明：； （2）【深入探究】若点不共线，，求的长度； （3）【拓广探究】若点共线（如图2）且和边长分别为2和4，请直接写出长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 佛山市萌茵实验学校2024-2025学年第二学期 八年级数学学科第一学月综合素养跟踪试卷 说明：本试卷共4页，23题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10道小题，每题3分，共30分） 1. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，8，15 D. 5，12，17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，， ， 不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B．，， ， 能构成直角三角形，故选项不符合题意； C．， 不能构成三角形，故选项不符合题意； D．， 不能构成三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意； 、不等式不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式未知数最高次数是2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、是多项式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 等腰三角形一个底角等于，则它的顶角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．根据角是底角，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为即可解答． 【详解】解：∵角是底角， 顶角为， 故选：B． 4. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．根据不等式的性质求解即可．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．， ∴，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ，故本选项符合题意； D．， ，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形内角和为 B. 内错角相等 C. 垂直线最短 D. 同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等，内错角相等”，“三角形的内角和是”，“垂线段最短”，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、三角形的内角和是，故原说法正确，符合题意； B、两直线平行，内错角相等，故原说法错误，不符合题意； C、垂线段最短，故原说法错误，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集在数轴上表示的方法，根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左，求解即可． 【详解】解：可知解集在数轴上表示为： 故选：C． 7. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A. 2 B. 6 C. 9 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD=2，可求得其周长． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∵AB＝5，BD＝3， ∴AD＝AB﹣BD＝2， ∴△ADE的周长为6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，由条件证明△ADE是等边三角形是解题的关键． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】分析： 过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，这样结合“角平分线性质”和已知条件求出DE的长度即可. 详解： 如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短， ∵∠C=90°， ∴DC⊥BC， 又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3， ∴DE=DC=3， ∴DQ最小=3. 故选C. 点睛：作出如图所示的辅助线，熟知：“垂线段最短”和“角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答本题的关键. 9. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵，点在同一水平线上， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，分别平分和，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用三角形内角和定理进行等量转化是解题的关键．根据角平分线的定义可知，；再根据三角形的内角和定理求出，进而得到，再利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知为等边三角形，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质，根据等边三角形三个内角都是即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ， 故答案为：． 12. 在中，一个锐角为，则另一个锐角为________度． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中两锐角互余． 根据在直角三角形中两锐角互余求解即可． 【详解】解：另一个锐角为：． 故答案为：65． 13. 已知a，b，c是的三边长，且，，，则的最大内角的度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴最大内角的度数为． 故答案为：． 14. 等腰三角形的腰长为5，底边长为9，则它的周长为_______________ 【答案】19 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，即可完成解答. 【详解】解：周长为：9+5×2=19 故答案为19. 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据定义确定各边的长是解答本题的关键. 15. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，则的周长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质应用，准确计算是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N， ∴， ∵的周长， ∴的周长． 故答案为：7． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法是解题的关键． 按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 17. 如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 18. 如图，已知是等边三角形，D是的中点，延长到，使，，求的长度． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得到，，，求出，，进而求解即可． 【详解】∵等边三角形，D是的中点， ∴， ∴ ∴ ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，． 【实践与操作】（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 【应用与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质． （1）根据题意作出作边的垂直平分线，与，分别相交于点，即可； （2）由于是的垂直平分线，得到，根据等腰三角形的性质得到，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，是的角平分线，在上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）35° 【解析】 【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证； （2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解． 【详解】解：（1）平分， ． ， ， ， ． （2），， ． ． ． 平分， ， 即． 【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握． 21. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 小问1详解】 ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（二）（本大题共2小题，每小12分，共24分） 22. 已知：如图，在中，是边的中点，，，点为垂足， （1）______，______， （2）求证：； （3）是等边三角形吗？如果是，请写出证明过程，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）是等边三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，解答本题的关键是熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，即可解答； （2）利用即可证明； （3）由，进而得到，由（1）得，求出，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：， ， 又，， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由（1）得， 是边的中点， ， ，， ． 在和中， ∵， ． 【小问3详解】 解：是等边三角形，理由如下： 由（2）得，， ， 由（1）得， ， ， 是等边三角形． 23. 【问题情境】在学完等边三角形后，老师拿了两个大小不一样的等边三角形，让同学们开展了摆放活动，如图1，和都是等边三角形， （1）【问题初探】证明：； （2）【深入探究】若点不共线，，求的长度； （3）【拓广探究】若点共线（如图2）且和边长分别为2和4，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）依据等式的性质可证明，然后依据可证明； （2）由（1）知：，利用勾股定理计算的长，可得的长； （3）取的中点M，连接，证明为等边三角形，求出，再求出，得到，利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取的中点M，连接， ∵和都是等边三角形，且和边长分别为2和4， ∴，， ∴， ∵点共线， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$