精品解析：江苏省南京市田家炳高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性测试数学试题

南京田家炳高级中学高一3月阶段性测试数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若与垂直，则 （ ） A. 13 B. C. 11 D. 3. 设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 且 4. 在中，已知，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 5. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为4的正三角形，D，P是内的两点，且满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 对于非零向量，下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上单调 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 11. 正六角星形是人们普遍知道的犹太人标志，凡是犹太人所到之处，都可看到这种标志.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图一）.如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（ ） A. 向量，夹角为120° B 若，则 C. D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不共线的两个平面向量，已知，．若 三点共线，则实数k的值为________． 13. 已知，则______. 14. 在菱形中，，且，则的余弦值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知，，夹角是60°，计算 （1）计算，； （2）求和的夹角的余弦值. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 已知是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量． 18. 如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点. （1）若是线段的中点，，求的值； （2）若，求最小值. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京田家炳高级中学高一3月阶段性测试数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：B. 2. 已知向量，若与垂直，则 （ ） A. 13 B. C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，所以， 若与垂直，则，解得：. 故选：A. 3. 设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案. 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 4. 在中，已知，那么一定是（ ） A 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 即， 所以， 所以，即， 所以或（舍）， 即. 所以一定是等腰三角形. 故选：B 5. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接计算. 【详解】 由已知对角线与交于点，， 则， 所以， 故选：A. 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案. 【详解】因为，，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 故选：C. 7. 已知是边长为4的正三角形，D，P是内的两点，且满足，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求得点的位置，判断三角形是直角三角形，由此计算出的面积. 【详解】取BC的中点E，连接AE，因为是边长为4的正三角形， 所以AE⊥BC，)，， 又)，所以点D是AE的中点，AD=. 取，则，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知，. 则是直角三角形，，所以的面积为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量加法、数乘的运算，属于中档题. 8. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦公式化简已知式，再分子分母同时除以，化简即可得出答案. 【详解】因为，则， 再分子分母同时除以可得：， 即，所以. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可. 【详解】A. 若，则,故错误； B. 若，则，所以成立，故正确； C. 当为零向量时，满足，但是推不出，故错误； D. 若，则，可得， 整理即可得到，故正确； 故选：BD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上单调 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式将化简，然后对应的性质来判断各个选项即可． 【详解】因为 ， 所以的最小正周期，故A正确； 因为，所以不是的对称轴，故B错误， 由于，则， 所以在上单调递减，C正确； 将的图象向左平移个单位后得到， 因为为偶函数，其图象不关于原点对称，故D错误． 故选：AC． 11. 正六角星形是人们普遍知道的犹太人标志，凡是犹太人所到之处，都可看到这种标志.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图一）.如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（ ） A. 向量，的夹角为120° B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正三角形的性质结合向量运算法则即可判定. 【详解】根据正三角形中心的性质可得=选项正确； C：由平行四边形法则可知，， 则 D：由平行四边形法则可知，若以，为基底分解，若，则ABC三点共线，与题矛盾，所以该选项错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不共线的两个平面向量，已知，．若 三点共线，则实数k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由三点共线可得，由条件列出方程组，求解即得. 【详解】因三点共线，则存在，满足， 即，因是不共线的两个平面向量， 故可得，解得. 故答案为：. 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，求得，即可求解. 【详解】由， 可得，所以. 故答案为：. 14. 在菱形中，，且，则的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用坐标法求向量夹角余弦值. 【详解】在菱形中，设交于点O， 分别以所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 由，则， 由，知B为AE的中点，所以， 则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知，，的夹角是60°，计算 （1）计算，； （2）求和的夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出； （2）先求出，根据向量夹角关系即可求出. 【小问1详解】 由题可得， ，所以； 【小问2详解】 ， 设和的夹角为， 所以. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由值求值，即可求出； （2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值. 【小问1详解】 由，可得， . 【小问2详解】 由 ，可得， 又， ， ， 由，可得 17. 已知是同一平面内三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出的坐标，根据已知条件解方程，从而求得. （2）根据向量垂直列方程，化简求得，从而求得在方向上的投影向量． 【小问1详解】 设，则，解得或， 所以或. 【小问2详解】 ∵与垂直，∴, ∴, ∴在方向上的投影向量为． 18. 如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点. （1）若是线段的中点，，求的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）因为是线段的中点， 所以 ， 故. （2） 故； 设，则， 为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即时，. 所以的最小值为. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $