精品解析：广西壮族自治区南宁市第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

南宁二中2024-2025学年度下学期高一3月月考 数学 （时间120分钟，共150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数，的图象形状大致是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 11. 设函数，则下列说法正确是（ ） A. 若，则或 B. 若函数有3个不同零点，则实数的取值范围为 C. 若函数有3个零点，，，则的取值范围为 D. 对任意，函数在内无最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则与的夹角为_______． 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______ 14. 已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的值域. 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求证：； （2）求角最大值． 18. 已知函数满足. （1）当时，解不等式； （2）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 19. 经研究，函数为奇函数充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. （1）已知函数，且，求的值； （2）证明：函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁二中2024-2025学年度下学期高一3月月考 数学 （时间120分钟，共150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，，则. 故选：C． 2. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可代入求值. 【详解】扇形的半径，所以扇形的面积为， 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】弦化切后代入计算． 【详解】因为， 所以， 故选：C． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的性质比较大小关系，即可得答案. 【详解】由，即. 故选：C 6. 函数，的图象形状大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B. 【详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项. 故选：D 7. 已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用重心性质以及平面向量共线定理可得，再由基本不等式计算可得结果. 【详解】如图，取中点，则， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 即的最小值是. 故选：B 8. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得. 【详解】因为， 可得是等边三角形，则千米. 记直线与直线的交点为， 所以,为的中点， 所以为等腰三角形， 所以千米. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量模公式计算可判断A；由向量平行的坐标表示可判断B；由向量垂直的坐标表示可判断C；根据向量模公式计算可判断D. 【详解】因为，所以不平行，B错误； 因为，所以，C正确； 因为，所以， 又，所以，A正确，D错误. 故选：AC 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于：由函数的图象，可得，且， 所以，又，所以，所以， 又由， 则，，可得，， 因为，可得，所以，故正确； 对于：因为， 所以点是函数的图象的对称中心，故正确； 对于：当，则，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故错误； 对于：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到为偶函数，故正确. 故选：ABD. 11. 设函数，则下列说法正确是（ ） A. 若，则或 B. 若函数有3个不同零点，则实数的取值范围为 C. 若函数有3个零点，，，则的取值范围为 D. 对任意，函数在内无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由分段讨论代入求解即可判断；对于B，由需有一个零点，同时 方程需有两个不等的小于1的实根， 即可判断；对于C，由题意得到，构造函数，确定单调性即可判断；对于D，分别讨论时，二次函数的最小值及时，的最小值，进而可判断； 【详解】对于中，若，， 解得（舍去），若，则，解得， 因此，若，则或，可判定正确； 对于中，令，当时，可得， 若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，可得，若函数有3个零点， 则需有两个不等的小于1的实根，则满足，解得， 所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以正确. 对于中，设函数的3个零点分别是， 则，可得， 令，则在上单调递减，所以， 即的取值范围是，所以C错误； 对于中，当时，函数是开口向下的二次函数，， 对称轴是， 当时，函数在单调递减，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以， 因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在单调递减，在没有最小值， ， 当时，函数单调递增，所以， 因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以， 因为，所以，所以在内无最小值，所以正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则与的夹角为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及向量的夹角公式求夹角的余弦值，进而确定角的大小. 【详解】设与的夹角为，因为，，， 所以，因为， 所以，即与的夹角为． 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，内层函数在上为减函数，且，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数在上为减函数， 且函数在区间上单调递增， 所以，内层函数在上为减函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 【答案】3 【解析】 【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取的中点，连接，则，变形得到，当三点共线时，取得最大值，求出答案. 【详解】设圆的半径为，则，解得， 因为，所以， 取的中点，连接，则， 故， ， 当三点共线时，取得最大值，最大值为， 故的最大值为. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正弦公式及三角形内角性质求角的大小； （2）应用面积公式可得，进而有，余弦定理求得，即可得三角形周长. 【小问1详解】 由题设，又，则， 所以，则. 【小问2详解】 由题意，可得，又，则， 由余弦定理，有，则， 综上，的周长为. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到，由周期公式即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数图像性质即可求值域； 【小问1详解】 因为 所以函数的最小正周期为； 【小问2详解】 ，， ， 函数的值域为. 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求证：； （2）求角的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件进行化简，再通过正弦定理将边转化为角来证明等式； （2）在（1）基础上，结合余弦定理和基本不等式求出角的最大值. 【小问1详解】 因，又， 所以整理得， 由正弦定理可得：，得证. 【小问2详解】 由，，可得：， 又（当且仅当时取等号）， 所以， 因为，且在上单调递减，故， 当时，角取得最大值． 18. 已知函数满足. （1）当时，解不等式； （2）设，若对，函数在区间上最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）当，，由的单调性，即可求解； （2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，得， 解得. （2）当时，， ， ∴在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， ， 即 整理得对任意恒成立， ∵，∴函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， ∴时，有最小值. 由，得， 故的取值范围为. 【点睛】本题考查了对数函数的运算法则、单调性、不等式的解法，考查恒成立问题，转化为求二次函数最值，考查了推理能力和计算能力，属于较难题. 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. （1）已知函数，且，求的值； （2）证明：函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，从而的图象关于点对称，即可求解； （2）构造函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，通过变形可得，再利用题设定义，即可求解； （3）先假设的对称中心为，根据题设可得，，进而可得，即可求解. 【小问1详解】 令，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数的图象关于点对称， 则，则， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 令，则 易知的定义域为，定义域关于原点对称，又， 所以为奇函数，则函数图象的对称中心为. 【小问3详解】 假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，所以， 整理得到，所以，解得，， 所以函数有对称中心，则， 令， ， 相加得， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$