版块9 解析几何-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 九 解 几 题 1 斜 与倾斜角 母题263. 过点 A 2,1 , B m,3 的直线的倾斜角 α的范围是 π4 , 3π 4 ,则实数m的取值范围 是 母题264. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分 别为 题 2 直线的 关系 母题265. 直线 l1:ax+ 3y+ 1= 0,l2:2x+ a-1 y- 1= 0 ,若 l1⎳ l2 ,则 a的值为 母题266. 已知直线 l1:xsinα+ y- 1= 0 ,直线 l2:x- 3ycosα+ 1= 0 ,若 l1⊥ l2 ,则 sin2α= 题 3 对称问题 母题267. 点 (-2,0)关于直线 x- y+ 1= 0对称的点的坐标为 母题268. 已知直线 l1:2x- y+ 1= 0 ,直线 l2 与 l1 关于直线 l:y=-x对称,则直线 l2 的方程为 母题269. (1)已知两点 A 3,-3 , B 5,1 ,直线 l:y= x ,在直线 l上求一点 P ,使得 PA + PB  最小； (2)已知两点 A -3,3 , B 5,1 ,直线 l:y= x ,在直线 l上求一点 P ,使得 PA + PB  最小； (3)已知两点 A -3,3 , B 5,1 ,直线 l:y= x ,在直线 l上求一点 P ,使得  PA - PB   最 大； (4)已知两点 A 3,-3 , B 5,1 ,直线 l:y= x ,在直线 l上求一点 P ,使得  PA - PB   最 大. 题 4 的方 母题270. 已知点 A 3,6 , B 1,4 , C 1,0 ,则 ΔABC 外接圆的圆心坐标为 题 5 直线与 的 关系 母题271. 已知定点 P x0,y0 在单位圆 x2+ y2= 1内部,则直线 x0x+ y0y= 1与圆 x2+ y2= 1的 位置关系是 母题272. 若直线 y= kx与圆 x-2 2+ y2= 1的两个交点关于直线 2x+ y+ b= 0对称,则 k,b 的值分别为 ( ) A. k= 12 ,b=-4 B. k=- 1 2 ,b= 4 C. k= 1 2 ,b= 4 D. k=- 1 2 ,b=-4 题 6 弦长问题 母题273. 圆 x2+ y2- 2x- 8y+ 13= 0截直线 ax+ y- 1= 0所得的弦长为 2 3 ,则 a= 母题274. 已知不全为 0的实数 a,b,c满足 2b= a+ c ,则直线 ax- by+ c= 0被曲线 x2+ y2- 2x- 2y= 0截得的弦长的最小值为 ( )。 A. 2 B. 1 C. 2 2 D. 2 母题275. 已知圆 C: x-1 2+ y-2 2= 25 ,直线 l: 2m+1 x+ m+1 y- 7m- 4= 0 ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 ( ) A. 2 5 B. 4 5 C. 6 3 D. 8 3 题 7 直线与 点距离 母题276. 圆 x2+ 2x+ y2+ 4y- 3= 0上到直线 x+ y+ 1= 0的距离为 2 的点共有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 母题277. 在平面直角坐标系 xOy中,已知圆 x2+ y2= 4上有且仅有四个点到直线 12x- 5y+ c = 0的距离为 1,则实数 c的取值范围是 ( ) A. - 13, 13  B. -13,13  C. - 13, 13  D. (-13,13) 题 8 线方 母题278. 过圆 x2+ y2= 5上一点M 1,-2 作圆的切线 l ,则 l的方程是 ( ) A. x+ 2y- 3= 0 B. x- 2y- 5= 0 C. 2x- y- 5= 0 D. 2x+ y- 5= 0 题 9 两 的 关系 母题279. 已知圆 C1:x2+ y+m 2= 2与圆 C2: x-m 2+ y2= 8恰有两条公切线,则实数m的取 值范围是 ( ) A. 1<m< 3 B. - 1<m< 1 C. m> 3 D. - 3<m<-1或 1<m< 3 母题280. 若圆 C 的圆心在直线 x- y- 4= 0上且经过两圆 x2+ y2- 4x- 6= 0和 x2+ y2- 4y - 6= 0的交点, 则圆 C 的圆心到直线 3x+ 4y+ 5= 0的距离为 ( ) A. 0 B. 85 C. 2 D. 18 5 题 10 值问题 母题281. 若实数 x、y满足等式 x-2 2+ y2= 1 ,那么 y x+1 的最大值为 ( ) A. 2 2 B. 2 C. 22 D. 2 4 母题282. 已知实数 x,y满足方程 x2+ y2- 8x+ 15= 0 . 则 x2+ y2 最大值为 ( ) A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 母题283. 已知圆 C1: x-2 2+ y-3 2= 1 ,圆 C2: x-3 2+ y-4 2= 9,M、N 分别是圆 C1、C2 上的动点, P为 x轴上的动点,则 PM + PN  的最小值为 ( ). A. 5 2- 4 B. 17- 1 C. 6- 2 2 D. 17 题 11 椭 的定义与 准方 母题284. 设 P是椭圆 x 2 25 + y2 16 = 1上的点. 若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 + PF2  等于 ( ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 母题285. 方程 x2+ ky2= 2表示焦点在 x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 ( ) A. k> 0 B. 1< k< 2 C. k> 1 D. 0< k< 1 母题286. 一个圆经过椭圆 x 2 16 + y2 4 = 1的三个顶点,且圆心在 x轴的正半轴上,则该圆标准方 程为 题 12 椭 的离心 母题287. 已知椭圆 C: x 2 a2 + y 2 4 = 1的一个焦点为 (2,0),则 C 的离心率为 ( ) A. 13 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 2 3 母题288. 椭圆 E的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E的离心率为 ( ) A. 35 B. 5 13 C. 4 5 D. 12 13 母题289. 椭圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 与直线 y=-x+ 1交于 A,B两点,过原点与线段 AB中 点的直线的斜率为 19 ,则椭圆的离心率为 ( ) A. 23 B. 2 2 3 C. 1 3 D. 3 3 母题290. 已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点, P是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2 ,且 ∠PF2F1= 60° , 则 C 的离心率为 ( ) A. 1- 32 B. 2- 3∞ C. 3-1 2 ∞ D. 3- 1 母题291. 已知椭圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 45°的直线与椭圆 交于 A , B两点, 且 F1B  = 2AF1  ,则椭圆的离心率 = 题 13 焦点三角形问题 母题292. 已知 △ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x 2 3 + y 2= 1上,顶点 A是椭圆的一个焦点,且椭圆 的另外一个焦点在 BC 边上,则 △ABC 的周长是 ( ) A. 2 3 B. 6 C. 4 3 D. 12 母题293. 已知椭圆 C: x 2 49 + y2 24 = 1的左,右焦点分别为 F1,F2 ,若 C 上的点 A到 F2 的距离为 6,则 △AF1F2 的面积为 ( ) A. 48 B. 25 C. 24 D. 12 母题294. 设 P是椭圆 x 2 16 + y2 9 = 1上一点, F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 PF1  . PF2 = 12 ,则 ∠F1PF2 的大小 题 14 双曲线的定义与 准方 母题295. 过双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1的左焦点 F 作斜率为 3 的直线,恰好与圆 x2+ y2= a2 相 切, C 的右顶点为 A ,且 AF = 2+ 3 ,则双曲线 C 的标准方程为 ( ) A. x2- y 2 3 = 1 B. x2 3 - y 2= 1 C. x2- y 2 4 = 1 D. x2 4 - y 2= 1 题 15 双曲线的离心 母题296. 已知 F1,F2 为双曲线 C1: x 2 a2 - y 2 b2 = 1的焦点, P为 x2+ y2= c2 与双由线 C1 的交点,且 有 tan∠PF1F2= 14 ,则该双曲线的离心率为 ( ) A. 355 B. 6 2 C. 17 3 D. 2 母题297. 设 F2 是双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的右焦点, O为坐标原点,过 F2 的直线交 双曲线的右支于点 P,N ,直线 PO交双曲线 C 于另一点M ,若 MF2 = 3 PF2  ,且 ∠MF2N = 60° ,则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 3 B. 2 C. 52 D. 7 2 母题298. 双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的一条渐近线的倾斜角为 130° ,则 C 的离心率为 ( ) A. 2sin40° B. 2cos40° C. 1 sin50° D. 1 cos50° 题 16 双曲线的渐近线 母题299. 已知双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的离心率为 3 ,则双曲线 C 的渐近线方程 为 ( ) A. y± 2x= 0 B. 2y± x= 0 C. x± 2y= 0 D. 2y± x= 0 母题300. 经过点M 2 6,-2 6 且与双曲线 y2 4 - x2 3 = 1有共同渐近线的双曲线方程为 ( ) A. x 2 6 - y2 8 = 1 B. y2 6 - x2 8 = 1 C. x2 8 - y2 6 = 1 D. y2 8 - x2 6 = 1 题 17 抛物线的定义与 准方 母题301. 设抛物线 C:y2= 2px p>0 的焦点为 F ,点M 在 C 上, MF = 5 ,若以MF 为直径的 圆过点 (0,2), 则 C 的方程为 ( ) A. y2= 4x或 y2= 8x B. y2= 2x或 y2= 8x C. y2= 4x或 y2= 16x D. y2= 2x或 y2= 16x 题 18 焦半径及弦长 母题302. (2019. 安徽滁州. 高二期末 (理))已知 A,B为抛物线 C:y2= 4x上的不同两点, F 为抛 物线 C 的焦点,若 AB  = 5FB  ,则 AB = ( ) A. 252 B. 10 C. 25 4 D. 6 母题303. 抛物线 C:y= ax2 a>0 的焦点 F 是双曲线 2y2- 2x2= 1的一个焦点,过 F 且倾斜角 为 60°的直线 l交 C 于 A,B ,则 AB = ( ) A. 4 33 + 2 B. 4 3+ 2 C. 16 3 D. 16 题 19 点 值问题 母题304. 已知抛物线 C:x2= 8y的焦点为 F,O为原点,点 P是抛物线 C 的准线上的一动点,点 A在抛物线 C 上,且 AF = 4 ,则 PA + PO  的最小值为 ( ) A. 4 2 B. 2 13 C. 3 13 D. 4 6 题 20 曲线与方 母题305. 在平面直角坐标系 xOy中,已知点M 2,-1 ,N -2,1 ,动点 P满足 PM 2- PN 2= a a∈R ,记点 P的轨迹为曲线 C ,则 ( ) A. 存在实数 a ,使得曲线 C 上所有的点到点 1, a4 的距离大于 2 B. 存在实数 a ,使得曲线 C 上有两点到点 - 5,0 与 5,0 的距离之和为 6 C. 存在实数 a ,使得曲线 C 上有两点到点 - 5,0 与 5,0 的距离之差为 2 D. 存在实数 a ,使得曲线 C 上有两点到点 (a,0)的距离与到直线 x=-a的距离相等 母题306. 已知 A,B是平面内两个定点,平面内满足 PA  ⋅ PB = a(a为大于 0的常数)的点 P 的轨迹称为卡西尼卵形线,它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼·卡西尼的名字命名. 当 A,B坐标分别为 (-1 , 0), 1,0 ,且 a= 1时,卡西尼卵形线大致为 ( ) A. B. C . D 题 21 直 法 母题307. 已知点 A -2,0 , B 2,0 ,动点M x,y 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 - 12 ,记 M 的轨迹为曲线 C ,求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线. 题 22 定义法 母题308. 已知圆M : x+1 2+ y2= 1 ,圆 N : x-1 2+ y2= 9 ,动圆 P与圆M 外切并且与圆 N 内 切,圆心 P的轨迹为曲线 C . 求 C 的方程. 题 23 几 法 母题309. 斜线段 AB与平面 α所成的角为 60°,B为斜足,点 P是平面 α上的动点且满足 ∠PAB = 60° ,则动点 P的轨迹是 ( ) A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 题 24 相关点法 母题310. 已知圆 C:x2+ y-3 2= 9 ,过原点作圆 C 的弦 OP ,则 OP的中点 Q的轨迹方程为 题 25 离心 围问题 母题311. 设 B是椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的上顶点,若 C 上的任意一点 P都满足 PB  ≤ 2b ,则 C 的离心率的取值范围是 ( ) A. 22 ,1    B. 12 ,1  C. 0, 2 2  D. 0, 1 2  母题312. 若直线 y= 2x与双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>b>0 有公共点,则双曲线的离心率的取值 范围为 ( ) A. 1, 5  B. (1, 5] C. [ 5 , +∞) D. 5,+∞  母题313. 已知双曲线 y2 a2 - x 2 b2 = 1 a,b>0 的上焦点为 F ,过 F 作一条直线 l与直线 x- 4y= 0垂直,若 l与双曲线的上、下支均有公共点, 则双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. 103 ,+∞  B. 17 4 ,+∞  C. 5 2 ,+∞  D. 2,+∞  题 26 弦长 母题314. 已知椭圆M : x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的离心率为 63 ,焦距为 2 2 . 斜率为 k的直线 l与椭圆M 有 两个不同的交点 A,B . (I)求椭圆M 的方程; (II)若 k= 1 ,求 AB  的最大值; 母题315. 已知直线 l:y= k x-1 与 x轴交于点 F ,与椭圆 x 2 4 + y2 3 = 1交于 A,B两点. 证明: 1 AF  + 1 BF  为定值. 题 27 中点弦问题 母题316. 过椭圆 4x2+ 5y2= 20内一点 P 1,1 引一条恰好被 P点平分的弦,则这条弦所在直线 的方程是 ( ) A. 4x+ 5y- 9= 0 B. 5x+ 4y- 9= 0 C. 4x- 5y+ 1= 0 D. 5x- 4y- 1= 0 母题317. 过点 Q 13 , 4 3 作直线与双曲线 x 2- y 2 4 = 1交于 A,B,Q为弦 AB的中点. ( 1 )求 AB所在直线的方程；( 2 )求 AB  的长. 母题318. 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F 1,0 ,直线 l与抛物线 C 相交于 A,B 两点. 若 AB的中点为 (2,2),则直线 l的方程为 题 28 特殊图形 母题319. 已知椭圆 C:9x2+ y2=m2 m>0 ,直线 l不过原点 O且不平行于坐标轴, l与 C 有两 个交点 A,B , 线段 AB的中点为M . (1)证明:直线 OM 的斜率与 l的斜率的乘积为定值; (2)若 l过点 m3 ,m ,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB能否为平行四边形?若 能,求此时 l的斜率;若不能,说明理由. 题 29 积比 母题320. 设椭圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的右顶点为 A ,上顶点为 B . 已知椭圆的离心率为 5 3 , AB = 13 . (I)求椭圆的方程; (II)设直线 l:y= kx k<0 与椭圆交于 P,Q两点,直线 l与直线 AB 交于点 M ,且点 P,M 均在第四象限. 若 △BPM 的面积是 △BPQ面积的 2倍,求 k的值. 题 30 积 值 母题321. 已知点 F 1,0 ,动点M 到直线 l:x= 4的距离为 d ,且 MF  d = 12 ,设动点M 的轨迹 为曲线 E . (1)求曲线 E的方程; (2)过点 F 作互相垂直的两条直线,分别交曲线 E 于点 A , B 和 C , D ,求四边形 ABCD面 积的最小值. 题 31 定点问题 母题322. 已知抛物线 C:y2= 4x ,过点 P -1,0 任作一直线交抛物线于点 A,B ,点 C 为 B关于 x轴的对称点,则直线 AC 恒过定点 ( ) A. (1,0) B. (0,1) C. (2,0) D. 12 ,0  母题323. 已知椭圆 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的右焦点为 F 1,0 ,左顶点为 A -2,0 . (1)求椭圆 E的方程; (2)过点 A作两条相互垂直的直线分别与椭圆 E 交于 (不同于点 A的)M ,N 两点. 试判断直 线MN 与 x轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 题 32 定值问题 母题324. 如图,已知抛物线 C:y2= 2px经过点 P 1,2 ,过点 Q 0,1 的直线 l与抛物线 C 有两 个不同的交点 A,B . (1)求直线 l的斜率的取值范围； (2)设 O为原点,直线 PA交 y轴于 M ,直线 PB 交 y轴于 N . OQ  = λMQ  ,OQ  = μNQ  ,求 证: λ+ μ为定值. 母题325. 已知抛物线 C:y2= 2px经过点 P 1,2 ,过点 Q 0,1 的直线 l与抛物线 C 有两个不同 的交点 A,B , 且直线 PA交 y轴于M ,直线 PB交 y轴于 N . (I)求直线 l的斜率的取值范围; (II)设 O为原点, QM  = λQO  ,QN  = μQO  ,求证: 1 λ + 1μ 为定值. 母题326. 已知椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的离心率为 32 ,点 1,- 3 2 在椭圆上. 不过原 点的直线 l与椭圆交于 A,B两点,且 OA  ⋅OB  = 0 O为坐标原点 . (1)求椭圆 C 的方程； ( 2 )试判断 1 OA 2 + 1 OB 2 是否为定值？若是,求出这个值；若不是,请说明理由. 题 33 角 与点 关系 母题327. 已知椭圆 C 的对称轴为坐标轴,焦点在 x轴上,离心率为 12 ,且经过点 1, 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 y= kx- 2与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 OM  = 13 OA  ,ON  = 23 OB  ,若原点 O 在以MN 为直径的圆外,求 k的取值范围. 母题328. 已知m> 1 ,直线 l:x-my- m 2 2 = 0 ,椭圆 C: x2 m2 + y2= 1,F1、F2 分别为椭圆 C 的 左、右焦点. (1)当直线 l过右焦点 F2 时,求直线 l的方程; (2)设直线 l与椭圆 C 交于 A、B 两点, △AF1F2 、△BF1F2 的重心分别为 G、H . 若原点 O在以线段 GH 为直径的圆上,求实数 m的值. 题 34 角 线类证角相等 母题329. 设椭圆 C: x 2 2 + y 2= 1的右焦点为 F ,过 F 的直线 l与 C 交于 A,B两点,点M 的坐 标为 (2,0). (1)当 l与 x轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O为坐标原点,证明: ∠OMA=∠OMB . 母题330. 已知椭圆 C: x 2 a2 + y 2 4 = 1 a>2 ,直线 l:y= kx+ 1 k≠0 与椭圆 C 相交于 A,B两点, D为 AB的中点. ( 1 )若直线 l与直线 OD(O为坐标原点)的斜率之积为 - 12 ,求椭圆 C 的方程； (2)在 (1)的条件下, y轴上是否存在定点 M 使得当 k变化时,总有 ∠AMO=∠BMO(O为 坐标原点). 若存在,求出定点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 题 35 角 线类证角相等 母题331. 如图,已知椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的离心率为 12 ,F 为椭圆 C 的右焦点. A -a,0 , AF  = 3 . (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 O为原点, P为椭圆上一点, AP的中点为M . 直线 OM 与直线 x= 4交于点 D ,过 O 且平行 于 AP的直线与直线 x= 4交于点 E . 求证: ∠ODF=∠OEF . 题 36 直问题 母题332. 已知椭圆 C1: x 2 a2 + y2= 1 a>1 的离心率 e= 22 ,左、右焦点分别为 F1、F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点M . (1)求点M 的轨迹 C2 的方程; (2)当直线 AB与椭圆 C1 相切,交 C2 于点 A,B ,当 ∠AOB= 90°时,求 AB的直线方程. 题 37 共线 ( 行)问题 母题333. 已知椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 过点 (0,1),其右焦点为 F 1,0  (I)求椭圆 C 的方程和离心率； (II)过点 M 2,0 的直线与椭圆 C 交于 P,Q两点, Q关于 x轴对称的点为 N ,判断 P,F,N 三点是否共线?并加以证明. 母题334. 在平面直角坐标系 xOy中,直线 l:x=-1 ,点 T 3,0 ,动点 P满足 PS⊥ l ,垂足为 S ,且 OP  ⋅ST  = 0,设动点 P的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 Q是曲线 C 上异于点 P的另一点,且直线 PQ过点 (1,0),线段 PQ的中点为 M ,直 线 l与 x轴的交点为 N . 求证:向量 SM  与 NQ  共线. 题 38 共线线段相等 母题335. 已知抛物线 C1:x2= 4y的焦点 F 也是椭圆 C2: y2 a2 + x 2 b2 = 1 a>b>0 的一个焦点. C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 . (I)求 C2 的方程; (II)过点 F 的直线 l与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C 、D两点,且 AC  ,BD  同向. 若 AC = BD  ,求直线 l的斜率. 版 九 解 几 题 1 斜 与倾斜角 母题263. 过点 A 2,1 , B m,3 的直线的倾斜角 α的范围是 π4 , 3π 4 ,则实数m的取值范围 是 【答案】0<m< 4 【解析】当m= 2时,直线的倾斜角为 π2 ,满足题意； 当m≠ 2时,直线 AB的斜率为 3-1m-2 > tan π 4 = 1 ,或 3-1 m-2 < tan 3π 4 =-1 , 所以 4-mm-2 > 0或 m m-2 < 0 ,解得 2<m< 4或 0<m< 2 . 综上,实数m的取值范围是 0<m< 4 . 母题264. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分 别为 【答案】 13 , -3 【解析】方法一设正方形一边所在直线的倾斜角为 α ,其斜率 k= tanα . 则其中一条对角线所在直线的倾斜角为 α+ π4 ,其斜率为 tan α+ π 4 . 依题意知: tan α+ π4 = 2 ,即 tanα+tan π4 1-tanα ⋅tan π4 = tanα+11-tanα = 2, ∴ tanα= 1 3 , ∴正方形一边的斜率 k= 13 ,可知相邻一边所在直线的斜率为 -3 . 方法二正方形两条相邻边与对角线的夹角为 π4 , 设正方形的边所在直线的斜率为 k , 则由夹角公式得 tan π4 = k-2 1+2k ⇒ k= 1 3 或 k=-3 . 题 2 直线的 关系 母题265. 直线 l1:ax+ 3y+ 1= 0,l2:2x+ a-1 y- 1= 0 ,若 l1⎳ l2 ,则 a的值为 【答案】3 【解析】因为直线 l1:ax+ 3y+ 1= 0,l2:2x+ a-1 y- 1= 0 ,且 l1⎳ l2 , 所以 a a-1 = 2× 3 ,且 a≠-2 ,解得 a= 3 母题266. 已知直线 l1:xsinα+ y- 1= 0 ,直线 l2:x- 3ycosα+ 1= 0 ,若 l1⊥ l2 ,则 sin2α= 【答案】 35 【解析】因为 l1⊥ l2 ,所以 sinα- 3cosα= 0 ,所以 tanα= 3 , 所以 sin2α= 2sinαcosα= 2sinαcosα sin2α+cos2α = 2tanα 1+tan2α = 35 . 题 3 对称问题 母题267. 点 (-2,0)关于直线 x- y+ 1= 0对称的点的坐标为 【答案】(-1, - 1) 【解析】设点 (-2,0)关于直线 x- y+ 1= 0对称的点坐标为 (m, n), 可得 n-0 m+2 =-1 -2+m 2 - n 2 +1=0 ⇒ m=-1 n=-1       母题268. 已知直线 l1:2x- y+ 1= 0 ,直线 l2 与 l1 关于直线 l:y=-x对称,则直线 l2 的方程为 【答案】x- 2y+ 1= 0 【解析】在 l1:2x- y+ 1= 0上任取一点 p x0,y0 ,设关于直线 l:y=-x的对称点为 Q x,y , 所以 y-y0 x-x0 =1 y+y0 2 =- x+x0 2      ,解得 x0=-y y0=-x  , 代入 l1:2x- y+ 1= 0 ,得: x- 2y+ 1= 0 ,所以直线 l2 的方程为 x- 2y+ 1= 0 . 母题269. (1)已知两点 A 3,-3 , B 5,1 ,直线 l:y= x ,在直线 l上求一点 P ,使得 PA + PB  小； (2)已知两点 A -3,3 , B 5,1 ,直线 l:y= x ,在直线 l上求一点 P ,使得 PA + PB  小； (3)已知两点 A -3,3 , B 5,1 ,直线 l:y= x ,在直线 l上求一点 P ,使得  PA - PB   大； (4)已知两点 A 3,-3 , B 5,1 ,直线 l:y= x ,在直线 l上求一点 P ,使得  PA - PB   大. 【答案】 1  9 5 , 9 5 ; 2  9 5 , 9 5 ; 3  9,9 ; 4  9,9 . 题 4 的方 母题270. 已知点 A 3,6 , B 1,4 , C 1,0 ,则 ΔABC 外接圆的圆心坐标为 【答案】(5,2) 【解析】线段 AB 中点坐标为 (2,5),线段 AB 斜率为 6-43-1 = 1 ,所以线段 AB 垂直平分线的 斜率为 -1,故线段 AB的垂直平分线方程为 y- 5=- x-2 ,即 y=-x+ 7 . 线段 AC 中点坐标为 (2,3),线段 AC 斜率为 6-03-1 = 3 ,所以线段 AC 垂直平分线的斜率为 - 13 ,故线段 AC 的垂直平分线方程为 y- 3=- 1 3 x-2 ,即 y=- 1 3 x+ 11 3 . 由 y=-x+7 y=- 13 x+ 11 3 ⇒ x=5 y=2  . 所以 △ABC 外接圆的圆心坐标为 (5,2). 题 5 直线与 的 关系 母题271. 已知定点 P x0,y0 在单位圆 x2+ y2= 1内部,则直线 x0x+ y0y= 1与圆 x2+ y2= 1的 位置关系是 【答案】相离 【解析】∵ p x0,y0 在圆 x2+ y2= 1的内部 ∴ x20+ y20< 1 因为圆心为 (0,0),半径为 r ,所以圆心到直线的距离 d= 1 x20+y20 > 1= r ∴直线与圆相离 母题272. 若直线 y= kx与圆 x-2 2+ y2= 1的两个交点关于直线 2x+ y+ b= 0对称,则 k,b 的值分别为 ( ) A. k= 12 ,b=-4 B. k=- 1 2 ,b= 4 C. k= 1 2 ,b= 4 D. k=- 1 2 ,b=-4 【解析】因为直线 y= kx与圆 x-2 2+ y2= 1的两个交点关于直线 2x+ y+ b= 0对称, 直线 2x+ y+ b= 0的斜率为 -2,所以 k= 12 . 并且直线经过圆的圆心,所以圆心 (2,0)在直线 2x+ y+ b= 0上, 所以 4+ 0+ b= 0,b=-4 . 故选: A . 题 6 弦长问题 母题273. 圆 x2+ y2- 2x- 8y+ 13= 0截直线 ax+ y- 1= 0所得的弦长为 2 3 ,则 a= 【答案】- 43 【解析】圆 x2+ y2- 2x- 8y+ 13= 0 ,即 x-1 2+ y-4 2= 4 则由垂径定理可得点到直线距离为 22- 3 2= 1 根据点到直线距离公式可知 d= a+4-1  a2+1 = 1 ,化简可得 a+3 2= a2+ 1解得 a=- 43 母题274. 已知不全为 0的实数 a,b,c满足 2b= a+ c ,则直线 ax- by+ c= 0被曲线 x2+ y2- 2x- 2y= 0截得的弦长的 小值为 ( )。 A. 2 B. 1 C. 2 2 D. 2 【答案】D 【解析】∵ 2b= a+ c∴直线 ax- by+ c= 0过定点 A 1,2 , 因为 x2+ y2- 2x- 2y= 0 ,所以 x-1 2+ y-1 2= 2 因此当圆心 C 1,1 与 A 1,2 连线垂直直线 ax- by+ c= 0时,直线 ax- by+ c= 0被曲线 x2+ y2- 2x- 2y= 0截得的弦长 小,此时 小值为 2 2- CA 2= 2 2-1= 2× 1= 2 母题275. 已知圆 C: x-1 2+ y-2 2= 25 ,直线 l: 2m+1 x+ m+1 y- 7m- 4= 0 ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长的 小值为 ( ) A. 2 5 B. 4 5 C. 6 3 D. 8 3 【答案】B 【解析】圆 C: x-1 2+ y-2 2= 25的圆心坐标为 C 1,2 ,半径为 5, 由直线 l: 2m+1 x+ m+1 y- 7m- 4= 0 ,得m 2x+y-7 + x+ y- 4= 0 , 联立 2x+y-7=0 x+y-4=0  ,解得 x=3 y=1  , ∴直线 l过定点 P 3,1 , 点 P 3,1 在圆内部,则当直线 l与线段 PC 垂直时,直线 l被圆 C 截得的弦长 小, 此时 PC = 1-3 2+ 2-1 2= 5 , ∴直线 l被圆 C 截得的弦长的 小值为 2 52- 5 2= 4 5 . 故选: B . 题 7 直线与 点距离 母题276. 圆 x2+ 2x+ y2+ 4y- 3= 0上到直线 x+ y+ 1= 0的距离为 2 的点共有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】圆 x2+ 2x+ y2+ 4y- 3= 0可变为 x+1 2+ y+2 2= 8 , ∴圆心为 (-1, - 2),半径为 2 2 , ∴圆心到直线 x+ y+ 1= 0的距离 d= -1-2+1  2 = 2 , ∴圆上到直线的距离为 2 的点共有 3个. 故选: C . 母题277. 在平面直角坐标系 xOy中,已知圆 x2+ y2= 4上有且仅有四个点到直线 12x- 5y+ c = 0的距离为 1,则实数 c的取值范围是 ( ) A. - 13, 13  B. -13,13  C. - 13, 13  D. (-13,13) 【解析】圆半径为 2, 圆心 (0,0)到直线 12x- 5y+ c= 0的距离小于 1,即 c  13 < 1 , 则 c的取值范围是 (-13,13). 故选: D . 题 8 线方 母题278. 过圆 x2+ y2= 5上一点M 1,-2 作圆的切线 l ,则 l的方程是 ( ) A. x+ 2y- 3= 0 B. x- 2y- 5= 0 C. 2x- y- 5= 0 D. 2x+ y- 5= 0 【答案】B 【解析】由题意:点M 1,-2 为切点,则 kOM ⋅ kl=-1,kOM= -2-0 1-0 =-2 ,解得: kl= 1 2 , ∴ l的方程: y- -2 = 12 x-1 ,整理得: x- 2y- 5= 0 ,故选: B . 题 9 两 的 关系 母题279. 已知圆 C1:x2+ y+m 2= 2与圆 C2: x-m 2+ y2= 8恰有两条公切线,则实数m的取 值范围是 ( ) A. 1<m< 3 B. - 1<m< 1 C. m> 3 D. - 3<m<-1或 1<m< 3 【解析】∵圆 C1:x2+ y+m 2= 2与圆 C2: x-m 2+ y2= 8恰有两条公切线, ∴两圆相交. 由圆心 C1 0,-m ,半径 R= 2 ,圆 C2 m,0 ,半径 r= 2 2 , 则 C1C2 = 2 m  , 若两圆相交,则满足 r-R< C1C2 <R+ r , 即 2< 2 m < 3 2 , 所以 1< m < 3 , 解得 -3<m<-1或 1<m< 3； 故选: D . 母题280. 若圆 C 的圆心在直线 x- y- 4= 0上且经过两圆 x2+ y2- 4x- 6= 0和 x2+ y2- 4y - 6= 0的交点, 则圆 C 的圆心到直线 3x+ 4y+ 5= 0的距离为 ( ) A. 0 B. 85 C. 2 D. 18 5 【解析】由圆 C 经过两圆 x2+ y2- 4x- 6= 0和 x2+ y2- 4y- 6= 0的交点, 则设其方程为 x2+y2-4x-6 + λ x2+y2-4y-6 = 0 , 变形可得 1+λ x2+ 1+λ y2- 4x- 4λy- 6- 6λ= 0 , 其圆心为 2 1+λ , 2λ 1+λ , 又由圆心在直线 x- y- 4= 0上, 则有 2 1+λ - 2λ 1+λ - 4= 0 ,解得 λ=- 1 3 , ∴圆心坐标为 C 3,-1 . 则圆 C 的圆心到直线 3x+ 4y+ 5= 0的距离为 d= 3×3+4× -1 +5  32+42 = 2 . 故选: C . 题 10 值问题 母题281. 若实数 x、y满足等式 x-2 2+ y2= 1 ,那么 y x+1 的 大值为 ( ) A. 2 2 B. 2 C. 22 D. 2 4 【解析】 y x+1 的几何意义是 (x, y)与 (-1,0)两点连线的斜率, ∵实数 x、y满足等式 x-2 2+ y2= 1 , ∴过 (-1,0)的直线与圆相切时,斜率取得 大或 小 设过 (-1,0)的直线方程为 y= k x+1 ,即 kx- y+ k= 0 ∵圆心 (2,0)到直线的距离为 3k  k2+1 ∴ 3k  k2+1 = 1 ∴ k=± 24 故选: D . 母题282. 已知实数 x,y满足方程 x2+ y2- 8x+ 15= 0 . 则 x2+ y2 大值为 ( ) A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 【答案】D 【解析】x2+ y2- 8x+ 15= 0 ,即为 x-4 2+ y2= 1 , 可得上式方程表示以 C 4,0 为圆心,1为半径的圆, x2+ y2= x2+y2  2 表示点 (x, y)与原点的距离的平方, 由圆的性质可得圆上的点与原点的距离的 大值为 OC + 1= 4+ 1= 5 , 则 x2+ y2 的 大值为 25. 故选: D . 母题283. 已知圆 C1: x-2 2+ y-3 2= 1 ,圆 C2: x-3 2+ y-4 2= 9,M、N 分别是圆 C1、C2 上的动点, P为 x轴上的动点,则 PM + PN  的 小值为 ( ). A. 5 2- 4 B. 17- 1 C. 6- 2 2 D. 17 【答案】选 A 【解析】作出点 C1 关于 x轴的对称点 A 2,-3 ,则 PM  + PN  的 小值为 AC2  - 1- 3= 5 2- 4 . 题 11 椭 的定义与 准方 母题284. 设 P是椭圆 x 2 25 + y2 16 = 1上的点. 若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 + PF2  等于 ( ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】) D 【解析】因为椭圆的方程为 x 2 16 + y2 25 = 1 ,所以 a 2= 25 ,由椭圆的的定义知 PF1  + PF2  = 2a= 10 , 故选 D . 母题285. 方程 x2+ ky2= 2表示焦点在 x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 ( ) A. k> 0 B. 1< k< 2 C. k> 1 D. 0< k< 1 【答案】B 【解析】方程 x2+ ky2= 2可变形为: x 2 2 + y2 2 k = 1 ,表示焦点在 x轴上的椭圆, 则有: 0< 2 k < 2 , 解得 k> 1 . 易知当 1< k< 2时, k> 1 ,当 k> 1时未必有 1< k< 2 ,所以 1< k< 2是 k> 1的充分但不必要条件. 故选 B . 母题286. 一个圆经过椭圆 x 2 16 + y2 4 = 1的三个顶点,且圆心在 x轴的正半轴上,则该圆标准方 程为 【答案】 x- 32  2 + y2= 254 . 【解析】一个圆经过椭圆 x 2 16 + y2 4 = 1的三个顶点. 且圆心在 x轴的正半轴上. 可知椭圆的右顶点坐标 (4,0),上下顶点坐标 0,±2 , 设圆的圆心 (a,0),则 a-0 2+ 0-2 2= 4- a ,解得 a= 32 , 圆的半径为: 52 , 所求圆的方程为: x- 32  2 + y2= 254 . 故答案为: x- 32  2 + y2= 254 . 题 12 椭 的离心 母题287. 已知椭圆 C: x 2 a2 + y 2 4 = 1的一个焦点为 (2,0),则 C 的离心率为 ( ) A. 13 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 2 3 【解析】椭圆 C: x 2 a2 + y 2 4 = 1的一个焦点为 (2,0), 可得 a2- 4= 4 ,解得 a= 2 2 , ∵ c= 2 , ∴ e= ca = 2 2 2 = 22 . 故选: C . 母题288. 椭圆 E的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E的离心率为 ( ) A. 35 B. 5 13 C. 4 5 D. 12 13 【答案】C 【解析】设椭圆 E的短轴长为 2b ,长轴长为 2a ,焦距为 2c , 则 2b= 6 ,即 b= 3;a+ c= 9或 a- c= 9 , 若 a+ c= 9 ,① ∵ b2= a2- c2= a+c a-c = 9 a-c = 32= 9 , ∴ a- c= 1 ,② 由①②得: a= 5,c= 4 , ∴椭圆 E的离心率 e= 45 ； 若 a- c= 9 ,③ ∵ b2= a2- c2= a+c a-c = 9 a+c = 32= 9 , ∴ a+ c= 1 ,④ 由③④得: a= 5,c=-4 ,不符合题意,舍去, 故椭圆 E的离心率为 45 . 故选: C . 母题289. 椭圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 与直线 y=-x+ 1交于 A,B两点,过原点与线段 AB中 点的直线的斜率为 19 ,则椭圆的离心率为 ( ) A. 23 B. 2 2 3 C. 1 3 D. 3 3 【答案】B 【解析】由 y=-x+1 x2 a2 + y 2 b2 =1  ,消去 y得, a2+b2 x2- 2a2x+ a2- a2b2= 0 , 设 A x1y1 ,B x2y2 ,中点为 C , 则 xC= x1+x2 2 = a2 a2+b2 ,yC=-xC+ 1= b2 a2+b2 , yC xC = 19 ⇒ b2 a2 = 19 , c a = a2-b2 a2 = 1- 19 = 2 2 3 即离心率 e= 2 33 ,故选 B . 母题290. 已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点, P是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2 ,且 ∠PF2F1= 60° , 则 C 的离心率为 ( ) A. 1- 32 B. 2- 3∞ C. 3-1 2 ∞ D. 3- 1 【解析】: F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点, P是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2 ,且 ∠PF2F1= 60° ,可得 椭圆的焦点坐标 F2 c,0 , 所以 P 12 c, 3 2 c . 可得: c2 4a2 + 3c 2 4b2 = 1 ,可得 14 e 2+ 3 4 1 e2 -1  = 1 ,可得 e4- 8e2+ 4= 0,e∈ 0,1 , 解得 e= 3- 1 . 答案: D. 母题291. 已知椭圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 45°的直线与椭圆 交于 A , B两点, 且 F1B  = 2AF1  ,则椭圆的离心率 = 【答案】 23 【解析】椭圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 的左右焦点分别为 F1 、F2 ,过 F1 -c,0 且斜率为 k= 1 的直线为 y= x+ c 联立直线与椭圆方程 x2 a2 + y 2 b2 =1 y=x+c  消 x后,化简可得 a2+b2 y2+ 2cb2y+ c2b2- a2b2= 0 因为直线交椭圆于 A,B ,设 A x1,y1 ,B x2,y2  由韦达定理可得 y1+ y2=- 2cb 2 a2+b2 ,y1y2= c 2b2-a2b2 a2+b2 且 F1B  = 2AF1  ,可得 y2=-2y1 ,代入韦达定理表达式可得 -y1=- 2cb 2 a2+b2 , -2y21= c 2b2-a2b2 a2+b2 即 -2 2cb 2 a2+b2  2 = c 2b2-a2b2 a2+b2 化简可得 9c2= 2a2 所以 e= ca = 2 3 题 13 焦点三角形问题 母题292. 已知 △ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x 2 3 + y 2= 1上,顶点 A是椭圆的一个焦点,且椭圆 的另外一个焦点在 BC 边上,则 △ABC 的周长是 ( ) A. 2 3 B. 6 C. 4 3 D. 12 【答案】C 【解析】设另一焦点为 F ,由题 F 在 BC 边上, 所以 △ABC 的周长 l= AB  + BC  + CA  = AB  + BF  + CF  + CA  = 2 3 + 2 3 = 4 3 母题293. 已知椭圆 C: x 2 49 + y2 24 = 1的左,右焦点分别为 F1,F2 ,若 C 上的点 A到 F2 的距离为 6,则 △AF1F2 的面积为 ( ) A. 48 B. 25 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】依题意知, a= 7,b= 2 6 ,所以 c= 5 , 因为 AF1 + AF2 = 2a= 14 ,且 AF2 = 6 ,所以 AF1 = 8 , 在 △AF1F2 中, F1F2 = 2c= 10 ,因为 AF1 2+ AF2 2= F1F2 2 , 所以 AF1⊥AF2 ,所以 △AF1F2 的面积为 12 AF1  ⋅ AF2 = 1 2 × 8× 6= 24 . 故选: C . 母题294. 设 P是椭圆 x 2 16 + y2 9 = 1上一点, F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 PF1  . PF2 = 12 ,则 ∠F1PF2 的大小 【答案】60° 【解析】椭圆 x 2 16 + y2 9 = 1 ,可得 2a= 8 ,设 PF1 =m , PF2 =n , 可得 m+n=2a=8 mn=12 4c2=28=m2+n2-2mncos∠F1PF2      , 化简可得: cos∠F1PF2= 12 , ∴∠F1PF2= 60° ,故答案为 60° . 题 14 双曲线的定义与 准方 母题295. 过双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1的左焦点 F 作斜率为 3 的直线,恰好与圆 x2+ y2= a2 相 切, C 的右顶点为 A ,且 AF = 2+ 3 ,则双曲线 C 的标准方程为 ( ) A. x2- y 2 3 = 1 B. x2 3 - y 2= 1 C. x2- y 2 4 = 1 D. x2 4 - y 2= 1 【答案】B 【解析】设左焦点为 F -c,0 ,则直线方程 y= 3 x+c , 即 3x- y+ 3c= 0 ,因为直线 3x- y+ 3c= 0恰好与圆 x2+ y2= a2 相切, 所以圆心 (0,0)到直线 3x- y+ 3c= 0的距离等于半径, 即 3c2 = a ,得 3 2 = a c ,则 a= 3 2 c . 则 AF = a+ c= 32 c+ c= 2+ 3 , 解得 c= 2,a= 3 . 则 b= c2-a2= 1 . 所以双曲线 C 的标准方程为 x 2 3 - y 2= 1 . 故选: B . 题 15 双曲线的离心 母题296. 已知 F1,F2 为双曲线 C1: x 2 a2 - y 2 b2 = 1的焦点, P为 x2+ y2= c2 与双由线 C1 的交点,且 有 tan∠PF1F2= 14 ,则该双曲线的离心率为 ( ) A. 355 B. 6 2 C. 17 3 D. 2 【答案】C 【解析】由题意知 ∠F1PF2= 90° , 在 RtΔF1PF2 中, tan∠PF1F2= 14 ,可设 PF2=m ,则 PF1= 4m , 由勾股定理得, F1F2= 17m= 2c , 又由 PF1 - PF2 = 2a得 2a= 3m ,所以 e= ca = 17 3 . 故选: C 母题297. 设 F2 是双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的右焦点, O为坐标原点,过 F2 的直线交 双曲线的右支于点 P,N ,直线 PO交双曲线 C 于另一点M ,若 MF2 = 3 PF2  ,且 ∠MF2N = 60° ,则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 3 B. 2 C. 52 D. 7 2 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为 F1 ,由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1 为平行四边形. ∴ MF1 = PF2 ,MF1⎳PN . 设 PF2 =m ,则 MF2 = 3m , ∴ 2a= MF2 - MF1 = 2m ,即 MF1 = a,MF2 = 3a . ∵∠MF2N= 60°, ∴∠F1MF2= 60° , 又 F1F2 = 2c , 在 △MF1F2 中,由余弦定理可得: 4c2= a2+ 9a2- 2 ⋅ a ⋅ 3a ⋅ cos60° , 即 4c2= 7a2, ∴ c 2 a2 = 74 , ∴双曲线的离心率 e= ca = 7 2 . 故选 D . 母题298. 双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的一条渐近线的倾斜角为 130° ,则 C 的离心率为 ( ) A. 2sin40° B. 2cos40° C. 1 sin50° D. 1 cos50° 【解析】双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的渐近线方程为 y=± ba x , 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为 130° ,得 - ba = tan130° =-tan50° , 则 ba = tan50° = sin50° cos50° , ∴ b 2 a2 = c 2-a2 a2 = c 2 a2 - 1= sin 250° cos250° = 1 cos250° - 1 , 得 e2= 1 cos250° , ∴ e= 1 cos50° . 故选: D . 题 16 双曲线的渐近线 母题299. 已知双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的离心率为 3 ,则双曲线 C 的渐近线方程 为 ( ) A. y± 2x= 0 B. 2y± x= 0 C. x± 2y= 0 D. 2y± x= 0 【解析】双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>0,b>0 的离心率为 3 . 所以 ca = 3 , c2 a2 = a 2+b2 a2 = 1+ b 2 a2 = 3, b 2 a2 = 2 . 即 ba = 2 , 所以双曲线的渐近线方程为: y± 2x= 0 . 故选: A . 母题300. 经过点M 2 6,-2 6 且与双曲线 y2 4 - x2 3 = 1有共同渐近线的双曲线方程为 ( ) A. x 2 6 - y2 8 = 1 B. y2 6 - x2 8 = 1 C. x2 8 - y2 6 = 1 D. y2 8 - x2 6 = 1 【解析】由题意设所求的双曲线的方程为 y2 4 - x2 3 = λ λ≠0 , 因为经过点M 2 6,-2 6 ,所以 6- 8= λ ,即 λ=-2 , 代入方程化简得, x 2 6 - y2 8 = 1 , 故选: A . 题 17 抛物线的定义与 准方 母题301. 设抛物线 C:y2= 2px p>0 的焦点为 F ,点M 在 C 上, MF = 5 ,若以MF 为直径的 圆过点 (0,2), 则 C 的方程为 ( ) A. y2= 4x或 y2= 8x B. y2= 2x或 y2= 8x C. y2= 4x或 y2= 16x D. y2= 2x或 y2= 16x 【答案】C 【解析】∵抛物线 C 方程为 y2= 2px p>0 , ∴焦点 F p 2 ,0 , 设M x,y ,由抛物线性质 MF = x+ p 2 = 5 ,可得 x= 5- p 2 , 因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为 52 , 由已知圆半径也为 52 ,据此可知该圆与 y轴相切于点 (0,2),故圆心纵坐标为 2,则 M 点纵 坐标为 4, 即M 5- p2 ,4 ,代入抛物线方程得 p2- 10p+ 16= 0 ,所以 p= 2或 p= 8 . 所以抛物线 C 的方程为 y2= 4x或 y2= 16x . 故答案 C . 题 18 焦半径及弦长 母题302. (2019. 安徽滁州. 高二期末 (理))已知 A,B为抛物线 C:y2= 4x上的不同两点, F 为抛 物线 C 的焦点,若 AB  = 5FB  ,则 AB = ( ) A. 252 B. 10 C. 25 4 D. 6 【答案】C 【解析】设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,则 AB  = x2-x1,y2-y1 , 又 F 1,0 , ∴FB  = x2-1,y2 , ∴ x2- x1= 5x2- 5,y2- y1= 5y2 , ∴ x1=5-4x2 y1=-4y2  ,由 y22=4x2 -4y2 2=4 5-4x2   ,得 x2= 1 4 ,x1= 4, ∴ AB = x1+ x2+ 2= 25 4 . 母题303. 抛物线 C:y= ax2 a>0 的焦点 F 是双曲线 2y2- 2x2= 1的一个焦点,过 F 且倾斜角 为 60°的直线 l交 C 于 A,B ,则 AB = ( ) A. 4 33 + 2 B. 4 3+ 2 C. 16 3 D. 16 【答案】D 【解析】由抛物线 C :y= ax2 a>0 可知焦点 F 0, 14a ,由双曲线 2y 2- 2x2= 1 的上焦点坐 标为 (0,1), 且抛物线的焦点 F 0, 14a 是双曲线 2y 2- 2x2= 1的一个焦点,可得 14a = 1 ,得 a= 14 ,得抛物线方程为 y= 1 4 x 2 ,由题意得直线 l的方程为 y= 3x+ 1 , 设 A x1,y1 ,B x2,y2  联立 y= 3x+1 y= 14 x 2  消 y化简得 x2- 4 3x- 4= 0 ,则有: x1+ x2= 4 3 ,x1x2=-4 , 所以由弦长公式 AB = 1+k2 x1+x2 2-4x1x2= 1+ 3 2 4 3 2-4 -4 = 16 . 故选: D. 题 19 点 值问题 母题304. 已知抛物线 C:x2= 8y的焦点为 F,O为原点,点 P是抛物线 C 的准线上的一动点,点 A在抛物线 C 上,且 AF = 4 ,则 PA + PO  的 小值为 ( ) A. 4 2 B. 2 13 C. 3 13 D. 4 6 【答案】B 【解析】抛物线的准线方程为 y=-2 , ∵ AF = 4, ∴A到准线的距离为 4,故 A点纵坐标为 2, 把 y= 2代入抛物线方程可得 x=±4 . 不妨设 A在第一象限,则 A 4,2 , 点 O关于准线 y=-2的对称点为M 0,-4 ,连接 AM , 则 PO = PM  ,于是 PA + PO = PA + PM ≥ AM  故 PA + PO  的 小值为 AM = 42+62= 2 13 . 题 20 曲线与方 母题305. 在平面直角坐标系 xOy中,已知点M 2,-1 ,N -2,1 ,动点 P满足 PM 2- PN 2= a a∈R ,记点 P的轨迹为曲线 C ,则 ( ) A. 存在实数 a ,使得曲线 C 上所有的点到点 1, a4 的距离大于 2 B. 存在实数 a ,使得曲线 C 上有两点到点 - 5,0 与 5,0 的距离之和为 6 C. 存在实数 a ,使得曲线 C 上有两点到点 - 5,0 与 5,0 的距离之差为 2 D. 存在实数 a ,使得曲线 C 上有两点到点 (a,0)的距离与到直线 x=-a的距离相等 【解析】设点 P x,y ,由 PM 2- PN 2= a , 可得 x-2 2+ y+1 2 - x+2 2+ y+1 2 = a , 化简整理可得, 2x- y+ a4 = 0 ,故曲线 C 是斜率为 2的动直线. 对于 A ,点 1, a4 到直线 C 的距离为 2×1- a4 + a 4  22+12 = 2 5 < 2 , 则曲线 C 上存在点到点 1, a4 的距离小于 2,故选项 A错误; 对于 B ,因为 2 5< 6 ,则点 - 5,0 与 5,0 的距离之和为 6 的轨迹是中心在原点,长 轴长为 6的椭圆, 则椭圆的方程为 x 2 9 + y2 4 = 1 ,当 a= 0时,直线 C:y= 2x与这个椭圆有两个交点,故选项 B 正确; 对于 C ,因为 2 5> 2 ,则点 - 5,0 与 5,0 的距离之差为 2 的轨迹是中心再原点,实 轴长为 2的双曲线的一支, 则双曲线的方程为 x2- y 2 4 = 1 x>0 ,直线 C :2x- y+ a 4 = 0与双曲线的渐近线 2x- y= 0平行, 所以直线 C 与双曲线的右支 多有一个公共点,故选项 C 错误; 对于 D ,当 a≠ 0时,到点 (a,0)的距离与到直线 x=-a的距离相等的点的轨迹是顶点在坐 标原点,焦点在 x轴上的抛物线, 则抛物线的方程为 y2= 4ax ,联立方程组 y2=4ax 2x-y+ a4 =0  ,可得 y2- 2ay+ a2 2 = 0 , 所以 Δ= 2a 2- 4× 1× a 2 2 = 2a 2> 0 , 则当 a≠ 0时,直线 C 与抛物线有两个交点,故选项 D正确. 故选: BD . 母题306. 已知 A,B是平面内两个定点,平面内满足 PA  ⋅ PB = a(a为大于 0的常数)的点 P 的轨迹称为卡西尼卵形线,它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼·卡西尼的名字命名. 当 A,B坐标分别为 (-1 , 0), 1,0 ,且 a= 1时,卡西尼卵形线大致为 ( ) A. B. C . D 【解析】由题意设动点坐标为 (x, y), 则 x+1 2+y2 ⋅ x-1 2+y2= 1 , 即 x+1 2+y2 ⋅ x-1 2+y2 = 1 , 把原点 O 0,0 代入,可得上式成立,故曲线过原点,排除 C 、D； 把方程中的 x被 -x代换, y被 -y代换,方程不变, 故曲线 C 关于坐标原点对称,排除 B ; 故选: A . 题 21 直 法 母题307. 已知点 A -2,0 , B 2,0 ,动点M x,y 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 - 12 ,记 M 的轨迹为曲线 C ,求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线. 【解析】点 A -2,0 ,B 2,0 ,动点M x,y 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 - 12 , kAM ⋅ kBM= y x+2 ⋅ y x-2 =- 1 2 , 化简得 x 2 4 + y2 2 = 1 x≠±2 , 即曲线 C 的方程为 x 2 4 + y2 2 = 1 x≠±2 , 曲线 C 是一个椭圆,除去左右顶点. 题 22 定义法 母题308. 已知圆M : x+1 2+ y2= 1 ,圆 N : x-1 2+ y2= 9 ,动圆 P与圆M 外切并且与圆 N 内 切,圆心 P的轨迹为曲线 C . 求 C 的方程. 【解析】圆M : x+1 2+ y2= 1 ,圆 N : x-1 2+ y2= 9 , 设动圆 P半径为 R . ∵M 在 N 内, ∴动圆只能在 N 内与 N 内切,不能是 N 在动圆内,即: R< 3 动圆 P与圆M 外切,则 PM= 1+R , 动圆 P与圆 N 内切,则 PN= 3-R , ∴PM+PN= 4 ,即 P到M 和 P到 N 的距离之和为定值. ∴P是以M、N 为焦点的椭圆. ∵MN 的中点为原点,故椭圆中心在原点, ∴ 2a= 4,a= 2,2c=MN= 2,c= 1 , ∴ b2= a2- c2= 4- 1= 3 , ∴C 的方程为 x 2 4 + y2 3 = 1 x≠-2 . 题 23 几 法 母题309. 斜线段 AB与平面 α所成的角为 60°,B为斜足,点 P是平面 α上的动点且满足 ∠PAB = 60° ,则动点 P的轨迹是 ( ) A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 【解析】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥, 得到的是圆;把平面渐渐倾斜, 得到椭圆; 当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线. 此题中平面 α上的动点 P满足 ∠PAB= 60° ,可理解为 P在以 AB为轴的圆锥的侧面上, 再由斜线段 AB与平面 α所成的角为 60° ,可知 P的轨迹符合圆锥曲线中抛物线定义. 故可知动点 P的轨迹是抛物线. 故选: B . 题 24 相关点法 母题310. 已知圆 C:x2+ y-3 2= 9 ,过原点作圆 C 的弦 OP ,则 OP的中点 Q的轨迹方程为 【解析】设 Q x,y y≠0 ,则 P 2x,2y , 代入圆 C:x2+ y-3 2= 9 ,可得 4x2+ 2y-3 2= 9 , ∴点 Q的轨迹方程为 x2+ y- 32  2 = 94 y≠0 . 故答案为: x2+ y- 32  2 = 94 y≠0  题 25 离心 围问题 母题311. 设 B是椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的上顶点,若 C 上的任意一点 P都满足 PB  ≤ 2b ,则 C 的离心率的取值范围是 ( ) A. 22 ,1    B. 12 ,1  C. 0, 2 2  D. 0, 1 2  【解析】 法一:两点的距离. 设 P x0,y0 ,则 x20 a2 + y 2 0 b2 = 1 . ∴ x20= a2 1- y20 b2  ∴ PB 2= x20+ y0-b 2= a2 1- y20 b2 + y0-b 2 =- c 2 b2 y20- 2by0+ a2+ b2≤ 4b2∴ c 2 b2 y20+ 2by0+ 3b2- a2≥ 0 令 f y0 = c 2 b2 y20+ 2by0+ 3b2- a2 -b≤y0≤b  对称轴 y0=- b 3 c2 ,开口向上, Δ= 2b 2- 4 c 2 b2 3b2-a2 = 4 b2-c2 2≥ 0 且 f -b = c2+ b2- a2= 0∴只需 y0=- b 3 c2 <-b ,即 b2≤ c2 ,也即 a2≥ 2c2 , ∴可得 0< e≤ 22 . 法二:三角换元 1 设 P acosθ,bsinθ 则 PB 2= acosθ 2+ bsinθ-b 2≤ 4b2 整理得 b 2 a2 ≥ 12 1-sinθ +1 ≥ 12 ∴ e2= 1- b 2 a2 ≤ 12 ∴ 0< e≤ 2 2 法三:三角换元 2 设 P acosθ,bsinθ 则 PB 2= acosθ 2+ bsinθ-b 2≤ 4b2 a2 1-sin2θ + a2-c2  sin2θ-2sinθ-3 ≤ 0 ∴ f sinθ = e2sin2θ+ 2 1-e2 sinθ+ 2- 3e2≥ 0恒成立 ∴ - 2 1-e2  2e2 ≤-1 0<e<1 f -1 ≥0 ∴0<e≤ 22        法四:三角换元 3 设 P acosθ,bsinθ 则 PB 2= acosθ 2+ bsinθ-b 2≤ 4b2 a2 1+sinθ  1-sinθ ≤ 1+sinθ  3-sinθ b2 当 sinθ=-1时,成立 当 sinθ≠-1时, b 2 a2 ≥ 1-sinθ 3-sinθ 又 1-sinθ 3-sinθ < 1- -1  3- -1  = 12 ∴ b 2 a2 ≥ 12 ,0< e≤ 2 2 法五:三角换元 4 设 P acosα,bsinα ,α∈ [0,2π) , 则 PB = acosα 2+ bsinα-b 2 , 因为 PB ≤ 2b ,所以 PB 2≤ 4b2 ,即 acosα 2+ bsinα-b 2≤ 4b2 , 整理则 b2-a2 sinα+a2-3b2  sinα+1 ≤ 0 , 因为 sinα+ 1≥ 0 ,所以 b2-a2 sinα+ a2- 3b2≤ 0 ,即 sinα≥ 3b 2-a2 b2-a2 , 所以 3b 2-a2 b2-a2 ≤ sinα min=-1 ,即 a2≤ 2b2 ,又 b2= a2- c2 , 所以 a2≤ 2a2- 2c2 ,也即 a2≥ 2c2 , 因此离心率 e= ca ≤ 2 2 ,又 e∈ 0,1 ,所以 e∈ 0, 2 2 , 法六:圆 点 B的坐标为 (0, b),因为 C 上的任意一点 P都满足 PB ≤ 2b , 所以点 P的轨迹可以看成以 B为圆心, 2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点, 即 x2 a2 + y 2 b2 =1 x2+ y-b 2=4b2  至多一个解, 消去 x ,可得 b 2-a2 b2 y2- 2by+ a2- 3b2= 0 , ∴Δ= 4b2- 4 ⋅ b 2-a2 b2 ⋅ a2-3b2 ≤ 0 整理可得 4b4- 4a2b2+ a4≤ 0 ,即 a2-2b2 2≤ 0 , 解得 a2= 2b2, ∴ e= 1- b 2 a2 = 22 , 故 e的范围为 0, 22 , 故选: C . 母题312. 若直线 y= 2x与双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>b>0 有公共点,则双曲线的离心率的取值 范围为 ( ) A. 1, 5  B. (1, 5] C. [ 5 , +∞) D. 5,+∞  【答案】D 【解析】双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a>b>0 的渐近线方程为 y=± ba x , 由双曲线与直线 y= 2x有交点,则有 ba > 2 ,即有 e= c a = 1+ b a  2 > 1+4= 5 , 则双曲线的离心率的取值范围为 5,+∞  母题313. 已知双曲线 y2 a2 - x 2 b2 = 1 a,b>0 的上焦点为 F ,过 F 作一条直线 l与直线 x- 4y= 0垂直,若 l与双曲线的上、下支均有公共点, 则双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. 103 ,+∞  B. 17 4 ,+∞  C. 5 2 ,+∞  D. 2,+∞  【解析】由题意可知, F 0,c ,直线 l斜率为 -4,则 l的方程为 y=-4x+ c , 设 l与双曲线上、下支的交点分别为 A x1,y1 ,B x2,y2 , 联立直线 l与双曲线方程 y=-4x+c y2 a2 - x 2 b2 =1  ,消去 x得 16b2-a2 y2+ 2a2cy- a2c2- 16a2b2= 0 , 由 l与双曲线上、下支均有交点,得 16b2- a2≠ 0 ,且 y1> 0,y2< 0 , 由韦达定理得 y1+ y2=- a 2c2+16a2b2 16b2-a2 < 0 ,则 16b2- a2> 0 , 即 16 c2-a2 > a2 ,则 16c2> 17a2 , 可得 e2= c 2 a2 > 1716 且 e> 1 ,解得 e> 17 4 , 所以离心率的取值范围是 174 ,+∞ . 【答案】B . 题 26 弦长 母题314. 已知椭圆M : x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的离心率为 63 ,焦距为 2 2 . 斜率为 k的直线 l与椭圆M 有 两个不同的交点 A,B . (I)求椭圆M 的方程; (II)若 k= 1 ,求 AB  的 大值; 【解析】( I )由题意得 2c= 2 2 ,所以 c= 2 , 又 e= ca = 6 3 ,所以 a= 3 ,所以 b 2= a2- c2= 1 , 所以椭圆M 的标准方程为 x 2 3 + y 2= 1 . (II)设直线 AB的方程为 y= x+m , 由 y=x+m x2 3 +y 2=1  消去 y可得 4x2+ 6mx+ 3m2- 3= 0 , 则 Δ= 36m2- 4× 4 3m2-3 = 48- 12m2> 0 ,即m2< 4 , 设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,则 x1+ x2=- 3m2 ,x1x2= 3m2-3 4 , 则 AB = 1+k2 x1-x2 = 1+k2 ⋅ x1+x2 2-4x1x2= 6× 4-m 2 2 , 易得当m2= 0时, AB max= 6 ,故 AB  的 大值为 6 . 母题315. 已知直线 l:y= k x-1 与 x轴交于点 F ,与椭圆 x 2 4 + y2 3 = 1交于 A,B两点. 证明: 1 AF  + 1 BF  为定值. 【解析】由椭圆方程知 a2= 4,b2= 3,c2= a2= b2= 1 又由直线 l:y= k x-1 知, F 1,0 ,即为椭圆的右焦点. 联立椭圆与直线方程得: 3+4k2 x2- 8k2x+ 4k2- 12= 0 设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,则 x1+ x2= 8k 2 3+k2 ,x1x2= 4k 2-12 3+4k2 . 又 y1y2= k2 x1-1 x2-1 = k2 x1x2- x1+x2 +1  = k2 4k 2-12 3+4k2 - 8k 2 3+4k2 +1  = -9k2 3+4k2 由弦长公式得: AB = 1+k2 x1+x2 2-4x1x2= 64k 4 3+4k2 2- 16 k2-3  3+4k2 = 12 k2+1  3+4k2 又 AF  BF = x1-1 2+y21 ⋅ x2-1 2+y22 = y1k  2 +y21 ⋅ y2 k  2 +y22= 1+k2 y1y2  k2 = 1+k 2 k2 ⋅ 9k 2 3+4k2 = 9 1+k2  3+4k2 所以 1 AF  + 1 BF  = AB  AF  BF  = 43 题 27 中点弦问题 母题316. 过椭圆 4x2+ 5y2= 20内一点 P 1,1 引一条恰好被 P点平分的弦,则这条弦所在直线 的方程是 ( ) A. 4x+ 5y- 9= 0 B. 5x+ 4y- 9= 0 C. 4x- 5y+ 1= 0 D. 5x- 4y- 1= 0 【答案】A 【解析】由 4x21 + 5y21 = 20,4x22+ 5y22= 20 ,作差得 4 x21-x22 + 5 y21-y22 = 0 ∴ 4 2×1 + 5 2×1 k= 0∴ k=- 45 ∴ y- 1=- 4 5 x-1 ∴ 4x+ 5y- 9= 0 ,选 A . 母题317. 过点 Q 13 , 4 3 作直线与双曲线 x 2- y 2 4 = 1交于 A,B,Q为弦 AB的中点. ( 1 )求 AB所在直线的方程；( 2 )求 AB  的长. 【答案】 1 x- y+ 1= 0 (2) 8 23 【解析】设 A x1,y1 ,B x2,y2 , ∴ 4x21-y21=4 4x22-y22=4  , 两式相减得 4 x1+x2 x1-x2 - y1+y2 y1-y2 = 0 , ∴ 4× 23 x1-x2 - 8 3 y1-y2 = 0, ∴ k= 1 . 所以直线的方程为 y- 43 = x- 1 3 即 x- y+ 1= 0 . ( 2 )联立直线和双曲线的方程消去 y得 3x2- 2x- 5= 0 , ∴ AB = 1+12 ⋅ 4+603 = 8 3 2 . 所以 AB = 8 23 . 母题318. 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F 1,0 ,直线 l与抛物线 C 相交于 A,B 两点. 若 AB的中点为 (2,2),则直线 l的方程为 【答案】y= x 【解析】kAB= p y中 = 22 = 1 题 28 特殊图形 母题319. 已知椭圆 C:9x2+ y2=m2 m>0 ,直线 l不过原点 O且不平行于坐标轴, l与 C 有两 个交点 A,B , 线段 AB的中点为M . (1)证明:直线 OM 的斜率与 l的斜率的乘积为定值; (2)若 l过点 m3 ,m ,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB能否为平行四边形?若 能,求此时 l的斜率;若不能,说明理由. 【解析】(1)设直线 l:y= kx+ b, k≠0,b≠0 ,A x1,y1 ,B x2,y2 ,M xM,yM , 将 y= kx+ b代入 9x2+ y2=m2 m>0 ,得 k2+9 x2+ 2kbx+ b2-m2= 0 , 则判别式 Δ= 4k2b2- 4 k2+9  b2-m2 > 0 , 则 x1+ x2=- 2kb9+k2 ,则 xM= x1+x2 2 =- kb 9+k2 ,yM= kxM+ b= 9b 9+k2 , 于是直线 OM 的斜率 kOM= yM xM =- 9 k , 即 kOM ⋅ k=-9 , ∴直线 OM 的斜率与 l的斜率的乘积为定值. (2)四边形 OAPB能为平行四边形. ∵直线 l过点 m3 ,m , ∴由判别式 Δ= 4k2b2- 4 k2+9  b2-m2 > 0 , 即 k2m2> 9b2- 9m2 , ∵ b=m- k3 m, ∴ k2m2> 9 m- k3 m  2 - 9m2 , 即 k2> k2- 6k , 即 6k> 0 , 则 k> 0 , ∴ l不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k> 0,k≠ 3 , 由 (1)知 OM 的方程为 y=- 9 k x , 设 P的横坐标为 xP , 由 y=- 9 k x 9x2+y2=m2  得 x2P= k2m2 9k2+81 ,即 xP=± km 3 9+k2 , 将点 m3 ,m 的坐标代入 l的方程 得 b= m 3-k  3 , 即 l的方程为 y= kx+ m 3-k  3 , 将 y=- 9 k x ,代入 y= kx+ m 3-k  3 , 得 kx+ m 3-k  3 =- 9 k x 解得 xM= k k-3 m 3 9+k2  , 四边形 OAPB为平行四边形当且仅当线段 AB与线段 OP互相平分,即 xP= 2xM , 于是 ± km 3 9+k2 = 2× k k-3 m 3 9+k2  , 解得 k1= 4- 7 或 k2= 4+ 7 , ∵ ki> 0,ki≠ 3,i= 1,2 , ∴当 l的斜率为 4- 7 或 4+ 7 时,四边形 OAPB能为平行四边形. 题 29 积比 母题320. 设椭圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的右顶点为 A ,上顶点为 B . 已知椭圆的离心率为 5 3 , AB = 13 . (I)求椭圆的方程; (II)设直线 l:y= kx k<0 与椭圆交于 P,Q两点,直线 l与直线 AB 交于点 M ,且点 P,M 均在第四象限. 若 △BPM 的面积是 △BPQ面积的 2倍,求 k的值. 【解析】(1)设椭圆的焦距为 2c , 由已知可得 c 2 a2 = 59 ,又 a 2= b2+ c2 , 解得 a= 3,b= 2 , ∴椭圆的方程为: x 2 9 + y2 4 = 1 , (II)设点 P x1,y1 ,M x2,y2 , x2>x1>0 . 则 Q -x1,-y1 . ∵△BPM 的面积是 △BPQ面积的 2倍, ∴ PM = 2 PQ  ,从而 x2- x1= 2 x1- -x1  , ∴ x2= 5x1 , 易知直线 AB的方程为: 2x+ 3y= 6 . 由 2x+3y=6 y=kx  ,可得 x2= 6 3k+2 > 0 . 由 4x2+9y2=36 y=kx  ,可得 x1= 6 9k2+4 , ⇒ 9k2+4= 5 3k+2 ,⇒ 18k2+ 25k+ 8= 0 ,解得 k=- 89 或 k=- 1 2 . 由 x2= 63k+2 > 0 . 可得 k>- 2 3 ,故 k=- 1 2 , 题 30 积 值 母题321. 已知点 F 1,0 ,动点M 到直线 l:x= 4的距离为 d ,且 MF  d = 12 ,设动点M 的轨迹 为曲线 E . (1)求曲线 E的方程; (2)过点 F 作互相垂直的两条直线,分别交曲线 E 于点 A , B 和 C , D ,求四边形 ABCD面 积的 小值. 【解析】 (1)设M x,y , ∵ MF = 12 d, ∴ x-1  2+y2= 12 x-4  . 整理得曲线 E的方程为 x 2 4 + y2 3 = 1 . (2)解法一:当直线 AB的斜率为 0时. AB = 2a= 4, CD = 2b 2 a = 3, ∴四边形 ACBD的面 积 S= 12 AB  × CD = 6. 当直线 AB的斜率不为 0时,设直线 AB的方程为 x= ty+ 1,A x1,y1 ,B x2,y2 . 联立 x=ty+1 3x2+4y2=12  ,消去 x得 3t2+4 y2+ 6ty- 9= 0 ,由已知可知 Δ> 0恒成立, 并且有 y1+ y2= -6t3t2+4 ,y1y2= -93t2+4 ∴ AB = 1+t2  y1+y2 2-4y1y2 = 1+t2  -6t3t2+4  2 + 36 3t2+4    = 12 t2+1  3t2+4 . ∵直线 AB,CD互相垂直, ∴同理可求得 CD = 12 t2+1  3+4t2 . ∴四边形 ACBD的面积 S= 12 AB  × CD = 72 t2+1 2 3t2+4  3+4t2  = 6 1- 1 12t2+ 12 t2 +25       ≥ 6 1- 1 2 12t2× 12 t2 +25       = 28849 ,当且仅当 12t 2= 12 t2 ,t=±1时取等号. ∵ 28849 < 6, ∴四边形 ACBD面积的 小值为 288 49 . (2)解法二:当直线 AB的斜率不存在时,可求出 A 1, 32 ,B 1,- 3 2 ,C -2,0 ,D 2,0 . ∴ AB = 3, CD = 4 . 二、四边形 ACBD的面积 S= 12 AB  × CD = 6 . 当直线 AB的斜率存在且不为 0时,设直线 AB的方程为 y= k x-1 ,A x1,y1 ,B x2,y2 . 联立 y=k x-1  3x2+4y2=12  ,消去 y得 3+4k2 x2- 8k2x+ 4k2- 12= 0 . 由已知可知 Δ> 0恒成立, 并且有 x1+ x2= 8k 2 3+4k2 ,x1x2= 4k 2-12 3+4k2 . ∴ AB = 1+k2  x1+x2 2-4x1x2 = 1+k2  8k 2 3+4k2  2 -4 ⋅ 4k 2-12 3+4k2    = 12 1+k2  3+4k2 . ∵直线 AB,CD互相垂直, ∴用 - 1 k 替换上式中的 k可求得 CD = 12 k2+1  3k2+4 . ∴四边形 ACBD的面积 S= 12 AB  × CD = 72 k2+1 2 3k2+4  3+4k2  = 6 1- 1 12k2+ 12 k2 +25       ≥ 6 1- 1 2 12k2× 12 k2 +25       = 28849 ,当且仅当 12k 2= 12 k2 ,即 k=±1时取等号. ∵ 28849 < 6, ∴四边形 ACBD面积的 小值为 288 49 . 题 31 定点问题 母题322. 已知抛物线 C:y2= 4x ,过点 P -1,0 任作一直线交抛物线于点 A,B ,点 C 为 B关于 x轴的对称点,则直线 AC 恒过定点 ( ) A. (1,0) B. (0,1) C. (2,0) D. 12 ,0  【解析】设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,则 C x2,-y2 , 设直线 AB的方程: x= ty- 1 ,联立 y2=4x x=ty-1  ,整理得 y2- 4ty+ 4= 0, ∴ y1y2= 4 , 直线 AC 的方程为 y- y1= y1+y2 x1-x2 x-x1 , 令 y= 0,x= x2y1+x1y2y1+y2 = y22y1 4 + y21y2 4 y1+y2 = y1y24 = 1 , ∴直线 AC 恒过定点 (1,0), 故选: A . 母题323. 已知椭圆 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的右焦点为 F 1,0 ,左顶点为 A -2,0 . (1)求椭圆 E的方程; (2)过点 A作两条相互垂直的直线分别与椭圆 E 交于 (不同于点 A的)M ,N 两点. 试判断直 线MN 与 x轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 【解析】(1)根据题意,椭圆 E: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的右焦点为 F 1,0 , 左顶点为 A -2,0 ,则 c= 1,a= 2 , 则 b2= a2- c2= 3 . 所以椭圆 E的方程为 x 2 4 + y2 3 = 1 . (2)根据题意, ① 当直线MN 与 x轴垂直时,直线 AM 的方程为 y= x+ 2 , 联立 y=x+2 3x2+4y2=12  得 7x2+ 16x+ 4= 0 ,解得 x=- 2 7 或 x=-2 (舍去). 此时直线MN 的方程为 x=- 27 . 直线MN 与 x轴的交点为 - 2 7 ,0 . ② 当直线MN 不垂直于 x轴时,设直线MN 的方程为 y= kx+m . 联立 y=kx+m 3x2+4y2=12  得 4k2+3 x2+ 8kmx+ 4m2- 12= 0 . 设M x1,y1 ,N x2,y2 , 则 x1+ x2=- 8 km4k2+3 ,x1x2= 4m 2-12 4k2+3 ,y1y2= 3m 2-12k2 3+4k2 , 且 Δ= 8 km 2- 4 4k2+3  4m2-12 > 0 ,即m2< 4k2+ 3 . 而 AM  = x1+2,y1 ,AN  = x2+2,y2 , 由题意知, AM  ⊥AN  , 即 AM  ⋅AN  = x1x2+ 2 x1+x2 + y1y2+ 4= 7m 2-16 km+4k2 4k2+3 = 0 , 解得m= 27 k或m= 2k (舍去). 当m= 27 k时,满足m 2< 4k2+ 3 . 直线MN 的方程为 y= k x+ 27 ,此时与 x轴的交点为 - 2 7 ,0 . 故直线MN 与 x轴的交点是定点,坐标为 - 27 ,0 . 题 32 定值问题 母题324. 如图,已知抛物线 C:y2= 2px经过点 P 1,2 ,过点 Q 0,1 的直线 l与抛物线 C 有两 个不同的交点 A,B . (1)求直线 l的斜率的取值范围； (2)设 O为原点,直线 PA交 y轴于 M ,直线 PB 交 y轴于 N . OQ  = λMQ  ,OQ  = μNQ  ,求 证: λ+ μ为定值. 【解析】(1)抛物线 C:y2= 2px经过点 P 1,2 , ∴ 4= 2p ,解得 p= 2 , 设过点 (0,1)的直线方程为 y= kx+ 1,A x1,y1 ,B x2,y2 ; 联立方程组可得 y2=4x y=kx+1  , 消 y可得 k2x2+ 2k-4 x+ 1= 0 , ∴Δ= 2k-4 2- 4k2> 0 ,且 k≠ 0解得 k< 1 , 故直线 l的斜率的取值范围 -∞,0 ∪ 0,1 ; (2)证明:设点M 0,yM ,N 0,yN , 则MQ  = 0,1-yM ,OQ  = 0,1 ； 因为 OQ  = λMQ  ,所以 1= λ 1-yM ,故 λ= 1 1-yM ,同理 μ= 11-yN , 直线 PA的方程为 y- 2= 2-y11-x1 x-1 = 2-y1 1- y 2 1 4 x-1 = 42-y1 x-1 , 令 x= 0 ,得 yM= 2y1 2+y1 ,同理可得 yN= 2y2 2+y2 , 因为 λ+ μ= 11-yM + 11-yN = 2+y12-y1 + 2+y22-y2 = 8-2y1y2 2-y1  2-y2  = 8-2 kx1+1 kx2+1  1-k x1+x2 +k2x1x2 = 8-2 k2x1x2+k x1+x2 +1  1-k x1+x2 +k2x1x2 = 8-2 1+ 4-2kk +1  1- 4-2kk +1 = 2, 即有 λ+ μ为定值. 母题325. 已知抛物线 C:y2= 2px经过点 P 1,2 ,过点 Q 0,1 的直线 l与抛物线 C 有两个不同 的交点 A,B , 且直线 PA交 y轴于M ,直线 PB交 y轴于 N . (I)求直线 l的斜率的取值范围; (II)设 O为原点, QM  = λQO  ,QN  = μQO  ,求证: 1 λ + 1μ 为定值. 【解析】( I ) ∵抛物线 C:y2= 2px经过点 P 1,2 , ∴ 4= 2p ,解得 p= 2 , 设过点 (0,1)的直线方程为 y= kx+ 1,A x1,y1 ,B x2,y2  联立方程组可得 y2=4x y=kx+1  ,消 y可得 k2x2+ 2k-4 x+ 1= 0 , ∴Δ= 2k-4 2- 4k2> 0 ,且 k≠ 0解得 k< 1 , 且 k≠ 0,x1+ x2=- 2k-4k2 ,x1x2= 1k2 , 又 ∵PA、PB要与 y轴相交, ∴直线 l不能经过点 (1, - 2),即 k≠-3 , 故直线 l的斜率的取值范围 -∞,-3 ∪ -3,0 ∪ 0,1 ; (II)证明:设点M 0,yM ,N 0,yN , 则 QM  = 0,yM-1 ,QO  = 0,-1  因为 QM  = λQO  ,所以 yM- 1=-λ ,故 λ= 1- yM ,同理 μ= 1- yN , 直线 PA的方程为 y- 2= 2-y11-x1 x-1 = 2-y1 1- y 2 1 4 x-1 = 42+y1 x-1 , 令 x= 0 ,得 yM= 2y1 2+y1 ,同理可得 yN= 2y2 2+y2 , 因为 1 λ + 1μ = 1 1-yM + 11-yN = 2+y12-y1 + 2+y22-y2 = 8-2y1y2 2-y1  2-y2  = 8-2 kx1+1 kx2+1  1-k x1+x2 +k2x1x2 = 8-2 k2x1x2+k x1+x2 +1  1-k x1+x2 +k2x1x2 = 8-2 1+ 4-2kk +1  1- 4-2kk +1 = 4-2× 4-2kk 2- 4-2kk = 2, ∴ 1 λ + 1μ = 2, ∴ 1 λ + 1μ 为定值. 母题326. 已知椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的离心率为 32 ,点 1,- 3 2 在椭圆上. 不过原 点的直线 l与椭圆交于 A,B两点,且 OA  ⋅OB  = 0 O为坐标原点 . (1)求椭圆 C 的方程； ( 2 )试判断 1 OA 2 + 1 OB 2 是否为定值？若是,求出这个值；若不是,请说明理由. 【解析】(本小题满分 12分) ( 1 ) ∵椭圆 C 的离心率 e= ca = 3 2 ,又 c 2= a2- b2 , ∴ 34 a 2= a2- b2, ∴ a2= 4b2 . 又点 P 1,- 32 在椭圆上, ∴ 1 a2 + 3 4b2 = 1 , 即 1 4b2 + 3 4b2 = 1, ∴ b2= 1 ,则 a2= 4 , ∴椭圆 C 的方程为 x 2 4 + y 2= 1 . (2)当直线 OA的斜率存在且不为 0时, 设其方程为 y= kx , ∵A,B分别为椭圆上的两点,且 OA  ⋅OB  = 0 , 即 OA⊥OB, ∴直线 OB的方程为 y=- 1 k x . 设 A x1,y1 ,B x2,y2 , 把 y= kx代入椭圆 C: x 2 4 + y 2= 1 , 得 x21= 41+4k2 , ∴ y21= 4k 2 1+4k2 , 同理 x22= 4k 2 4+4k2 , ∴ y22= 44+k2 , ∴ 1 OA 2 + 1 OB 2 = 1 x21+y21 + 1 x22+y22 = 1 4 1+4k2 + 4k2 1+4k2 + 1 4k2 4+k2 + 4 4+k2 = 54 当直线 OA,OB中的一条直线的斜率不存在时,则另一条直线的斜率为 0, 此时 1 OA 2 + 1 OB 2 = 1 a2 + 1 b2 = 14 + 1= 5 4 . 综上所述, 1 OA 2 + 1 OB 2 为定值 54 . 题 33 角 与点 关系 母题327. 已知椭圆 C 的对称轴为坐标轴,焦点在 x轴上,离心率为 12 ,且经过点 1, 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 y= kx- 2与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 OM  = 13 OA  ,ON  = 23 OB  ,若原点 O 在以MN 为直径的圆外,求 k的取值范围. 【解析】(1)依题意,可设椭圆 E的方程为 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0  ∵离心率为 12 , ∴ c a = 1 2 ,即 a= 2c , ∴ b2= a2- c2= 3c2 , ∵椭圆经过点 1, 32 , ∴ 1 4c2 + 9 4 3c2 = 1 解得 c2= 1 ∴ a2= 4,b2= 3 ∴椭圆的方程为 x 2 4 + y2 3 = 1 . (2)记 A、B两点坐标分别为 A x1,x2 ,B x2,y2 , 由 y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1  消去 y ,得 4k2+3 x2- 16kx+ 4= 0 , ∵直线与椭圆有两个交点, ∴Δ= 16k 2- 16 4k2+3 > 0, ∴ k2> 14 , 由韦达定理 x1+ x2= 16k4k2+3 ,x1x2= 44k2+3 , ∵原点 O在以MN 为直径的圆外, ∴∠MON 为锐角 ∵OM  = 13 OA  ,ON  = 23 OB  ∴∠AOB为锐角 ∴OA  ⋅OB  > 0 ∵OA  ⋅OB  = x1x2+ y1y2= x1x2+ kx1-2 kx2-2 = k2+1 x1x2- 2k x1+x2 + 4 = k2+1 × 4 4k2+3 - 2k× 16k 4k2+3 + 4= -12k 2+16 4k2+3 ∴ -12k 2+16 4k2+3 > 0 ∴ k2< 43 ∵ k 2> 14 , ∴ 1 4 < k 2< 43 ∴ k的取值范围为 - 2 33 ,- 1 2 ∪ 1 2 , 2 3 3  母题328. 已知m> 1 ,直线 l:x-my- m 2 2 = 0 ,椭圆 C: x2 m2 + y2= 1,F1、F2 分别为椭圆 C 的 左、右焦点. (1)当直线 l过右焦点 F2 时,求直线 l的方程; (2)设直线 l与椭圆 C 交于 A、B 两点, △AF1F2 、△BF1F2 的重心分别为 G、H . 若原点 O在以线段 GH 为直径的圆上,求实数 m的值. 【解析】(1)因为 l:x-my- m 2 2 = 0经过 F2 m 2-1,0 ,所以 m2-1= m 2 2 , 得m2= 2 ,又因为m> 1 ,所以m= 2 , 故直线 l的方程为 x- 2y- 1= 0 ; (2)设 A x1,y1 ,B x2,y2 , 由 x=my+ m 2 2 x2 m2 +y2=1      ,消去 x得 2y2+my+ m 2 4 - 1= 0 , 则由 Δ=m2- 8 m 2 4 -1 =-m2+ 8> 0 ,知m2< 8 , 且有 y1+ y2=-m2 ,y1 ⋅ y2= m2 8 - 1 2 , 由于 F1 -c,0 ,F2 c,0 ,可知 G x1 3 , y1 3 ,H x2 3 , y2 3 , 由题意可知 OG  ⋅OH  = 0,x1x2+ y1y2= 0 , 而 x1x2+ y1y2= my1+ m 2 2 my2+ m2 2 + y1y2= m2+1  m2 8 - 1 2 , 所以 m 2 8 - 1 2 = 0,m 2= 4 ,满足 Δ> 0 ,又因为m> 1 ,所以m= 2 .