第4章 平面内的两条直线 课堂训练-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年新教材七年级下册数学（湘教版2024）

第4章平面内的两条直线 4.1平面内两条直线的位置关系 4.1.1平行线 知识梳理♪ 在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线.平行用符号“∥”表示， 相关概念 如：直线AB与CD平行，记作 平行线 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系： 与 基本事实 过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行 推论 平行于同一条直线的两条直线平行，即如果a∥b,c∥b,那么 解题策略 平行具有传递性，平行于同一条直线的所有直线都相互平行 针对训练 1.下列图形中，存在平行关系的直线是 ( A.AB与CD B.AD与BC C.AD与AB D.AB与BC A.DH∥CG B.AD∥BC C.CD∥BF D.AE∥BF 方6 5.在同一平面内，直线AB与CD没有交点， (第1题图) (第2题图) 那么AB与CD的位置关系是 2.如图所示的两条平行直线用符号表示正 6.如图，按要求完成作图. 确的是 ( ) (1)过点C作CE∥AB,过点D作DF∥ A.A∥B B.D∥B AB; C.AC∥BD D.a∥b (2)判断CE与DF的位置关系，并说明 3.如图，在直线1外任取一点Q,过点Q画直 理由. 线1的平行线，可画出的平行线有( A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 4.如图，把教室中墙壁的棱看作直线的一 部分，那么下列表示两条棱所在的直线 的位置关系不正确的是 ( ·23· 4.1.2相交直线所成的角 知识梳理♪ 两个角有一个公共顶点，且其中一个角的两边分别是另 定义 一个角两边的 ,这样的一对角叫作对顶角.如 对顶角 图，∠1与 ,∠2与 互为对顶角 性质 对顶角 如图，∠1= ,∠2= 在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧的一对角叫作 同位角 同位角.如图，∠1与 ,∠2与 ,∠3与 ∠4与 是同位角 2 B 在两条被裁直线之间，并且分别在戴线的两侧的一对角叫作内 内错角 6 D 错角.如图，∠3与 ,∠4与 是内错角 在两条被裁直线之间，并且在截线的同一旁的一对角叫作同旁 同旁内角 内角.如图，∠3与 ,∠4与 是同旁内角 同位角、内错角、同旁内角的识别： 解题策略 同位角的结构形如“℉”；内错角的结构形如“Z”;同旁内角的结构形如“U” 针对训练 1.如图，∠B的同旁内角是 ( 4.根据图中信息填空： A.∠1 B.∠2 (1)∠1与∠2是直线c与直线d被直线 C.∠3 D.∠4 a所截形成的 角； (2)∠2与 是直线a与直线b被 D 24 直线d所截形成的同位角； E (3)∠3与∠4是直线c与直线 被 B (第1题图) (第2题图) 直线 所截形成的 2.如图，∠1与∠2是 ( 5.如图，直线AB,CD相交于点O,OB平 A.对顶角 B.同位角 分∠EOC.若∠EOC=70°，求∠AOD和 ∠AOE的度数. C.内错角 D.同旁内角 3.如图，直线AB,CD相交于点O,若 ∠1+∠2=70°，则∠1的度数是( ) A.70° B.40° C.50° D.35 B (第3题图) (第4题图) ·24· 4.2平移 知识梳理 把图形(I)上每一个点沿同一 移动相同的 ,得到另一个图形 定义 (Ⅱ)，我们把图形的这种变换叫作平移.它由移动的 和 所决定 原图形(I)叫作原像，平移到新位置后的图形（Ⅱ）叫作原图形在平移下的像 平移 (1)一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 (或在 基本 上)且 性质 (2)平移保持任意两点间 不变，保持角的 不变； (3)直线在平移下的像是与它 的直线（或者与它是同一条直线） 针对训练 1.下列现象不属于平移的是 )5.如图，在边长为1个单位长度的正方网格 A.飞机起飞前在跑道上加速滑行 中，△ABC的顶点A,B,C均在正方形的顶 B.电梯的上下移动 点上，将△ABC先向右平移3个单位长度， C.游乐场的过山车在翻筋斗 再向上平移2个单位长度得到△ABC, D.起重机将重物由地面竖直吊起到一 在图中画出平移后的△ABC. 定高度 2.如图，△DEF经过平移可以得到 △ABC,那么∠C的对应角和DE的对 应边分别是 A.∠F,AC B.∠BOD,AB C.∠F,AB D.∠BOD,AC 6.如图，将△ABC沿射线AB的方向移动 3.如图，△ABC沿直线BD向右平移得到 2cm到△DEF的位置. △ECD.若∠B=35°，则∠BCE的度数 (1)写出图中所有平行的直线； 为 (2)写出图中与AD相等的线段，并写出 其长度 (第3题图) (第4题图) 4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到 △DEF.若EF=2CE,AD=6,则CE的 长为 ·25· 4.3平行线的性质 知识梳理♪ 性质1 两直线平行，同位角 如图，若AB∥CD,则∠1= ,∠2= 两直线平行，内错角 性质2 如图，若AB∥CD,则∠3= 两直线平行，同旁内角 性质3 如图，若AB∥CD,则∠3+∠5= 针对训练 1.如图，直线a,b被直线c所截，且a∥b. A.50° B.40° C.30° D.45 若∠1=45°，则∠2的度数为 ( A.45° /G B.115° (第4题图) (第5题图) C.125° 5.如图，AB∥DE,BC∥EF,AB与EF交于点 D.135 G.若∠E=130°，则∠B的度数为 2.如图，若AB∥CD,∠1=105°，则∠2的 6.如图，AD∥EF,AB∥DG.试说明：∠1= 度数为 ( A.65 B.75 C.85 D.105 ∠2. 2 D (第2题图) (第3题图) 3.如图，在墙面上安装某一管道需经两次 拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平 行（忽略管道宽度）.若第一个弯道处 ∠B=140°，则第二个弯道处∠C=140°， 7.如图，AB∥EF∥CD,∠ABC=45°， 能解释这一现象的数学知识是() ∠E=155°，求∠BCE的度数. A.两直线平行，内错角相等 B.两直线平行，同旁内角相等 C.两直线平行，同位角相等 D.两直线平行，同旁内角互补 4.如图，点B在直线b上，直线a∥b,若 ∠ABC=90°，∠1=50°，则∠2的度数为 ( ·26· 4.4平行线的判定 第1课时 平行线的判定方法1 知识梳理 同位角 ,两直线平行 判定方法1 如图，若∠1= (或∠2= ),则AB∥CD 针对训练 1.如图，小明学习“探索直线平行的条件” 时，经测量∠2=75°.要使木条a与b平 行，则∠1的度数应为 A.45° (第4题图) (第5题图) B.75° 5.如图，已知AB∥CD,∠1=∠2，试说明： C.105° CD∥EF.请将解题过程补充完整，并在 D.135 括号内填上解题依据。 2.如图，直线a,b被直线c,d所截，∠1= 解：因为∠1=∠2， ∠2=60°，∠3=100°，则∠4的度数是 所以 因为AB∥CD, A.120 B.100° 所以CD∥ 6.如图，AD∥BC,∠1=∠2.试说明： C.80° D.60 BE∥DF. D (第2题图) (第3题图) 3.如图，若∠1=∠3，则下列结论一定成立 的是 A.∠1=∠4 B.∠3=∠4 C.∠1+∠2=180°D.∠2+∠4=180 4.如图，过直线外一点作已知直线的平行 线，其依据是 ·27· 第2课时平行线的判定方法2,3 知识梳理♪ 内错角 ,两直线平行 判定方法2 如图，若∠3= ,则AB∥CD 5 同旁内角 ,两直线平行 判定方法3 如图，若∠3十∠5= ,则AB∥CD 针对练 1.如图，∠1=80°，要使得m∥n,则∠2的5.如图. 度数是 ( ) A.120° B.110° C.100° D.80 (1)由∠1=∠4，可以推出 理由是 2 (2)由∠2=∠，可以推出AD∥BC, D 理由是 (第1题图) (第2题图) (3)由∠ABC+∠BCD=180°，可以推出 2.如图，已知点B在射线DE上，若 ,理由是 ∠ABD与∠CDE互补，则直线AB与 CD的位置关系是 (4)由∠5=∠ ,可以推出AB∥ A.平行 B.相交 CD,理由是 C.平行或相交 D.无法判断 6.如图，已知∠A=∠C,∠E=∠F.试说 3.如图，∠1十∠2=180°，则下列结论正确 的是 明：AD∥BC ( ) A.∠1=∠3 B.∠3+∠4=180° C.∠3=∠5 D.∠2+∠4=180 E 又4一公 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB, ∠1=∠2=36°，则∠3的度数为 ·28· 4.5垂线 第1课时垂线 知识梳理 在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一 个角是直角（此时可知其余三个角也是直角），则称这两 定义 条直线互相 ,其中一条直线叫作另一条直线的 垂线 垂线，它们的交点叫作 垂直用符号“⊥”表示， 如图，AB⊥CD,垂足为O 与平行线 在同一平面内，如果直线a⊥l,b⊥l,那么a b;如 的关系 果直线a∥b,l⊥a,那么Lb 针对训练 1.如图，经过点O的直线a,b,c,d中，有一 (1)若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为 条直线与直线1垂直，请借助三角尺判 断，与直线l垂直的直线是 ( ) (2)若∠BOE:∠BOD=2:3,求 A.a B.6 C.c D.d ∠BOC的度数. D (第1题图) (第2题图) 2.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若 ∠AOC=124°，则∠BOD的度数是 ( A.56° B.46° C.34° D.24° 3.将一把直尺和一块直角三角尺按照如图 5.如图，已知∠A=∠D,AE⊥BC于点G, 所示的方式放置，直尺的一边DE经过 DF⊥BC于点H,试说明：AB∥CD. 顶点A,其中∠C=90°，∠BAC=30°.若 DE∥BC,则∠BAD的度数为 ( A.100 B.120° C.135° D.150° 4.如图，直线AB与CD相交于点O,OE1 CD,垂足为O. ·29· 第2课时 垂线段及其性质 知识梳理♪ 基本事实 在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直 垂线段 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短 的性质 简单说成： 点到直线 从直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离 的距离 针对训练♪ 1.如图，经过直线1外一点A作L的垂线，5.如图，C是河边AB外一点，现欲用水管 能画出 从河边AB将水引到C处，请作出所需 A.0条 水管最短的铺设方案，并说明其中的数 B.1条 学依据。 C.2条 D.无数条 2.过点A画线段BC所在直线的垂线段， 其中正确的是 6.如图，在边长为1的正方形网格中，点 A,B,C都在格点上. (1)过点A作直线BC的垂线，垂足为G: (2)过点A作直线AH⊥AB,垂足为A, D 交BC于点H; 3.如图，AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点 (3)点A到直线BC的距离为 E,表示点D到直线AB距离的是线段 的长 (第3题图) (第4题图) 4.如图，AB⊥4，AC⊥2，已知AB=12, BC=5,AC=13,则点A到直线11的距离 是 ,点C到直线2的距离是 ·30· 4.6两条平行线间的距离 知识梳理♪ 公垂线 与两条平行直线都 的直线，叫作这两条平行直线的公垂线 定义 连接两条平行直线的公垂线的两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段 公垂线段 性质 两条平行线的所有公垂线段都 平行线间 两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离； 的距离 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离 解题策略 两条平行线间的距离处处相等 针对训练 1.如图，直线a∥b,则直线a,b之间的距4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的 离是 边长都为1，则两平行直线AB,CD之间 A.线段CD的长度 的距离是 B.线段AC的长度 C.线段AB的长度 D.线段BD的长度 C D (第4题图) (第5题图) 2.如图，直线a∥b,AB⊥直线b,垂足为 5.如图，点A,B在直线l1上，点C,D在直 D,交直线a于点C,FGL直线a,垂足为 线l2上，l1∥2，AC⊥4，BD⊥2，AC= G,连接AF,交直线a于点E. 2cm,则BD的长为 cm (1)平行线a,b的公垂线是 6.如图，AD∥BC,AG⊥BC,垂足为G,DHI (2)平行线a,b的公垂线段是 BC,垂足为H,△ABF的面积与△DEC 的面积相等，试说明：BF=EC B (第2题图) (第3题图) B GEFH 3.如图，地面上一样长的电线杆AB,CD 与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶 端A,C两点之间的距离，他没有梯子， 于是就测量了底端B,D两点之间的距 离，他认为B,D两点之间的距离等于 A,C两点之间的距离，你认为对吗？ (填“对”或“不对”)，依据是 ·31·2.3实数 >y一6.所以主一6y一6不我义.(2)不成立.想由如下，因为士>y,根据 5山寸2士十 2.3.1认识实数 不等式的基本性质2，得>3少.所以3<3y不成立.()成立.理由如下) 知识核理 国为>y,根据不等式的精本性质2，得2：>y银据不等式的林本性衡 3》去分，得上>6一3(4上).去桥号，得>6-12+3z.移明，合并同类 无用数零零 1,每2x+1>2y+1,所以2x+1>2y+1我立. 项，得一2红>一6.背边都以一2，得<3.原不等式的解集在数轴上的表 针对祥解 7.解：因为5<2，根据不等式的基本性质1，得万一1<2一1，即w/万一1<1. 示如图所示。 1A1.A3C4,±3 又因为宁>0，根轻不等式的环本性质么，南一<宁 古0十十才 5-540瓦，受。-1.2988数3882（相邻周个2之间依次多-个 第2课时不等风的蒸本放盾3 5解：由题意，相一号x+1-1,解得公5，斯以当x用小于线等于5的 3).2蛋8，号，V2匹，314-5，-1.232523332（相第周个2之间 妇织撞理 政变< 实数代人，能修使多项式一导十1的植大于度等于一1，其中物足条作的 依改家一个3) 针对调练 正整数有1,2,3,4.5 6解：(1)一5的相反数是5，施对值是5，()一T的相反数是+望对值是1，C2.C点C4.1)>(2)>3)>5.一1（答案不唯一） 表.+一元一欢不等式的应用 。)遇为品-一品所以赢的相反散是品地时领超洁 6解：两边都除以一4：银据不等式的基本性质3，将>是(2两边都 针对司练 1.A2.23 2.3,2实数的摆算 乘一5，根据不等式的基本性质3，得x<一1Q(3)根据不等式的甚本性衡 3.解：设该真估格价x元.根船题意，得360一x一200200X20%,解得x 知识顿浸 1,得x>7.(4》根据不等式的基水性质1，得5r一x<x十4一x,合并同炎 项，得4z<4.两边解除以4，假探不等式的基本性爱2，得x<1.5)根据不 <12改，答：核南店最多可以年价120元. 小大 4,解：设后0,5h的速度为xkm/h,根据整意，得50十0,5r≥10，解得x 针对辑篮 等式的基本推度1，得一立2+1一1>4一山，即一>8两边品豫以一司， ≥10，答：后0,5h的速度至少为140km/h才能保证接时到达， 1.A2.D3.D4.A 根据不等式的基本鞋质3，得工<一6. 5.解：设孩工程队平均每天再多转设xm管道.根摆题意，得50(15十x) 5.解：(1)因为8.-12.25，（可-10，又2.25>10，质以3.5>/而. 33一元一次不等式的解法 ≥10000一125×20.解得x≥25.答：该工程队平均每天至少再多维设 2烟为(-是广=-器4-万=-7，又-景>-7，断以-号>沉 贰1误时一元一次不等人风其解漆(1) 25m管道， 知职境理 解：1)原式5+厚-2-③.(2)原式5一5-3+25-35 3.5一元一现不等式组 一1解集<3网 知识使理 4.3)原式-2+(-39-7+1-2-3-7+1--7. 针对调练 公共幕分x<aa<x<b无幅 第3章一元一次不$式（组） 1,B2A3A485.x21 针对乳蓝 3,1不等式的盈义 6解：(1》移项，合并同类项，一x29,背边花除以一3，得x一3原不， 1.D2.B3.x-2 知识核理 等式的解集在数楠上的表示如周所示， 不整式 4.1x2(2>-3(3) (4)-3r2 针对辑练 4-21。 -4-1-2-1011 (2)去括号，醇3十8x>2r十4.移夷，得8x一2x>4一1，甲x>L夏不等式 5,解：(1)解不等式①，得x>2解不等式②，得x1所以原不等式组无 1.B1A3.A4x>05.4.5r+2.5(35-)10间 的解第在数结上的表家如嘴所京 解，(2)解不等式①，得<3，解不等式⊙，得⊙一4，所断以不等式组的解第 6解，(1m+2>b-3.(2)m+10受.《3@(@-1)@ 于 是-46 第4章平面内的两条直线 7.解：根则题意，得0十4x≥100.若x数1，则0+4×1■9到<100：若x 第2课时一元一次不羊或的解漆(2) 聚2，则0+4×2=98<100：若x原3，博50+4×3=102>100.所以小 4.1平面内两条直线的位置关系 针对国练 至少买了3本笔配本. 4,1,1平行线 1.D2.A3.-1 5.2不等式的基本性质 .解：(1)去分母，得8(x一1)≤2(2x十1).去括号，得3r一8运4x十8移 如识顿理 第1深时不等式的基本性唐1，？ 项，合并民类项，得一x≤5，两边都除以一1，得x一5，复不等式的解集在 ABCD相交平行一。c 知识顿理 数轴上的表示如图所示. 针对司蓝 不变>不变> 1.A1.D3B4.C5.平行 名专青十 针对辑篮 6.解，(1)如图所示《2)CB∥DF.理由平行于同一条直线的再条直线平行. (2)去分得，得242一6)35(x+a》一10，去芬号，得2￥-12多5x+15-10. 1.D2.B.3.1)>(2)>(3)>(4)> 4.不等式的基本量质15< 移爽，合并同类项，得一≥.两边都除以一名，得一号原不等式的 解：（山）不度立，理由短下：因为>y,根探不等式的摇本性质1，得一0 解紫在数精上的表示如图所示， 一43 44 4,1,2相交直线所成的角 针对调练 第5章拍对称与藏转 知织核理 1.D1.A3.C472 5.1细对称 反向延长战∠信∠：相等∠3∠4∠5∠6∠了∠8∠3 5.(1)ABCD内铺角阳等，两直俊平行(2)3内情角糊率，两直线平 5.1.1初步认识轴对称图形 ∠6∠4∠5 行(3)ABCD同旁内角瓦补，两直线平行(4》AC间位角相等， 知识模增 针对铺练 两直线平行 铂对称对存结 1.C2,C31D4.1内脑(2)∠4(3)d6属增内角 6,解：四为∠E=∠F,所以AE∥C书，断以∠A+∠ADC=180,因为∠A 针时炼 ∠C 5解：因为0出平分∠红汇，∠EX=0,所以∠B思∠B0C-专 =∠C.所以∠C+∠ADC=80°，所以AD∥BC 1.D 2.A 3.B 4.D E F 5.解，如图所示 35.所以∠A0-∠BX=35,∠AE=1附°-∠EB=145 45垂线 42平移 第1课时◆找 知识镇理 妇识梳理 方向雨离方向雨离平行闻一条直线相等亚离大小平行 强直最足⊥ 针对训缩 针对调练 6,解：如图断示，（答案不难一 1.C2,C31454.2 1D 2.C 3.B 5.解，如旧，△A:BC即为质求. 4,解：1)动(2)因为OE⊥CD,斯∠30D=90',因为∠B以花：∠D gocpBo =2:3,m以∠B0D=景∠B0D=5.新以∠C=180-∠0D= 5.1.2轴对称 126, 知识镜埋 手直平分不堂不变 5,解：因为AE⊥HC.DF⊥C.用以AE∥DF,断以∠D=∠AC,因为 6解：I)AE∥CF,ACDF,B∥EF,(2)AD=F=BE=2■ 针对氧蓝 ∠A=∠D,所以∠A=∠ABC所以ABCD. 4,3平行线的性质 1.A2.B3.34.37 第2课时◆线段及其社质 知织梳理 5.解，如图所示 妇织德理 相等∠3∠8相等∠4互补180 有且只有垂线段垂线及最烟垂线段 针封训练 针对调练 1.A2,B3A4,B5.50 1.B2.D3.DE4.1213 6解：因为ADEF,所以∠1=∠HAD,因为AB∥DG,所以∠BAD= ∠2.所以∠1-∠2 5,解：如图，线段CD即为所求，数学依据是意线股最短 7.解：圆为AB∥CD,所以∠BCD-∠ABC-45.因为EF∥CD,新以∠E 6.解：(1DEF=4,AD-5.(2)∠F-13,∠D-0.(3)MN LAE +∠ECD=18m.期以∠ECD=180-∠E-25,所慰∠HCE=∠HCD- 5.2使转 ∠ECD=20 知识统理 4.4平行线的判定 装转旋转中心能转角对应点距离角距高角 〔第6期湖) (易6观国) 幕1策时平行线的判定为业1 针对司练 知织梳理 6.解：(1)如图，直线AG即为所录.(2》如图，直复A即为所求.(3)2 1.D2.D3.C 4.解：如图所示 相等∠5∠8 4.6两纸零行线间的距离 针对讯练 复观植理 LB工，B3,C4同位角相等，两直线平行 需直相等 5ABEF同位角相等，辉直线平行EF平行干同一条直线的两条直针对训练 线平行 1,A2.1)AB〔2CD,FG 长解：因为AD∥C,所以一∠8，因为∠1一∠2，所以∠2-∠3.所以玉.对两条平行线的所有公亚线段都相等 BE/DF. 4.35.2 5,解：(1)由腕转的性质，得∠ACB一∠DCE.所以∠ACD= 交(36m 第2果时平行线的判文方染2,3 6.解：黑为AD∥BC,AG⊥BC,DH⊥C,所以AG=DH.国为Sw= ∠ACE)一110”，所以影转角的度数为110，(2)因为D为C的中点，所以 知织梳理 相等∠4五补180 2BF·AG,5m-C·DH,5w-5am,断以BF-BC CD一交BC-4,由胞特的性数，得AC-CD-4 —46— 47 48